出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 g4 G. J; b  T& P# P. Q0 p
2。下边证明有没有毛病？

- j9 N1 N) D. T3 r+ q设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
5 w. H, k$ l2 z" l# e! w5 i6 }两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, D$ O# n0 B( O+ o1 n
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
) `, Z% n& f% f( T: b7 ]a=2a
1=2
1 }9 B' z  R. x2 c" K
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 G( B/ m3 q4 r+ a# z2 \
$ o( c7 t& _" ~7 a/ O6 m/ n1）不能。比如1
9 R, a, y6 H! U; w1 n2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ j' W9 W8 \1 N6 w7 x3 j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& |$ y" K* J% w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* N7 I" W) O9 u, W7 V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 E/ ^8 `/ A% C, O/ I

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
: D& ^8 q- _" F) @6 V  \; [Basis:   (n=2)
& N3 L) A' {  [8 i( ]) ^3 S6 _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 q4 a8 u5 ~4 e  F
4 f$ T- ^8 H0 h* L1 N4 d* zInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& E. ]% e5 W4 |: l5 ?- T. x, f5 _" Qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 ^! R8 G! Y- U1 b! [Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' c2 ?( A4 u' k3 _7 Z+ P                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. M/ s! W% T; s) H& M
2 m6 g* T$ R- W1 I- c. i5 p# k- VConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

' Z0 S6 d/ A. C& P7 w# e: F[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# T3 s3 n: n2 o; K6 @
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; M6 I6 S; W) \5 UShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.