出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
! v& U% o! P1 @
1 F. \- ]1 {0 J/ O% ^8 U设  a=b
$ j; x$ U( c7 f# H
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, B& k$ Q0 \: ]1 ^* F1 H- v
! O/ `8 e7 _" L' X* m9 d7 `% c3 ma(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
4 ^6 z  C9 n" V) x1=2
  j, z6 [4 }9 j: A0 w. @7 W2 B( Z0 _
6 L, O6 P2 q9 \4 p" U9 j* U证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" w+ z2 `1 t# a5 i
; P* g2 D- O: N" S( ]2 P1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. |( c; `4 K0 Y, d& O看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 N* d& Y$ h" x- [* D6 e0 ~5 g' X5 b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

% f$ _' H0 C) n4 m) B0 P为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

. ^  \4 Z5 U3 QProof:
Let n >1 be an integer
/ ^. i+ i+ |$ B5 A8 vBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

) L* J2 C2 A& l! A1 Q# o; I" b  bInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 P! p. O5 P) M9 D5 n0 d% h! j$ R                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 Q  {3 o5 T5 b4 M+ d$ D# f- q
# q' `1 R7 C5 \6 [0 ^' a& \Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. t: q. f5 T: Asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& ?- R" X6 e* W                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  D2 Y' D/ b0 H5 ?+ ^" ~: m6 @by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% H4 E2 T. D; h2 n) t& c                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- D9 t3 {+ P: b& S" m4 S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

$ z. k7 H# c; B2 E: \Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 B( @. P  j+ N% Z! a
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

, ^6 f# u) R, x5 |" C+ G. U+ d第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% n: S* K4 E; W5 o% x; O0 w3 jShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 x( o$ _# i# I% F4 `5 }
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.