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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?' R4 E5 b; d$ V8 @& b
" m0 l# d( Z- N( D: j
2。下边证明有没有毛病?
" ^2 x8 h/ E( N9 g1 N6 Q" y. v4 {) h) n
设  a=b
/ w' Q& F3 L" q4 M2 V, M  m& U8 I1 e5 u+ T
则有: a*a-a*b=a*a-b*b0 Z5 l* |$ ~0 I
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):, \5 k$ b; B, L. b
& F! Z7 U% \! }& l" x  }( k
a(a-b)=(a+b)(a-b)8 c) @! C  f0 `! _& B& c
a=a+b) X* q& z( U4 P7 U6 i; f
a=2a
  f9 n/ C2 i/ c7 \1=2
& @- o: i8 o. B
4 A- O6 ]  i& z+ J! p$ u! i/ p证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
+ M, `& {* ~- I6 m( {) s! w
# M  }2 M; s  I  y' A1)不能。比如16 K" u/ S- G) t9 P
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 [* S8 b+ m; K. {
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:! V$ B* q: T" N& L$ B% _9 ?
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 n4 y! d( u8 b% J4 x/ C
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
' m! U1 P' Z" b% e6 ]& {" P
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ _* G& k1 E0 N9 L( J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
! p# S/ }+ Y3 Z) ]- a& s- N

- M$ `  R$ F, G' S为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
& p0 Y+ c- W4 M  q
$ f/ j5 c5 h6 \9 qProof:
3 M6 O. X6 Z) o5 ULet n >1 be an integer 0 Y8 E  p0 K2 v6 E- ?
Basis:   (n=2)/ V# ^9 k- W) j/ Y
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 30 `9 V6 v. G  d& H  X& |5 L. N; T3 O

* o3 ~" e3 s( n6 h0 \0 `! }3 AInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that9 C8 }) A5 Y6 Y3 r% E9 k
                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ E8 j& J7 R/ S6 B( S1 o& q8 {, o! L1 N/ B
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 ?! Z1 {$ V* L* z  h; Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem4 p1 d; Q) i$ n1 q3 G+ w+ J! U1 y
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)9 E3 C" Y+ ^8 V( f" ~' r+ S1 X( I
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 H% x- P6 ^9 q! S" y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 W2 h7 R% q/ o: R; E$ f                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 {$ b; }% ~) v  P9 vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0  }4 h! W! u5 B
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: ~0 |( D# z2 e                                = 3X + 3 ( K^2 + K)7 t" p" y& }  J3 |3 ^  K
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  y+ C4 v; t, y5 T. `! _+ N! U- N/ O2 F) T- V9 ~
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  e) ~) |: w9 D$ w3 B
4 F9 W# {5 [1 W( r" X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( h/ R( B& _+ R, p  Z
8 H$ u! z2 a8 U. X$ i+ }1 q1 V( ]第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, p! {% X, |6 u) \# VShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; ]. Z* N$ K/ g( @' ^9 j1 `. ~% ?) f' Z' A5 {  j: v$ }- U! Z" R
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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