出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

) L) y2 d& c2 L  t设  a=b

8 @" a5 V8 {* h0 n. ~& N则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 @, l% ?) S& g& w
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
0 ]) B. h" y$ x8 X: c( l; u1=2

  e* ^( p  c, ~1 Z$ y/ X证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
/ p+ _' F1 |) P& O9 a/ c2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' }& {- H1 y: @! e0 [. o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; T# F- K1 |: b! r1 z( b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) |% a( B) T6 Q# S" u1 e看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

4 t# N- W: ~' W为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

5 D, i" ]2 |3 L  H' IProof:
! e# z. H0 P7 |2 l! n& b& XLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 W- d* _  N- T4 l# \- E7 S3 p- X         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! O  \1 ]3 u) U% J9 ]
& a( h( u  }% S2 K) p" \% e) \) u2 _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 E4 y! L1 P$ \/ A# m
! V+ f; N/ ?: j! wNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; u) W/ D( \5 v6 z9 |* u8 V3 |! }) AThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; h* o6 I; m- P& z  U, M& F                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
( P7 r7 Q2 j! S9 ^: d0 V1 g/ S                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 ]# C5 M' P  W! h+ J2 `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 p: A1 L+ [) e) U+ e/ Wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; q# l) J1 [2 ]* LSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 W1 ^9 J9 }$ x+ B6 D                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# _5 n6 h/ q0 T: T9 A                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
! e. U; n, x) P5 r0 u+ R. W) M
; E0 {6 I  m% n- jConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
# }6 ?& q$ g/ c( Z! F5 H
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

8 @. N4 @+ k6 n8 Y% x第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 M) R7 x6 j) p" e+ p0 @7 aShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.