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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?# H5 ?" S, h( L* d

3 [" `- `  M  B- L* x- \2。下边证明有没有毛病?" W$ l) q) P% Y! @" k$ v1 I
9 s2 O+ ~8 v' u% ?( v1 l
设  a=b! H7 \1 b, J& Q3 Z; C8 V

; I& V2 R) X; Q0 e则有: a*a-a*b=a*a-b*b
( a" F1 o  \! S( R: K. f: v两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
% |/ \4 J7 I7 D* w7 K9 J
3 |& ~2 `/ C1 b# f, Aa(a-b)=(a+b)(a-b)2 K- S5 G  @0 B5 N$ d
a=a+b
, N. l) I) [6 R5 q( ^a=2a
  K: P/ I4 K/ J/ W+ ^6 l1 s1=2
- x# m  @! K  }6 c4 h8 v) v" s9 L) U7 k" J1 `  V* y( S
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
' V; A- j% N" V( \
6 f( o& ]$ l% y# a5 c* b1)不能。比如1
. P: {/ V3 u0 b7 J7 W% ?' W2 E2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% L& A: U. [# q' ]3 y2 {. l- K: }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( U1 u9 P9 S' a: `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
) N" w7 ~$ D7 R2 Y" L) a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 X- l. x% u# ~: L" w看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) [, M" N' L+ W# T6 n! |# K+ h) G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; g$ [* o  A" K) S2 y: P; h2 U, R
% J0 d, M6 f! G7 L, ^4 }" A& f: H
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 N% x6 w( g, d# n0 I+ [% ^0 s  w- M6 W9 P0 h: C- Q
Proof:
6 _9 x, z9 I  O1 \, VLet n >1 be an integer
5 E" T% {) a& s, k  G) jBasis:   (n=2)
1 c! B: t9 |7 E         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. ?8 }/ E4 @" `. @# O1 q5 y
8 H2 c+ P' h  i4 Z- H' ~Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that9 a( x0 g! L8 D9 z8 b. a. q% m
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. |3 j* V6 V" I& x/ d) L/ A
3 G, X3 h* R8 m  TNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: L2 `/ S! Y2 u( Z* [8 Osince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem# I9 O7 u/ @# Q  m1 s% a
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 v& S, M9 T5 u- l0 l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 p/ ~4 p% d1 l                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)% l2 h: d5 f, x; E
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)+ h& @/ _$ S: T: v2 O. m' \! J
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0& f5 j7 m. A' |1 U; o  d6 z
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 N7 W! S  m, D. j4 T  q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 ]$ P$ q/ m% F$ o. w2 X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 33 x$ k* W. I  l- G$ N9 G7 p; u
4 _4 q8 Z$ C( E4 u1 x0 N3 ]
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ K4 W) I7 w2 Z: M/ W
' Y0 v! J1 y" X$ F8 T% ], J[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! |$ e) ]' i8 X# C# K' ~* j
* x2 v5 S1 k" W) z6 L第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
7 |+ ]+ n! V3 S) I, ^Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
8 Q& v- o5 D1 K& {% E
  t3 z9 R8 ?+ F
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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