出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 O! {( T9 v  a  d& Q8 ^6 S
2。下边证明有没有毛病？

% u# ?! T# f0 B( b1 s5 O设  a=b
2 U0 P: B' j0 u# x- y
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  p0 F- j5 j( Q: J5 O2 G9 p两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

+ a) n3 B3 a. s& i8 R+ u2 za(a-b)=(a+b)(a-b)
+ S; K+ n$ M5 Y% P8 ka=a+b
a=2a
: _/ z: m4 L% j8 r: |0 J2 ^1=2
; U) f8 h$ I7 e2 \5 g
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- y; Y# v4 Z. e1 ?& _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' {& F# [, d' _( S6 \看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- ]7 _- a+ p& D  h$ ~+ q" a. h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) F0 L. l9 X# g# d

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
/ I- a% X6 ]& EBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

: _' x7 h; ]" ]& G9 ~/ M2 [Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 Q: E5 T8 N( j                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 N' g) Q/ D8 }" a2 vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: ~& Q- \/ z: ~! T- n+ m                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  E, ?( d- s2 I* x0 A/ z& z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ B) W# B4 r! P% i& f/ Z7 R9 [So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 T& v" J  I3 {% t6 w                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 I' k+ S0 ]; v) K# F/ P
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 F, w2 A- ^$ _; Q, t. ]
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* x6 w) Y: A( w% Q
( G9 d- a6 J! z2 R  V第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# r* Y8 p2 R0 L( a" r9 a' {! l9 gShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% U0 y; a7 ]' h" V- B( U
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.