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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?) D) T# G, k4 H1 _" L

3 G" k6 Z, O) V/ R4 q, v2。下边证明有没有毛病?$ i# E. R) X, Q: g, F$ {$ S
( k$ {# `" W6 B, S8 q) b
设  a=b8 x  {$ ]+ z% I: X1 R
. U' w- m! N# P. w3 L( X7 e1 z6 T
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
  ?: q- C3 R0 y6 h两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):! r2 W& w% A/ E! A# t! q

5 h$ t% }& ~' ^1 Xa(a-b)=(a+b)(a-b). s1 ~. I: m/ z5 @4 }" s5 P3 ^$ c6 Y
a=a+b4 |/ n# k* P) o+ ^1 W
a=2a
& b" N/ o4 v% v6 N- e" B1=2$ q. d6 x  @" E9 h

" R: `, c. t  z2 `/ y2 w, H证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试1 g: G. t' |2 d% T* [6 Q' `

3 _$ R* k% U( X8 g; ^8 H3 d1)不能。比如1
' M' A6 \$ y- `) k9 o* S' a2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 g6 x& U( N/ _2 }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& i; J  Z' ~7 Y9 L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 y3 [% Q' ^- A' ^: N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
& s- q, A- }8 h- f! Z- a2 Z# ^2 x
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 G1 ?: }$ a* m6 h* e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' [3 l0 D4 r; a

1 p1 l$ i, Q# [$ {- P为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 p6 ?% s& O/ d1 r- l* N& R" Y) v
6 I7 P. k1 |* k8 DProof:
; b' o0 v0 h/ a+ p) C) ELet n >1 be an integer
3 S  ^3 @' `3 s/ L3 MBasis:   (n=2)
* i- @' B* l+ H; h* h% `         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3. S, ~( F: r1 m0 K. N! L
, {3 j. D5 F( V" @3 y
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
1 R) p2 ~' G& N$ |8 B                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 d2 G: q% N7 @, z: {4 [8 P- F3 h4 l
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* I$ S  P8 H6 [1 e; W$ T. g" T1 gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem) j$ u1 W" ?) x9 G: E0 E
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)4 O2 T! d6 f% V" P, P3 @2 P
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) g" b% h- A: x$ S                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ A$ d9 k2 F1 q2 C2 l- o                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* `) J& @  L5 _8 hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 F/ L5 N' D& Q: YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( j* l! m! n4 G1 x2 t
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# B$ g, T* X3 }  }" K( ^$ j5 j                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3% u3 ^1 \. ^  X3 I7 S! |
( E' h: W9 L- `$ e$ x0 O) b# X
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 ?1 o' }( W5 Y1 N! Q3 N
' k; u+ R0 S' o. p[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。/ w2 m; g, |$ T% ]) f
& T7 f9 F+ A9 }& ?9 D3 i
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) f( M) |, z& ^8 R/ \; a4 CShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- S- q1 N) O7 }. b
8 o6 Q/ J/ A, ]5 {# vSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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