出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, t: d) z$ S. S+ g. w$ v3 L5 n% J
6 `# d& D/ y6 I6 Y0 h  ~4 O9 L2。下边证明有没有毛病？
* U  @% q7 C+ \5 q1 Q5 a
, w% m  h& @; m8 h( h  O" F2 g. u设  a=b

: z% g: b- q8 c& _4 G0 g则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

5 q1 B# B5 d3 w5 N1 ga(a-b)=(a+b)(a-b)
/ @6 `; ?5 }+ X5 q5 fa=a+b
a=2a
1=2

0 p" M  ^6 \; {  s. e' l6 V证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
* `* d+ ]- @$ n- Q  {* J8 Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& k6 d/ Z3 w* h$ c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- f/ _7 q. F7 R" K$ m8 h2 L- D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

: Q% X# ^, X) ~+ u为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: ~$ ^. [% x% ~3 l; E# ^
Proof:
Let n >1 be an integer
* @, X( n1 S/ @0 Z( WBasis:   (n=2)
/ Q' f) E7 I1 ~- y! b$ r( V. |         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

: v# I: i$ y; ^: i2 D$ Y% D8 a, KInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' E- M$ q7 Z/ i6 J  {3 e  s                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 a4 A& Z, ]* |7 C9 u* v" ^
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ g: g6 t# b5 x# {" lsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" v% v! U; z% f. `Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  u. S1 d0 E  V                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' z; s! b3 Y2 Y( {( R: ^( F                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 A: t' V) D( o# U% H; h9 ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" G4 o0 `6 b% v2 f6 ?; q' ~$ |5 `                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 b" h/ v3 r6 \0 ~% y
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! @* h8 @5 g- [/ j7 c
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% N3 Z& s5 n) ~/ W: e. |8 B
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.