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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?4 H6 O! u- C1 }; e# o0 p
7 s) t" d) M% E7 a2 n$ m, t& _
2。下边证明有没有毛病?
5 W% ]( C- q9 u* I9 k+ e7 o" Q" s+ T; X' S: n
设  a=b; l6 z: L1 Z! s" m

5 \1 N8 \4 [5 ^则有: a*a-a*b=a*a-b*b4 S; }; q- Z6 l6 b1 _0 ^5 S
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):; t& y: K4 J8 \; t% u' W

" v/ C5 e8 B4 va(a-b)=(a+b)(a-b)
/ L2 v1 h7 F' Ba=a+b# T" `: _9 n; k6 m) U7 Y9 G
a=2a
+ [- m; H* R. b8 ?1=2
& r. N/ ?, _! y6 A% |) n2 }3 S+ v& S! V' [6 `: k5 {
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试6 ~& B6 p  m; a1 d* T, d8 Q3 |
! T1 v2 Q$ \9 o8 Y$ Y$ F3 w& {
1)不能。比如1
# c( o6 w5 ]9 ~$ A2)a,b不能是0
理袁律师事务所
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
$ w0 O- w5 I9 b" |  A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  X0 {6 V! }" o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 W  V9 N1 ^) O5 G4 H  k2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- s  |0 f: K4 V2 @: l; m看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ b8 W1 }" h1 d* d" ^
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* [; K1 M9 H$ ?4 ]6 w  y0 \
4 `' C& Q: B/ S3 E) b
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
! {, i7 y: `" |- o6 D2 H8 }. c9 L& h  g( u' a0 w( B1 g" y; X
Proof: 5 \8 R% z, F2 `7 ^
Let n >1 be an integer
. G2 T. ~$ x; T9 [* a4 w# ~  e9 q$ KBasis:   (n=2)
+ a* {; Y/ m- c3 o7 E         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 34 D* W- l6 k. U1 V

1 S6 y/ Q, x, Q+ z8 zInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that4 ~* l; V5 H7 J
                                     K^3 – K can by divided by 3.
" b2 |  o0 H  h; w5 T
* P( o7 q: m: t% L9 I* `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 N% X0 x1 a$ e& R9 p9 Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem8 I' u7 F" g& }2 P4 f
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 {$ x. d7 z  a                                     = K^3 + 3K^2 + 2K; f7 S4 ]6 O& J- Z6 o$ C7 w% @/ J
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)5 N* j  {7 a: f6 w1 d
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)5 R/ k& B1 ^) a6 R( x2 I
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0& R! Z& O, a8 Y$ ?9 U/ ~
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ w% k2 p5 n! Q1 B
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( X& f  P4 Z" @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3% y* {- Y4 U0 C6 m/ ^( ^
, u8 x% A/ T3 j: c% l9 _6 l  v& U
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.+ w3 _+ `* E7 h$ \

, U3 S% V. d8 M# ]# r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。$ b1 U* B( i) g" ~6 f

/ G- Y# B+ Y( N第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:7 F" l3 r; m! J7 O6 P- B& g* E$ Y
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
& B( N4 G1 S; S. X
9 ]7 i% z$ t$ y6 T0 h* f
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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