出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! j. m5 o! I7 h! D' m9 O3 Q
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 x8 L# m2 y) I' z. t( Z8 ~
! O: H, h' k2 k/ _, e7 ra(a-b)=(a+b)(a-b)
1 h7 e' Z' |- P: T( na=a+b
8 k2 ]* {5 X/ j- D- Ma=2a
# y9 C$ f2 r$ Q1=2
5 F; X3 V# v+ W* r
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
, L8 `; b) R" E' l( _) s$ y
( [9 f# E+ A3 K# o1）不能。比如1
& L/ I& B0 j0 h. `# k2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  ]7 k0 l. h% E4 B& g$ V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 Z1 V! C$ o7 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 X* j& i& ?, _1 b% D$ P/ ?看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

" D8 \5 W1 X8 ]$ Y8 _为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, \6 q" Y# G9 d" a, _+ L, tProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! T2 A" V  A& R* }1 O( T
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

' l3 ?- \) _. t* h9 t. d! M- P& \Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ D) s8 H$ @: x                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 n" H8 r8 u' C7 L' [+ J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) @  P8 y0 l" m1 c/ N                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 r9 k! N1 W9 I6 {6 b, Lby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; C9 f7 p' O2 y$ ASo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" y7 X' I# U0 ~1 j7 Q' \: _                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 H2 y* f1 U% B
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 \  a( O; k7 @3 V. r1 ~5 [
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

% ]4 _) \5 O; v* d) T第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& e# L& p" n, @: {% t9 JShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- u6 f8 r3 s: S2 I
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.