出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! B5 k' s) b# C6 B
2。下边证明有没有毛病？
* _: }& }# n0 A3 x4 V, j9 @: k+ T4 x2 K2 \
设  a=b

' @! f# M! D0 j' _% m$ k* A0 P  S则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ K" z4 R9 e- i5 {* U- v4 `% K两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ m7 ~! M& w+ L" D- v4 ~a=2a
1=2
8 {, S/ l4 d5 Y1 e3 `7 C
' U; N# M! Z" N# N; b1 T9 c证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 b2 B1 B& M3 ^; J
9 M  C6 C" D, D9 G. F. ^/ J) J1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# J/ H$ v; t! q( r7 ~: }0 }5 G
7 a4 V* t: b- ]0 o1 e2 sProof:
Let n >1 be an integer
, \% T4 t5 t, Z5 CBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

* b, A, E( q1 I, g6 \/ GInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
; J- ^6 c* y; n! U* I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' _8 n& a+ l2 A! C( U' a* D* b" \2 rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

/ Q. W  K5 O5 ~' {$ q( mConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) P- ?8 l! s  v
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! k% }6 e( Q0 w) m1 ^- L
+ {0 r2 }0 W' Q( a5 q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% _9 B' p2 p2 m' @/ B0 LShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; D9 P; l0 i  J1 P% @& ^2 t
( F9 D# ]  K' J9 w- d: |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.