出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

+ y6 m( Y1 C% _1 Q6 X/ ]# ^2。下边证明有没有毛病？
" O, C5 h7 L) L/ h0 r! `
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
5 n* N; \4 A) ^两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

9 g4 n5 I0 @9 r4 _$ Pa(a-b)=(a+b)(a-b)
: R. \" q, ?. Aa=a+b
a=2a
1=2

2 {9 r2 T5 O' `- F7 e2 p  |证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

, z" Y6 E6 ~% ~7 k1）不能。比如1
- S- z7 I9 b1 S( _2 Y! H" K2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- f3 B6 W  [$ q# I- c# J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: c- j  y: C' Z( p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 B0 x' i% s2 F4 k( ?0 g看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 Z, b7 g0 R) @8 @7 ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 _% u, V; _; u- p+ H
Proof:
. |6 e4 `/ e/ v$ l, g/ ?Let n >1 be an integer
5 k" N( j* Z" D7 W2 J7 aBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 e' ~' k. {2 l
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

" j- l$ I$ s  `' NNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 R* M) I9 M( m' DThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! [  X( V6 _$ M% _8 J; e3 o- Qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* f6 }$ K" [$ ]1 Z4 wSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  w6 }+ m( C1 L                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 m# D  a5 n8 T& y+ _                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 ~  W+ X7 I7 r# \8 ?$ i
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

* \( I- f" n- D- _: x. C& F  R第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; m6 X. L4 Q& CShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' F/ h9 H& i5 L
' e; O# ]& v+ S) c2 F6 V: G. w% O8 |: wSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.