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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?& W, w2 _- L& y" N

: |: x5 F8 |) K7 Z1 f/ w; j& O/ ?2。下边证明有没有毛病?, L. b  [2 a3 y! J  c3 D0 F

$ \0 E8 L; T; u" U3 `6 ]" G* q2 D设  a=b
0 m8 j- @- F7 x5 f. C. V' t1 q& a, i+ U. K* `) \
则有: a*a-a*b=a*a-b*b3 ?- ]+ U: I. _+ W$ Z4 f
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):# Q" s  y3 C1 u8 t. o2 H
3 w$ r: Q4 _  m% N3 C* `* [/ R
a(a-b)=(a+b)(a-b)1 L+ J# `* W& ]' i. z
a=a+b9 \8 [+ {# f; c9 h9 r0 [
a=2a' x' b. n$ I- K" m/ e' z8 I  N2 R
1=28 w6 _6 h) Z% g4 N% S
( V; x* J+ Z- B5 |8 @+ z
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
3 t  M6 n) b* S8 U/ S6 t+ Z4 L7 S. ^7 j! L5 \, B2 k0 i& u' _' R
1)不能。比如1
6 Y' l! S! b  V. y) _+ A7 C2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。/ u# `3 D: e2 U
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:5 c8 E. `0 e; u8 M- ?
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
$ `/ ~$ \9 x# j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 ?0 v' O4 e. m5 V看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:9 H9 m9 Z' f  H0 {7 {
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。: M7 T' C. J3 i0 f' v; L  @

0 ?# O& Q  n) _+ p! H9 R7 S* ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
$ A, I1 j* v* C6 ^7 C# I" ^
7 N6 U2 O4 d% f2 t+ |0 KProof: ) j# y5 |  N: A# o
Let n >1 be an integer , t7 W; `7 m6 ^1 Z1 \
Basis:   (n=2)* m: @  C% X& F% t  H6 W' X
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 35 Q7 s: W: y% C
( z& _* W( o7 U9 d$ t* u3 d
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 |7 p# @2 h" X% C$ n% u+ l/ }                                     K^3 – K can by divided by 3.
+ m7 a3 V- p/ K) ?, W, b: ~  F8 C, z% M
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3' G4 T" D- t4 [3 d
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem: O( M( S& k# i/ l; M
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)7 u9 \6 d# G! Q! s+ }
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K2 d3 ~( H8 c/ b, H2 r' `5 a
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 F  n$ Y3 {3 S8 u. i& j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 T4 @% l/ W5 ~% S" r& @by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>00 }3 L4 M* W9 {, f- h7 t( l# G1 R
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 {9 g: m2 P) K                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- c* c8 L2 S1 ^4 q4 P9 c                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. E* k( e$ `( v/ Y( T- N: e' U! M: U# S0 {4 w7 _/ @* D
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ D- K6 Z/ d& l4 _4 ]( R1 d* H* Q7 K$ o* F. Q
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 t9 U! V7 L' N+ K6 }
& F# E% D4 q( m) h: T9 @第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:1 I3 P. _! Z9 ?9 j% [
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& u% {2 R  l0 c; m- I, t: ]8 ~4 ^( c/ Y8 ~
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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