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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
- Y2 \8 H3 \& x" `; O5 P2 M( W" C8 M/ C1 f/ X$ @
2。下边证明有没有毛病?
. H( S, N  J* W. ]4 G+ {2 U) w; L9 T6 O0 i
设  a=b2 B5 m% l+ a( }0 k1 G- D4 s

3 I; G: e+ Q% N7 \( q则有: a*a-a*b=a*a-b*b# `' b/ Z' X& t  h$ `6 [) d. }5 P
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
7 r& `. G3 Q( h4 V# b. \. c/ _& Y( {# A; b( h- p$ I
a(a-b)=(a+b)(a-b)
: M* Z. y8 T* q! i4 y- E% w$ Ta=a+b/ }+ X7 j3 ]( Z. p  r* I, c
a=2a
2 L. \. a" W8 A6 v$ |1=2
7 a; s( o9 ]& }8 \( g! q8 d
; n# T) M& K% X: B: V# K$ S证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
6 Y4 c% e  N: g3 v$ `5 S) h0 b
& k' y7 V% m2 I8 z1)不能。比如1- g5 a# a9 V2 ]# L
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* A9 h! m9 \: o5 i7 R
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 H7 K0 T  K' A4 o: r9 ^3 j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* k5 H8 j" S; V; Y5 G9 `3 I
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
# G# n, J( _) A: l6 ^: r
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* l( w0 c- W5 I# v5 t. w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! _9 }' r  h& H

7 v4 K- Y/ Z0 j- L4 F7 q2 z4 N6 l为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, z5 N, Y& r# r# P5 S7 j0 P( ~5 o6 O/ J1 i* A# R8 ^2 ?
Proof: 9 p2 V% y6 l$ D2 M' X# y
Let n >1 be an integer # \3 M2 g. I; w' f. I
Basis:   (n=2)
  U( J) N4 r/ ]6 k         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) Q( C, o* z; D  z4 V; ?
; O( a; z  _1 N/ gInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: ~8 y3 K+ N) @/ v, f: ~                                     K^3 – K can by divided by 3.$ i9 w5 x6 \, m/ A7 O& W+ U2 j

8 s7 w8 P# I4 _Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 \9 ~! a6 ?$ p, Y: a* `/ B# V, ]$ ~: \: v# Jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem+ h# H  _2 ]) Z5 D
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ @. ?0 y- w* i! B& z- m                                     = K^3 + 3K^2 + 2K/ b/ [2 s8 @2 N" j5 d8 A
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)/ o8 V% H, W) w/ j2 L
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)) {; f: q. W) }( j8 [
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>04 A3 x! Y3 r7 Q3 N& k; F1 ^
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! n1 E9 ~) P0 w                                = 3X + 3 ( K^2 + K)& _3 r. \  d9 ^6 j5 o# r
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3  F' _$ G' G2 |) k- l

# Z3 V9 S! j/ {" d: I) PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 }" \! O. H! `( T* k$ D+ Z' ~
- K! X# J' t  ^' _. [[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 K& s3 l% z, t& n3 [- t
, b- Z" C* v$ R. j* ]1 Q) g, H第二题应该很简单
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 o  \. [" ^& }) [8 o  {3 m" j" mShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 N8 `9 D' E6 D& @/ {" Q3 @( k& d% J" t
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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