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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?8 x* a: r: ^; J+ y" f3 ~% o

9 m: M6 H; E: O. E9 P8 g+ ^9 Q7 e2 k2。下边证明有没有毛病?
! _" \; M) D& t4 B3 `
& g+ R2 p7 ~: p) h4 @" E* W设  a=b
" A2 c2 x* }9 P$ o- j/ V; E7 C; J' C' w, L$ u
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
7 U7 z" t- f5 u# w+ D) `' D+ n7 O两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):5 K3 L  D* s) [+ e! m6 y

" ~. [# U; k! La(a-b)=(a+b)(a-b)
% X( F6 |5 H9 A. \1 la=a+b$ @$ c( i4 A, w" z, F$ I. X$ Y$ _; T& h
a=2a4 _$ T& @7 G+ x! A! O8 j3 v6 `
1=26 _3 l: ?7 [8 ^
8 K) S6 k3 _" P% N0 U  k) B( r
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
6 z  Q: K. K  H7 R5 Y' ?9 {7 c" N/ h5 O) c% c% l
1)不能。比如16 R- j4 p9 p7 z8 {1 f
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 I. X3 m5 w; H$ d1 s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:% |& R, P0 X6 G1 ~3 b# U
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! N6 S* Y0 B, m
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
4 y4 s* |5 ^7 D. |
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:7 `* {+ D! w- }; M. S/ l% q
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。/ k; s( _/ e9 y0 f. g0 N
2 P( T" Z/ S7 a" F/ n1 E3 p
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  s. n( I/ t& s: u- H  y, i  |3 ?- g! F$ c
Proof:
& v1 {: h7 g3 e5 v0 Z/ U7 rLet n >1 be an integer
; J6 E: V9 M. g7 h, z9 I  EBasis:   (n=2)) u- \% P, b' s) d( u4 ?
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 {) X, H; p  k) n( {1 T* K* a# J/ p! H7 z; @# Q+ z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that! V, X5 }# k$ P) O4 L# D
                                     K^3 – K can by divided by 3.- h: y+ z  d) c! M- [" o0 F* p; ?( ]

# g2 X- F- N: MNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 B% ]# j6 t& |4 C7 e9 w  [* fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem( J7 F0 V+ `7 |2 h1 C+ y
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% S4 H2 Z# W* `" Q% g1 y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K2 ~( V% @& D& B: k- f  Q6 I0 u
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)  n, W5 k5 v* a3 T2 a! }7 R
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 `4 \5 }) o  p" D& yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0! ]) @1 ^& I; v( c0 {
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 [! F5 `/ y2 e! d* @                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 j# ^  `% o+ M0 ]5 Y7 [                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; s* u; H  ^9 V) o. u9 ]# j1 }* c; N. N  u  R5 G
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.( @' ?' U$ A) T

, Y9 M8 k0 s. z( V( H: K1 N[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 B$ ]2 z# r( q: w) j4 O: D5 A& Q( O
. A6 p8 \: Y6 U) b% d1 v1 K3 w3 Y第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, {, P3 C8 P3 C/ G  @, E+ DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. Z5 H- G4 @2 _- E6 D/ X' F$ ?/ m$ o" \! u
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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