出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
' h6 ?- h7 a, k, e2 H  o( p9 @6 n
+ M( o( z9 m* A/ q" {( T2。下边证明有没有毛病？
9 X$ O. v& {" x# p2 ~2 ]
1 X1 j% l- N8 a( E3 R3 I设  a=b
4 {4 W9 H$ h( q% k
) N7 [  \& Q" k) X+ d则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 A: i9 Z0 A3 O6 p! p两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 k3 q: G* E, s% s
0 |( L$ a& P6 B' @a(a-b)=(a+b)(a-b)
: _2 r  O! B  @. }$ ?8 {- }# ^a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  q2 J2 i& d( F5 M1 f- M) }/ I
1）不能。比如1
( ^4 I  {8 Y0 E7 y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* @( [' ?7 n, n) P: D7 L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ x5 U1 Z+ F9 {3 h+ r3 N- k% j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, K1 b: z8 r; l; a  m. R/ }

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ L' R! J& h% k" h5 s, U5 j
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
; }5 E7 P" |/ v$ A- ^# ]' R6 a4 k
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
* ]3 ~7 p1 q! i
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! @0 i8 ~# `0 `8 ~1 UThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' A. i5 |  ?2 b  U9 o                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  F! G: [' Q+ l1 l) Lby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ h) q9 m3 Y2 @0 H) F6 CSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* b* J; D# T/ G                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% J' O5 z% D2 U( T/ ^. B' L8 _                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

2 R4 q7 b( w& I6 M: `! b0 }Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ Z3 |" t6 V' p
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.