出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 l/ j" k1 x4 f7 o3 `
2。下边证明有没有毛病？
* T: N4 U: `! o8 a% h# A; n+ E
设  a=b
* ^2 X  k" i1 `
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& z! _6 Z, l# s# }9 d两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
  Z  r' K+ L1 l
# k% F( ~5 R6 b/ `a(a-b)=(a+b)(a-b)
: x1 d' \  L3 P. w5 Ea=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. G/ o8 I  x9 m4 u' k
1）不能。比如1
6 v8 ^( E+ N, s3 H/ U/ X2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, ?4 `- O5 U. ?5 v' R) H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 \# {0 h$ n! v& U0 |看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& b. k. A' a7 W% n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
; ~* P& S8 ?- A4 E( q2 d; X6 ~
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& ~' \! S6 ~4 ?" b                                     K^3 – K can by divided by 3.
; c9 b" [; _8 f9 i) R  F' J
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 f  B. ?0 L4 ]4 N6 X3 ]* xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# ~3 M4 F2 e) i3 f' s' C$ U& nThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- X/ v0 X& p. M6 {& [3 R, v                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- o+ p: x4 r" Z3 d. \$ m- H1 u! `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. @8 b1 @) i+ i: e1 vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 D5 w' A. G. M( \# e; C) CSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  ^; }& H# r! i+ [! J7 v& V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 O4 X0 Y! J) @+ A3 |) z2 S% M                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. ?) F+ N% K2 A: b4 F& ^+ u
! Q( g# d) z% C8 }% WConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& F6 y3 @6 m/ |) ^
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, b* p6 A2 y$ n# `) ?+ B: `# h
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& b" ~- `9 a% @+ d) C4 rShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.