出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

# @0 r$ h, _; d2。下边证明有没有毛病？
( i: r, \7 w3 r2 T1 y; a, d
6 _" s( r* s/ P. f设  a=b
! o) o+ L& h# M. ~: L/ w" ^7 P1 P
5 {9 j# m$ Z! ?) T4 O3 {则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
: Y0 J3 P; u4 La=a+b
a=2a
* U; Q9 i5 m& q% @, V1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- z1 I$ w& U; s: F  _+ K: ~& Z
$ U$ W  B  V0 c' c: N5 N  V( f# Y1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 ~- ^' L8 [5 C* }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 ^& G  n( Z% M2 x; B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  B: w# ]) R' n; J( z- q3 Y0 P看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

0 o' ]; y  y+ s6 l1 \, U为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 ~7 u4 G: }9 W# I# e
Proof:
Let n >1 be an integer
0 M+ N5 G1 l, |. `4 D+ M* FBasis:   (n=2)
5 ^5 n6 V7 W3 n4 B/ e' n         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) E! U6 o" p( f  l' N
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ w, S% t0 ]9 Q) ~
# F" W* @2 U8 W5 P3 W% ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 m  {; W: u3 a- M+ Z9 M+ @! yThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" H8 D& o8 B+ ^0 r% y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 Z* _, k$ z, |; Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 F# C! O0 p( U% v) |+ t, I3 O3 D! I                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; [$ g: h% I' ?8 D/ ]3 S/ ]
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 ]8 e* H, }0 U8 X- R- b7 d# k
2 ~4 U" D2 y; w8 U[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

3 y+ u* ~# @: E; y0 W, z- K' p+ ^5 V第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.