出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) g& @$ E: l, ?( [! O
2 `$ h" U# ]0 R% ^- B1 i2。下边证明有没有毛病？
6 a# u# {' ?) b8 `3 Y
4 E5 j, }3 o, Y- K# P7 h设  a=b
2 Q7 K  V6 q0 H
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

9 ]  R! m# W! C0 i/ Q6 `a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
. A4 K+ C  `) S$ m2 p9 ya=2a
1=2
. X4 c' U" ^& y
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
) N$ V; {; r$ W) U7 V6 [4 t2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 _) I; }: {  B& L, z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- K% E: p8 f; R' ?+ O! M, U' f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) v5 h5 m0 ~% E0 O看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 ?4 Q$ k! m+ I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 S3 O& B- k: L2 n+ T& U& l7 p
Proof:
Let n >1 be an integer
. f1 O: h1 U0 q7 `- EBasis:   (n=2)
5 q; T; e: \5 t' `0 Z7 f2 k5 n1 o         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, L: P; P2 m, j/ S; ]6 `                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 H' q0 t. H- \$ M% m0 I+ [
# ]' Y6 E# A1 ]# rNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, y, w6 s1 W  h+ s* v" l$ G8 ?since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# V" g7 _/ H3 b% t/ z9 n" G7 v                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
( e. M/ \) Q+ e$ s+ ^8 ]* Z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' M% x; a4 }7 Q9 @" l* v                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; m4 \( f1 e" Y( @So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! e3 W* {" c, o5 y* a& O$ X                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 p. ?3 l0 f. V6 ~  o$ `                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

: b7 i0 s6 N) }/ l3 WConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 T( o4 G4 ]! q
7 {. E, A. L1 G% t5 _# U第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.