出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

* R' q2 _" A4 y( p2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
! E4 m3 ^7 X' N, S/ Z
  m# F% u* {) J" r0 n则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

* {+ W9 S! x6 |: w+ c3 K1 ea(a-b)=(a+b)(a-b)
' X, b1 s+ I# l* B8 p- Ga=a+b
a=2a
) G2 p- L8 g, }1 V1=2

4 \8 u. e" b" O! C: y' `证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) w- n. [5 Z. `9 h3 i0 f
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 b! q. R7 E+ ~- G+ t4 m  h看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ Q: c9 n7 y1 U( v, J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 O! C! l7 g) N4 a0 y7 F% }

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: r' h# w' l) F6 i* N
* M, Q- ~: `! S* `0 |Proof:
# m1 `, `) R1 N+ @) W8 U/ E# PLet n >1 be an integer
! Q/ l$ L0 ]1 e. IBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' U1 L7 v2 }. }) _- e6 y5 r1 k7 W
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- ^# @) ]& s+ A% F( \5 Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. w0 Z2 C8 |% e) o. I) W5 n0 HThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ K& O# V, n5 o* \. W                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ T' A0 K! }: C5 E: K                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% r$ k' `! h- V7 v: S& l                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ d5 V: T9 T: b2 k4 a5 o9 O2 Uby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 Z( K* L% P# @2 U& b
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ u6 f. \  a" Y  W2 I; sShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 c- L+ H* w: }  k+ b* U% R
+ T: ]6 Z8 k& _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.