出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

4 o5 ~/ i( b/ E1 t3 p3 d( ]$ f2。下边证明有没有毛病？

! x. e1 D+ y+ d) m3 ]设  a=b
$ |) [3 N* W* n
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 \2 z' z" X0 S0 C5 h! C0 S" k! w两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
  k5 u5 {: A& W8 Y4 pa=2a
1=2

6 v" c2 F& u% G0 P证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, {' L& ?. A" g/ U  O6 F, {! ?  j& d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( C1 x: H) u7 b0 r6 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. r' X, w$ w8 W' Q: r/ D1 e, L$ Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 W0 S* S& j5 }; |- M
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
- Y5 X5 d8 z! W* ~, ]         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
; |% m$ I7 Q3 P; U# O. z$ e% A
* k" F' A, `, p4 H& Q1 RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 l2 \# X  b5 T6 h3 \6 O5 M                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; j8 m: N( P) @$ @2 ~; \3 p                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 F- ]; _" s) s# e+ w5 k' _by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" U! t" x& Z: F% r' O                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 Q& M6 ]4 d9 Y  A; }. ?) @4 `' u第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- S+ m. a9 X" f* Q9 TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.