出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
' F6 b2 c0 x/ q7 S
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

) l4 s0 }$ H5 l2 |( I则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
- w2 r8 K' A: C5 {* ]$ oa=a+b
a=2a
1=2

0 Q2 g1 `6 g  z' q$ S证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: H$ F- o5 `8 Q2 X# u. V
1）不能。比如1
/ v- I* I  U3 G' E4 O7 U2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) p0 Y) S& L, |, }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ w$ ]1 ^( h3 `5 H- |* X: {3 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
; b* V! V$ r' v: E& e4 c         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 a/ G' ^: s* V5 \- p' }' b
/ }) w% L2 W) c' c" V7 J) ?Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 f4 {, {3 R( K                                     K^3 – K can by divided by 3.
. Z7 _2 v: ?; O$ m! J1 y
( Q2 g8 y  B; Y0 L" gNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; ^$ Y0 _8 k/ f6 Z! c& V/ `* M                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
0 U. G. L! r/ ^8 c: ~* c                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 x0 Y! l3 I: Q7 c& ^7 r! M  k                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% [+ @$ B8 K- V; X( ?9 ^by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ ^3 L* h! i5 H4 d- g  i2 W2 O' n5 i* ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- C6 Q% @" D( x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

1 k7 D( b: t" `6 T: F; y6 _Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ b  m6 V" b7 u( U- m
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! |% H' m9 ~# F
, @- K$ F# M! z9 e1 K* M+ s" C第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 z9 r  [, p( uSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.