出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 t; c; C7 z' D# |7 A
1 D# V: u6 y, y  }  Y) A0 r# A6 J7 [2。下边证明有没有毛病？

. N. t) V- L' ?, \, \设  a=b

* _, M8 v! [6 ^$ `4 m则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; K4 S8 p6 z% W两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# q& W( J: @9 ~3 B
a(a-b)=(a+b)(a-b)
" k* Y: y  v4 \1 w8 Oa=a+b
a=2a
' K8 A4 Z, Z4 L1 I4 e1=2
: a, b  E' r' e) _2 C
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

. z$ `% l. J1 J) E! V; ^1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% ]% B/ S* m1 ?9 j) e' y6 p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 `% b* G: d1 z: R# r0 ?看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ ~# x+ [6 K+ Q6 [7 A) A4 W1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 X- R$ [" z& S, B9 l# E. k/ f% r

& Y( S* T3 B! p3 s) k5 s4 V1 U为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, J6 u+ l: ~4 K8 E0 }0 g
3 e; h1 y$ X; p1 t1 xProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, z* k  ]- ?; P+ U8 S. b+ M$ u                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, Q  X5 B1 ~' j" Q( wThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 N" t% K6 s) I0 \5 {8 ~+ q% m6 g6 M8 D+ I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ H/ V+ w2 n) O  O" n7 l0 Mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 r- `3 D" u, C( b% @3 x; C0 a                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 f; s7 W* q) T& k                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 o2 n9 m+ ?/ h9 R5 d# F+ B# a
9 \* W7 J' |' p- SConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 H2 Y* B0 C! ]  i/ \
! O% {! o' I) ?8 a- e[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 J# ~- ]9 e  c# |% H
3 G( o- B6 H% t/ m第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ Y4 S, I% a8 m. z7 G: `3 G. }
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.