出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
6 g  _. F4 P% ~
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

# Q5 @+ Z' g  N则有： a*a-a*b=a*a-b*b
$ M7 b6 t+ t) z- Q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

" Q8 k+ ]& L% ga(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 o: r! G" I  N! N; q9 g
1）不能。比如1
# w2 t& v5 O& l3 }2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& n/ N8 m, q% |, i8 p, j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 g. T0 s) _* x4 T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! K) p8 x5 M5 a9 F3 f' K看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- @. O  v' @7 N2 k8 X
Proof:
Let n >1 be an integer
9 k1 r0 U7 E% Y! y7 cBasis:   (n=2)
; w5 J5 w/ Z8 x+ g$ I) o4 ?# B         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

" Z. G1 P) B+ N4 _: GInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" G0 e& _  [! ]7 q2 I% u                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  I: s. N: u" X% x; G  Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* I* P2 `0 j! p3 ]3 N  zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ @4 h* s/ X$ Y0 Y# Z- s                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 Y. T& G9 c& U/ `0 J2 T                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ S0 r$ i# P, ?4 }# J1 r5 S" LSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 Y& L. H( t8 q1 p, Q- |                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ \) c3 T! j" Z9 |0 T1 t% \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.