出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
8 M1 h2 E. b) F$ v' q1 N
2。下边证明有没有毛病？
8 O. b. @# x5 q, {+ ^
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* N( k1 L% f0 @+ c" u两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- r( {2 |( \3 H5 O7 T9 b
& W4 _" o0 W2 B. v5 @. na(a-b)=(a+b)(a-b)
; [; U1 D! {- pa=a+b
1 m, H* q5 p  Ja=2a
1 X* N/ G; Y" c! [+ C7 y1=2
" p  r9 Z$ F" T5 H( K9 q
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

- J* b  a% r/ r* y) D1 n: r3 u1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- g* R+ ]6 g2 Q: J8 i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' g3 G5 `, b0 {3 ?1 L3 N  }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 o# ?' i  l  ]- O9 i! J: F2 h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 o5 I2 ^$ `8 m# @

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
! s$ ~. R' s3 L% Q8 H7 L  X1 E, [: C
Proof:
" k5 ^. v: x5 l% X0 pLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 J" n- f6 W" O4 `                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 ~; N7 q1 a6 a0 X+ K9 X" D1 m
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% X* @5 q6 C7 @+ _/ eThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) ^' {% ~4 l/ M$ y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& m3 w' p/ E( W3 S& x& _by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 x4 W: R4 h$ i1 h  P1 W8 ESo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ ?7 {6 y4 p7 t2 N; h
  d% m# U! i! [4 ~[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 x+ B0 n# v7 }; n0 Q, f& NSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.