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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?+ v( |  P; `7 t: ]8 M9 W

3 Z. R* {8 L2 k  C6 [2。下边证明有没有毛病?
$ z) |6 @% B. H  u6 p3 Y3 T
; n+ p6 P5 Q# ?  a设  a=b
- I" l8 s( T# n/ ]0 y/ ]6 ]  K* k# }: _* r+ w% M
则有: a*a-a*b=a*a-b*b0 Q- X  m- F: P1 C
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):% V8 A% v: x- s

5 D3 }( U! d; l, T( ja(a-b)=(a+b)(a-b)
# H8 `  i- V' O6 v7 la=a+b
5 X4 u7 z$ I6 q# Va=2a
5 y$ f9 N0 @: P1=2( d  w- N9 l/ ~. j. S' X- Z
4 f( }' ^/ L  _& ^! [) ?) |
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试! \) I$ ?" W+ F$ W# |4 m/ D9 G

! Q6 U& J) m: N1)不能。比如1( c9 \* J) P4 E& x) E! U
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。) B7 b" G# {4 P1 r8 q
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:% L: D( S1 Q% C0 h& h8 P( L5 Z
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' ]! `& i5 A2 ^+ D, b4 k( |9 c% j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 U( l, j3 \. U; y$ s" M$ P( ]看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ i& a5 {5 e' W4 }" L# k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 {( e8 w$ i% O8 x/ L

" |& M" p4 f: \/ j为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 R: J$ L: e) d1 v% C! V" O% M- j; O" B+ s; t* z
Proof:
) v# W+ ]/ O/ f6 n! NLet n >1 be an integer 2 V& U6 e! q6 z  V9 r; z1 O
Basis:   (n=2)( R  h8 P3 B5 R1 B
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" }/ ^: O3 p% O# {
4 x, B) E  X! S7 D5 z. ]Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* f' q/ B1 g! O3 C: }, F                                     K^3 – K can by divided by 3.
, E9 m3 Q8 g9 Y, y) V2 X9 ]
/ g: w/ _# o% |0 d- K& YNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" e; j( C" W1 @0 D" ^) _" o% s' v6 z: @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) B1 O' i4 h7 o% t; {1 ~% D0 GThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 z6 h! W) k% S' T' k+ @                                     = K^3 + 3K^2 + 2K. V- e3 H5 J1 P6 h
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, f2 o$ y4 a' [; K3 I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' o+ J. t; K2 @+ B1 Q9 ?5 S( yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0  B# K6 g- q4 ]$ b
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  O4 |; f; s4 s1 U% x/ x! _4 P  V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)9 G9 m- t; T& E/ l
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 R! D: U( W, @6 _$ ~  z. Z! A" ~% m% b
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- e5 o2 b  f: L1 Z) m3 `  |* z0 l
- z$ C+ g- D3 A5 K# I6 Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ o# o, T4 I: m& D- a* P
& C$ b) o) y  D+ D% N4 c! \第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:& j% o3 E  w% |& v; `7 _% J( w
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
+ x5 B9 o: X4 i/ ]2 P: y

) I0 c/ Y7 b! X8 ASORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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