出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 t8 e' G% H$ N2 {
2。下边证明有没有毛病？

: {& \2 M) a% o- w. a# m: Z! g设  a=b

' c9 p! `4 z# X2 J7 w则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 b$ G# ?- |# O: T0 Z- Z两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 \  a/ q3 e2 U; H8 i6 c
a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ M' o4 ^/ U) G: na=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- i2 N  ~) V+ {* ], g
' C$ d( Q. A. y6 h1 u& C. ?5 R1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& h$ N2 h1 H5 w/ X8 q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) q* p5 P4 R3 W看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" z" {, t1 e) l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 a9 G  |) v+ u0 e% U9 t# S

. F0 ~2 S* x& f0 q7 v为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

& ]! M5 J# ]" r% EProof:
! o9 H8 |0 q) s* I- o" ~3 zLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
; G* @7 R" P2 @8 Q         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 l1 z2 c, ^% @; K  J3 b+ r, i
( y# a" s7 {: ^% wInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" u0 K3 f& |$ Z6 v$ Z5 }                                     K^3 – K can by divided by 3.
- N  }' A+ e7 Y* o
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  p5 v6 W* @+ L2 ^. A  t4 v. |since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; T8 w. p1 h6 y7 q2 eThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 B4 Z0 s8 S+ J% `$ q; {& M$ x                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  S  ~0 c' v+ O6 i! E! Q& X                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. T0 D5 g* {" A  ^# s: L                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% ^* w3 q! k' J
: a6 s( n; u' G( N* WConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. b) X" R/ g# ]# J% L4 k# X) X
! L: @3 ~. s. C) A1 P" y7 ?, Z' m/ {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% s: _& w! s( o
: g! h7 o% |# ^4 [+ Y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! N! B8 |; r. T+ K; P- L& G1 HShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 X' T: C- F6 i1 @- }( u" N
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.