出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
' Q4 g' b% H) u9 L* O$ x5 I
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
  O9 u/ V6 k* O/ k! v" D
a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 z( D  _0 E. ^# |9 Qa=a+b
9 Z* A' d9 p& P) e# pa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" R  T$ K4 I, U8 y) Y1 ^' V$ Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* T+ o/ A- [) ~) }2 L9 Q7 g1 U$ z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' l2 d6 t: B2 t/ I. p! }, X; b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  {& j) ]; {: {6 ?4 p- M

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

' Q/ P. I( _7 V& U5 g* PProof:
8 w7 k( c# `  [4 s+ q& N& ?8 ALet n >1 be an integer
3 i0 o' Q5 Y+ Q% D- x- Q* sBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 r  S9 R7 ]2 N8 Z* f8 H4 g
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 [6 X( O+ U4 ?8 v2 R                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ c  ?* x; K: M
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) G$ Z* ^3 u7 F                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, N$ V, p0 A( K' [9 Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; x, Z: l& i: jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& _; Q  T# j6 C9 x& x! [, v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 s8 X- u. l( q
$ C% u- ]3 x8 H" |$ o& p) ?7 _[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( h* {+ G: a5 ^1 b0 x
( p6 A6 G6 A  G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- I: n8 w4 R  L+ SShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) U' z1 x7 O5 x# T5 {0 p1 M: [
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.