出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" [% _8 |) e3 C/ k
2。下边证明有没有毛病？

) p! v' H* I6 W$ [% ]& R- Z: Y设  a=b
. W% ~- S# r/ E# N. \8 w
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 \+ P9 z# s; t4 A/ Y2 t
+ O5 N( C) G$ m% ia(a-b)=(a+b)(a-b)
- A) ?4 C6 U6 Ca=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* v/ I6 v, b1 b( ^$ ~
8 S) O) D. c2 y) g* X( V1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 f7 U: m" x9 d) l3 f  h, T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' o9 Y; X3 ]* H- X! a$ V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% s2 d# P, a: A$ z

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# `  c; n* |, y% x; YProof:
Let n >1 be an integer
7 T* g2 u2 y! G8 A9 pBasis:   (n=2)
$ L/ m5 k# Y3 ?! S/ u2 z, q6 V         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
; @0 k6 E& a5 t: d# o- P7 k( U
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ y+ d% I/ a( `2 O8 b                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ [4 d% a7 _0 F' m, h( I
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" {) s2 g/ e1 f3 \4 ]5 r                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; o, v3 s1 X$ E+ ~; g; G                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) `, E1 p, l* z: ?4 K6 R% nby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" {" b$ {9 y0 C; O: \' \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& \7 d( L3 z8 u2 a                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

6 K- X+ n' Z9 q3 s) V6 EConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
5 H* {$ ]( h4 A4 ?4 }
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  `) w: ]7 B* i% WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.