出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# |0 R. l3 V0 b' ~$ ]
8 P) u( ?8 a& C, f7 g  E2。下边证明有没有毛病？
3 w# E" Q, \1 }8 X9 e' f1 _
设  a=b
+ G0 R0 g3 L9 b+ Z9 @
7 [" k! ~9 o! K7 y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; V: \# Z% l7 d8 U& i3 {1 c5 F两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; T9 J/ `5 z" R" b% M
9 Q5 I% Q: |9 L0 ka(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
- Y( f& V9 j0 Sa=2a
1=2
. }5 }) m% ^: m1 F; j$ O
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

/ J5 n  ]' r2 F1 p1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% K6 W2 N- D- d7 n( C看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

; o' Y& ~) @4 U8 B9 n7 d* v% \为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 T/ M" ?! I# ~0 }
Proof:
: g1 D: N' T* y0 ?. e# eLet n >1 be an integer
- y( J/ T1 S6 w  W! ]/ P+ Z  ~1 rBasis:   (n=2)
: f; k* R1 a! S+ E" a' h         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

& c, C+ f2 l6 n5 A, `- V( VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) g5 r1 z) Q5 s' isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# U) r, `$ h- h' ]/ mThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 |, }" I8 d& A9 d# A) Y0 U                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- [6 O6 T/ h$ _                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' r+ Z$ N/ t4 v9 V! v1 X9 Q  ^0 K                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 w+ O& z- [7 eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
, V/ K- l! U* K5 Q1 E( w- g; B
. u- q! L3 J. `& O& s" W0 zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 h6 e0 d* x$ b: P7 t
% l% Q" ^1 U; H0 B3 d0 z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 x7 v5 @% S1 U$ v; w8 U* [Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.