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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?+ u: r! R4 b' b. ^

: o# K' r, I) F) s+ N2。下边证明有没有毛病?, V: h6 k( n" r$ f+ u

4 D3 ?9 D" ~" U/ Z  |- I设  a=b3 J: z4 i/ M% i) Q, }. D- D

- R4 B6 A: N# i8 ?则有: a*a-a*b=a*a-b*b+ E9 ]+ Z$ I: v/ a- `; }) T
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
) M5 C! f+ E8 m' d5 @! p& n3 c, J$ ^) ]: y) P+ l
a(a-b)=(a+b)(a-b)
% Y) W) D% R( h4 p. C- o# Ia=a+b# f( m" N8 C& S  ^
a=2a
. |* L+ n& X% P! S2 M1=2
0 J0 w5 G! S  {( d  ]* d* b. w; h1 G1 o0 x
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试2 A, E$ y0 O1 M3 T8 o

3 l& \5 ]: ]+ A8 f! B7 ~* M" _1)不能。比如1
9 p2 `2 }6 v' g# C2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, Y+ B- B. A; `8 e' ]
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:  t  b, s9 A0 J# x: a0 }1 o8 N
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; Q* [1 Y) T6 V) x1 Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 ]; a$ R9 k! \  W看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- @/ v0 y. z4 q5 z+ K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, N9 p8 v: T; P$ {$ j2 m/ A

5 @2 F0 @: Q- M为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* Y) u: X! n6 d3 [' }3 j6 t7 e" Q
, [  _8 m5 V, ]7 f* [3 C% @1 l  KProof: 7 `* N# o" T7 [6 H
Let n >1 be an integer   m! w- e' ?& D$ E4 V
Basis:   (n=2)
0 M6 I% I3 v0 Q$ P  \1 C         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3. A( v' Q$ W; N+ J$ ], C& j

( F3 n+ c) _7 n. M) gInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that* [# i& W7 F. [; k, Y% o
                                     K^3 – K can by divided by 3.
- e! o+ v4 p9 {! S0 j/ w- G$ j& o3 R' Y* ]. x( V# v9 @9 k
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 39 y2 r/ |- ~! @- P! j6 M
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem2 {6 b2 G$ p, z* Q; e/ I) L7 k
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 ~- p- [1 A3 n- H4 D2 f; Q% J                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- ^. p4 R3 A0 ]1 Q! y) A( i5 c4 X                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)/ ]6 a1 G9 g* l0 h$ v
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)2 U% x# z( }8 A% l0 d8 [3 |
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0# p. W3 ~/ N; ?) p- E( h
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, b. \/ b. ~0 [) C  @7 F                                = 3X + 3 ( K^2 + K)2 q7 f$ o4 B) y- B/ P
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
' b+ j# j2 z. d2 p( R+ E# B) l+ z2 z: h
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 o' f+ A0 E. i6 H& |+ B/ E. m/ I
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。% N+ Q2 w" ?3 F+ W+ Q

& W" |* ?( B. q; A( ]第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:( G& S7 c* p6 s
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- ?( A' O2 _% x
, N/ z% x" ?. U; l8 C" SSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
大型搬家
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