出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

; e( }5 S, m, {8 \( M" J: y2。下边证明有没有毛病？
$ v& {0 I; T2 L; M) ?( f
设  a=b

3 Y  x+ x. S4 g' t2 X( d4 E则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# }: E* n* }- I' ~; d  W两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
! B" B3 F) M% \* ?a=a+b
a=2a
1=2
1 b6 W1 m( l$ v1 p/ h" B
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: V7 G% y* f, W2 f1 [$ B) x( ]
5 \, {' y. ~! }0 A5 P1）不能。比如1
4 m. S  G% m' M/ R2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 B7 @* l8 c2 Q3 A; r+ o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. d- q( X! n2 F. F) H看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 C# b7 Q) |3 Z. `6 q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# t# V% _) g3 V" B6 c6 h

" F% q8 r7 I, q( O2 F为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 Q* R2 d) B) X: @% O, D
Proof:
Let n >1 be an integer
- _/ X$ J+ S+ y' ~" L5 ?Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
; F- `& e9 _3 v; U* I, m
5 ^1 U7 |* I; B0 V; LInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) G: g0 N% H. m: T" `! a/ \6 D                                     K^3 – K can by divided by 3.

& |+ ~% q6 ?3 ^$ Z$ L" pNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 z* L( _" ~$ O; z" N8 dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; r* d% ]+ h! F. n2 {5 w7 D6 L% FThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ x' S. u" N' o9 \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. W2 F' N% i1 O/ P+ qSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 B# \: f3 i! k7 @/ |, j: u. j                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  C% g. w) e( z: H  n9 a0 _& A& \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 s. b& t9 l6 B% B: a
' o0 z" L6 T9 c; v/ m* m7 D[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 H/ {9 g1 Y. X) E8 EShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.