出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

) w% p5 ~+ n7 O% h2 E5 f8 K2。下边证明有没有毛病？

) u9 o" f  }' t, ]. P6 O8 Q! F设  a=b
7 i+ c& b. z# e! L
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 H* B- U! E: R' m两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 ^: D7 ^: k( T$ a( i
2 l' G3 V1 }1 q3 E) M0 Va(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
* s& x8 F/ _) f( d! Wa=2a
( v# r2 t5 v# q( _. z1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

- U% S/ ~& t1 O( R1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" `  c5 T7 o% W% y* f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 `# ^3 S) B. ^& T2 A9 ]# @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) U) [, [  s' N: W2 T, b

" g, z: J- ^! M为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
6 t. c/ }/ C" k) x1 bLet n >1 be an integer
: W5 v: u* I: n1 f% m& n2 @Basis:   (n=2)
# x# y" H8 g8 ~: D) m( K         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ m. _5 {+ G  D7 u3 W
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# l2 y2 t8 W; u+ V, i
4 _7 _  i) C5 J- JNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ B3 h! p) Y3 e: |$ h+ c6 Q                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 c, L1 G" ^: f6 `4 ?) x/ `  e                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 K; ^( h* P7 ^1 D% D* Aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 {) k) f" X1 s+ K5 [( x. F! n$ {7 ~So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 c) l# l+ u1 Q9 p, Z
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ [7 }) W+ V2 M5 C" e
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ Q. x5 S: b; h- d& R$ r- gShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 P) S/ C( O0 L' l- D  P
8 }; Z8 E$ V4 L+ M6 T# K8 mSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.