出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

, G9 A) ~# n* [3 F- g* p2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
$ i9 ^; T) g( _* V
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% ?- j0 U4 C# s
4 F" r* Y) o4 I& i0 {( ba(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
7 G+ z$ t' Q* f: O8 ^! o) ^3 k1=2

% g! v4 w4 }* z/ o# j4 z/ N; n: Z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

$ t" O3 x" v" U  K4 h1）不能。比如1
: N. d) s2 p# Z5 J2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 e) Z. {% Z! U) C3 A1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
: V3 W$ Z* v& k5 y9 sBasis:   (n=2)
! g( J9 i3 V3 \         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( P6 k! u, Q. Q* q* \  X$ F8 Q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

* n% ]# V5 h- MNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 V- x8 ^/ k* X) _( I; U9 Isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- N+ A* q9 V9 S- f  ~8 NThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 b- s: E% q* {                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; {! k; D6 a9 _* PSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 h8 K2 L; s' _/ M% ?: |( g                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

# F) s2 F8 K( w8 [/ z3 h4 i[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: t4 D  j$ U! L- p1 w- p. r0 |) iShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 r! a4 d  t2 p9 h
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.