出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
' X. @" g- A- b$ z8 J
2。下边证明有没有毛病？
% |. F( b6 V( q* R0 k" p, ~3 R
设  a=b
8 G6 Q( c$ g# G5 o1 H
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 j6 \" x) `/ U+ B4 X9 ?两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 t0 V, F; R9 w: x+ s" F$ i
8 b! z2 I2 X( `7 k1 {5 wa(a-b)=(a+b)(a-b)
9 o+ e1 D3 `  Ja=a+b
2 W# ^5 i6 O! Z( `a=2a
) E: l7 J/ Z' K. K1=2

3 C3 F1 i4 p3 f% m+ U2 s' r/ }证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" |+ F: [: [5 U: @( B6 M2 x, k9 j2 w
) w5 E/ ?( |) `- Z) Z/ K9 I1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 b6 n; Y) b$ }3 V6 t+ ]/ s0 [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# Y; z1 ^( ~. U+ f" v& ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. y$ x- i# T% W* }0 I$ z9 W

# `; `- F  y1 x为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
, E# @) R- v, y# B9 P3 g$ x) S" kLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
8 N6 M' x) f% |% ?2 m" d0 \         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 `$ ^$ X" J# q' ?! {
/ g5 [3 l. [# H7 D6 X- @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 ~5 e2 x9 G2 ]. R: i) X8 _- B1 r                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% u, \( D  Z$ n- F                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! k+ o, I, j( ^8 z( {7 Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% f) G& O+ u+ q/ P2 uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( {) k) `0 f; A                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

' ?+ p# d4 ^2 u2 Y5 \. I  c& M2 L0 SConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 l- u* Y5 ?9 d: S6 `8 b& b" a; a9 u9 g3 L
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 w* b. [% D% e" M
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.