出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

7 A! a2 a, _1 G7 j2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
4 q* t" G. y3 o/ Z+ s
6 N! R7 h  L1 a% y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 X4 z( u5 H. I/ Ta=a+b
a=2a
* P" m+ ?! a; _1 e9 [# u1=2

8 g3 Z: L0 ]0 ~6 K+ W证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* r+ t/ D/ d8 g2 W' |
" y% G) g& |, p1）不能。比如1
: W5 s+ b; n% H2 R2 g2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 W! c) |: c6 S1 c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 b8 j2 @/ M0 L4 y9 x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 v% u( t/ V& g& `( e2 @) E8 m1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 Y5 L' l5 `6 I* I9 c) k
Proof:
Let n >1 be an integer
+ g& h* n- I! |/ r8 Z$ kBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

# z/ B* d& H# V. mNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ w- K! o# R: j' L/ v: g: a$ JThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% |2 c5 Q) X+ ~' F" t) N) i& g                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! l+ P4 l3 A, B* Z8 y( F                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" o7 G8 x; J7 S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 N4 t5 l- h+ T/ Q' P$ @2 V
# s6 g8 I2 P7 S! i0 pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: Y. A& a2 Y, W' C# {, p3 B- \' p
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 \8 ^% F7 c1 {0 n$ k' y
- L3 X% ^- i% W7 V5 N6 b第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ f, e) [4 o$ A! J9 _. S; cShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ A% _3 Z, T/ k2 B  J
: M4 R4 y, R3 E3 p  ~4 Q0 x1 PSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.