出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
2 d( V! W/ D" K5 d
设  a=b
! y8 V2 d' ^1 G8 E
% \( n) Z1 e( A$ E& Z) s则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 F3 u1 H6 G3 v; a3 [( A5 s+ I两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

; ^! B# R- @) X1 v3 {4 sa(a-b)=(a+b)(a-b)
2 n% a- ?! G) ]a=a+b
) d  l* v+ B2 A' Ka=2a
8 |1 @3 D- Y! `, @5 C# ^4 ~1=2
% y/ W1 @+ W, e( x6 {/ }
1 V! L8 i6 }1 \( |% S" ]证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

( q1 j  ], o% w* K) o' M: j1）不能。比如1
! P9 x) E, w5 f" _) I! L2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- L$ \0 q) l; f2 g% ~: D" ?7 X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( l0 J; _) h$ [) ?+ E1 s3 i) O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

4 z' b* |4 {, S+ i9 ^' ]: P7 e为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# |. W9 t3 U4 x/ v8 ]
& k, W/ X" N3 _3 q7 ]4 [# kProof:
Let n >1 be an integer
* Z/ O: f5 W, a0 i7 l, cBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 C( q' ?" n7 _/ u8 ^. M/ M
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ t, c' j1 d' }# v0 I2 S  ]3 [" CThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, C( o# Y0 w9 J! `                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% I% c) j4 [- W1 t6 e" z$ }                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' I" R2 B  _) v+ Q) I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 d# |' e) O" ~3 v4 Q7 Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& V, L- t! q. }" U+ U" d  CSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" }& P! s* X1 ]0 d& L5 Y5 u+ A                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% y) `* {$ N& W, l
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

* z) y/ I6 _* Q$ b. g5 z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 ~( A- c$ J6 H4 C& _* E8 H( I" bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 J# d- s2 z7 B2 ]
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.