出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, A: b3 D! q! E* C
2。下边证明有没有毛病？
3 j/ i$ x0 o4 x4 P
7 V% Y2 g0 ?. D设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 U& Z4 `: h0 w# x
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
- u9 U% q( E4 |) ?1=2
; |4 b/ ]! P: r
. `7 H4 s  ^# T6 M/ P7 C2 ^" g5 w证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! V7 j  U! U' h0 R9 Q$ s( i4 F
6 b" G# G8 J; b. m1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( `' r8 z% _4 F. r$ U6 |2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- H$ t2 Y, B; P& l, S. {! F看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* ^/ g8 b. J1 ?/ i+ g8 G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 ]- C, Z7 T2 F' H# s' v) ^+ W4 c

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
; O0 r0 `& J3 c: z& h# _2 SBasis:   (n=2)
& ^' X! I- k3 w0 s6 z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! C0 X  h" u; J* ]
4 ^) I, a1 O% J- R* @7 ?! rInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% S: u" H0 V. Z) A0 v                                     K^3 – K can by divided by 3.

9 B8 t7 `; o5 @Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 E  @: z) \3 |% S, J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 i; j& c3 L1 a# V7 Vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- A, x+ h+ i' d& QSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 p/ x  ?& k9 D# g
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* @/ s+ S: L! d
8 k7 ?: a% A9 m, h0 e[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 g# c6 Y' I- s* }; h
: i' Z( M* r  t  W% u5 G$ j第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 I) s! ^) P# L( q' e% ~# p! \
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.