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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
. E! O: J, W& h6 q* I4 k8 X0 \" E* ^1 @0 w/ A$ P6 o. @8 R9 W5 E
2。下边证明有没有毛病?: E7 g# N4 g: _3 C: l) E9 s* x
& I. Q  Q# y" E6 B' [& @* Y
设  a=b$ u) Q7 {- u4 i* _
7 g) W, M& u7 E! F7 |
则有: a*a-a*b=a*a-b*b9 h( t5 _4 _& X( j6 P
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):  a, M  \" ]! Y- I2 E' |

+ \: I( e( \( C. B) ]# ba(a-b)=(a+b)(a-b)
2 Z' d! g7 q1 l5 z1 x0 G* {a=a+b4 _6 y% a1 v+ y2 ]- h
a=2a. i" L8 Q- m9 o8 o$ B( A& a6 q' A
1=2
2 K; [" q. p$ T7 e! \, |4 m' d) q- S9 y/ Q, [
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试& P) J9 a2 f9 k
, m" Y& H9 o' }
1)不能。比如1+ ~6 X' ?2 ^" k- c( l
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% b' J$ U3 X: \# @% U$ S
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:' Q) e. D8 ^. F# b  c
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 _3 |. v. i4 Y& }3 W; c
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
5 j. H9 t( u# ^* \7 g# q/ s
看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' N: O  A. g( V: J2 ^1 q4 M, x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
0 X2 {, j1 _# T
7 v; t; p5 X) _- t* _8 D6 d
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* O! t5 U+ M% V* r5 m6 O; w$ f* m
Proof: , j. i5 j3 g$ T  V8 u  _
Let n >1 be an integer , c3 w: u9 J0 d! P. }' x; V, t
Basis:   (n=2)
$ A" s3 S! b7 Z/ A* W9 U         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ y; X( O7 M! e/ z, Z9 r6 F0 ^/ `8 q7 H2 M
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that, O+ s8 H' _+ h& @
                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 r# E3 r9 A& I3 Z% j9 F' r
% T3 E* B- r  Q1 ~4 {6 `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 M) G# i& K! v4 ?. H+ F7 o2 Y1 rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 ?3 b. z- l/ j) B' X( pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ d% v) e6 [- x6 q+ x                                     = K^3 + 3K^2 + 2K$ O! i" ^. Q# w5 C
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 K4 g/ q  N+ j9 u# h                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 r. _8 J" |$ J7 |
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 Y# `4 Q. y) K4 `  r5 K( `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; I# @5 @8 z1 P  f* Q% X" i                                = 3X + 3 ( K^2 + K)1 R6 o& c9 \% W: Z5 u7 q
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3  a* ]$ G" Y5 s( q6 |. ]
7 C9 D1 S% q- g# v
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.6 z6 s2 h! U0 D. c6 w/ H1 l

/ H! M% V+ l  ]5 W$ X. f& z1 I[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。, Y& f/ Z0 ?, F2 }
9 S6 i# c) h% ]( c
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ Z0 J% d6 E  Z& w5 J8 S* ~/ d/ C7 ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* x7 }; C7 r! h2 h. [+ S% |" Q7 a& b! _, Y7 V
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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