出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

3 m) T  j( X7 s* y0 k+ C$ \2。下边证明有没有毛病？

" d! c2 B+ r/ E, ~7 y3 q. d设  a=b
$ R8 w. {5 z( o# S9 s# i4 n
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 H) G3 Q1 T9 s, C3 b) Y5 `两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, R) v' d/ H# G9 ]3 n
' @4 ~1 E4 F4 A3 |5 Ja(a-b)=(a+b)(a-b)
- }0 H0 j6 j0 z* d. v1 |( F  ^a=a+b
% @9 [7 U' |9 _3 v$ ya=2a
1=2
! g: f% ^" L! r8 ?, N6 i3 j
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 K$ G! w6 M( Q/ C5 l
1）不能。比如1
$ P4 t4 d3 t& p1 i3 _1 @2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 Q2 |5 G! E: U0 K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 f/ U3 b; g* v: U5 e' [2 k2 `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

9 h0 P  Z* W! `Proof:
Let n >1 be an integer
8 P/ G- l! m4 m" z' Q# }Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 d" E: r/ |- q7 u. X7 p
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; N; F/ J' q) u: TThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  N: h$ Y/ |* Z8 s8 \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 B( m* w) O& q& G2 N* G                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% [+ ?; ~3 x4 z, q1 d' M0 V0 Jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* P: ]# S( J5 M# D7 iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 {8 ]2 w5 H6 e' v& R                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

8 f  l9 M4 i8 {) A/ f: a! [- o% ?3 Q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

- G2 q& P3 Y& j% h' _. n9 W第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! {5 }5 K0 E6 g- N7 v7 z$ SSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.