出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. E! O: J, W& h6 q* I4 k8 X
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

+ \: I( e( \( C. B) ]# ba(a-b)=(a+b)(a-b)
2 Z' d! g7 q1 l5 z1 x0 G* {a=a+b
a=2a
1=2
2 K; [" q. p$ T7 e! \
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' N: O  A. g( V: J2 ^1 q4 M, x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 X2 {, j1 _# T

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* O! t5 U+ M% V* r
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
$ A" s3 S! b7 Z/ A* W9 U         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ y; X( O7 M! e/ z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 r# E3 r9 A& I3 Z% j9 F' r
% T3 E* B- r  Q1 ~4 {6 `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 M) G# i& K! v4 ?. H+ F7 o2 Y1 rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 ?3 b. z- l/ j) B' X( pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ d% v) e6 [- x6 q+ x                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 K4 g/ q  N+ j9 u# h                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 Y# `4 Q. y) K4 `  r5 K( `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; I# @5 @8 z1 P  f* Q% X" i                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

/ H! M% V+ l  ]5 W$ X. f& z1 I[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ Z0 J% d6 E  Z& w5 J8 S* ~/ d/ C7 ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* x7 }; C7 r! h
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.