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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?( D% H* u/ @: E8 k- z! Q# Y
0 N: Q( b/ p5 G% t: y; |
2。下边证明有没有毛病?  c; Y$ B, {/ S9 k/ g3 \
# [) D8 r8 ?2 O+ I* `7 x. ]
设  a=b
' Q4 g' b% H) u9 L* O$ x5 I+ E% @/ l9 V8 X4 o5 o$ s8 m8 N5 ?
则有: a*a-a*b=a*a-b*b5 V9 V! s2 m; n1 U9 @4 A
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
  O9 u/ V6 k* O/ k! v" D5 j* s* X# r; A% ]4 U8 D( ]0 q* Y3 W
a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 z( D  _0 E. ^# |9 Qa=a+b
9 Z* A' d9 p& P) e# pa=2a0 W8 w' ^* H3 ~) m) b% M2 x
1=2& l8 }1 v1 P+ U, J4 u) o) T7 N1 {
, J% |; B7 M. D5 U7 E3 k! v7 v4 S9 c
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试; r: J6 S7 |. B) U6 b
% J& j  U9 e! P5 k
1)不能。比如11 F  H* u+ |6 z- J& y7 X' O4 r
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。5 d% D0 q! x2 c0 _/ E9 p; \
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" R  T$ K4 I, U8 y) Y1 ^' V$ Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* T+ o/ A- [) ~) }2 L9 Q7 g1 U$ z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
1 B' V( l0 l% ^4 q
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' l2 d6 t: B2 t/ I. p! }, X; b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  {& j) ]; {: {6 ?4 p- M
' d) A& j9 F0 ^
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)& p: V3 g& v, [& E

' Q/ P. I( _7 V& U5 g* PProof:
8 w7 k( c# `  [4 s+ q& N& ?8 ALet n >1 be an integer
3 i0 o' Q5 Y+ Q% D- x- Q* sBasis:   (n=2)1 N! ~/ q6 `$ h4 _2 r6 }2 A: B
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 r  S9 R7 ]2 N8 Z* f8 H4 g1 Y3 s, k& M) |/ P% o
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 [6 X( O+ U4 ?8 v2 R                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ c  ?* x; K: M8 H, V! w+ Z; j. H9 ^
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3; N) Q) `3 Z& q7 u4 u, x
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem! Y3 ~9 o4 f( F# Y- r
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)8 ]# T) u: f! Y% ^
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) G$ Z* ^3 u7 F                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)5 D& `6 f1 _5 M& O: \2 \
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, N$ V, p0 A( K' [9 Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; x, Z: l& i: jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& _; Q  T# j6 C9 x& x! [, v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)2 m0 Q1 R( j9 ]% u
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3* r7 E! c. @( ?1 y$ [
$ V' u8 D) [% E9 x7 I
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 s8 X- u. l( q
$ C% u- ]3 x8 H" |$ o& p) ?7 _[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( h* {+ G: a5 ^1 b0 x
( p6 A6 G6 A  G第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- I: n8 w4 R  L+ SShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) U' z1 x7 O5 x# T5 {0 p1 M: [: a. s# I) p  R9 q" o/ m
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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