出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
6 V% f+ K4 q; `% t
& h! z5 _9 H6 k5 l4 F2 |2。下边证明有没有毛病？

5 [, ]) F+ O5 i$ F; o% J4 l7 o9 t% d设  a=b
8 ~4 a- W* y* W, w, R& d8 y" S
  S8 V, p3 V8 u, w  l则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

- O" ^& r& H3 P0 o8 R! Ka(a-b)=(a+b)(a-b)
3 O4 W3 ~( m- v& ?' @6 xa=a+b
2 _2 L- |8 g- ?* G6 aa=2a
1=2
% Y! r4 V0 ~3 J# b  X
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 C& d$ B2 G6 y$ z" O, e8 t
% y3 Y4 H. b) i! |1 b. K4 y1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. d. I* S3 ]! D7 y, D. C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 R. T6 ]. A4 C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# }4 U' r8 @2 F2 X3 g. Y) ^$ O* c8 e看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 [, E* w/ r9 W1 z# O/ N

# k& ]/ J# u& J2 o* o4 x为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 |1 J3 m1 X: J3 y5 L8 H
, D; c) C% ^) e( L, K/ NProof:
Let n >1 be an integer
$ B4 t. ~1 Q7 G- J' c7 HBasis:   (n=2)
% ~  @$ M" @& N3 t/ ^, ]- c* k         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 D+ L3 F) {6 d                                     K^3 – K can by divided by 3.
; ^2 l# S: B6 t; G8 ]
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" Q* ]. @$ T( D: ]( x5 T, e! k                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 u$ q  z8 Q4 d* L, M8 b$ H                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ o* ]  B& [8 f- ]& {                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 v& m- C6 u4 _& b                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 H2 n: Y: l: I* W
& r$ L4 J1 `8 O  p* QConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 }8 o8 ^! r. l1 V# y
9 R- R8 m* u8 b3 {9 ~$ M2 a+ I[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  R8 w/ i( Z2 q$ \. ?# _" M
2 k* E* R) h5 c, r/ t5 D0 _第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" D; M1 v: Z) o3 G' |2 [Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ ^2 q! S0 t0 Z; J/ x% ISORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.