出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

% k% l% t; y  b/ Q& d设  a=b
) B+ z  `0 _9 I3 e. \, K) O2 W
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

* M3 X7 S2 M. g" Sa(a-b)=(a+b)(a-b)
1 G8 B* r3 I2 ~a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

' S5 I5 F- }2 N1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; \% u6 G3 Z9 @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( r( u/ ]0 T+ {1 }% v5 {看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 t! u/ e) x, L/ h9 p2 y+ b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

6 Z9 L% N- k4 O$ X0 U: s% pProof:
  w1 s$ n! @% ALet n >1 be an integer
8 l4 _! {% C+ m1 QBasis:   (n=2)
0 g& g) T7 ]. q$ c         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

6 u3 j  B- X. V. C3 J# kInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% o* ]5 _: k5 o# z8 X! |; ^, e                                     K^3 – K can by divided by 3.

- U' I8 P" Y( Z, S% Z) |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; O) |$ ^( j$ J3 |, nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 u9 p7 _4 v' s: C. P* ~& h* WSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( O$ n) ^3 ~( g8 x+ s                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% F, I+ {7 P' n3 P  ?# V* ~
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) t4 p! Q! P7 V; \- B" ]- n
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; \2 b6 D% ~/ O/ E" W/ T1 K! O
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.