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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?* F0 `2 s$ b( O' q- L
! f# f) s# r1 a+ E3 Z. u8 B
2。下边证明有没有毛病?. T  }$ p7 ~/ k6 {% G# Z/ |
. e7 d. x2 H4 _0 R# p( S. E, h4 m
设  a=b
* d( V: |, V, ~8 {/ J) ]1 z' |+ F
4 I9 I3 K; A2 J则有: a*a-a*b=a*a-b*b
: U# H4 ^3 s" C8 Q8 N' M& u* q两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):1 x: a4 F3 @$ a: _! H1 X6 C# V; F

% r0 t1 j! m. W  h4 r+ ha(a-b)=(a+b)(a-b)- K- n9 o  e! [/ E3 h
a=a+b/ U( t  }  i9 v0 x# K
a=2a
, C7 `& p  ^" C: `5 [4 K* [1=2
$ D1 O+ n+ ]/ I' u, [5 D. o: R% V6 Z4 R* ~$ ]
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
0 @$ E; B! S  `; T+ {5 V# H, N6 U3 N6 ]4 h2 L. G) u, t
1)不能。比如1. A0 M7 E1 K! s, w
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
0 d: B/ V) e2 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 ~6 h0 Z6 h7 A9 P- E; f9 M
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 h9 {# P2 Q$ l) Z4 n- @  C. g
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
, [6 h. x3 O/ G( @
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:( B' o7 i" H* ~7 u3 `# }1 q
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 a% R2 m( ]* \0 d# z
. M; Z  I1 Q) ]7 R/ a* ?
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)& D) d4 D  s- |
5 Y9 q* Y8 K  p& Z
Proof:
( l& W- l: Q$ l; [" gLet n >1 be an integer
) A: \* j0 d& JBasis:   (n=2)
# b: Z1 ~  O: I         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ J& H1 c" h3 b( H# |/ H# J" L0 l' @
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that- W: H/ r% O3 ~- C5 f
                                     K^3 – K can by divided by 3.8 }8 ~, f, ^8 I3 n9 D9 a

0 t5 a7 Q* z9 CNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3( h- R" z$ J% w( Q
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem9 Q9 Y3 J2 o! u) F+ }9 C' y  K
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 \, w4 O; l. o  d9 }* H/ z: M                                     = K^3 + 3K^2 + 2K5 n/ `3 X: V1 a- f! O
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)2 l9 p6 j0 s( e* U# J+ h' J
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)' C! F6 ]. j/ |9 ^! _
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 x9 Q7 y. K# C, k; m% bSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K). c0 h2 n; s. ~1 L; f  J+ f
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: J* _, O* |8 ?+ K3 ?                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 32 f: J& \- [! n; F

( Y4 M) [& R9 N) B; x! `/ O5 C. XConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 H+ w) A& I1 a/ \% d
5 {/ P* {! a% a1 B; y" q+ V[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。- O( n" ]& F3 ~5 j0 z9 J

( [; z# \0 `. h' {* ^第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:! J% B: X  T5 {) D
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
1 q. n8 b+ ~/ `; Z$ n  N& b; Z. u
, O: q4 A4 S; J( ]6 u7 t
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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