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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
5 C+ v* P! P; P+ _* A2 Q6 t3 ^$ l& W+ R9 |' a& a6 W% f0 O! l
2。下边证明有没有毛病?  `6 I# c% H5 F' v8 q9 D7 h6 V

5 \' e$ h0 y6 n6 N设  a=b
; |: {  d+ {4 w7 W/ y! b- @+ A$ g* j" v% T
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
; S9 u1 a6 O# Z( H两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):; \* I/ N2 e" `( X/ F4 E
$ B* q4 o! H" _' A
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ t$ Z, M& E6 Q, a8 \, pa=a+b" |7 s, l% ^' R) z
a=2a
# K3 K' |  O1 s/ o9 t3 l1=2! ]' g, L* F3 ]3 Z

9 S1 V! j* l, Q  l证毕 ,结论,1=2
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
. W( B, k% G" p' s$ l) N5 d# N' l9 y' w' }' e+ f8 u
1)不能。比如1
: A$ C/ K# {4 ?$ ~) G0 m2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
4 G$ Q( H+ h( v7 p( R% D% ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, e. e# R8 _' O0 G$ e$ Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
. R  n8 f* Y' y5 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- \& p  ], D! x! v9 B0 d- g$ C3 B看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ z8 I) f% b0 L: k8 Y! A3 s1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# o& t$ m; H6 [; U5 Q( o; J

1 Q' D2 {; L) C9 a3 E  Q2 r为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)- u* H2 a# K6 [  C# |( X
' W" f: C/ x/ y6 ]6 O6 D
Proof: ' ?% S* d' O2 t
Let n >1 be an integer
1 A5 a, `$ ~9 B/ t8 f2 YBasis:   (n=2)4 ?4 s  |4 r. U0 C1 a
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 ]- t* N$ G4 F8 {% W9 n- n5 W5 T9 k" ], Z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that. f7 `5 ~. M0 O/ a
                                     K^3 – K can by divided by 3.4 H  j& @! X( O1 R- H1 G$ A( Z: }, Z
0 B6 x4 q6 n1 `5 d7 Q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 36 E+ v# i" U4 v0 A8 e. O% A- F: V
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem& R2 Z0 |* s1 @! \) Y4 }
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)3 @9 u" \2 Y9 z0 _5 K" Q( T
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K/ U4 z- S  z: e2 p1 v/ O
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)# h: V4 c5 a' m
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)! d4 U# X% G, T
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0! s1 ]( X0 j) y/ R+ J2 U0 |! ~: }
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K). i" K4 u$ Q5 G0 S
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% c' M! _4 b- l                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ r7 `. F5 N, G2 j5 t( B* j8 b. n0 t' m) L
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.; M, {  t6 _: |6 V2 F% V) G  l
# ]4 Y0 @6 Q% p5 g' o
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 V+ t4 i0 V' `$ r8 U. Y3 P2 _; _- a0 ]  e  G; a
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:, c8 _" ?1 {4 z' S) u
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
8 N7 m9 g! N. ^+ M% _% w

6 p7 y: I! e0 P/ GSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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