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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
1 E0 Z. I4 G0 t5 c6 }. `1 O) T) D! f( m# A% j1 g) y8 p' Q& {
2。下边证明有没有毛病?7 d+ B& a; B  a4 m2 a# ?5 g& b! R' @4 y
0 K' m) v0 c" F# t
设  a=b2 n  t  z: X' J7 g9 ^
2 y% r! b; I+ n9 x7 S7 y
则有: a*a-a*b=a*a-b*b9 r+ e* p) ^3 E, I" p1 B% Q
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):* V1 c7 B* P0 D7 @3 X4 [3 |

5 }+ k% J1 {& e! I6 W4 ta(a-b)=(a+b)(a-b)/ F/ a# U$ q# U! c& T# L
a=a+b: X' d: i3 h% B) _$ a& k6 R
a=2a
; ~9 u0 P! n  r( X% G1=2: G* `: b/ \! ~" h0 |: c

0 w2 x! `: T& V- w% x; W: F, y7 r证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
* _% X2 w4 p1 h  B9 m. A
! J/ E, N# R0 x1)不能。比如1
2 R) q9 S. e3 _! f" T2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 R  S* P% S  n$ Q' I$ c
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, D% s8 r: F0 d# W7 L
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  P! x. X! A9 X( Z7 g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) g+ b: Q" g: T7 [4 \$ z看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ L+ [2 m  i  O! ]9 ~" y2 n8 L
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
- L/ d. ?3 U) l# s0 A

4 S) ^, g5 T1 C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n), ^( w% d6 Z2 x( _2 |# ~

& k+ R) x* Z) h0 z2 A* _* X7 ~Proof:
2 d* P$ ~# ]# e: y3 {Let n >1 be an integer
9 A1 X3 g  w# o/ jBasis:   (n=2)
; x5 j/ E" I" f         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 34 z- Y# p0 |9 C. K$ I8 m

6 m/ ]: d* \/ K! A, y+ qInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- {6 L# V9 l* d* }                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 g+ }- j) Y( R7 j% i
* s  e  _% E" h2 k, ~0 ?Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. x5 b. i' C. J( Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 K, a+ n- Z; a* Z) g' EThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 r9 @, Y' A# e! U# w+ x, q( `! b0 ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 M! p; O  I& t& z( O! W% [                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, t* C$ ^* z; l% }9 ~1 n                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)+ I; B' z1 [- ~) F
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0! E9 x+ [7 I2 F3 q6 }
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ J5 m% O( D/ d/ y  E: t' ?; ^                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 n5 }5 N3 N2 x  d                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ U( G0 ^5 \, B7 u8 X+ D0 w9 {  B" F- v- b$ k- C
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.0 i. K. S# a. S' o- @7 I
5 t1 ]0 D* u& k, W! O9 D4 ?5 p
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  b7 p5 [- d% D; Q  V$ C) y1 o" s# [  M
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. i) E3 t* i+ \Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 U& V/ k' a, V5 o
( j1 v9 k) M) L9 X* g1 B! [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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