出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

: P; c6 s  H5 g! S& h5 V2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

, ?4 k' b8 i/ n; a则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 Q9 O. Z1 X1 A+ Q: F) p两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
2 T& @* a6 J7 X" E4 f  K3 |' Q
5 w# M7 ~( c1 K; c1 N+ l9 ?a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
6 ^$ c; |- \  K0 J7 h2 d1=2
! w; K; S: B& \5 I+ k8 `
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 g" P5 Y/ K/ _& x' C; b2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ I$ h6 _9 {% |& C' _) C8 f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ I) o0 g$ f9 _# C; ~, `' m看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 d" N0 k, j, y; Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- m' y" i5 d. p

- Z" V( V! y$ d' b为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
" R: m  g- H& a; ]! O; k
Proof:
; v- N# \/ ]! Q, h. x$ _5 s$ qLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 H- O9 N. V9 n* `% A
9 m9 ?8 {  j4 h. k% ^2 TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, J4 H( }. D6 S) P  R: p                                     K^3 – K can by divided by 3.
# h8 K+ G/ ^3 x( l, C! V
" b9 }9 f- i0 U$ ~% D  L  |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 A0 o0 T) _8 C                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* }, [# @9 [2 m: a% e* x8 a) G                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# U5 ^) t$ z' d* [                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 S/ [4 ~+ M+ M  wSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 q  z2 l& B5 \* c& J/ W. S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
' F: N$ t9 Y* Q4 T+ R  g
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

- ^; o) v: V7 R3 m9 n% c+ q) K[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& F7 t; A# |1 b- o% p
; U( p, A9 H9 G, Y" N* O- V& P第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( B% Y( g# J/ G! {' v- v; K; c, DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.