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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
& |3 w9 }4 F+ E4 G4 w" ?' O; ]& }! _2 _7 e
2。下边证明有没有毛病?7 n, O$ s0 R3 R$ E7 Y- C9 ]! a
" Z1 v, X7 z- M6 a0 r! \
设  a=b
1 Q- K* Z) K2 c; J" [/ p+ x/ Y! \% T
则有: a*a-a*b=a*a-b*b. ], [* L9 [4 O( z8 W. q: X
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):8 X$ w( G) L; f  J' j$ |2 B$ g8 F
# s* E) E% `' V
a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 B# [8 B4 z) z# T' La=a+b% j0 Y7 ?+ T" N3 X2 _  j
a=2a- e- k  g( ?6 x8 P
1=2
+ x+ j1 Q* P; n8 q' L' M$ [6 I
9 E8 x. V8 x. w1 s+ c证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
: R) I. ~# E6 n, p* Y9 a# X7 G- w6 }: X) g7 u
1)不能。比如10 L1 F: D: h) a0 ?" Z- s! n+ |
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( D  g. a' Y# S- b2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:  n4 @1 w1 W1 y/ r
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。$ `( x* p: e5 A
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
$ ?7 M% X2 Y7 ?1 u8 L
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ `% i3 y( Z* V+ z# f% U; V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' I+ q  X9 P: H- j& |/ o% H7 A
" @8 c0 O: r7 F) W; s
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: b; P' L$ j4 Z/ ?: n8 {* J4 p! z  T: _
Proof:
" M* t3 }2 w) {' g2 HLet n >1 be an integer
) \  A5 s- y6 k: y/ CBasis:   (n=2)
7 N5 i- Y5 J# s& K/ U( t1 `         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3, H' E  P" d$ ?+ P: n
1 E' m% C  L8 O, o
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that- j. C! B) Q( o" s) z. J0 {2 ^5 e. {
                                     K^3 – K can by divided by 3." A0 W7 W6 b* h, }8 ^$ s2 ~

- \' d) T- i9 @Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3) U2 d4 t8 t$ z
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, Y" p4 l/ Z: e8 ?6 ]5 N! s8 aThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)3 m) l. N% T4 E2 h
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* q  _9 Y. j2 t                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K); g6 K+ D. q! a6 ~- a3 r
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)0 r( P- X2 ?: k) _- P
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ s6 d- c6 }7 X! OSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ M2 {& c, e0 ~& t# C( I
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 D- a: @4 ^- K                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ V; D7 t: G% e! ^; ~: A
" I  o( X/ L8 w% w: Y1 V+ M2 P8 ~Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* f% o: S: i( }, o/ `
! `* e: B/ H/ G- e[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。0 x' g% j, q3 U& q0 \$ L- o

. n2 O: }$ J( I( n4 z) n- x第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( k4 F0 D$ M6 J$ L1 l8 ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
1 G3 y* S# d' Z! E- V

  J3 K4 O$ h+ K6 }6 s. [, S% iSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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