出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- Y2 \8 H3 \& x" `; O5 P2 M
2。下边证明有没有毛病？
. H( S, N  J* W
设  a=b

3 I; G: e+ Q% N7 \( q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 r& `. G3 Q( h4 V# b
a(a-b)=(a+b)(a-b)
: M* Z. y8 T* q! i4 y- E% w$ Ta=a+b
a=2a
2 L. \. a" W8 A6 v$ |1=2
7 a; s( o9 ]& }8 \( g! q8 d
; n# T) M& K% X: B: V# K$ S证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 Y4 c% e  N: g3 v$ `5 S) h0 b
& k' y7 V% m2 I8 z1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 H7 K0 T  K' A4 o: r9 ^3 j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* l( w0 c- W5 I# v5 t. w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

7 v4 K- Y/ Z0 j- L4 F7 q2 z4 N6 l为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, z5 N, Y& r# r# P5 S7 j0 P
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
  U( J) N4 r/ ]6 k         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) Q( C, o* z; D  z4 V; ?
; O( a; z  _1 N/ gInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: ~8 y3 K+ N) @/ v, f: ~                                     K^3 – K can by divided by 3.

8 s7 w8 P# I4 _Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 \9 ~! a6 ?$ p, Y: a* `/ B# V, ]$ ~: \: v# Jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ @. ?0 y- w* i! B& z- m                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! n1 E9 ~) P0 w                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

# Z3 V9 S! j/ {" d: I) PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 }" \! O. H! `( T* k$ D+ Z' ~
- K! X# J' t  ^' _. [[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 K& s3 l% z, t& n3 [- t
, b- Z" C* v$ R. j* ]1 Q) g, H第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 o  \. [" ^& }) [8 o  {3 m" j" mShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 N8 `9 D' E6 D& @
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.