出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

, @8 L+ u! o8 ]+ F8 R2。下边证明有没有毛病？
: e" g# k+ ~8 b/ C9 `. g- r- [8 R
设  a=b
2 F# G. x4 c: E- C
3 O9 {$ ?7 v2 s$ @  J) O+ V则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- H3 Q+ b. |; h/ B9 o两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" @5 e  ^5 K' X6 d
/ Q2 _1 Z( j0 a7 C# Ha(a-b)=(a+b)(a-b)
7 S3 b0 {$ P5 `1 U" n0 A% V! p+ oa=a+b
a=2a
1=2
- c# z' g# J% S+ g  k8 G2 d; H
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 f% g0 t; S' A
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 _6 R/ a% P( Y' B, [( X+ e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 R, v/ X! f5 `6 T6 n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 u; W2 l! Y! n& m3 O看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 b6 X4 b+ X) G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

- d4 I: h# }' K+ T2 z& }5 C" N& Q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
( Q2 Y; R/ B7 O3 z7 Q5 H: k5 U' ZLet n >1 be an integer
+ x1 U/ L7 Q+ G) Q6 D5 L3 }4 UBasis:   (n=2)
. k. q: t6 v$ r, [% [& \         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

/ n5 F- K$ e  z; BInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

0 V- S! Z$ J( ~! O) b0 q3 q& W8 |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 _9 ]0 \& H+ C& x3 ?4 i' S: Gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# O0 ]: ~7 ]4 m- ~Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, l* a7 m3 i% [' Q7 s) }                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# ]1 \1 M7 S" U6 ]( l- h8 f6 ~by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

0 ^% W8 w) P. T) R$ c2 N1 m第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) L3 b& P8 A1 a: m" q
4 \, S2 F2 G- U+ S6 n: x1 CSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.