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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?0 U; b* p) F" {

& S% k3 o, }5 w, x4 q2。下边证明有没有毛病?4 Z* u& n0 d; X2 U

& T5 D( F! \! T5 I设  a=b
  k4 l( W+ ?$ U! Z7 c: F% }
' v; d+ v% |/ I8 M5 [0 K1 Q5 k则有: a*a-a*b=a*a-b*b" @% Y' t( T; R$ C. }# N! C5 y
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):' i. H) f( M: G+ C" L. \4 X$ X

7 J1 }8 m  G4 ?3 M  |a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ l) |1 I' f+ B; d) Na=a+b4 K7 x( H8 M& @. E: x( @
a=2a
0 \+ r2 F5 ]1 L. |4 d1=2
6 G1 G5 o5 v# @" f" z7 j
( }7 T( ]. M# @2 q. x; U' p( D1 K证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试/ q# Y2 H# l4 u4 K

; z+ {8 \  h' Y$ a) n, P1)不能。比如1; `; a. {$ U# X+ i% ^$ R
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。: ~9 v$ c  t& q
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:. B- Q+ w) G! b" A# {: C
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" R8 C6 L; S6 C5 d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: ~6 X6 r. G% z5 O: n& p看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ |3 }; ?4 r3 y
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 A9 c$ X: O5 F& l

) j# M4 R2 p7 p3 s' O为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)# {- q1 i( c# F

1 R4 [/ u& O" u, n% b9 h6 m2 oProof:
4 N1 H1 O( Y# n& {$ _Let n >1 be an integer 4 H  s1 A2 y( D5 C
Basis:   (n=2)& R3 a7 z, i/ @2 e+ g
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 j, g6 i$ X4 t( q. G( N! N7 \( f( i
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! h3 v% o0 n6 ^. k# H2 }                                     K^3 – K can by divided by 3.
, s8 y" D1 h3 V7 A9 c" d2 A8 ]
+ |6 K4 _( \, k" h- Y0 aNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 34 S! r: z' z) y& D
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem, V. T& p: N/ l$ Y
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)9 f& e: ~  m( y) _  H
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K* B2 L6 ]" p* z
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)4 g  i/ K# |+ v4 L0 J9 E1 ]
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- @" H4 _& I. h* P: M* Tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0! ]) C) [6 N& f6 u2 ], g
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) e5 V* c4 l; ]4 z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 {+ p3 a8 \1 E: ~                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 [. v+ V! U* [- `8 Y2 ~
* s7 T: X& Y% Z5 N" UConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 N2 Z- H% Y; o$ Q& E
% F1 ~0 {7 ]9 m- c0 t1 O[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。% O8 P1 S" V) d0 m  w

0 e- e; E! T$ t$ f2 `/ d第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:4 k/ V/ ^" Z2 e
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
0 h! y0 B% V0 v! ?5 ^& s( E
6 T' J- K+ n: S: J7 c+ V
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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