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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?6 i3 m( v% ~: h0 B7 X
$ p% d0 {1 X/ G* W
2。下边证明有没有毛病?/ A- o, a7 _- J9 d
+ P% O: R  E8 M6 e3 r4 l
设  a=b' F! k6 y/ A# e2 l8 C

: c# b9 k$ r3 n+ J8 o则有: a*a-a*b=a*a-b*b  h. v; B& O3 G+ H$ X9 e
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):# i: @4 \' }8 P! Y* `! ~
  f1 F7 L+ b3 p& ^  Q) h# P+ W
a(a-b)=(a+b)(a-b)
% K7 [4 Q$ s! p* U0 n$ Ea=a+b
9 g: }* K( Y1 r' za=2a
" C4 ^2 r6 Y: |) ?1=2) i6 I7 N4 t3 D* p4 h
/ Y) U* U# m* ~0 U' f
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试7 F% ?0 I# l# t6 s
- t$ `* @3 v; ?1 K) M. m
1)不能。比如1  R" k$ ~' Y$ f5 b+ V
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。5 S# ^. A3 ]8 Q7 x- I1 F% f
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) I- r# d, C; [4 S9 C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。# b1 _; Q$ ]" l8 W0 `& @5 V
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ M0 i- q* Q5 a; f+ B/ [$ d! C看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# N' p$ ^& b3 g+ p% k1 \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* `0 r& D6 Z$ V5 l

  t6 P( K% l1 [4 C- H. W为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)' s+ z: w7 D5 ~5 K$ c" y0 [

8 x% I: X0 u9 [: p% fProof:
  p; |# ]7 I/ X3 h' q6 F# qLet n >1 be an integer
0 \1 e( w! W% _" M1 \1 u. s# `( UBasis:   (n=2)
- s- W+ b. K* t* I/ \" C$ ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! J9 n0 R" K4 ?- v) J4 V: a" B7 n9 s$ ~/ p' t" t
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that$ A8 ?8 |% n8 ^
                                     K^3 – K can by divided by 3.. S1 s9 d* x4 O! C
3 |- R1 g" x, o# z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( h8 \0 ]' K% Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem* G8 M- `& _  p! }- s7 Y6 g
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)& ^) |' l0 s6 @( n$ F2 j
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K# |/ Y0 u: s0 ^6 H  P- l/ n- r8 ]
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& j- w, }8 y: M% V* w. k* v( G                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 Y% A# ^5 T$ J0 t+ A& f9 D3 I: Dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ M  v/ K& S) ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ o3 e' j; `1 l  \3 J( v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)  e- i. I9 c4 z; Z* t7 u  \0 r0 I
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 k1 H- d+ z' P& a4 w: S' h+ {
: T( o, E; X3 `3 D6 k1 I1 fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: ]) w8 S6 y5 C. R! [6 a& U$ s7 H7 u% X/ s) b3 A2 J) m& q
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
理袁律师事务所
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。: q" u/ [+ s: M% r; i9 g
7 r/ S9 n+ X$ h: c
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' `7 Y8 |1 T$ _$ s0 UShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
' Q/ ^( `" X& b& B( J
& b' k" S% @6 E" [; u$ ^3 K
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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