出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
$ `( `8 V' H2 `( v& H
2。下边证明有没有毛病？
2 b3 s* ]5 F* q" Y. a2 K
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

+ \" r" z( {0 ~. p! Ka(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
/ f: C* w* Y; Y8 p2 a$ ~a=2a
1=2

. A0 \2 J/ u, F; k& \) F$ y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 u* E4 k, V: n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* w# g" }9 q7 q* U' S看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 w5 @4 N$ b; y) N7 h. L# g. x0 v
Proof:
Let n >1 be an integer
* e3 j4 X7 j9 \- o! i' oBasis:   (n=2)
+ f* Y3 V7 I2 k  b" J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, Y. w' O% j9 g* s/ D
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 T# @  U7 H1 L4 B6 |8 |$ Z; l
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. ~) r5 i! p8 w; U" j8 tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; S. V5 X+ o. ?( `" \8 C                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% m; S+ o! K2 X  P5 L: v                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( S3 b% n- e9 _- C8 B
# F% V6 r* Z% s9 @+ H$ T  vConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

9 V: c# f- R6 K7 e+ a3 H( [[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' H  z& R5 s: ]3 }. |/ R
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: O' e: ?' c  [) @* ^$ y1 USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.