出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

7 o. ]  o2 [# v4 Z& ]7 g2。下边证明有没有毛病？

$ y, w- }* a% c/ ]' `9 B+ s8 H设  a=b
  u. W+ @7 m1 K  ?* _& p
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) v# k$ S& n' X1 n- ~, Y3 ~两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) R7 |6 T. w3 d5 S8 Q
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
8 \: r6 }+ e0 q
  \  ~; O8 S- K) m, e证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
8 F$ n$ {4 t3 R, @6 f
1）不能。比如1
# c+ C0 y# ^" n" N7 \2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 a9 |9 l( @$ d' b1 ?7 ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! J0 H# e: m: I$ o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 i, U6 @& B2 D; h, {# {/ m2 g

! u5 t5 Z( i5 ^, \6 ]7 I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ H, y. t/ T/ W$ _8 L) V4 @! l
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& y8 W# r4 O1 W6 n  e% U6 M9 e
# u8 u* s3 |8 O' \Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ o  H: M8 j% ], B! d/ a5 L' x- K                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* G$ h* y$ _% Q8 s1 ~& I' yThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' u2 ]  _; k% U/ J, I                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# ]0 H! J+ X6 k  V. {' G5 W                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 U6 e  h/ Q: e) A  B/ a$ x1 Aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 Q7 W5 q% R' k4 f                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) F/ W6 O5 b% u' i. p/ q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- P0 |8 p9 s% A& ^) \7 [
. n- b- P& Q3 t3 Z2 H+ D" s[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 T8 G9 }0 T4 j+ U# \3 ]1 i
- y" Z4 H9 r2 Z/ E  J5 q/ }第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 i1 |6 j+ q6 Z! p; Z
# b4 G6 |2 Q, a; x- k, T) W6 vSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.