出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- e$ n- X3 [7 s5 D- I$ j' \
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

) n% z3 }* n0 Y$ x  W8 V8 ?. v则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- ?3 Q) l3 o8 |+ x# O( I" L6 V两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- b. T9 I# K3 {% P4 F( ~2 d: \3 [
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
: \# n5 b% M' ^a=2a
1=2

# R& h8 B$ e6 u' P  Y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; [: V6 h) w3 M: r. p) X( B0 d- E% |
1）不能。比如1
9 S4 w0 [6 `* l9 `  V& C, t2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# g$ V) r: M# ?* E; c3 R1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 k) l( S/ M; D2 z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- u, ~, r6 Y6 C* X8 q! v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

  x3 j! X5 m. ~% BProof:
1 I, C' N; |' O5 g- f# dLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ \2 c1 S1 P0 _% w; B& X7 V. Y
3 M- d- H0 n9 b1 W; t/ _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 n) x5 C& i, G/ Q1 M8 b% K
& s  z3 |( r- I2 ENow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, |8 p2 x0 |( k# Z6 Z$ Jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 c5 ^0 H! w4 |# U                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. z3 ~% @% a* U* H                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, ?( o) _: d6 eSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ U( n, }' X; x4 Y+ D' E. F
" ~6 y% _+ G/ |) kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) g8 h9 O! J7 N) N! F% ~7 G1 b9 _
% z4 ^( A, r# e' V* d第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 F! l# V; C& j0 w9 A9 MSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.