出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
' R" i2 o- x8 W: b6 S
. P/ z2 D' b9 a9 X+ o; f2。下边证明有没有毛病？

2 J$ M$ ]7 }, I. R! @( z设  a=b

0 p4 K6 f* S+ }/ T则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

# r) e2 J6 J% ?6 C% z3 u! U7 F2 Ea(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) y% r0 s, e" i5 }- Q
1 {. j4 h% a; W7 A! e7 I! u" z1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ L1 u" g9 e( P2 e* x. I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 o  }  v& D5 P% U' Y2 b1 e4 y  H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* ]" s* _& n* O5 _7 k8 w; b1 k3 f

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
8 E2 ?; Q0 r" L5 d; i0 tLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

" p( _* p1 T# ~. K+ y0 U$ iInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 V- d5 `# q$ L; e                                     K^3 – K can by divided by 3.

0 Q3 m1 d' `: y0 g" z$ H% G/ U; XNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  v. {) _- \$ B7 l  V; W                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 y, D5 r/ \# ?  d$ Z& h$ dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- b6 Q' p" V' j& [                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 n+ r( C& K" }5 ^
& y4 Y' K+ b' O) S/ VConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

2 ?2 G# G" h6 j. w+ A[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 w2 T  g3 I" _  E. s% y1 ~% i第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 P. s* H& x& Z; N" nShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 w- f! Z$ `( l3 r! A6 K* `3 [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.