出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. @5 x# ]$ A+ Z+ ^+ e- D
2。下边证明有没有毛病？
" m6 E, ?$ ]+ A" M7 k
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, l4 G8 }5 C7 B9 z) ^2 f5 l5 M  |
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
4 p8 {+ Y0 K, j: r" p
( |- n& S# J+ Y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 T( |7 V/ Y/ c0 }# u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 @0 Y% N! D/ t+ g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' O# L. D: J, I# ?! p

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- B; ?, t% G% ?* V' j4 ^8 N9 H
Proof:
) h1 v3 m9 G" r) PLet n >1 be an integer
0 B+ N- Q! }  pBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 ^; d1 l5 M5 _- l4 v5 R3 l4 p: ?
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* n4 |5 w+ |: E) c! D                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 z# m$ J2 i1 C) p4 W8 r. Z7 ]. K                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! _5 V7 d; ?8 T% L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% [& A  c  S" ~3 o* u% [3 ]  yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" Z' l3 H  u9 _" h                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 o# H7 l2 _/ m, m* Q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: u6 m; T% _* [
9 N9 B5 D- O3 L6 ]% P& p- f第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) q6 e% f. b  F+ ~& b) W
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.