出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

$ n6 y0 c# L4 H  I2。下边证明有没有毛病？
& b. F7 o) c4 f5 M+ |
设  a=b

+ a% C  {3 F. a  X则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 W. A+ @  Z9 o% N
/ n; S8 h$ h$ W* J) Aa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 l7 {2 q( M9 J: l& m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 K6 t3 m  ?0 J% {4 i# n* Q$ a/ ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, b" ~! r# e+ f* _. @- a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 d7 \1 j) H6 ]# V2 f9 t
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
1 n9 D" [) B# S+ y1 n1 Y, c' a         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

; K" ]6 K8 i. {Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 Z+ t5 J, l. h+ O& D% [
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 A" c' G' q7 F! ?& ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- p) ?0 E1 m- @3 Q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 B: |( x: @% U! V6 Y9 Kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. |9 ~4 k: r) v3 i/ J5 m5 {/ I& d. aSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 X8 o" L  G% G6 A7 j% [
0 i: y( N5 }! }4 A; _9 X! \/ EConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

7 N. @" T/ e7 B* @第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  l2 Z% ?# p/ P7 M, Y
( x* |3 a* k  @/ _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.