出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

7 D+ r# F4 V  H则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: T+ T' ?: @4 U' @7 i两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) h' ~5 i; U. m" e) k- e9 }
$ v0 t9 m; d9 [a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
# v# Y( Z0 h/ Q) c3 m1=2
! N/ P+ i+ H1 S! p  r5 `
# E1 w+ X: |  ^3 @' i证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 b) p7 J  W* @; Z" V) a
( W' A$ Z- D' s3 g, [6 M1）不能。比如1
7 X. w* y; m& H9 N4 z" _9 S2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# @1 o# Q1 V1 s- K* m6 v7 O1 W1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# f, w+ R& X% w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 V5 q8 @& h- M

1 s6 _0 s6 w7 u4 g) k  _为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
) j: m" y4 |2 H1 G! c) dBasis:   (n=2)
% z; F! [; l  B- ]6 _, G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 ?! W, Q+ |& v; m' D+ M, Q% S
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% H$ S* S7 {' O" z                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 s$ H5 \" y8 h% z: [" s" p
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ B) `$ {3 y* R3 J1 e, q! KThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% V/ t5 q: t) C& H' ?, {5 |                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 T  I9 @5 X5 C% o4 y* ?So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 f3 i/ z1 ?6 G2 Z7 ~0 K                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 p& \8 c+ [+ G9 ~/ ]# D. W
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" G  G3 B5 d* a. h
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

' y  W0 b, p. p6 E" R) e第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.