出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 ?( H' c: i* M$ u1 \7 H
2。下边证明有没有毛病？
6 M/ n# n9 T! D3 h& `9 X6 C
0 _6 x: |8 R/ t2 ^5 O设  a=b

) m7 f0 U, e& b% }& ^# N则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: H- h: k" P2 F0 E两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 d4 r" l$ u/ M) x4 s/ ba=a+b
1 s- r1 V  Z4 P3 O( u: L& aa=2a
1=2
& Y& n6 U  f* j  P
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: v) k; n, s5 T4 V7 O1 z4 k5 M7 Q
: t- l# j+ A6 @1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 w& m7 V0 p6 a! @& _* u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' R& J" P! C$ a  e, V5 {- F9 |2 z+ C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 g$ h% Q2 \; s  S& o

# M$ K' i) D6 l; }' w为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

7 ~7 T* E' b7 ^3 q" fProof:
" g) ]0 c2 J4 D, ]$ W9 mLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

2 p& `5 O) y7 s  g  X; x/ s: J1 [Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ k6 ?/ J1 ~1 J+ W/ D" J                                     K^3 – K can by divided by 3.

( Q  R  e7 I2 A3 v9 A6 {6 W9 }Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' w# P6 Z2 G$ g+ \2 r' N: W1 l/ J# ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  m+ |, H8 S6 w1 ?3 l& q0 oThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 c7 G, Q# q: V                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- E" s: W/ e5 \0 x                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 y$ F& s& `# S$ ]9 wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; V  B/ W* c# \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* r/ Q8 P  p6 U' a
3 G7 c' O2 p9 |4 X& z5 m3 l9 cConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

8 O8 w* U0 ]& t6 O# o  `- w& N[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* G/ W' f2 r* X+ p
0 R0 n0 {- ?# h$ e& {. X第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 _9 i+ i3 R) x) Q. r9 Q+ M
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.