出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

& y7 I2 E8 R; _2。下边证明有没有毛病？

/ [; C$ k) u1 m4 R设  a=b
$ y. ~7 `: h7 a, [( u) n4 i- M
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' I: _# F" e- G* I
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
8 m( z+ T& v2 L9 t* {3 T+ T% e/ _1=2

5 W' O# ~3 Z% H  l% ^4 _; Q1 `. M& o' m证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

# J; d+ V4 U. Y; Q* v) U1）不能。比如1
+ P6 K- H$ j' o) i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 n. ]- k" h! R) [% r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ f# Y# d. m0 V! S( z% `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, d3 c, Y; R8 w2 \; v! X4 m看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) w: o; t( |; U8 C& g( h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 F8 `& K! _  z- d' n

; X9 x: K" ~$ q3 L为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 p# Y. w( A, h6 C
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# `4 Y' h$ Z9 z% v6 b
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ A! e4 T0 P: ]/ Sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 d( [* o. S; b. g' s( Q. |& RSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

; s; W/ L! T+ y' B5 g% V[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( H+ y! x) Y7 j
4 U8 `5 i: b" M3 z( P# a7 x第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! v" h, D; E) a) a8 H! i- O* L
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.