出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ d! Z; Q  [& E9 K
2。下边证明有没有毛病？
$ y- C4 i; q7 X2 Z3 d
6 G6 H* Z# j- ?$ m' e' |设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

1 o$ A0 \) }/ V4 I1 i! _a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
* x4 @2 ~: o! {a=2a
( |7 }8 p: f* b% D- b/ p" S7 F1=2

9 z* ?* @0 ?2 l* Q, s1 ^7 L5 y6 R( \证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ F8 c, C# n& H$ ~  N; I5 G! a1）不能。比如1
5 a, Z8 C" v# K5 F) U" e2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& w+ p( ~6 P/ t( R( s6 `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# U2 D8 C- k' p* k3 h& [8 w. c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 o, g6 s  F: B4 e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) Q3 p; h2 S# D8 a  B7 F

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 ?( _, G1 ]+ W8 M
Proof:
Let n >1 be an integer
6 f6 Q# V- |8 i& ]' O9 eBasis:   (n=2)
+ X) K  C2 ]% l% I' A$ k, S3 _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
% o2 M; s0 |7 S$ c1 y7 o% e8 g
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 f; o5 r8 j' J7 |; J8 }Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 D' A% z" X# v! {& F( |. g; V                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  g, U0 B  H; a# B9 U, }8 n8 w                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* ~' g4 P0 [# s, v/ \4 x8 {                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

  |) o3 x; X: v2 N, ~) MConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

7 }5 S7 h/ h. U  ^2 n/ j6 {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

9 Q$ L9 }$ ^4 [第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.