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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?" F7 e: X2 E5 I+ n, `; S
# G8 K; e* N7 G2 l' ^+ W
2。下边证明有没有毛病?
. J1 ?# A" c, l/ T1 N6 o$ F- X) t. D- |4 |/ _2 ]
设  a=b
" j* C0 H5 v3 _5 |4 I- j: t( b0 u$ j. ~* \0 ]" _/ N: K) d
则有: a*a-a*b=a*a-b*b$ k1 c) V2 O- v2 X* K
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
1 b7 b7 p. I+ \* Z. _) [' d- F( L/ X
a(a-b)=(a+b)(a-b)7 s0 e+ i( L, F1 O
a=a+b0 u( p  }. J# u+ |1 ^9 G" o
a=2a
5 e: M8 O$ m4 s/ i. y5 {/ Q* r1=2
) N6 V% v6 |5 w$ |, W
6 D# H5 K( ^$ _/ Y证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
+ |- E- P: Q4 G& |, m% f
, J9 r! V4 J% b& f, d9 {: c1)不能。比如1. ~1 d- _3 |5 ^' V1 Z* ?! e4 |
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 G' r- B/ C2 b- X) ?' @& L9 l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* x7 g% @, _3 e7 H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
1 P7 u: m6 k* U+ M0 C: T" \; t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  r+ f( r5 R; H2 H4 m9 F- I看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( e+ v0 e; J' E' }+ |# _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' \/ {" K- N3 r, d, W& l" @

0 U6 E$ J  ?1 H" k! c0 V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: u6 F% c, }0 j! R1 ?  J
2 z4 r2 C' y- G1 E. ~Proof: . g5 B0 V1 D/ f8 L0 _
Let n >1 be an integer
/ R  z7 T: T) ?% b4 n1 R9 gBasis:   (n=2), u8 h  a9 A1 v  Y5 ^4 D5 x
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, B( E/ t4 E. c2 P+ A" ]/ R6 e8 P& D. w2 z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ e. S) p. u/ c/ O7 ~3 _                                     K^3 – K can by divided by 3.0 `: a8 j- r' G! y1 q* f

: x1 I6 a! _/ z* vNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 j5 b( j: p7 t( q7 _3 `( Lsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem  w1 p1 T* K" A' N! r
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  z  g: \. {" c: S+ l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K4 h5 I+ Q. o- K0 a. x6 }. G
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)/ W$ {- S  r" t! X& ^9 l, O) _
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)- P6 L* @9 b% ~- F3 u
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0" y$ m: @$ z% b4 i& Z. r; T
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)* M" [3 y* f' |1 w/ T
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( r# y. ]# E) {& D5 \2 A0 D                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 Q' z: a$ M) N5 l3 P5 ?$ b2 g6 N  }6 x: Y$ G3 D6 M
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ v) h% @+ I1 C; u% x) @6 m$ |3 p
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。  x( @6 t6 y6 e/ G2 [4 f/ X

5 `5 p% h! y' k9 S4 t7 Q! m第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:1 l4 A4 b: ~) F+ u6 W
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
6 L* K$ N* ~; `

; f) l& `" c* A0 Z5 Z( F1 USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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