出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

+ w& E* `4 u% U9 c2。下边证明有没有毛病？
5 E3 H3 y" U! g. q* i
- z9 {& U3 k, c7 S设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. p, _) y: R1 a& x两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

+ ^$ L: c. b2 x& C. O0 ]" X, Da(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
& o$ ^- k+ Q8 u6 E1 M& B1=2

' R: Z: z9 {) k+ e6 x" u( C$ S) }证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) {5 O: C3 ~( E- @3 {  `1 j
1）不能。比如1
/ {5 l! q- y. D2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; i# J$ R- q5 E3 b  W( T( G2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 p/ x) |, H! g9 v5 Y& B2 Q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

$ {8 Q; T$ E! S5 m0 m$ b4 L为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, r+ K4 ^  ]3 W# U1 _8 b4 e% H
# a& s9 V, b1 c, Q+ X0 s7 U3 WProof:
Let n >1 be an integer
; e; n1 b$ ?( aBasis:   (n=2)
4 u! h2 w7 T( c' @5 N         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  g5 q5 c9 p) L3 P3 ]) n% V
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' f2 R! v- n3 E4 f5 Qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; ?" y& v( l% R/ z: K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 Z/ V5 C; p$ l  V* K; H3 O2 y8 `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 T$ c) w6 C4 Z2 {by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ j& V& g# r1 t8 Q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

$ x9 A6 A2 f& @# `1 `5 C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  A4 L1 L. n$ o% B: D
$ C8 F  z7 l$ e3 D第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 |  R. s( U1 oShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" T; L" B6 l1 ]! x7 w
, l" Z9 o- L" w4 ^- aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.