出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. k3 W' c. ~$ z# a7 r' n7 x
2。下边证明有没有毛病？

& U. @( e/ j5 J" Q; h2 M" V设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" w" J& g0 T' p1 Y! t
' H# \& C5 p. Z& Na(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
5 H/ e# p6 t( {: G; H/ l
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ C4 Z: U1 P) P
' D! @- O* m3 \" X- c6 ~5 x( `3 c& y1）不能。比如1
/ R6 @- n5 k& A7 I4 R2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: ?8 g. K7 M9 r1 q( }& \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

6 R7 P% P$ h; G9 T  |; FProof:
# P2 D5 e. O- Z6 |% F2 ELet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
" \& ]5 h% j+ y& z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 Z+ m* Q7 _* f4 W" o3 n
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

6 Y! M0 W. b. A1 L- CNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 q3 z, J: d5 }  n) k3 ^/ x* Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, i9 n/ t  ^( k& H* [. _Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. I, V' h: @& O3 s+ c  i2 Z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# T  q) L: S6 j1 T1 y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

# w+ e+ b! n7 D( t[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

0 J1 `4 m( u& u( d7 [/ _& N第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ r( `" r; h' k3 c# tShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.