出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

+ [( k4 v% j4 {. L# V8 ?" V, }2。下边证明有没有毛病？
% s) M, j3 j* S! N% t
设  a=b

. [$ ?9 Z# M, q* k* R  b则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

! O* X; C+ i- G4 @/ A" }5 }* O+ ga(a-b)=(a+b)(a-b)
  w' j& H7 }8 r% ], ^a=a+b
a=2a
" ?1 l0 V) ~/ }) u% l% }' g# D1=2

& k, E" q4 ~* y+ O4 O5 G证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" i  F' Y4 D2 m- M
1）不能。比如1
: d0 k+ @# }  t- U+ R+ D* Y% s( V2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" J4 M+ _4 n& \; k3 Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 \- X8 U- R0 ]% V看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

; |' b5 k5 ^) \Proof:
Let n >1 be an integer
3 S6 I! y0 x) a1 q* `  g" ]Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* T8 k2 s! p  M' l/ F' x
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 m$ b3 `4 f. I$ P4 Y# W                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 J! J4 }$ p( j7 A8 J7 w) P
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' p* x5 N" w5 B. c+ H, ^9 t" W# _" k                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 _& o7 y" b5 t8 A* ?                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( |* [2 a6 f. l/ U* gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% B' z$ L; P7 T$ j. E- u! E0 ISo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 b2 O+ F2 L7 g) D% ^                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' x9 y# ]3 _9 z2 N0 b
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- r# m5 p: a- }+ ~! ~
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. n; |$ k& {; Y- Z/ F- ]: p: q; ?Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ R* n" I5 O$ e" OSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.