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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
+ z7 }! J" [+ [: G3 {
# g+ W# T0 P9 D8 N2 a' ?5 a$ o2。下边证明有没有毛病?
+ l1 @. d& Q8 [, K! W% y7 Y+ h' i8 N! B5 h' A# K7 m
设  a=b& C& ]2 g, O5 w2 R
) T$ w1 \: w" i, {5 S
则有: a*a-a*b=a*a-b*b" g; R* L" d2 n, c3 z
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):* W6 x7 C; P. d& P
" h/ o/ j- K) K. c$ b1 G( L/ G
a(a-b)=(a+b)(a-b)
  P% g" s8 C+ fa=a+b6 b* a1 y8 {0 a$ a3 n
a=2a
( c1 D  t3 X4 [1=2
* K0 I- l& M1 \5 v! U1 k
: R$ \3 P  e; i6 r6 {) a9 X证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试4 Z, v* t2 S$ l8 ~% n

7 I5 K/ ]) J8 ?- l1)不能。比如1
" @& k5 Z7 H! @( y( G5 L# H2)a,b不能是0
大型搬家
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 h7 u( D) K7 V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:( q4 z  v2 a; l6 p4 y5 l. i  c
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# g4 e$ {( |9 v* H. [- a+ F, x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, x$ T- m7 n8 S2 f看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ `# k4 ^# E( R% m! s% F$ ?3 T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 d: \6 c- j5 [. B) i$ u
) i7 C8 o2 g' K2 ]
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 y4 v; d) G- E! ?5 Y" g1 D; H0 U$ E/ m1 F9 A
Proof: ) j: m; |$ N, x! k7 ]. P
Let n >1 be an integer : ]9 {( }% d8 T: x3 L) ]
Basis:   (n=2)( I4 o; E% h0 y5 G& W
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 39 I) i# F" z$ T  u8 J& {# @5 n* f
  ~+ C% _$ y6 r* C% h) S
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' G( ]7 R7 I" k( [& c                                     K^3 – K can by divided by 3., _2 r  J# P4 ^- ^" k: V+ g% a. [1 ?
& k, f1 K3 Z& a+ k3 d' [
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: _; o4 w) B5 r, x6 A+ o+ b3 p% O; \since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 ]9 R  C1 k9 v- ]# U0 w$ P2 PThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- T3 Y  s: g/ z+ [& ~5 a  R9 L                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 d: Y1 J& ^% R$ T% s% K                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 V) p) T; O/ G! p1 s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)" m" j6 X& M: _/ T- T4 Q) q
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- k8 R0 C; E' ]" P' y% d: i4 g. a5 ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)6 Q, w- U6 G7 H2 y
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 g. _% v* P% p2 _2 L. @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3: r& C- A- Q4 X) r3 K( @

- H1 i  j1 e2 u6 k- O) k  uConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.( j* c$ u7 x0 G! C

! E* {2 y/ D0 D" W. ?% T1 x+ m[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。2 p2 P8 ]" W# h, G6 V6 N& a; Y

5 T4 K, [0 i" J/ ~( W第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 |3 y% H  B$ ^6 z) MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
( ]1 O4 S8 O' \) `) n

1 z. S5 |$ Z) P1 [, m9 H$ v2 {SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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