出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ N- s8 |) t5 Y$ a: ^
/ x, Q0 F" [0 Z8 {% w2。下边证明有没有毛病？

6 k. w* p+ V* J: `. {, e设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 M3 Y  p/ a1 j7 O
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
; _; D6 y9 J- \1=2

% Y* Y3 T  t* Z6 O1 m0 i证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* p7 k6 v) i. z/ W, J$ N
* a2 J1 W) u9 V* A1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 b) r% z5 d/ J; C! n1 O& b) G2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  j8 W# R* |# ^8 Y# J. h: B% C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& U+ K2 ]& _1 \/ Y2 Y; U1 T看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# ?% K8 \6 O- p$ U, k: O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. c7 e2 w3 b' q. z# m" J

) M# \" g( i  P  f为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

" x5 {  v4 \, g  i, ~2 kProof:
Let n >1 be an integer
, a0 D, a) V- fBasis:   (n=2)
- p* t" x5 d: H8 M- x         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

* E) Z: e3 Q" ZInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 Y8 Q% X5 I$ {! F                                     K^3 – K can by divided by 3.
  w* q" O- n& p& H2 e
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 f2 D8 W7 }+ n: cThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. C5 U' r9 s8 d. c* f- `2 v$ }1 v$ s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* c" r1 |1 A5 V# ]2 u" H$ lSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# U* w" G9 ?9 S                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# K" k5 j  l1 k$ D* N$ T                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

2 l7 V0 D2 T* J- R5 u5 B0 l, T! XConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* Z3 T+ ?) w/ W$ o; L( E" _
: A+ U) o' r3 a: ^( A! R第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.