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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?5 m6 G- U) x9 B1 @

$ L/ {2 ~$ c1 m/ q, g* e. S/ h2。下边证明有没有毛病?5 E6 `; r! i- y' P1 U9 b
; n; P& S6 q* u9 l
设  a=b
$ t( c1 J7 i  R7 x  c! v1 K& Z8 l* ?3 L8 P" `" q6 c% Z3 K1 `+ ~6 C
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
6 S+ a9 W8 ], o- i" v两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):9 h! t% ]" o& {4 N

& a" l4 E6 c9 t/ J; g' s  E% U' ^4 ka(a-b)=(a+b)(a-b)0 r( ?1 ]/ G; }, v1 r
a=a+b
) u# r, b: r6 ]0 n) _, i# wa=2a
, {5 e7 R5 g+ O, ~9 O& ~1=2- M; A5 g9 P, X5 V/ [+ ?7 m

, A! y& v7 p3 ]# B; A/ X* ?- o证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
2 y5 m# M7 i# n  S& q7 E7 [6 c2 v' o4 R; C
1)不能。比如1! K( q& j) G( j  ?4 _( I, a
2)a,b不能是0
大型搬家
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
/ c( C9 Q2 T+ ]9 y  K* ]7 E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:& Z; W  v( \9 T- H  ~$ H: G
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 w9 I1 `! M4 e7 P8 x4 h
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 G, ~+ m* f7 V1 P. p看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, x. D; p6 }- c
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 Y$ o6 o+ I* _) s+ h, ^" N# D
& |9 @# ~9 i* ~
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: `' r/ [& u# A3 P" l
/ H& o- p& w+ D3 `+ pProof: 8 i5 H* O: j4 t
Let n >1 be an integer ! ^% ?% V% j% A: p
Basis:   (n=2); [6 x4 j1 Q1 x/ q2 k7 l
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3; t& F; a! b& Y+ s
, @. v( ?  Q9 ~0 q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 |4 n  L/ C0 A$ W1 X8 P                                     K^3 – K can by divided by 3.4 R! K* V0 x% Y" I) C. n
7 E0 {# m: X9 W: I! T# Q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3: h& T- x2 m& F, U/ x: P" n6 G
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% |/ r! H  ]% u$ L. RThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 M* n5 V' q# I8 `6 K' w0 \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) [8 s0 |- G- m  x- g                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)! @3 m: _$ d- r
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)1 P  u9 \. q; R* M  K* O. n
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0" S* @" H& N+ T& }; c
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 ~( w% K( \" `, O3 X6 \% U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 w+ o& ~4 ]/ b                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: x! h* _1 c4 D4 c3 J6 j
4 A+ \* v0 k# UConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.1 d& t! I3 W) o

6 N# A9 }5 l$ Y; Z8 O+ }[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 a1 Y: M) l" Y2 b+ n9 \& f) `% z
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:, K( P% X9 i- q" J( P
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- c" F3 O  c% i7 R* f5 Y" H; D+ r8 c
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
理袁律师事务所
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