出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
3 v! Q* X2 W7 U9 M  u1 I4 y- [0 z
9 j0 h8 v3 o5 z; O6 @) T1 U2。下边证明有没有毛病？
" s9 k- O7 Y% b' C
$ S- W4 s8 F4 q1 g$ X9 Z1 K# F3 ~设  a=b

! [1 K+ v9 G' L0 j+ ~; r则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' ]) `. |( S* E7 G  T
; A8 [% }- H( ^. {& V# Sa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ S- q# B: R. p! t% J, ga=2a
1=2
) {& U* A0 g* |
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 B0 G( C9 z' q
0 F! t: N8 l( G1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 v7 e. v. s1 z8 I# l9 P( f) v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

+ J( k, C4 s$ C( a为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  [$ f6 Y% {8 Z2 f
Proof:
Let n >1 be an integer
& b% W2 O  H  x7 W5 Z; {( K+ \Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 h3 J8 Z3 Y2 P6 Q$ Q! k                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( L( G3 ]5 P" {- G( D9 J( jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' _% j) Y7 Y: k- a6 P4 u9 ^                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  l& p( D7 l# x% H, m' w  [$ `2 Dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; y% W, E" B( u4 f# }So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* O7 q7 |! N' u  S- K( K( x, [                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

2 A9 L) S( P! B' ~8 F9 f6 o[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ q6 `  f4 {/ X$ ?2 y  S7 u
2 x# M, e0 N% r& F; |第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 b+ P+ Q8 F: C8 d/ U; t
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.