出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ O) [$ p  @% S& s  k3 h5 J
2。下边证明有没有毛病？
+ s$ t4 C  V/ R4 I
; A! t  s. B% q3 f& x3 @% T( C+ f/ g设  a=b
6 O7 i9 g! \5 \3 L) D) `9 g% ^
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* v1 O! E; A4 u0 o
a(a-b)=(a+b)(a-b)
- M* d5 f, q. Xa=a+b
a=2a
4 t! T! _* T6 m4 A7 A1=2

9 f0 l8 v- Y# Q) s$ _/ P证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ p# [( L' O. O6 [1 f6 t+ G; ]
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 |! i% ^; {& B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ G& @! L5 o  f& I6 u" x看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! R4 A! G% o) a- Q- R% H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- D' ]. f+ o& ~' m+ V6 s2 F

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

1 q1 ?4 F; G5 ?5 CProof:
Let n >1 be an integer
! A2 T: W9 e% o3 ~# _1 lBasis:   (n=2)
/ S5 Q+ c: Z6 J' B) K* l4 a         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

1 @" f3 @7 m$ rNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 z1 e' e. v) R1 w  esince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* h1 u" _+ b! n) |" L3 Y6 L                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% d! k; j3 M# @                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( j( m7 H% ^' s+ x                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) B3 A2 X7 s( I6 q/ ?5 i5 s                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
# x: U4 d9 x$ F% g7 E6 E) f
9 ^- [# c6 ]+ ^6 `% H! b; [! L  e1 T[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) A, y0 @, R* ^$ B. O
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.