出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

6 E8 z& m9 ?3 V/ m0 @* Y: w2。下边证明有没有毛病？

7 H& G6 y% Z0 N9 j& i, g( A* Y+ F设  a=b
' }; w/ n7 ~) h+ A
  H5 L9 B/ v& X0 X8 H3 x则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ w+ p7 X0 Y0 m1 Q- X两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

- N# E$ M( E0 B' qa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
* u7 G) V' s. T3 Ra=2a
1=2

, d- e: A& g4 H$ B/ ~/ r& R证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' x. h0 o5 x& U3 I. B, T+ E6 p$ J2 Z; k! [
1）不能。比如1
, G4 t% X) K6 s+ F" _$ D% f2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% B- Q' K# i# J看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" u; O: t) L- Z5 O5 X& F3 P9 V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

& E" n! o, y6 }4 e) @8 J为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
% _% T% H$ s7 P  j+ nBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

3 ~7 ~2 P" w$ u6 [& oInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
- [( A. N7 Z6 i, T! e1 P- f9 P5 `
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: M. P" s  }) U& x: B$ A6 Qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ q- g4 ~1 y4 {( e) }7 h* eThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' K- i1 x  l4 s0 o, N6 [                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ @9 ^0 X! G- `) p  E9 l0 t4 K' E                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 {3 p% P2 ?7 [by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ W! I/ h+ K  G                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 F  o1 k) C; ^! C* k0 q* R- X) Y( o
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 x+ W2 f8 M1 X
, v- q$ h, j" f* X  |# O[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 u& e$ W3 f2 R  n/ `
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 l) y, Q2 {! \0 e) ?! ^* p& n
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.