出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
$ B7 W( C6 X! y3 @
4 O7 ]% D* ?% }4 |2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; S3 @) p# N7 e( ~. j6 Y两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 j2 J' Y) a7 I2 ^& j
+ _0 _# E! y, N# Ha(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
% Q0 p; N1 a  p* @! L+ ?1=2
9 X0 T+ f; w/ n5 {  I# O: S
! p. P) C, a6 e4 j9 l3 X9 f证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 v4 w2 R4 h$ [' [  @* D) X0 B- B
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ m  W7 x6 |3 G* J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" R. L6 {5 G2 `: w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 b; j& c3 C2 l; ?看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% |! R# L1 M! d2 o  K9 Y% a: I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( F4 h9 `0 `/ a" [* m/ {% g2 T/ O

3 ^1 J- l0 p) U: f8 a% s为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
( S9 I+ S' ~7 f, q4 |Basis:   (n=2)
9 R" z+ y; l& D9 e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 [3 o# b2 m* w5 p4 Q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% r) C% p9 v: e; _                                     K^3 – K can by divided by 3.
' }; V: l* q2 Y/ L5 }
% n7 n4 v9 @( s' o/ _$ h/ @; r6 G# K$ ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  a: i, u" Z) _! m: {Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
0 O0 |) e- h, |! V                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% {0 @; k. |7 a4 X3 t! Zby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 C6 L  [2 {+ T+ q) _                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) ?: m8 Z# |! U, H! |" C7 I( v
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ F* Q2 N  i4 X
7 |0 Y9 f+ b9 T& I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 z  N8 ^7 z8 i, r5 G. t
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.