出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

3 W( B2 R; d9 g0 H- U" t. p设  a=b

& u) h7 E) S# @0 I/ x+ p( d: d% ^则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' q2 ]5 e0 X" ?, O
/ u$ a5 C8 J) W- \" Z* k, `a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 p; I5 n) G4 Z7 g& g# S! Ra=a+b
' {! ], W/ y* Za=2a
" C; V5 b4 }4 C2 n0 H1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 W( e/ k# p2 g& X& \1 h
% m7 C5 [8 Z, l% l+ Y. R1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" ?, B. J4 w: k1 _! B& l# o( @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% R! a( ]6 E6 t) A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, i, b# r; {1 K* X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% F& |8 b7 h5 P+ b0 @. L

( B) h8 p5 e# a7 Z* |6 {& |  H; k为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% e# g* m3 u+ x% O3 [, N( B
Proof:
8 e. N9 q" Y% Y1 ^. c' ELet n >1 be an integer
/ s: p' ~9 C- c5 vBasis:   (n=2)
2 A$ A* ^' ?  n0 N) A. q' V$ S         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 A. X9 \) `0 H. c
- S$ s# d4 i4 L  h5 Y* K$ hInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 ?- q$ Z3 ~" t8 P) \" O& P/ [0 W                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ D) C7 E! T8 F6 i5 v                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( J6 J8 k' `7 P$ E+ g4 eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 X% e1 P( g% F, S! _; [! B6 r" h
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

& z# X" c3 Z$ ~' r第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.