出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
8 \- t0 ~9 @3 l( b
2。下边证明有没有毛病？
* i" W& H) \. o, d
设  a=b

: u) {, l- r3 {" _' s3 B4 J则有： a*a-a*b=a*a-b*b
" a1 `8 W/ G1 p' `8 M& g两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

7 r  ^* W5 Q7 y4 m* ?a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ s7 ^  }0 k0 f5 n+ e6 M" za=a+b
+ j7 |/ D' I) Y) Wa=2a
/ d/ B; e: T; o0 @( O1=2
* ~5 L' l' t6 q
! p- O. n" {# y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: ]# H, H: o( X* }
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- M  d* \4 `$ P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  ]% @8 y$ Q$ i% B. A1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" `( N# L1 ?2 M, F6 E" k$ A8 x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 A: g4 p! ~# x/ y. G( S$ o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 K2 k" m: I% x; {1 t

4 W" \( T6 x* y' i为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( ?) A& c7 X  `% S) e9 k
Proof:
Let n >1 be an integer
5 D9 `) G7 U" N6 RBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

0 z3 J5 ?2 ^9 K& S- N6 uNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 a/ g: ~  B* F+ P* F6 S) i% T3 lThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- A7 ?# E0 i. D) d9 _                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& n$ Z. ?" [8 }( F- K5 t" U& B                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 l1 |' f1 e( S: O                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 ]  C5 u6 d9 Z  M  p5 Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 V- k1 h) m9 h1 l
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 G/ ~2 _. G4 x) {! d% m
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* d" Y: y0 p2 p: @$ w
, j6 Y# U1 `: i7 x: u第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 G- z3 t4 c, n* D4 d% ~Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 H) u  l! }% Q. s2 ^+ K' m  h
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.