出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 S) t5 C5 _! A' v, K
/ [6 y0 B( C0 n. ?* I2。下边证明有没有毛病？

* @" l: f3 |9 I4 _2 q6 |设  a=b
# j0 z1 s5 U/ y3 [) A, y9 C
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; K' V* A3 V7 x; w2 y3 q6 T两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

" O6 c) u5 [2 ma(a-b)=(a+b)(a-b)
" |3 g1 T  |) ^+ [3 D- D5 }# za=a+b
5 b+ R* w# e6 I  o1 S9 \$ aa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

  F6 D& ~4 _# N1 R8 F1）不能。比如1
8 [( M8 D, C$ V! H) F4 i5 D) Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% P7 c, I# W% A& ~$ m- Z, G8 ^2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! q/ Q% J+ @+ f; ]6 a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ V2 ?# d5 r  Q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( ^1 a0 P% K: i0 j: L

+ h+ u" p' \$ G/ J9 h, [为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
* @# g0 C4 Z& ?, }: I- ?3 t6 \Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ F  N, I& F2 ?* ?
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 s6 i3 ?) t9 n! _9 @
2 }& X& R/ y& t6 \/ hNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ C/ U& B: G  W$ u& i! K1 C7 usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  N9 K# Q5 y; s, k$ p; u  yThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& ~+ x. P  E( R6 P                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: p% \9 u& @, d" E                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 Y: J: g' n- z- z" [; ?3 vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: {1 X" c- @5 f) e- H9 o                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) q3 W) c- E) U$ t  X8 p3 @& Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 K! _/ B! c; B! u
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 w3 _5 K, x! B( P9 L, L7 i9 |
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

3 B( Z' ?) Z! J2 S! P第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( W3 e% c) u" v9 `2 ~# ]' ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: a1 J  z0 ]6 f6 w
. n# {! n0 i' e4 h* x& a: NSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.