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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?2 Z$ G/ u7 s! X% `6 y# X

, W) M! A# w! h/ A! u8 f2。下边证明有没有毛病?
) K; L6 h0 F/ n
% y( |2 A# p- P设  a=b1 W* `1 k9 c& ~' v% E9 O! c
/ }' C6 \+ {5 v" q% M  S5 _  y( i
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
0 d2 ], ], _: G两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):' _$ `5 t( z7 [# U6 `) l
# {: \7 B3 [" E+ O8 c# A
a(a-b)=(a+b)(a-b)1 ?! K, U- J6 F  p% B( c1 C) B
a=a+b
  w( N: R7 M# ~, b" w  `a=2a
/ c1 v# G* Z( C7 B2 y1=2
8 b: P) I, S8 l) M( n+ u( V0 p7 o) T" d7 h* s
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
$ ^: m' f( f! @# M' R: H
+ G7 s6 ?$ e; e% z1)不能。比如1
0 F" s, M! g- \+ ^9 O( y- m2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- g* g+ Q7 M) F) N1 C( z
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:0 [2 E; M  s1 [
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
! _+ X* x3 g* X$ m) X' D, \# _. X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
" i# |. b+ C9 g+ @
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" c! f. x: @; `5 V8 \
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, Q4 L) Z5 u1 q  I

, y# U9 v; }5 c为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)$ o; X2 W1 ~- l' ?) o& y  F& R4 Z4 D  Y

; Z: @: N" ]! ^5 w3 e) F/ ~( V( zProof: 5 q  \: J) Z5 f0 ^' [
Let n >1 be an integer 8 y& R- C) g  t: E
Basis:   (n=2)
6 Q0 s+ e: a% s) @1 i. v3 I; Q8 g' ^         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 W3 @: g: Z8 [3 e6 e8 I
" g3 C5 j  H8 v; {  NInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ ^$ h. P0 M2 _: W, X                                     K^3 – K can by divided by 3.
  @0 C% D5 j1 E" |' A, c. D7 A8 \1 }# [2 j+ L$ O
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; t; a# p2 C- f" s' Zsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ X  a, _6 ?# c' `Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 a# `2 L, j" a* Y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K' D4 F6 v6 V4 t2 o) j7 l% [
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 H! u" G3 A5 U6 u- H, y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 F' t- ]/ a1 Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0. K# T/ _& c+ W( \
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)9 s4 X' f9 l0 c$ t/ G
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" l' ~% }; N# i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 39 y: s5 V% u6 E/ K
, ^+ M' e, [: ]" d% }! q/ M3 j
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. r# Z* g# y' U0 B, @7 L7 s% a: j9 {/ P0 O4 q0 O. n0 G
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。# w& q7 b1 Y8 U5 c

3 \! X  A* [' q6 D0 N第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; M% n( A7 q; ~# h( D+ oShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, y9 ?: p" _2 ?& Q: D( ?  a( d) r* B. B" A6 c( j
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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