出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 |7 h6 u% Y- k8 ^4 k" x1 C
2。下边证明有没有毛病？
2 h7 ^6 _9 f, C9 ~% N
设  a=b
% f, k$ K3 H9 f" K9 S
. U9 @6 x) X/ ^' p, s则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 O2 A4 V8 H1 ?1 c
% P  \8 I8 r8 _a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

3 r6 E/ |/ I2 \7 q7 g; }  X证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

4 F% m; H1 F5 e9 E: M, ^3 a: V1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  o) n" _4 h$ S2 i3 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  A  L5 b9 L& D0 U看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

/ q) M  ?- z7 X% {( g为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 |1 K7 j8 P# I8 Q+ |
) Q- F/ {% h( O, K' JProof:
; @4 P( }- q& c& J# Z8 a( _6 \Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ _5 f7 k* ?  T         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 R  n9 ^, r8 D
( T- Y  h; w( ^  f& U  T6 PInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 W2 H2 D* g& n' s: ?Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, U) ]# P0 ~8 ]- k/ Q% |2 p7 s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: K3 C; |+ \4 K: S: Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 h% n8 }% E4 t4 a! }* f7 _                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 L4 q% ?! T% Y0 ~6 ~                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

5 e% z0 x( B( _, K) u2 n5 \Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

( L) f: L  \, @0 E4 V) E[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' F4 M& ^' Y9 j( L5 S. h3 V: A! K
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. h" m6 R, O4 B' vShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! i: z1 T3 w5 ?: Q  a
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.