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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?$ t0 Y$ |, I& u! b0 c% R5 X3 t

6 |; ~7 N& E: Z2。下边证明有没有毛病?
- t+ I2 l+ C% ^( N/ z) B# a4 ^& ~9 `( l  N  u- d) Z+ |
设  a=b
& p& D  Q2 R: Z- D. ?/ \/ N; N
& o3 c8 d* W8 ~* c: Z则有: a*a-a*b=a*a-b*b* o1 r1 |+ s% D" g$ `. E4 o
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):' i- O3 K5 T' s8 E, c" `" H9 I6 L

5 s+ U! {) T: b9 _  ca(a-b)=(a+b)(a-b)9 r/ t' h4 }6 d) @
a=a+b7 b4 V. e7 t/ b, T7 l3 _9 }
a=2a/ r/ U* e  ]; i. O: K& L- F
1=2
6 y, E; J2 h' b4 r' q# [( T' [, x4 i8 ]3 d3 W. n: R  v
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
2 S4 L. g: Q8 F# X' T0 Z1 {' h9 ]7 }' M6 A
1)不能。比如1. v/ T$ d+ I) {: m# u
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
0 |1 @+ P% Q4 V9 o# z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# i0 R' g% q( R7 s% U: k9 q2 i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& z, q5 V, L) @" i, R7 S' V
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
" Y- e4 F9 ~. l6 w
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:9 F2 T) C7 C" @# R. s
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, W" c- Z/ N( y# L* V  e
1 e9 ]! N+ n4 C7 L5 x: {3 N
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)4 G: z& e* |- l! R/ p; A4 t
1 ~0 z& Z# c+ s1 U: b; \
Proof: + V+ y6 Y7 L, t1 c* Y. _( h' |4 J
Let n >1 be an integer
/ R. p  u. ^# R0 O# R! j  [2 @/ zBasis:   (n=2)5 o; k  e6 R$ Z: q5 |" B
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: r  U7 C  \8 [6 w4 G4 U& z+ }
* r# W1 Y/ E4 A% u. BInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that, ^% O/ o. U0 }2 E2 k. V
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 j- S0 t  i6 U( x) R6 X% P
* \2 n$ l7 [- r& L/ K$ A$ n! s6 CNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3  d. H$ b6 S+ B& V$ o3 A
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem& T2 Q! Y( k. v+ W
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)# H4 B6 p6 Q- M% w+ s; r6 s
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K7 @5 h8 w" I2 J8 w! Q0 Q( s
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)- L( G; W; K7 M
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 Q# R; i% |4 V- U2 s$ kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 o6 ^, Y/ M2 f# G4 I# H3 OSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K): ~. s" r* c; o" n( M1 o
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  s  w. T2 m8 Z) i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 S4 G- \" x$ u0 ]7 M+ K6 T1 ~
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* X3 s+ w1 d/ Y/ _0 u, U2 E% V
# V% Q5 N, }. Z# D) w( _[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 D0 Z4 \" F; I
. u5 X7 T9 }) X2 r" p4 R  l第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 `2 w7 n9 |7 ]+ e' p( QShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) h+ Y" l4 ]7 }' `' W
7 f0 g$ K6 {' {SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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