出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ B( M2 _- d1 d( Z
2 D9 k- ~& E# {+ V1 X) e2。下边证明有没有毛病？
; I% R, {/ N/ p9 B
设  a=b
" `0 |6 {  d' t! v5 E
7 h5 P: v& @" V则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! l/ c( A" A& p1 T4 z" w4 a; q
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
1 ~5 k3 k; K& d- ya=2a
+ T! f* {- ^: F' j& m1=2
6 Q# d7 \( R" v- z2 q
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
# w" h$ a+ I3 v8 e1 F, a: y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 S" i/ r. b( b8 _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 q! F: i2 \  F+ a. g' }! p. B看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ X! |" v) _. W' G& x6 r8 i" q
Proof:
1 {) P4 w! m- x( o- Z. i* rLet n >1 be an integer
$ ^$ k7 B4 N# V2 `Basis:   (n=2)
5 e5 k! H5 B( l2 K         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 ]% C. D- b5 ^( r
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

& F! z' O6 P" ?% S$ @% [, W0 PNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) l) ^8 \" Z8 q: @& ^, V7 Csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 `4 U9 V) c% F: XThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 S. r4 G  O3 P                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ ~( K9 i1 t' ]  r* r7 b* l0 uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) c& u- E0 J; Y9 I                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& O& x/ M7 K9 J, }& _1 Y7 C5 x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. v: v( O$ O) l' `: J
1 @  o3 ?4 U4 e! sConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, N+ }; V# G3 j. X8 l
, n. z+ j3 A6 K1 v第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 X; W* L, Y% D/ H# c" m
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.