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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
. C  g; c# Q+ H' T% i( O
6 |9 ~( n4 f% @6 z. o  C2。下边证明有没有毛病?
6 _4 C/ a" _& Z) s0 M# g: u
- }: L: x/ |3 Q; j设  a=b
+ K" w) p" z' p
- ?# Y. q- j( ]+ H+ [0 M则有: a*a-a*b=a*a-b*b
1 V" a9 p) g: B: ^/ V9 u# Y两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
: ]' |8 Y+ V# G( n3 q. o" s2 T" N" v$ y1 o) X& |
a(a-b)=(a+b)(a-b)
% X! d/ j% ~& h' a7 \  n/ Za=a+b
, ~" c+ l/ L6 b. r* u0 `5 ~) y& E6 [a=2a
/ W7 w6 |6 p  D( W1=2
. z5 H, i3 Z" S9 @+ q5 ]/ T) @" b7 L( A( ~/ ?' T. \
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试0 \/ [, G* U- \- U+ ^7 S
7 v; E; H0 f' J9 u
1)不能。比如1
, f" v) h2 w3 o, Q# v4 Z2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 V6 Y) F  r6 }4 [
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:7 n" z( E$ V' {2 a; W" y
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
) M# R) [; M$ _4 b2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) |0 N8 O! A; w6 s' Z看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' ?: E, `6 T  Q" N% S$ v- k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
8 F9 T9 U6 A9 e  V/ r% k' F; j

! e) {8 _( U# X4 r1 r( [为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* K1 I( k$ j7 T* c$ }' r/ ~2 O+ ^5 R8 v) h' w
Proof: ; T" Q& w7 S; Q! m$ Y
Let n >1 be an integer
- ?- t1 s" [  z' ]Basis:   (n=2)+ L! x/ i- _2 Z% D
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
% J4 F1 B0 O& k; Q& [- H
" S, B! q3 J& N2 ]Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% C# u# _1 J( _/ E                                     K^3 – K can by divided by 3.
: W# K  u+ v5 ^. c, i# r: n: N
$ X9 ]0 ?) c# r+ O# dNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: Y5 n& g' |# N3 d$ dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# u6 \. k0 l1 _: w( ~' h- d2 s# hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 P: C$ O- n) Z: f                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) [' g% ^# |7 _: S' f5 m- _                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 `1 A5 _* Z1 Y# s! I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# q" a) P. t. j4 E! Hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# A4 i- }# A2 `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; Q& [0 [1 T- v) X: h2 `                                = 3X + 3 ( K^2 + K)$ P. a4 P! s! s% d$ o, Y9 C8 v
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3. c! r0 X6 s  X" g, L

; @2 \" c& N4 VConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.  u$ t! w2 F1 R9 G; `) j

* R+ E& ]& }2 N' G, h. D  g. t[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。  |6 A6 H; C$ R% z

+ s$ I  ^0 B" W5 `第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:/ R; p/ U9 V0 `* j& B
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 d" H: X: i  F' b' i1 M" ]6 [% F+ ?# R) Z) i  E
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
大型搬家
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