出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 g! ~& I( R  Y- @/ W
2。下边证明有没有毛病？

7 J& E: R% q# M7 u设  a=b
: D, J" j9 j( l  l! J( _; {! U2 X
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# t4 j7 \+ Z/ l& C/ }6 d7 U8 h3 i
; ?! ?, {4 ^: m3 o0 za(a-b)=(a+b)(a-b)
! S+ G2 G3 w9 k# Q% T" D1 Va=a+b
a=2a
4 T) P$ J/ g  w& o- C2 X1=2
6 w& x- A6 [& i% g2 }. l2 G" A/ [( u
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ d  a# q* K8 ]/ n; u% g1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( q! j: c. Z; U# n$ A) _; j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ Z. R# ^. T8 K5 ^* F4 ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# s# J6 U: s4 j8 a3 C5 N. F

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ i1 a' u5 O+ H- @2 _3 G# Z0 f
: n8 Q' @* c0 |1 kProof:
. T) h: W/ W# V: PLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
- N5 u  i+ t0 r1 J' Y/ s         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* x! w( O) P- d9 i
# }6 c1 `, l1 [$ |4 x' G6 aInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 W7 o3 Z, C% a2 Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& z7 n" K. Z2 p) MThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  t9 `9 F* v- ]: y, ^                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- z+ c+ `! E& J3 h/ C                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

" g1 q' I, f) h$ P8 H! a" U" s[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# @! L+ @* {; i; ~- D2 Z; N
* {* P. Z9 O+ m5 }第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! ~' G. l, D  [4 m" ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) \$ m5 b: w2 e. @3 F. \
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.