出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. E  D. X: P- r0 q  n& Y+ n, Z
2。下边证明有没有毛病？
1 u9 u3 L$ I7 n+ D, p/ q3 J
: s% V7 t% d, a& {! i8 S设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
7 `2 l, Z2 z$ H- H; G两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

+ Z# B0 Z( d* D9 Da(a-b)=(a+b)(a-b)
2 A( E) x5 T; K9 t: D& L( @a=a+b
a=2a
; t5 t1 X7 n8 F1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) @* t: Y2 P+ [- p( S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* }/ C: B6 ]8 z* @0 e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! g9 U  h/ A* B" W/ |* C+ P看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

3 z" b1 Y& }2 I! M. s6 ~7 Z$ A( U为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
4 U8 e+ S+ w. B$ W0 K  T) _Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
$ g$ s8 V6 t" m# M1 @: i         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) r* I( N; e  ]! Q; m
* D8 R& ^( s3 {# K2 h# r) DInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& X+ w1 I4 p  u: q3 o* n                                     K^3 – K can by divided by 3.
' j! r; I* f$ e* N
5 x3 ]4 G* n, {" `' \Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' Z5 J, R  i: g# B) u8 Tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; y1 C2 F/ ?8 K: bThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 T1 ]/ d' A5 R( w# @& k8 r1 q- ]- Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 S% x1 x9 c+ E& u  L5 O% o                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: f2 K0 O4 \4 i; S% f* Y( ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" e( \0 B+ K( O& i  f2 J                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 z- Y1 J* S2 D/ g: h                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% ]" H0 y& i% c/ ]6 w' W. x
: p6 O4 C& V! @- YConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* G0 w! s& y4 [' C. o! o
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 u; w0 S& q  Y+ V) w
+ M6 B4 s; a" E% T" i$ m/ b第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* L& Q( Q  z- S) j- hSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.