出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& j% z/ `7 {/ @7 I
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

6 a$ g+ _4 i" v! J6 |; O则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. {4 H" p! ^* C) j' d& H" `
2 d3 j! V8 u7 D5 d0 T- l; [+ [: \a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
3 {) ~/ ~$ x3 L$ u, K8 Wa=2a
- q# N  N4 M: ^6 y1 M1 I! q1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# n4 f/ s2 l9 M, t: \9 N
8 s+ `1 h% j4 T. l1）不能。比如1
9 m) Z6 E1 f$ v/ G9 T7 w7 Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 G3 x/ S% s0 @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& ~) i; D9 D: V* a$ {5 i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* S; R5 k( P! ]) h* |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' X3 Y: Z# w3 h

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
! o% [6 m8 t; t+ l9 @" \9 {
) H/ _* z6 q! L% j" g# ~% `Proof:
& F8 q6 p: }& l+ jLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 B* d! @, g( X2 S* u& B4 F; F( }  D4 y( E5 l
. b, V* Z' P8 F: Y& n* i; nInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

  o) I' B9 j* `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 @7 q) e+ R# @" z$ Psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. N9 @& u0 i- h; h+ \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; R8 r4 }- s2 g) w( _, l                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. U8 z5 S; d% F# X4 v                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ ?$ T2 l. T7 T8 C. Qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) v8 y  E+ C  i# U* C! N                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

* H" I0 ]8 u/ ^- R4 RConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

! A9 G% d9 ^% p. n, b7 T1 W% |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; n7 ?/ H" S* E7 v# |! n) ]
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 {+ y7 x9 W) d3 f( g6 IShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 Q# a+ x% Q5 j# F
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.