出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 n7 |! ^) M7 y5 m& |6 f4 x0 S7 J6 {
8 S. t+ ^1 |0 N" s2。下边证明有没有毛病？
+ C2 _( F& q# H9 z/ `! s7 Q5 X# Z  W
# Q" B, }) A% p$ E% q! R3 V设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ d9 Q# k, K! Q) g两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

3 s, ]  p9 F# {  o0 `a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
+ w$ l: i* l+ o/ A+ W
; G" ~9 r+ I/ a  M证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
& O/ ^+ _5 J4 m4 K) O9 W, T
4 K# ~. t0 l2 }* ?+ _/ V" B1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 i: A* ~- K$ s. ~6 p5 y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& L! @5 L" e6 g' C2 v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

! @4 S  S+ C7 Q9 p4 n为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
; ?3 d( ]* P& _+ n- P3 U" qLet n >1 be an integer
2 I2 O3 r! D" ^; ~% ~3 z" xBasis:   (n=2)
) n. e" z4 z( i1 \& E3 k9 H         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: C6 z. y, J5 _2 k& h7 t& N; M
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
+ ?  G0 s8 k+ O. j0 \1 G6 M4 S' D3 O9 V
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 r8 o+ [0 t5 Z! e9 L/ v) rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 r6 I5 A; Z, \, I3 u- FThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* @2 A) {$ L! L. w" J0 X( |6 d2 h                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 q# x6 }8 z6 B$ G+ K$ C                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ t+ ?" h5 t6 W- b7 F% X$ y* H3 j: {So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 _  D$ j/ X6 r  w! L( T, D                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 s7 y3 q. D& y* p3 h  t5 e
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 b  j' v) F) z1 p# \  F
# r$ g6 C2 d2 H7 N6 W5 F[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: ?8 t+ Z7 n, H( l
$ k, \. n/ R- `3 S: w( c第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, w0 k+ z1 |) MSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.