出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! l1 W! }5 x4 s3 N
2。下边证明有没有毛病？
* v5 ~2 R" W' v# L6 v
设  a=b

0 j2 Z: b, g5 ?3 G$ V6 g9 R则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 x$ I0 y  t2 O3 |4 R) K4 n两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
6 i! r8 }9 {+ t9 L0 [a=2a
1=2

5 @* n4 K, w3 N. Y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# @- T# a5 x+ c
  m! a1 j: k1 h1）不能。比如1
( L$ A5 u. n  M; o6 B2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 s( U( b( O% Y5 D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- s! \' f0 w  c2 `5 e3 k9 W& l6 U$ _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' v- |0 t: d: H+ j看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  z, N, W! [; u2 W& W) j% y

# l8 X$ T* K" U: ^! z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

! l+ Y% S2 G; h% _Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
7 k* ?4 S! t+ |! x3 ^" v         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

! |  ]% ]% M' U: }5 X* EInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& P. i1 `( i' HThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 p+ Q; M' q) b- E# {  V8 S                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: U( o$ A! ?6 H: \" p1 B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ s( E" ]2 ?) ]. t8 t第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 t2 {" @# M; D3 [
' I; ]2 U5 C8 C( B8 f$ @* OSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.