出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

( j9 E! M$ Q  A) j# R( I0 L, R设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( P' V4 b) C" z; j8 \两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: L1 z7 c9 |  W7 E4 f' k! P
a(a-b)=(a+b)(a-b)
' a) L  ]) r5 h; Ba=a+b
a=2a
1=2
9 n( h5 t3 U' w; p  j
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
* K+ _/ m2 K) j2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 W: i6 M9 V: \* f( P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' O* f* o7 C- j9 i4 l  n# _  z7 V4 z. [看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

# M: E/ R) l3 r5 ]7 N; L' `为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, f  }2 V4 [( n  T1 yProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
8 \6 E) \% n; d         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

( V& W, V  y- @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 ?' H7 P- X) Y7 H                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  A! l' g; \: ^4 L* b% h' `since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* f5 {3 v- l8 s+ x. [& f9 m8 p                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 n* F+ r% i6 w' ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 d/ e! j4 l5 Y/ q* Q, }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 M( S$ X6 E% |; V- k3 @/ Q3 o5 a
" V& Y. v$ T. q, sConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. N/ c2 J8 B7 J; `' @8 |
. P7 R4 x# r& h6 E0 N[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 ^6 c, c/ z+ ?' N
0 i, l3 g! i! T5 W9 s/ D! O第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 S4 e5 @! E; v* d  {# o
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.