出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

( k7 A5 n: q3 t  t  o2。下边证明有没有毛病？
( q1 }/ I/ d* m) f6 o8 ^% p2 j
设  a=b
( P8 W2 M6 A9 D, I+ n) n: H) D
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ |8 b/ c+ v4 m0 c  J- z) W+ }7 I
a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 p! C+ l: }/ ?& Ea=a+b
# h" C- [$ r$ N' o" ja=2a
1=2
  k8 R( }! D/ z" O, X
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 X8 Q7 R9 ^, x* J* y; m5 x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ P1 ~+ B8 N8 v/ o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
& {4 f0 W4 o7 ~  V: a1 ~
4 |9 g9 x: Z3 N5 X8 oProof:
Let n >1 be an integer
$ Y" P3 w) b8 Q" L7 s- JBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

6 K2 J  H0 `7 ?# y! s& i" N; oInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* P/ V1 g! B* o. i2 C: u5 E                                     K^3 – K can by divided by 3.
# x1 F8 y1 @4 C3 }  D  ]
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" h1 H9 E" g: z5 R  MThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 F. K' \1 g2 M! v; f" O+ l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! l. J" l) D2 M- r: U5 t: ^% TSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 w' ^# ^! \2 E# P) }6 m1 S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% N( G( _  J4 Y. _; Z% e' B
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ A: C. {. o5 _4 N! D8 vSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.