出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

3 [" `- `  M  B- L* x- \2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

; I& V2 R) X; Q0 e则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( a" F1 o  \! S( R: K. f: v两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% |/ \4 J7 I7 D* w7 K9 J
3 |& ~2 `/ C1 b# f, Aa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
, N. l) I) [6 R5 q( ^a=2a
  K: P/ I4 K/ J/ W+ ^6 l1 s1=2
- x# m  @! K  }6 c4 h8 v) v" s9 L
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' V; A- j% N" V( \
6 f( o& ]$ l% y# a5 c* b1）不能。比如1
. P: {/ V3 u0 b7 J7 W% ?' W2 E2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% L& A: U. [# q' ]3 y2 {. l- K: }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( U1 u9 P9 S' a: `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) N" w7 ~$ D7 R2 Y" L) a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 X- l. x% u# ~: L" w看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) [, M" N' L+ W# T6 n! |# K+ h) G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; g$ [* o  A" K) S2 y: P; h2 U, R

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 N% x6 w( g, d# n0 I+ [% ^
Proof:
6 _9 x, z9 I  O1 \, VLet n >1 be an integer
5 E" T% {) a& s, k  G) jBasis:   (n=2)
1 c! B: t9 |7 E         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. ?8 }/ E4 @" `. @# O1 q5 y
8 H2 c+ P' h  i4 Z- H' ~Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. |3 j* V6 V" I& x/ d) L/ A
3 G, X3 h* R8 m  TNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: L2 `/ S! Y2 u( Z* [8 Osince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 v& S, M9 T5 u- l0 l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 p/ ~4 p% d1 l                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 N7 W! S  m, D. j4 T  q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 ]$ P$ q/ m% F$ o. w2 X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ K4 W) I7 w2 Z: M/ W
' Y0 v! J1 y" X$ F8 T% ], J[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! |$ e) ]' i8 X# C# K' ~* j
* x2 v5 S1 k" W) z6 L第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
7 |+ ]+ n! V3 S) I, ^Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.