出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 j2 a" s8 m1 `3 _( f5 A) z
2。下边证明有没有毛病？
$ _5 h8 T- m3 s" |
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! a* ~5 O) s0 X9 `' K
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
% Y7 T% y" X6 u. J9 z1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ v2 T8 p5 e6 M
- f# k# N  O* q! F- M2 d1 H, {1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# I& A$ D$ F9 L" B6 ]) E  _* e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 ^% H; z1 C# l  i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

5 G; R6 G  \* w: i; z" G4 o' YProof:
1 v' L9 b+ x; c# q5 f) O" g5 mLet n >1 be an integer
6 P  G# t" m: X1 g- Y. l2 @  NBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

1 C( y, v+ l6 T5 QInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) K8 Y4 p' i; r, M! y; s7 ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 }7 r, r7 ?/ M6 P/ n                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' M$ k8 C5 p. t0 m                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 m$ u/ k0 Q4 S8 B, RSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 o& O. u/ d# ^5 \3 j8 [                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" e4 P6 o$ V6 B8 B/ ]* h
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  K3 s+ c, y$ Z, G$ l9 `8 L+ cShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! m4 M% d, l" k' Q& t: G
9 [4 Z* D( p% h* ^* s: \SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.