出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) k& ^* B' d0 d7 u9 m# M/ k
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

+ Z' a. S  J, k% s* e9 G3 L2 X则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) r3 W! i3 N# L
) {4 Y# h4 G3 I+ Y; P0 Ea(a-b)=(a+b)(a-b)
# y- g  L9 s3 ~a=a+b
' y; m2 A( o0 Ja=2a
1=2

5 i, s( |! m: S  G) w证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' s4 q1 |1 F% e8 b. ?* U% r
1）不能。比如1
4 b$ B; K9 q$ u9 {% A2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. |0 b4 z* v2 t- X7 U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. ~0 k* H( E% x. V7 M7 Z$ X% o8 P: K看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ Z6 a5 G' ^" \, a4 y7 `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ s* X1 s6 J9 X8 ^

4 q; s. {! r3 Z; E' B3 T为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 R+ [, ?) g8 B1 k/ ?+ ?
4 J$ J( x/ o5 x6 {Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 c9 c5 N+ z$ m7 a! O% O# l! ?+ Xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) g# n, e) n, V* x: X! I: B                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  v0 Q# y' n$ A; Jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; z# v5 r8 F" XSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 ~0 f9 o# ~( s! s! E  P                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% A4 n& b- }4 X1 D' e" M                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 p; p# L, p! \% w: {
& ~* Y, l! }" g  F# n" G7 p4 K; bConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

# e, ?% a* s; B$ q1 w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ |9 B- J  Q( g
! K1 U7 ~) \& H2 i) U1 l/ E) p4 J第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 Q6 ~7 j6 z( g4 Q; UShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.