出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- g, A7 f, x" D$ x+ A2。下边证明有没有毛病？
# k  N6 m7 K3 R3 A
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 x. b! S/ i% y$ e两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

$ u* q( b6 V8 M' d1 ^: b  L0 Fa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
- x* u3 {+ K7 U$ Ma=2a
$ o" O% S& H' W3 R- v) i- A- h/ i, V: E1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

. [/ {, _7 I4 {( X2 M8 l1）不能。比如1
( d; }  t5 j1 K( n2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 N% t, D- B0 S6 v, ]9 _+ u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 y* ?& h) _. _# T9 Q3 f% s" ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 _1 @8 _+ s- h7 R, X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 z* `* _( y" ~4 Q" o' q" S看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

" \4 V/ v7 h; m! W# n为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ ], r2 x! U6 ^) S
Proof:
5 f+ g, N' F) [* i7 U1 `Let n >1 be an integer
$ H1 Y9 h6 g$ [0 [, V" lBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 l! ?! A( A! X* R
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; f, L: ~8 O  }) l+ F4 B+ B( E
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 K. f: }" N9 G$ Y# _+ Y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. P& a. o& S8 R                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 G) N. F4 x. k                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 \0 t! k* Q# D                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

1 w9 ]8 q- X* ?Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 o0 {- R7 g2 s7 H
5 J: _* B$ {8 C4 ?4 Z# PSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.