出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

( }1 E  b4 N% r2 |2 T, Z$ f5 B2。下边证明有没有毛病？

- G' U- s! b# ^# R$ \+ a- s设  a=b

: B6 r1 {1 i, ]$ O6 c6 z1 w& N; {则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 V8 c7 _, x' Z两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 i5 g" N( F) ]; Z! D0 w& Y7 p4 a8 m
a(a-b)=(a+b)(a-b)
% a' j4 R5 U# h; l% V  b4 s8 sa=a+b
a=2a
1=2
, r8 {( y7 Y% p" H" j; c+ w1 n: V
' e% u: R( m7 U6 ]证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ J% B) G6 x# H5 Z6 b" O
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 W0 T3 z' Q3 d0 [+ S& U

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 U" r3 n3 `0 o3 p
: u5 _% L8 l7 B7 ?Proof:
+ Z' Z+ G- |# v$ k% C7 eLet n >1 be an integer
/ @: S9 h1 A- ]Basis:   (n=2)
- R+ v. z% ^- ^" z0 e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

5 l% Y6 X: t% c8 l2 jInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' c7 m6 P+ v4 o2 L3 ~/ V
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- e+ u6 i; l4 P, tThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  b. w6 w" [0 q) I  X% i7 N1 O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 ]( K0 c$ g" m. m6 z$ r! XSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 y* s. `& E" ]* ]                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 X/ s: Y8 h5 |0 P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# D- m* W3 A3 l
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

* Z3 w1 ?5 f/ d9 t# N[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" F5 {$ \9 q- u. z% ^! Q
  w) b. ?; L, w2 V' X2 Y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.