出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, q. M3 W- W; ?
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
8 [& J* }/ @" L* d8 p/ f8 J
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' w. D- [8 R! ^0 L) d3 S
" g  d. t# k3 _0 w9 h5 m1 z2 ea(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ q& P/ G# e+ c0 Ca=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
! M2 b" D/ d/ D5 ]2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ V  E- O; t) p( F' `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# K: X9 v4 i7 @; `; h+ A# p看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

$ K' K  y9 u) l# {: m1 z$ j为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- `# y/ A- A% n% s
Proof:
/ j4 O- _1 e  T4 V* GLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
& L# ]. a% h% |/ J8 \* _6 T' U) J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

* f: ^$ z) d  t% c( k; KInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& r3 K% ]! Q, [# nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. F& u0 e, I$ G                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' \5 T* b4 U. u# b' P7 q6 j- g, d
6 w& p9 |5 _: o3 F[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 {* m1 Z+ o* K) y# S/ r
7 M, d3 ~1 Z* I0 d! f第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; O; m% N# r  s2 H' e8 V. h: F  uShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! y' z9 Q0 F1 Y( B+ TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.