出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

: i: u7 [* ]2 T8 `, @2。下边证明有没有毛病？
1 V/ B2 y8 n% \( G: S$ K
( M& e7 x" |7 U( E- B8 [设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 F7 l5 [' K, D8 ]: B  i6 K两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: m. ^+ i2 ^7 ]! X
: ?% G7 G! g) G5 _. Ra(a-b)=(a+b)(a-b)
" p5 c: G9 q/ n' F- `1 qa=a+b
: S; Q% o) J6 Pa=2a
3 q% S4 ?, u+ N6 R1=2
( j0 o4 ]! y; s
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' g! `% U& j3 u6 @8 z
$ B& v) A9 n! l$ H& E+ f& e1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- X2 O* B; v7 X" R- F1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 _! g4 F, a" y5 M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" G; x) W4 s1 {# S2 B

" o! J# e/ `9 L5 s. l3 L" Q7 W" x为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 j% F6 c& ^1 V0 W- e, A& W
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
8 U, s( U+ }# g1 q8 K$ \1 A1 Y0 {         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 g( Z6 c- z  S, @" L9 J
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& r, N; r8 ?; |5 H2 J& gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 _3 X0 W$ U' \8 r- U2 ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
! q% w$ {6 i2 V. B                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 n* w2 O3 y- Q1 ~                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 o6 }& ^5 O: a$ e6 W
) [  d7 D6 a2 D' X. x! jConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
7 e" \  }  F' h" a" N! x
/ v1 y$ f' m4 f# e$ {; C. D- A[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

! l5 F3 e' R+ }3 _( Q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  b4 [0 S5 Y% c+ M4 J5 kSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.