出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

' @, o9 G! F- a: Q) n2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

  y( I8 R; s- }1 T/ g% Q/ Y5 Y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
! [, m2 Y# {& i0 ea=a+b
a=2a
4 S# i1 X% Z4 B+ b1=2
7 S2 M! {$ t2 U. O# i% ]. a
5 p# U) R% V! |/ g9 X% H证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: {: H: Q/ X  x6 ~7 u, q
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* `* ]4 W/ P. ~" }/ C* E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, _' w0 j. x+ r7 V+ q; g% Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

2 o1 W; s; E6 O: \/ ^) E为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
! R3 l! K; U2 w. H, e: f/ S! x
1 S  Q# j, h2 D  kProof:
* o* k- d( q+ U& W( J1 m3 V+ K8 GLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
' Q5 A: G0 j! K         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 F5 G1 g* H- ~% a- @) {6 x  j
$ E! |6 f" [( C/ i3 jInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ }! X* u' o6 T6 @; o% q                                     K^3 – K can by divided by 3.
+ Q1 T, r0 A) M
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 a4 V3 J% {8 Q$ }* T4 xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- ?& F/ f. {, z5 {9 \/ g9 ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( l  U# g5 E# h. z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 f5 O; I: L  A( U  G                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 f- w, J& |) w2 n+ R: m                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 c7 P  n# n( f4 z+ G, I: {. t
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, ^  H: A0 R  _  ^
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( d2 R% T8 z! V# t9 A) M' P6 `  C
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.