出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
/ w2 X  p0 @! v+ U* b* `5 y
设  a=b
8 M) Z  }9 X' p# P
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 X8 o, X1 [; K9 X& g- ?两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

& u. U6 @4 s1 |- M9 Q/ ]a(a-b)=(a+b)(a-b)
5 a9 f4 O% J1 {- Sa=a+b
a=2a
4 Q7 x4 `' C- w0 L, V& l. A, u1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# P  e4 k/ H% q# q8 [$ q# ]
" g1 V0 T! V: q/ b% V1）不能。比如1
2 p0 N6 h' `* N0 i6 L3 ~2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 }. \  b# W2 \1 E! `; w4 W! [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ h" i' o# v* h: Q; C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. I- H0 `' ]" e/ x1 T& r& c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 N. c; P) M: P看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

8 O5 v- f) G9 B: |; S3 T* E为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- H8 |: w# A, p+ T! b
0 S' Y7 u. k0 HProof:
Let n >1 be an integer
6 [" X5 u8 M- ^. ^, ]2 rBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" v# G; U* C' g$ Q2 I
) p  y* |; m1 a, |$ oInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 V* |( y* Y) J1 B
! W$ ]; t7 M' g6 j% ~5 z" z' T7 oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: w! y8 i% }" W4 C2 D1 ^" W                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 z. @# z/ F/ B5 z/ R                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% n; l  Q, c' L; q* U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: c1 J2 o* z! k9 N" Y                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. S. w8 o0 m  B
" ?( r/ b5 k9 W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 g0 N; z& ^3 [, |$ m0 k# S; C* XShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, g7 P  z; d1 F" W/ @" E+ P7 U) _+ qSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.