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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?. w( Z4 X1 W/ g( r) T- D
/ K* h; W* ?/ r& s6 p
2。下边证明有没有毛病?
( r/ W" b* k' z, |* X
" q! _- a) b1 h设  a=b
5 k. |% S5 M9 B+ `9 T
+ P! Y5 k( U: Q; z9 Q+ ]则有: a*a-a*b=a*a-b*b
4 p1 M9 e! s2 g7 F& L两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):% D) u: j6 V. C, ~

( Z8 @) k; b) @0 T( v3 ja(a-b)=(a+b)(a-b)
1 a9 F( A' w% n$ \; _# oa=a+b
! w/ T& V2 ^! X" \* a5 {a=2a* c- k' P" l. l2 N0 K* f% H
1=27 ]  z5 N; J! Q3 c. c+ F2 ]4 ]

% v$ z4 U: c- r5 a" T$ z' a证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
2 S; x, t9 k( O
8 L( K% ]4 G  e1 d1)不能。比如1( d5 d' p9 M- y: X' {
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 H! m# X2 Z. B, w
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:7 h7 b* x3 r8 q$ J
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# m9 O; N+ ~- [  \4 W! ~7 \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
! X+ J9 s* X3 h: W. S) z2 s
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:  O* a; C% L& W! m/ B3 R" q
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 X# _3 {$ V# n3 ^' U5 b# x/ x
: e  k& r+ s7 c: f/ E: }
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 i; ~* F5 i' J' j
0 e& p5 q' v, M! o5 ~# L- y% {, qProof: 3 E2 ~2 E$ e) ?$ k& W3 N& j6 p
Let n >1 be an integer
" Z. `( r$ s; p) i/ d2 vBasis:   (n=2)
- g: `' Y0 w) R0 n( k         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 38 @% n7 y9 S5 C( _9 W0 \- e

" u1 X0 i/ x# iInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that0 B5 D+ N! y# v" H
                                     K^3 – K can by divided by 3.9 Y8 I7 J2 ]  Q) j

& f7 O/ k" @: @8 Q) k& Y0 [Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 33 i  Q( b! Q7 Z) Z
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* [& i$ O% p3 Z& G0 ]7 \Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) ~$ L8 s2 W- O6 N: a# A                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' x7 {! f, }9 ]. J: Q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 O) A; G; T% p! ]. k1 T, F- p8 b                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ E( m# Y; \( V$ U) h% Yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. m  D) j& A3 A8 m4 {So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 N. W2 H* I; {                                = 3X + 3 ( K^2 + K)' S3 m' l% [3 n2 _# E
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ h0 F8 b8 u, z+ i, ^# `: S
# D4 E0 N+ `5 {) c$ Q3 FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% C0 B& a4 B! D- a
/ T* w# {0 |# V! s7 c[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。- R& y2 Y+ K( g( W* e& E9 q

- p6 K8 f! ]! I$ H6 ?第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:  a! \9 E* g! b% D0 D& T# Q/ A8 _& S
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
- E+ ?$ b5 G4 a7 t- r# S- I
$ I% j* h, L* }/ X# O, E" s
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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