出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 C- e8 \& o' s- l/ E) a
, I2 W- l+ R; L( J  v2。下边证明有没有毛病？

* p2 u3 {8 N0 y/ \' [% R设  a=b
" c. ]5 k# o% H: p5 H
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

" D7 B. A# x# O2 v6 c3 D. ha(a-b)=(a+b)(a-b)
  N3 Z6 Q! w7 c; A6 \) wa=a+b
) Z; q% [4 u7 b! @/ N' Ja=2a
, E  S0 \' @8 q; s" b0 p) c1=2

: n3 W' x1 f8 l证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 E6 u( V1 Q: [* b0 s
0 |" I+ F0 @  ^# C1）不能。比如1
' W5 Y% |1 }- Z2 B/ ]. @2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 u& b+ q# m+ O2 u7 G: [5 P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 J, e  d6 W: p; H' e1 d% }

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
0 D7 `: e- Y, d! i0 o+ OLet n >1 be an integer
# {, d  C3 C& S0 r2 PBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

5 I1 m8 y' E8 N; j9 R8 oInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) J0 v1 {- J- R4 \8 i4 w                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 I5 J2 t$ t; Y6 e5 z: o                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& C5 F, b( I" t7 ~: u/ U+ I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; _, Q! a9 N- a; fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 j3 ~0 m( B, G" j+ i( ~. d) N9 ESo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 t- \9 m# w* |( O2 b7 A9 @                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 f2 W& a3 e9 y/ D+ \4 A5 }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 m- z! |" d1 y( f; Q4 P2 a4 h
1 M* h# ?" n1 S  O6 c0 G[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.