埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2564|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
6 n* v# k2 _: T1 L+ U, N# _  M: a" p% C1 y2 _, I% x1 s- H2 ~4 M& s5 V
2。下边证明有没有毛病?% ^1 N! |* ~1 F8 ]+ w+ s
7 A# H* [, d- p; o
设  a=b
2 T8 V3 a3 K( R" \1 x0 q) k; S8 [/ H" k$ S4 ]/ Y5 z+ O
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
1 z) X$ v: e2 D两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
) ]9 c( R; g% a
4 n& @7 `& r) V/ |! P/ da(a-b)=(a+b)(a-b)
' b0 e6 ~9 |5 Y0 C. za=a+b
2 \1 h+ U( S4 S3 \! v1 C7 ja=2a9 ~8 e4 K& a3 T$ v, d: h' ^  m
1=2
- R  v4 ^' ]/ f$ M# y$ ~5 r+ d1 W+ U1 F9 X' E, f" ^7 h
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
1 Q% b! P' g8 |- a8 U! T, I: t: ~9 U9 \6 R5 v5 c7 c9 n: Z! z
1)不能。比如1. M: |  f1 x1 h8 O+ E9 J
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* L. Y3 M: C/ X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: ?* ^% Q# ^! @4 }6 K  P" b
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' f; T% l( r+ \- T/ {# q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 s  O+ P2 S9 z6 ]$ U看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:2 g8 m. \" Y/ A/ M* f- B
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 B1 p$ ]3 Z! h( E
) p3 K" C- S7 a) {
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)) C+ D5 m: @( E- y
% l. v* S# S. e$ v$ ~. M  X: i
Proof:
$ T, s+ H( ^8 @. y) X8 O6 m8 TLet n >1 be an integer
9 S4 y6 ^, @7 yBasis:   (n=2)
, r; r: ]' [- v' U3 l/ j         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ O7 O6 D, |0 I9 B5 m9 h/ P+ m/ _) o! N; g
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" @& E. o) `2 n; {2 ^, ~                                     K^3 – K can by divided by 3.2 Z* y1 |/ e" E1 Q$ A

8 M8 J4 `6 \) K1 bNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 35 u& w3 v$ ~3 A0 l
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem' u" s, }8 }' }% [9 F! U, m4 e/ H
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1): }- i, s& g7 V& b! O
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! G5 I; J) i9 K: F                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 H2 @+ E* K& ~  ^5 l                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' H1 b# A% c8 Uby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 Z$ E; g4 G0 J: USo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K), F3 |8 f* _5 a& l3 {% X" ~) [
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. p' d" L7 R3 R2 F                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ w+ r& g2 d$ I5 @6 ~8 T
& u- ^8 R+ J$ g( o1 Y- B6 kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; f3 }/ U  G3 f/ P+ B( j1 r5 Y9 R+ {4 y: r- Z  v1 M! R
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。* u: X8 N1 b( s" e& Q6 d

; a! I9 Y: v+ y2 @- p0 R$ V5 G第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ c* Q; L0 C& v1 u1 u2 cShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
: {9 M5 _, U" x
/ }" O4 C9 j7 Y
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
大型搬家
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-4-30 09:32 , Processed in 0.144385 second(s), 17 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表