出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  l4 p+ a% Y2 B+ a0 L
2。下边证明有没有毛病？
1 R# e1 V# Y8 Y9 H! @
  g, B4 L! Y8 N3 Z+ `设  a=b
$ }1 \9 D4 \" p& l- r
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  M, E1 A3 v: y* I- ]9 d两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
; b4 r! w. L4 _3 Aa=2a
1=2
2 S) ^/ C$ t2 ^  L2 z
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" n8 X4 b. x9 w5 ]4 v4 r
* Y$ A& n) G$ n" B& N1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) j0 p2 B$ Q1 B! Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 l- H# v8 {6 I0 T+ g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( c% F) a2 h5 o' O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) i! u8 ]- U  T# Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 Y3 W" U5 A* S. x. {
Proof:
( x) o' r  k1 b6 |, H4 oLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

9 z0 k2 M* O1 d& n" _3 o3 T, nInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! w2 a0 R8 V: @1 ]+ U) ~since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  ^7 j( k2 p5 C+ [  s6 [Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 j* _) e5 \- P2 lSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- f5 d5 Z% u8 K8 b8 d$ i                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 v- R! ~' S  X( A/ I0 Q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

1 `: ]6 Z7 N; c! \) [[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

' T9 Q3 w' I( S, U$ o$ h第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ T" G1 I- {$ a9 f# I9 c! ~# C6 s
+ H1 s$ p% H* c$ x3 qSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.