出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

  e$ K( A; j  d2。下边证明有没有毛病？
9 R& e9 x, T; s* X- k9 q6 x
- b/ X( H- e* b. ], T' D/ {1 h设  a=b
- _1 X7 {) Q) M. s6 l
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) s' y: d" W0 @, s' S; g两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

: R& a! ]; @- H; q& D1 o% \5 sa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
+ p" r! j3 r$ }% e- d1 C0 D
; r+ r! C: M! W. v6 t/ C& d证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

: N+ p$ p" Z) O: H+ s5 p1）不能。比如1
" ~+ J  [& T% h; I8 v3 x2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: w5 k( u+ ]( h3 C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  f6 q# z1 C  |2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, E; j- g) J5 O  r! ~* n- D4 ]) E3 lProof:
" c8 D+ K: U1 f1 [( v( iLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
* F& u5 r3 l; k( D' ?  i1 m         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

/ w9 C5 j1 ?0 r8 W5 ?; ~0 mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( e* h- L# z# K3 u" s9 N  S                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# G0 W% f" F; _Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& r2 I& @' @, ^2 s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- Y) K% u- ^) ?9 I5 a+ u3 R2 l                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' W9 b0 p: G- m+ e; c7 WSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( D  d4 i+ F" U2 ^! L4 I                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

: q: Y1 l' H6 T. v& _' i& SConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

" x5 |# `% M3 j[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ K) C& `5 v0 J. p7 U) K5 d# `第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# \9 t; |' f+ t. h5 J; D0 C' rShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. H+ Y- U. b7 k) G* z! L
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.