出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
4 ~0 J, ^. X+ r4 z
: O1 a' G9 b' ^. p- j1 _- G设  a=b
" r8 F  c2 X5 N/ B) N+ [
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ g8 ]7 K7 h, `2 a, v0 Z3 ?5 S, Ma(a-b)=(a+b)(a-b)
6 G1 g8 A- H, ?5 ~% J+ T0 X0 s% `a=a+b
8 {( N& h. L# |2 e" t7 na=2a
4 w; x( T0 L3 k1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 O; |) }! _$ ?( ~5 J4 b: B  F
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. G) y; {. V7 g( m6 c2 l, @7 k; _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 D* m$ N( L# W. U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" U+ d6 u, N7 D. f$ h. m8 S看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

+ V& m2 w1 G2 c. Z# T为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
# U* x4 x& L' ?8 y' aLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
# J5 C3 G  D) Q9 x4 k6 R, A         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 V5 Z6 H5 p9 Q( U: I+ _( _2 m
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ t) y$ N1 S8 J/ L: Y# p* Y2 Hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 f" G; ]) O, x: oThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 X* f+ D. J8 V" c                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ a: @" n. E1 a0 @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. I5 C( G  [! l7 a! b; T
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 H* o5 o" \* n( W( ]- A2 w0 O6 |* l
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# o- E4 ~3 `6 ^# H
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 Q$ R5 s) q5 C9 ]9 z9 ?Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.