出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
$ }# E# X- P* v/ T  J( S/ z, @& y
设  a=b
5 j, M4 b( Z+ |# V5 K5 o. i# O
2 F! Y$ v. O! c( C则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 ^5 k, u3 ~4 c9 }. t% z! I两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

' S! o  g; J- b* X6 Aa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
) z; n4 a7 E0 ?0 Ya=2a
1=2
' u$ D& b- N6 p# J2 n7 G
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
+ e2 `1 b. m* p. O2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" |: M( Y/ ]5 t$ X# L* z9 Y  r1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: v+ a" L7 y1 J6 s5 [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

2 Z( t, _9 u$ N) w为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
. v' v/ h, W! Q$ D4 h         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

2 J3 C6 ]" D" U' S9 kInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

/ |4 @7 p8 d# z6 k7 Y9 ~5 {- g8 INow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* N9 t7 Y! s* I4 d! f0 O# y+ c% wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 Y8 j0 R' X; C3 J6 e1 u/ `Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 W5 f4 Q& o7 T# N" ^" U: Z" X5 y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 a1 Z! R: e8 S' G  T/ L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 Q' I5 S0 W6 c: [2 DSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, P) m( v$ @. x2 J                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 u; N5 G* o) ?$ F4 M4 P% ~
6 }: J5 i( A( L9 {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( ^/ U* i2 a! X/ `" v
5 Q- u# T4 l& F& X第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' i# n) y0 X( |; C9 `! D4 cShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) b4 a, ]$ Z2 u" ?4 {; A/ L8 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.