出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

: a# m6 v; C& g" b8 D/ j( F; n$ g1 X7 m2。下边证明有没有毛病？

" q( E2 C4 y5 b+ L$ L7 O设  a=b
- S' e$ D& M# R
1 o5 F; b* b1 T8 A" I4 a则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: A9 H% E6 k5 M! U两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 k' `' H+ P4 v+ \0 g
: N8 J& [2 r2 E, G) ta(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
% C+ X- M0 C. ta=2a
2 o/ J: p+ m. s% I8 `1=2
' W: r: O( l; Y" J0 ^
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

8 f3 A9 p2 l0 l% @! _1 F4 h- K1）不能。比如1
8 w: g, v+ s& {, r9 S  E' y8 t2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 A! X: ?9 R1 _3 T/ w+ ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 u7 Q# J2 M/ `9 ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

$ W0 p' h( I% l) @5 H. W% X4 m为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# `! Q+ u$ R; RProof:
Let n >1 be an integer
( I, `/ S9 g( _$ }* H3 mBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

! D- H* D: _( k& o, h! G9 lInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
0 K6 S: E1 `/ V, A# s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 z! V6 J& }! JSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: }0 |' q1 k/ G2 u- L! g' o4 t  E7 p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 p3 l. m2 ?  L/ s1 x
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

8 i; V3 w8 m. s: q9 o) F/ V[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 ]/ B& f! p" E8 b& w7 B
8 _# A* u4 Y  E- G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" N; a. X( j1 P1 I% T
  l* \8 [, ?4 W9 N+ `SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.