出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
3 x* Q+ j: h/ _8 o7 f7 v7 C+ h4 R" |8 ]! Q
# m9 d! S! j6 j4 {4 J1 j2。下边证明有没有毛病？

+ X: k% P: L! }$ l$ f5 d设  a=b
' v$ C) J8 E: R
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 X- u0 J  m, H! U. o$ T, t
1 g# A* o1 A  ^a(a-b)=(a+b)(a-b)
! C3 f" v/ L' y7 ?0 t) ~8 k) k' U9 T( ]( sa=a+b
. J/ X4 q" L( J8 ra=2a
1 T4 i! K+ u; D5 O: D  f( M1=2
; p# O* W$ k* d
% O) g2 h4 h! w# D% ?证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! \! Z- D+ I0 }1 o  `. G/ h/ n
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 b  x' D. G% p+ t  e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" m' n$ O* H6 a$ i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  G+ c, t, T* t' ?) {看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

' b. W3 b. P; {, @* J& W. o9 j为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 `* P6 f1 ^+ h' n4 d% @& W1 W/ z
Proof:
Let n >1 be an integer
7 X' r+ s# C$ X0 Z1 t% L$ ~Basis:   (n=2)
- N: i4 e( N' r         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 H3 w; ~0 X( g) H( \& l
/ F$ }  Q, z6 V. K  p  U4 cInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, T/ {- Z) @2 U8 a0 K' p2 K                                     K^3 – K can by divided by 3.
% X- T- u: ]3 y7 }
9 ~- s9 ~7 J9 g# ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% g( r8 K, t: l% ~  gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- A4 p4 o9 Z2 |* o2 j  _- |Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ V* f4 g. h% D: Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 i: J( i& u6 e; Lby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" w4 w8 N3 y, T) T3 o! z  `/ ^                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
! M7 y; n' N0 c1 O8 w1 ?
5 {/ x  }7 @" L) [7 gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' o5 A0 ?1 c) g6 j
- T* f& d+ X' U, C7 b' s0 g第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% n4 N: n2 X/ {( J, ?Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( F. N. Y% R8 x# S% H  _# M
7 \4 @. f$ W2 M% t/ T8 E7 aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.