出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 j1 T1 B9 k/ t, X: ^. S) k
2。下边证明有没有毛病？
, W! P1 v% }! P( i0 @
3 n; G! s$ e  S3 V9 P设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% j- t# p9 X) x2 n
1 l1 q! \6 t7 B. W) C) ua(a-b)=(a+b)(a-b)
& Y; |% `9 n$ [- E- ~3 ^a=a+b
, s! D" f8 ], ?2 ~a=2a
& T2 [, n; F- A1 D$ \: ]  V1=2
- M, @8 }8 b0 B, R2 Y1 o
2 S; Z# h" W% }1 C, E* U7 c证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! `; U4 A- j" O* V1 j
1）不能。比如1
" ]5 ~( @8 T. b! U2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- _% U- t+ K$ l- T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" {2 [; s) `' b看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
' e5 Q6 s3 G8 t! p, O. Z, @Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

: j8 N+ ^4 I" I& p+ K/ t: TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' e% n4 |2 n- N9 z  o# U                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ B) V. b% U2 t% N8 P4 Tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" j3 p' Y6 @! h0 R4 a' Y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  [( C: y# _- a' B# U) D                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& y" h1 r! _! _. \2 L% g. V6 S/ o
- |7 p0 t& _% c/ VConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ Z% @. o" U) M4 X第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* o: Z/ A# B: L  g' b* dShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: F& ~- |& d1 u5 w. e
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.