出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 l3 S, [! M8 u6 a
9 I* m. u8 K7 l$ W( [8 v2。下边证明有没有毛病？

5 r, x/ j3 _) u' U- u0 I设  a=b

: O6 K5 T" K% |2 j( `4 a则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 J* M  A, Z; @" h两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 _- v$ o6 s+ H8 K
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
6 C1 I/ q( e; D2 `- za=2a
% O  ~% R7 r  N. C. p1=2
5 A# v4 {- m$ t9 U3 a3 L4 W
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* w( Y- _! f1 J3 W; ?* b0 ^0 N0 M
! D8 k# R- \2 ?# _. W* b6 b1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! t' u) Y6 w& L7 U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, i% b' [4 g6 r; o. q0 P
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
9 r4 [; W& N3 T) B         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 f( ~) Z  m& R+ f, o# z" Ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 ^( o! @. z1 |                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: n& g" s- ^6 GSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 |4 \6 r: w. ~- U. J2 ?) Z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 A5 ^2 e, Q& |: m: {5 t                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ B( i/ i. }* S1 o# Z& u
) C, R$ a- \7 d' v. KConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( m5 O) S2 w7 \; P0 p6 C
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& X3 ?4 I( M3 ]0 E1 x; T; X
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' C1 w( e, o7 L/ K3 y: I- tShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! q+ m, }/ {$ _$ u8 _
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.