出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& b3 D0 j+ R+ A, e; W$ p! l
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
$ C, K4 H& n' k( f9 z; I0 p* X
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 w* F# o) |, h' n) z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 U2 p6 {% u3 Ga=a+b
, S+ k" A6 p1 h5 h( qa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 E) h0 r9 D) \7 C
1）不能。比如1
+ @7 e( v( \/ p) v2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ Y4 B# L2 ?( v- T  D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ E$ ^9 e& k+ K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( P. J, B- k+ e( K看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 r& @, P  g) H: L. F3 L

) k" r% j$ C- |" s' o% r为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( l+ f. |& J  X' _5 _: D& D; x
Proof:
- }4 _' }( w, g8 e/ e1 b7 @! \8 vLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
  @( h+ |: S6 M2 U         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 x- V) w5 i! j6 U
3 x3 W7 R9 \' n4 jInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, b9 j% k/ C: _8 Q                                     K^3 – K can by divided by 3.
" {- z  i) w. W* }) V# c. O$ P3 T& P
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 W4 v, S' B2 W5 o3 Jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 X; r% v8 z( jThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ z  r& t; L& T8 v* N                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 z5 O; B% b# I- R: l; l2 n                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( |) h: b( `9 b                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& v- c" Z$ x4 V4 K2 dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, _5 p* @9 B# ?9 ~) f6 }, ^. YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ _% |: E: L8 G2 e: d                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 E& J2 o% G4 N  P8 g
* `3 c5 E$ u' [5 oConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

- C* |) l4 I6 T, x* l7 e: m' E[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' s9 \& W# q, \# w  ^8 S2 o+ ?9 H
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; s% x+ Y' K* z! o
3 j, y9 \5 H/ N8 U8 DSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.