出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! X% d5 ~# ~; i& P" c7 e# ^
' @0 w  T+ T7 w2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
  Q' ?1 G6 U$ C7 u! F5 N6 X  l
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& F+ P, M( g- B& `0 K两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; H, `& ~2 K3 {; H
. ]7 E2 D3 W; o4 Pa(a-b)=(a+b)(a-b)
3 h" O, A6 ?/ }' D4 `- w8 \a=a+b
a=2a
0 L! O; z. ?% N' y: u1=2

% o2 q( ]4 a! i1 D, Z* A  X证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( w2 L- {. A/ a  B. y
' _6 u1 v, l* e1）不能。比如1
2 x  B# m: k; @+ n9 ^3 r% d2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 {8 u6 R. b8 h# t2 I6 R2 N7 ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& l/ L5 ~) x5 Q* B/ ^& X1 T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ G( ?- O- W4 j* z3 h看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 O( I; b  l- }0 t9 n2 s4 F5 {) H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
: G1 J3 f& r2 u( T; D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

7 X" Q/ V9 E" @# W; ]& s5 lInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; v0 M( c5 O% T, s( s( @                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  y4 R" P# T6 g6 K3 {since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 c7 a% Z1 [9 B) U( r6 p9 {' F2 @Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 _- a$ f" o+ L6 l$ }7 iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 v8 @7 r) r7 \: `: V  p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& A" N- M0 O! u: c3 G0 ~; }
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

- i! r2 }! H8 ]+ u& v第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 f. |* [- p/ `% Q+ n, ]5 f7 ]
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.