出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
6 X* q6 D7 T, [+ h  Z& _
设  a=b
9 J! w' p1 H, A# r
2 ]2 F8 r) n& ^. A9 k/ o则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
) o$ k$ n- c- n" w( [  t+ Da=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

, e( y; _) N. t8 u* a/ g2 E/ R1）不能。比如1
. U7 H+ U+ T7 K6 z2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. ^& r1 Z/ S0 {! H5 q( L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 k# H3 w/ o7 x7 I) H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

7 R7 D& M  k2 h: Y1 c  t为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 K' T+ |# n* F, ~
Proof:
/ s3 R2 i: K# z  KLet n >1 be an integer
: c' y+ N7 w" z  `; r- B, s' \Basis:   (n=2)
5 z7 F8 R: y. j. y0 T         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

' k: ?! E% @: Q7 k9 x8 _* TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' s: X) S, c3 g. B3 h3 ]0 s
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 p* ^1 I/ K4 |) i/ isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& o9 @' d# p: N7 x7 E                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# ?4 m9 u# ]5 P0 r! b2 I6 g                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
; @$ X3 D9 I: D1 r( _                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ s  J5 [6 c' D& o                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
, c: ~% l" l* ?
# X, {# y  B7 u( W) W% |Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 Q" M% w7 n/ W% z6 S
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) ^" A$ D4 q* [6 A4 N1 `# i
6 {9 v* d6 G2 c+ C- s第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. p3 }; ~+ _1 ]4 m* I' P$ e2 GShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, V. k0 d/ H* n4 f4 oSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.