出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
5 Y2 Z" _( \7 _- O0 U2 |0 ]6 C
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 A# p7 H! {( R$ s1 `两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
4 |+ p7 W/ a& c4 ~3 x: L- y3 T6 \a=2a
0 h- M, T- H( V7 F# H! W1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" S  o* r+ w- w4 j% g
1）不能。比如1
. S2 o9 f6 q9 H" J3 D2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 ]! d' W( }$ f& b$ a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 Z3 h( h% b4 |2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# _& f" }- u& l6 |看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

3 n/ j  P  U% \6 t0 u. q( P为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ L4 `6 M+ y, U' p* K% G
Proof:
Let n >1 be an integer
/ m2 u3 h2 F) s8 k  SBasis:   (n=2)
2 n" N! R/ Q# {7 D! g         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
% P* g: F1 v) Z: Y% ]
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. }/ M# |4 @! M3 {7 f! f3 S, |7 u- L                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  l) I' ?4 k! ~So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' [" o: J1 }" M) e2 E  t                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, u8 C( g9 X3 W! B                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

6 L2 k1 w. G' K9 W: MConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

2 q) O+ Z& _. N+ p[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

; \" ~% n- m8 x7 c0 |9 R* z$ }9 T第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 L: ^( @& K% z
7 \* m4 S6 Y4 C$ p/ l% X6 ]) w& {& z; CSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.