出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

  J& C+ [; z/ B+ Z# H2。下边证明有没有毛病？

2 p4 j6 t, T" \( A* s5 `  u设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 q6 a9 h/ K2 D4 x9 f两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

+ }) ~7 }# s. s  W( h4 Ka(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
$ s2 v/ d3 `3 X  D/ W$ Y1=2
" ?. h, l9 y5 v2 w3 G% H) U6 \( X  \
. j* l# V8 j1 Y9 F证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 D# {: _" N: X5 {: O
# {+ |4 a6 C+ y1）不能。比如1
3 L7 ]. Y3 L' C5 c2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ y" W; W4 t. `: n7 n7 Y2 }# O  S! T" J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

5 y9 r/ X; B( {8 i( c为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

) F, x: F4 [, Q$ [5 S1 MProof:
! o8 V- s/ y4 n9 s6 fLet n >1 be an integer
" y2 o+ o/ c/ u7 m2 }1 yBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" H4 ?9 u- ~9 B* B/ v
) o1 c) y$ [6 B; E/ LInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ s- y* I2 H. F3 I$ w: A, M                                     K^3 – K can by divided by 3.

3 X1 |/ E; c7 ^- ]Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% \7 ^* b) s9 R1 R) t% A5 ^' ?" csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 S) e- v( o+ X/ i4 i8 u7 lThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 D( H+ Q( f) H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; z; ]: [: b) r" S% L6 c                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- i  i. o, q. P                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 W3 J8 u, V8 \by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& ]' u! W; L2 I+ e/ S: z
- T. ~. g3 v: a  D/ w8 C5 j. zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

7 s+ }8 b" B4 c  g[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( B' \$ e" w& u. u- @( E1 ~
2 k/ r8 L( J' i8 O( X) n$ {) u第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
7 h  s' m: K1 q0 GShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. y3 v4 M. p! @* p0 ]8 @9 jSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.