出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

7 x: V# n) t, X+ e设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
7 m/ E, e1 b5 k( ?) [$ ]) S两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- l: c0 P( f, j" n. Z( `5 V
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
6 q/ R5 ^# U! D5 xa=2a
1=2
: \$ F5 T5 L' M# j) X; s* Z
1 D" k  M, S3 {8 W9 P0 }证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) g# j/ n% O, y
1）不能。比如1
. J: S4 K) w5 d; }2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- i& _5 X/ t* M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ u8 O. N6 V5 V! T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! U% a- F& e+ Q9 b. l看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ B2 V) \6 E& m

5 P' Q$ T/ h+ `. D( l, k为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; f# X  D2 R$ e+ [# i* j8 l
+ i- t" p7 R& l* \& vProof:
( h7 v/ r3 ^$ x" }) J+ \( FLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

& B/ D, e4 L; l$ [; ?$ {0 w7 B: PInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 z* \) K; @8 o, z- w  Z2 d2 k* oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 T3 I' @9 P+ C7 m/ j- [- bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 {2 T7 T% A2 A! F2 iThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) x! r  D' g/ p& y" P                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 N6 ^9 @/ ?# l; a. j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( v6 ?# j5 l$ c& D3 |
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 [1 v1 A1 S( o8 p/ d
' z; q' ~5 B5 J. G[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" A( x2 a4 B8 `: D! i  r- Y( c
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( O9 H! f, i) v. ?% x' S( I/ |- RShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 c* M1 z2 x" z2 i9 ~& \
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.