出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, `% E  \( A! C; _# Z
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1 \& C1 E9 ?  [  k) ~, v1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

! ?" K0 R' \2 u2 ?9 N0 }1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 s/ n& Z: j; y4 j0 B0 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  B: m4 Z3 M, O: Z6 Z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, X9 Y+ \5 y8 d& X2 l8 o9 w6 g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; O1 t, _0 ]" o; P

8 g) K3 Z" t9 |7 d" [为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( t. p2 p" I! h1 v3 k8 ~
  s  P: O1 l1 Q  i6 aProof:
. {9 m5 M& A4 t* S9 ]Let n >1 be an integer
* ]; O. Z% f% r. y0 d9 C9 KBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

. @% w% v" J/ ]2 Y- ~+ fInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: F2 z3 Q: a( U                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 @5 P8 v9 l" L6 j; O* f6 P                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) G7 I( I  a7 p. K+ \' l+ y8 Iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* y' s6 R, N) \6 b0 _$ R3 vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; J/ o3 q9 D4 R6 H7 s6 g1 b: h                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; E0 b; K0 [6 V
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. u/ r2 n! b) Y. g/ m# N. b
0 v7 e) E7 o, o. a' ^9 O[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! v8 K- a# `1 T' w( N, l
' y3 a! W; L6 i  S. C. ]第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. y% s, \) S4 K- c6 W: U, p. TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.