出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
- L% g& {3 g6 e6 \3 Y; m" p, @
8 ]7 T1 [; _* J* B3 u- P设  a=b
' {) H7 w, k$ d
( a1 {& ~: `8 D则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
& Q- O$ R' F) b# H, ~3 d% S1 u
5 i- s8 X- O' o8 G0 \( m5 Ja(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
, Y& p$ {0 x3 i$ C$ u- m+ C; Ta=2a
3 x7 p* [4 C3 k: n9 \& J1=2
0 S, G  `$ x- V8 ~" w
; ]7 _6 r8 \) U8 x1 @证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 K' g3 e9 ^+ c1 j% w
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" A5 H9 n# x4 V6 H+ ^! S* I( i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& \7 t: G' l# ^/ x看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; Z: z) E) k% P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; n  E* B" p  M8 m( Y. V

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
0 O" Y/ U* y6 ^Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
1 r  [% q, m# R" X5 R7 N5 r         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: R* ^% t8 |* ]* q! j+ p
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 }3 D2 `( t/ h: W% U) C" X: e9 f
4 Y" W  M/ B* D" J4 n4 gNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 O# ~. L4 [  M7 j% dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  v! l, d, j) Q5 Y9 m# k& Q                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 |9 B* e+ i% O) u4 G/ t% _+ ?                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  e; |% q9 t7 a) m" B. p1 N3 jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  q+ {$ u& a( P2 {$ G/ E! V3 t+ z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. G! T6 R1 [: i5 z
4 Y( Z* N2 b6 r0 \: K* wConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

" q; q* i/ U: M  ]9 f) b[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& f; M1 j0 P8 _0 u# _6 ^; n
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% P# Z9 t/ z  P# HSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.