出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

4 J/ p$ y$ K  S2 Z9 h! D% K则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! S8 [* n; G( M/ R. @两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

, ?! Z- k0 Q4 pa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
$ V& l" v$ v: n- P2 ~( R( ya=2a
; e+ W" Y) S) L7 a$ g& k1=2
- }, s! Q( }8 C) H0 x
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 F- H# g# N/ q. O; j' p( p
1）不能。比如1
- j" y1 L! H7 L; A/ O+ a$ ^2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! n4 b, ~+ @1 F) f7 Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ d3 G; q8 e- w$ O; Z. o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! e4 `1 C: ]- ~) Z- P

* V8 n3 o: _4 v+ q0 P为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
" n1 J$ S5 \8 E9 D) B
Proof:
9 {+ O1 u' X, ~6 cLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
+ }+ ]8 A+ I" F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 [' `* J2 N5 a: e. M* Z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& k) \& E' \# g  O& O                                     K^3 – K can by divided by 3.
" }6 o2 K; v- b* `; G7 ^2 m) M
0 z- d6 K- K# M$ T* X# nNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 `: o* _! J2 p2 M+ X3 P" rThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" m8 x3 G, D- N' [; A0 d                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 @' k9 m- e) o7 V                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 q4 Q4 \+ p' d) }So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 i' G" o2 A0 l
' G) j3 E+ q9 S3 }) a# zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

8 O/ e' C6 E3 h[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
5 t3 E7 c- }5 T# d
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) H4 T7 a/ F  U$ g: n; c7 u; U
: p& B  |& y: MSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.