出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

8 S  F& I. R5 p" W( c2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

* z$ B; h, `$ L# Za(a-b)=(a+b)(a-b)
+ W( ?: \) x8 E' p$ K4 x0 E1 ]a=a+b
a=2a
" V- @0 r8 O8 b1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 F, k' u+ s- z/ F. X( s看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

+ b& |; ?6 V1 T7 h4 i" KProof:
Let n >1 be an integer
- s* X! Z3 L: p9 R. uBasis:   (n=2)
6 y1 i1 j& @! K0 S( R         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

+ N  R: l% w8 _6 ~6 c3 I' EInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. |  U' L& }4 q, \9 [                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ q. t/ S1 h2 D  H% v# B, A1 I) vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 e7 [  u" X0 rThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- \1 x0 M8 Z7 w6 R" c& Y6 {                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 j( A0 }1 G/ G                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
! j! s! q9 n% S
0 I; e0 j9 e, u- b2 X. fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

# @, O; @; W, X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- _$ {+ y1 w7 C: F" U* Q8 O$ |
% I) k' o  k$ O* z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 T: j; q/ g  w6 Z2 p( p! W% L1 x6 F) SShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ T/ B5 R: J7 x
5 @9 b' }. X) a* l# f3 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.