出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

3 O8 t$ G  }9 K设  a=b
! h% a, s, k; C* _5 e7 y" E3 l& B
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( t2 N$ |+ h7 z' B1 [
0 @: O( q; H1 m! Za(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
) |  o* U: Q  w" L4 w1=2
+ S2 S4 |8 N% d$ H
8 i/ T, K. P2 d0 g, T4 ~' I: c& @证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 {/ R: F( N% B/ @  ~4 h/ R
1）不能。比如1
/ y0 y9 C- _) g/ R5 d; C2 B2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# J7 J; l! `: K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# D, d6 T" b/ \& T! p" ^& Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" H* I& _5 w3 Z: h+ E6 m; v3 x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! n, S) M  @9 d7 L$ @( z! s看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
. G8 L& L' K6 m: O3 P" S- @) KLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: a/ g6 ^+ `0 X
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 m+ l( J& d1 Y! {0 `                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 D* @, Z. f5 D* A- x  x6 S* @; B
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% {9 [7 c: D0 ]! W8 x( b& f                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ v2 j) G+ t, j& F                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& p& u' }& p3 {' @+ {& ?- _1 W  wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ \$ Z: g% O; L1 o( h: }2 n9 C% c                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ g1 x4 |7 `1 n' e( b6 @# j% u  n
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! K! s- N0 v/ d4 H, y6 T
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  M. B- ~+ @- V2 |
! f) |, p  r) ~* B  d第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; W& D% @/ J$ I
; \7 J+ x6 G! t& Q8 Q# RSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.