出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# o4 g7 G+ c9 s0 u  ^6 ^* I
2。下边证明有没有毛病？
5 v, F( r1 U2 y
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

$ b2 ?& n3 p( `* v# Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
, t6 I/ S: o8 y/ P. u* \# Xa=a+b
a=2a
2 A# s+ q- b6 f7 s1=2

8 H0 M8 l" N8 y% j' [* q: i2 R# M证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ ], e5 [) \8 L* A2 o" [. G5 H2 m
, L9 t4 L( ~8 R1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 A4 Z7 q# ^0 k, o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 l( w- q+ g, R4 J7 P2 e& c9 C5 Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% i% `, D8 Z% d  g- i6 E! J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. r9 j9 ]8 q! s/ O# d1 n看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) l8 V$ A% l2 }. G4 n  w, ^* V6 _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

% f/ ^5 `9 m5 ]8 n2 M- pProof:
Let n >1 be an integer
8 \- X8 G) R0 WBasis:   (n=2)
. b' z) \6 M& P+ [         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- F& V: N- Z/ x4 X& N                                     K^3 – K can by divided by 3.
% z7 ~. q* ]& ^* j1 k
# |' k0 U( Q8 N4 vNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 j1 \0 @9 E( o# a, k- Zsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 Y5 L: \: j% l1 V- G& w& Gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 O# H. L# ^9 d! a/ z, HSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 Y( x4 p0 J4 Y2 `) G6 t' u$ K9 \' a                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# k5 E; h/ a1 p
7 y* y# w6 S( G7 Q% g- P$ fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, }5 o5 `% N4 F5 k5 ^7 {: p% L
& `" H8 |7 s  S( J4 [  }8 b+ J第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 t3 P# e' J/ {: f% KSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.