出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! }; N; }7 X1 f+ H* ?  r6 `
4 B  C/ j9 e' D* d; Y2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

5 R  i$ G# b+ C  o) d- D- h则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

, |3 ]( i4 S$ n9 N( b1 \a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* p- s" X2 x; s. B" Q9 w0 q8 v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ m; ]# U* A) Y6 W1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( X8 Q/ x2 I0 \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( |% J$ o0 t! x0 e+ D: A7 P看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: F6 i* {( W! `2 I* l: L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 u+ H, x& @8 E7 q7 G

  K& @0 b0 A2 z) l3 ?1 V  ^# E为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
# V2 @  t1 D4 d5 vBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 \3 A+ d- D- w6 Z6 ]                                     K^3 – K can by divided by 3.

2 g& j1 U6 g  F5 N! k9 kNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" ~' d' V4 Q: |" UThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 x6 x* W* T' P. l3 G3 F: Mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, S  d- _: Y$ F$ J: T' x/ p" a# USo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

/ ~9 O* \: y5 w$ I: R% |7 b* ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

9 {" D0 A3 ?$ j$ a/ v  O[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 y5 z  {8 ~4 L# k* ~) G9 s) y
4 X: W  g# U# |3 C9 k- s/ P第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 ]  x, x/ V2 q1 RShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 e4 l3 Q& n2 u( p# H- y8 y' I
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.