出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
3 O$ j3 K- H7 Q5 E9 `
2。下边证明有没有毛病？
8 Y% i  n: ]; f6 }$ V
5 {. O/ L; t8 u1 i8 m$ {. t" b! Y设  a=b

+ q5 b5 {+ c" ~% j- h则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
: v2 b7 K+ P8 K7 l6 ja=2a
1=2
$ F% V8 @/ o% a
/ [1 w' L9 l$ w$ d) `/ Z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# G; o  j  o% c8 I
1 [# D1 S) T8 d! S) W1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" L( y  h" \- l( H: k8 R

" V% X$ ?1 \( G5 f- o8 a. @6 @为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

- M3 j5 s2 s- ^: X. lProof:
Let n >1 be an integer
2 l( ~1 }, c6 [+ wBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) N. o' Z) Q- _2 c. Z+ L& c
8 j* s5 q* Z4 c/ D- n+ AInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

+ n" t3 ^& d$ JNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 f( ?0 d& j; g2 U7 u: VThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* H) a& j: b# j) R4 v+ h                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ k/ A( |5 g4 V4 _4 A7 y. [So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. i# d$ n- ^! d9 G; J: @                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" T# o- V4 ]* ^+ M) H$ N                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

8 l6 Z& e5 \+ B/ R  \: C( @( k1 F! zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 _5 t- J5 l7 @8 C& s2 G" M
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.