出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
. J1 ?# A" c, l/ T1 N6 o
设  a=b
" j* C0 H5 v3 _5 |4 I- j
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 b7 b7 p. I+ \* Z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
5 e: M8 O$ m4 s/ i. y5 {/ Q* r1=2
) N6 V% v6 |5 w$ |, W
6 D# H5 K( ^$ _/ Y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ |- E- P: Q4 G& |, m% f
, J9 r! V4 J% b& f, d9 {: c1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 G' r- B/ C2 b- X) ?' @& L9 l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* x7 g% @, _3 e7 H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 P7 u: m6 k* U+ M0 C: T" \; t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  r+ f( r5 R; H2 H4 m9 F- I看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( e+ v0 e; J' E' }+ |# _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' \/ {" K- N3 r, d, W& l" @

0 U6 E$ J  ?1 H" k! c0 V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: u6 F% c, }0 j! R1 ?  J
2 z4 r2 C' y- G1 E. ~Proof:
Let n >1 be an integer
/ R  z7 T: T) ?% b4 n1 R9 gBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, B( E/ t4 E. c2 P+ A
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ e. S) p. u/ c/ O7 ~3 _                                     K^3 – K can by divided by 3.

: x1 I6 a! _/ z* vNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 j5 b( j: p7 t( q7 _3 `( Lsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  z  g: \. {" c: S+ l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( r# y. ]# E) {& D5 \2 A0 D                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 Q' z: a$ M) N5 l3 P5 ?
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ v) h% @+ I1 C; u
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 `5 p% h! y' k9 S4 t7 Q! m第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; f) l& `" c* A0 Z5 Z( F1 USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.