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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?6 e, b  P. m  h/ P! R
9 k9 J1 s" _$ z4 l8 p
2。下边证明有没有毛病?
% q) V! O3 k3 S/ V2 t/ \) M2 F
! K8 C8 F4 c9 L3 ^6 y/ t$ X设  a=b
) B: |* I, p: h, l9 a0 j' h) ]! N% [7 r! h$ f5 o
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
' X- F) _0 d  R两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
( q' u& {$ `8 W+ w/ u( u+ p/ Q6 h9 }% ~8 f2 w5 y
a(a-b)=(a+b)(a-b)+ M& i2 c' Z' R- h
a=a+b. s) d; w9 F1 `2 V. o% B
a=2a
8 O- r3 R5 q' c1=2# O5 `0 P9 l5 d- y* C8 x# B/ m1 ?

+ y7 D" R' d, ]' R+ V0 h证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试! I1 O2 y) P5 M' E0 n( Y
  q& ^% `: o- r9 q( |; f
1)不能。比如1
2 ^1 s) r' m4 A2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 ?" h' u4 ?/ g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:8 ^5 L: [9 Z; _  j
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。" {& u5 u" w2 v1 B$ g& x/ B, m, w) m
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
. y7 Z4 I3 A% J
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# P2 s8 C+ f+ I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: {5 e& h7 H8 ?  x, d8 e
9 e$ l7 E* D/ Q# l0 ^+ S6 c
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; [4 u5 b3 w  K& c! v- k5 ^: S2 O/ p, ?# P1 x
Proof: , q( Q! V& |+ B  U% z
Let n >1 be an integer ! f, c( ~; F! e2 q2 M
Basis:   (n=2); G8 @6 d; u: a. U: s7 @1 B. v
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3, ]0 q7 E. ^- ?/ z& F% h- @7 @
$ n( [" H: M( k' a; M, Y# w( I
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that9 g  Z! \' K, ~& x/ f
                                     K^3 – K can by divided by 3.
" T9 W( L) p, ^+ A5 d; ?  _6 ^. e
* q6 D, s1 E% z) z. I. VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3$ F! y" q+ ?3 P1 F& T
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem# q. [0 a5 A: k0 v
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 D- T& B2 y2 g2 p0 e, _7 L                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# I# n+ Q) b6 J. j; F                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)( B, {& w+ X% F' M
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) n; r+ G6 S4 b6 d7 E& V8 ?" Y0 e& Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& r' g5 X5 f6 i& hSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)& C$ s: r: t4 K; ~
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( ?6 m/ y, s1 i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 {1 ~( ?1 y7 I2 `: n2 U9 W2 ~2 q5 A9 ~! G% Y
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1." m( S8 S  M$ v, `& [$ A2 E( c0 f

  K* }  l& d% _( C# [4 R" {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" F! f3 p( E2 m4 o9 s5 ^1 r  w: P1 ]* z! Q
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" q, S. I3 |4 O& j( E5 E  I2 zShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 U- s4 t7 f! T
% U. U1 `8 c; h8 Q5 ZSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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