出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

; q1 Y& {3 R0 u% P/ k8 ]设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ k2 ?3 M! p; }
: F: B: Z, g/ C& C% {a(a-b)=(a+b)(a-b)
: b( C* d6 b7 M$ @a=a+b
9 }* B- b, G! t2 Z' l# f3 T* Ya=2a
( U; m4 W. |4 J, @2 l8 z% q$ B1=2

+ u2 ]/ m$ d5 w4 d' ~证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 q% z- u2 p$ m& p
- X9 K! r$ d( B) n- k3 W1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* u3 d0 l$ ^& h. J  V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, h6 V, v4 i- m$ U' ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ Y6 I" l$ u) x1 s3 t" K# p9 [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- i3 i9 \& s& ?. w看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 C+ G1 x5 }( U6 `1 l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ D7 K4 C0 T# H
, i% u) V, X+ j% m; b7 A* OProof:
7 Y3 h, |7 {) P/ t) ~* t. tLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
) K/ ~, f* H- G0 {- E2 q! Q( s         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 f. S( O, D2 y* c4 x! Q+ s
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ d. _* w4 _( n  W                                     K^3 – K can by divided by 3.
) t* X9 m. J, w+ V- D
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 I) r/ ?4 k3 K7 q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 r8 t7 d3 b1 T# N; W2 R( x                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 m9 g& X6 ?) Q& |3 fSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( ]1 i; Z; F4 Z: s( _                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
' c* L! R( n  ]; ~
5 @  Z. t$ c# B0 yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' @* a+ m$ W/ ~* q5 Q5 ^8 x& w
: u, u3 u& k% v( Y3 w: v第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 k, K$ I! M2 ?' K' ~; `Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.