出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

6 |; ~7 N& E: Z2。下边证明有没有毛病？
- t+ I2 l+ C% ^( N/ z) B# a
设  a=b
& p& D  Q2 R: Z- D. ?/ \/ N; N
& o3 c8 d* W8 ~* c: Z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

5 s+ U! {) T: b9 _  ca(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
6 y, E; J2 h' b4 r' q# [( T
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 S4 L. g: Q8 F# X
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 |1 @+ P% Q4 V9 o# z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# i0 R' g% q( R7 s% U: k9 q2 i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, W" c- Z/ N( y# L* V  e

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
/ R. p  u. ^# R0 O# R! j  [2 @/ zBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: r  U7 C  \8 [6 w4 G4 U& z+ }
* r# W1 Y/ E4 A% u. BInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 j- S0 t  i6 U( x) R6 X% P
* \2 n$ l7 [- r& L/ K$ A$ n! s6 CNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 Q# R; i% |4 V- U2 s$ kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 o6 ^, Y/ M2 f# G4 I# H3 OSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  s  w. T2 m8 Z) i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 S4 G- \" x$ u
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* X3 s+ w1 d/ Y/ _0 u, U2 E% V
# V% Q5 N, }. Z# D) w( _[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 D0 Z4 \" F; I
. u5 X7 T9 }) X2 r" p4 R  l第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 `2 w7 n9 |7 ]+ e' p( QShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) h+ Y" l4 ]7 }' `' W
7 f0 g$ K6 {' {SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.