出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
7 ?5 ]% P) s0 O  g+ S1 S
, ?5 U' |9 t+ T# K/ i3 W则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& I8 ]5 J9 I8 I9 z! _" {两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 z; C( F3 O7 O* }
  ]: c4 x  L6 \2 {a(a-b)=(a+b)(a-b)
( ^8 O/ U" `9 W& Qa=a+b
5 r' [" T$ ~6 a4 c, u* R+ |a=2a
1=2
# Q0 `0 J+ i* v2 T- D3 y3 n
- Z9 N! f& g2 ~( R% \- J/ j8 H" a证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( Q; I6 I: p' F3 H& p% S
1）不能。比如1
- ?# b" a8 r! u- O  O, g- a" v2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ y# V3 Q3 p5 t- o) t0 Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: |# G# G4 G9 b# ~; {2 j看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' H. M* A# i- ]' m1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& w3 J* x: h* q9 c

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
& I( M1 e+ @- ?1 z5 vLet n >1 be an integer
/ ?$ o8 W6 E1 A; Z6 tBasis:   (n=2)
4 F+ j  B* {7 t$ @         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. r+ K" i3 O4 i5 s3 G' i4 e( m
+ S. w# ]; ~/ rInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
- }, j$ e2 G$ Z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ X3 H8 t0 w4 }# _: v/ \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& ~- k+ }& y, M9 p" q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! ]- H8 t, G- o* A( r3 p0 I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  _1 {# X9 w7 \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* j4 {' f5 J7 P1 U5 ~, X
4 Q9 Q: P/ ^5 t6 L3 }[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* _& P7 m0 `+ [0 i3 E1 K, c
" V; |5 }  ^% a; I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.