出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, k  v9 X. Y0 i% e" p+ {% [
2。下边证明有没有毛病？

$ C+ ?! i8 u- k# ?/ }4 ~设  a=b
* }. R# j3 j, J- ?! A, y0 @6 w8 |
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 r) M0 L4 h& |+ ?2 P5 |两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
& Q" h( P( o% ~! w& _6 t, w1=2

1 v* P; p  T9 ?$ c! K/ F0 e/ b6 r证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# p% b: f0 t& V. Y1 {4 u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' j6 W! x" n  s( E5 ]/ R4 y7 H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; p1 y5 a( F1 m: ]7 _: s% p4 A

* z: W- _5 ]. w( a* m为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

& q' M6 f3 E7 NProof:
; @7 o/ J: F, c$ v0 J7 ALet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ A+ L$ `6 j6 P; h. \* f* l/ p         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& |7 W) i8 E! H  J) y                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 R, ^0 ^' F1 Y' v1 G- [
( g8 l; ]" _) r2 l3 oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; ~3 a! Q7 e! qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 u( l9 O" V; b- M. v$ c3 M- e: e                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ w( L7 S* u4 y! y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  _! T4 f$ m% ~# x) _by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 g% j. D  g/ w. J# q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

- |" D" s: k+ ^Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 l, |" B; }: K9 w; H/ f
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# z% b  ?1 g* U1 S6 d
4 ]  [9 r# E" S: C/ b9 H. ]/ RSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.