出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
3 C+ K" I" \  @1 A( I2 C
( n7 S% O) B$ K# y5 `  E" k& k0 M2。下边证明有没有毛病？

- h4 @) y0 p4 m9 y设  a=b
. x3 h) X; d6 n  R( b* p, M1 F1 h+ y: S
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 v- D/ C0 b5 `% t1 V
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
( L  w: E* G* O: e& [- ka=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 t6 W) ?1 C) b) }
# a9 _  \  k9 S- v3 [1）不能。比如1
& k* `" ~! y1 B8 k2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 u6 F& Y: j  s. _) V' B- A: I) T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 |: T* K0 q% R4 ^: u3 a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& T0 a7 Q3 v0 a9 l( |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- ~8 b& }6 _% k- t! g

1 z1 x  o6 [( `1 M为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

. K+ E; l8 V4 j, nProof:
  [: I$ q. \1 Z) [( a, wLet n >1 be an integer
" \' L$ P( Y! @) u7 {; _Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 o* e9 D7 |- C6 v8 s+ t                                     K^3 – K can by divided by 3.
: [2 f" e- a* |3 i4 |5 N# W& x# ?1 N
2 ]0 D8 v' P4 n# Z7 {+ xNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! D- z$ |; P( P' o! Isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 m9 w- [" S6 N                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: f* A" `4 R. o& R* Lby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' W0 J. @0 @( e. t0 {5 ASo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 \' {7 i2 {; o- q; Y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; P/ K( E7 l' C. N
. _4 A  j9 k' B- ^+ `9 wConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ K- l  B* j# DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 _+ c" ]5 \! g' i; b# }& @
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.