埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2965|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
5 h# C6 J0 i8 z7 e. o7 K/ K- O1 K1 V0 o; o4 ~7 v* t, }: Z& L4 L
2。下边证明有没有毛病?* U, T- M0 L* }  ~& @

6 M* o4 O& Y* ^/ E设  a=b$ v+ r6 Z4 J+ U% F# r% i

) O) U5 B6 R4 C: w) N则有: a*a-a*b=a*a-b*b
* |/ h, k; |5 s4 p% f( P两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
( f7 c$ {9 l2 C8 ]
9 v: p) W2 R: [, @, L6 Ka(a-b)=(a+b)(a-b)  h: T  o/ U4 x* S" J6 K
a=a+b3 Y$ G$ M3 s7 K$ B
a=2a: N' |9 y1 h" A
1=2
- ^$ h3 Q" ?$ Y7 e' c2 S- _0 x# f% r5 l& P  V% z% C% L9 j5 R6 e# ?; |
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
9 n: A$ \6 {+ w) ]. s/ S( O# H$ J. n* n/ d: A+ V! K/ u
1)不能。比如1
! }. z+ a% ^" k9 w/ u% C0 [& [2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 J8 K8 ?1 n" ?: s8 Q! ?& k' h: u
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:. m  z) U3 w" Z9 Q) [
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。( e, T5 w1 Q! `' ?( m4 p  R
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
) ^' c7 Z  L5 q, M0 I5 h5 _
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:9 p' ~2 h, i3 c- X9 e. H
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
! V, K, I: w  t; Y

# ?3 P' v, [% j% g* V0 h2 g为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)) ]( Y& }- M6 H" z  A
/ O  b- E: o& M6 D: X2 B0 l  n
Proof:
1 l0 y7 K- K2 B9 a8 y8 O, ]5 JLet n >1 be an integer , A  S2 W5 B: g& h8 V5 \1 S
Basis:   (n=2)
  }; F# a3 n' _! ?0 p         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3( Y* {' ^' `8 l% V; [

& B! y  S+ s6 E% `- }& {% }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* f2 t2 }2 K; ^. |4 ?% ^                                     K^3 – K can by divided by 3.; j+ [4 K' T( u8 x) s
9 m& U- v+ w  [+ u, j- k# c
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3: M) n+ a) j3 \$ m3 m
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- s+ }/ b9 V* F0 ~1 _' _5 VThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 |! D- F; K& [) ~                                     = K^3 + 3K^2 + 2K4 l3 [; [0 y+ f) Z5 h4 C
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)$ ~# _4 `5 |" G, ^9 f
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 n; ~) R9 t0 R( G3 R- l4 D; V& V; Pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! m9 E8 N* H6 N/ X+ c5 p( P4 u. YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)* Z8 _4 z; [# @" G$ }
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)5 C" P" f7 P8 r
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ y- g1 z7 ?  ^$ v" q, N: {- E& I1 X) ~/ T' C
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- D: l0 q: @8 ^. l( i" R2 }) B. e  Y7 N6 A+ `
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。! @) I; R; j! Y: y9 [% i
, W/ e$ t, d# I$ W
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 `  ]1 {- P6 _1 _- jShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
+ o1 o; q' X% G% G$ y7 l2 x  f
8 O5 |; r6 |& P" _
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-8-28 20:27 , Processed in 0.084987 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表