出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# R" o. q( d% U0 ]: [! W/ P+ u
; `- Z2 `- L) k8 c) @* L4 l$ T2。下边证明有没有毛病？

9 _5 J& q5 p! {/ V7 ~4 b& Q设  a=b
& B' F% n4 `2 \9 ]
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
2 ~4 Q! ]- I9 i, |4 b+ }) O- i
a(a-b)=(a+b)(a-b)
* l% ]1 Q0 i  b1 y( Ya=a+b
a=2a
1=2
' _2 u) B$ _- [* q  }( H
, L+ j1 N5 u* y4 n7 f' ]$ y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  e2 ~) `( h" ]2 x3 G2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 K# R% Y7 @) F4 ]* ?3 u" i1 O2 H- P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

% C5 s4 |5 T7 M# a为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
8 q0 h3 n( A& BBasis:   (n=2)
/ Y, N4 e4 O8 W( g+ b( _) L4 l$ D/ k5 K  L         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! A1 c6 q; U( Q0 ~! M
7 |. L$ V- d& ~! j! B7 _% D9 ZInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

2 @4 }! {* S/ j  k' `1 F# ]Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 H+ s+ z; O; O  ]$ U0 p5 b  vThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% L- L! L/ B8 f) T/ I                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ o' c: w) g0 k# [& kSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

% ?& [. w  z: l! A[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

, R- d  M; B; }/ d8 ^# c1 S$ r* T, T第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ K' {# H8 ~1 A1 G* e& U8 rShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 w! ^" S2 t# h* w) s
0 V) l+ j7 @$ i1 }7 ySORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.