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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?  Q/ P1 J0 C. o, ^; X

0 i+ x& Q. h3 F2。下边证明有没有毛病?: S! l# D/ U7 K
: N! ^0 G& v) r: [( f
设  a=b
. Q3 U/ _" l  V  ]
3 Z) _" N) z4 K* X. g% J/ \  @/ C则有: a*a-a*b=a*a-b*b
# ~: T) s! m$ v( \. g# M3 J两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
+ l. S& S  H9 U: ~, l$ c2 e' A9 D; J, N3 u, @' P
a(a-b)=(a+b)(a-b). l' A5 P/ ]; F+ o( [1 R$ M
a=a+b! z& x5 m  o6 L3 P- `) ~
a=2a
. Q# |+ E7 `+ Q* ~+ v1 l1=2% @$ U( f6 Q, H. T
; l: d4 w6 p6 Q! q/ F, Z
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
7 X7 J( L9 R6 @/ K0 O* S% L. T' q4 v; Z6 e( Y
1)不能。比如1
" R8 f- z! R; I) v2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
& s# D! F7 {2 H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:' X$ U3 ~" k) R; }/ M: D0 v; m: G
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
- [$ V7 r2 r0 _4 G. R; [+ w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 I( f, H( L2 H1 y* f5 j( x  X$ o" U看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" n, f) g- h& B3 M3 x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& R4 w' }  t. K1 g; P9 `) R

5 B- m" A5 h+ ^# b3 `7 Y- ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 a( \& J* j( l' c
- `$ H/ N9 l: C2 h* L. i6 VProof: ; e5 L) j' P% g) l8 J$ J4 |5 T
Let n >1 be an integer 4 b- m; g4 _4 P0 M6 z, t6 `) {6 L
Basis:   (n=2)) s$ ?- e3 t" M9 [
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  j6 F0 c: k% b
& u8 ]) z1 k) t; I$ `6 u. T9 S' E2 c1 ~; _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 Y% f  q! {9 S" X                                     K^3 – K can by divided by 3.
* p6 M# p8 B! z; p1 d9 j2 }) F& y0 e/ P% e( \
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  y8 k& U  R4 m( fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' B# b* o# k3 y+ ?; K4 S7 V& g3 A3 |Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)% K/ [, `: U$ y7 Y/ `4 m, f
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! _6 z% ?7 Y/ U% K9 b9 N                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)  l" n3 L. q7 D: w5 M4 z
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 x5 w2 t' q( t' _3 e+ V% R* r6 Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; x/ Q: n" B1 \4 vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% f: a8 H  \6 ], R: _                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ ]8 T6 r. X6 \8 V/ R+ G                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
' ], h+ D. `* D: k5 n8 c; b" s5 c3 Y: b* l' P: _% S
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.1 i* c& _/ P4 A4 B; f& q, l
1 U+ T7 h: Q8 s( R
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。" q0 m7 F" B, l" g' H9 w, y# G* o

+ Z' e# d0 O# G" x& w; f  `) G" w$ Y第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:1 l- e. F  A- D# I7 S
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
' t  i) F, y7 Y" c) j/ ?

8 y' s! X# O/ J' A( m* h- |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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