出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 Y  g" M) |% b4 L' S
8 D( X0 d4 M3 ]/ K& ~2。下边证明有没有毛病？
  x6 \7 {/ i. Z8 U- G9 Z
设  a=b
: E& ]6 E$ @# \9 v
' f" T$ E0 z5 w4 k( B" j0 x则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 B6 C7 _) M3 b# W. ~" s( Y& j
a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 u  F# q7 _7 g7 fa=a+b
# T" W+ r4 C, Ma=2a
* L& f3 m; l8 K( D1=2
" r2 e5 d/ X* V2 m& v+ ]" k
3 v/ P: [) p/ ~9 c) H5 |证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 j7 |+ s, X! N! c9 J8 D9 ], g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ U& {# ?; o  ~' y4 d& P# O% W6 `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( n$ Z3 k: [3 \) V) y/ V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 n  g9 j  c0 b; A' {4 r4 b& d
' i1 M# i" E  s: l$ ]4 yProof:
7 l! T2 l& n; I& M  ?, j; JLet n >1 be an integer
# t5 p  W  J) N  s3 lBasis:   (n=2)
8 W2 _  r8 z9 h$ K$ {         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  L) W! k! E# g# w2 N
( [$ f: f+ x9 g6 h7 Y: TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 J1 O( n* P3 f2 v                                     K^3 – K can by divided by 3.
; U8 w4 E, u' a1 T9 o1 h
  |" k2 b/ W6 L' ?; P% o( _- gNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 Z+ w, r- E3 f, k) B9 }& n                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

2 X' q. ]" c8 E4 ~- O[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 |$ C6 _7 t& ]
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 l( J) r1 _0 |/ ~5 K- QShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, y4 r" m6 q, V) g' m+ F3 B9 a4 [
1 r9 y- B; L6 WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.