出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
/ H2 u* c- a. s7 s& J
1 `, I! D+ a9 O  a; p4 G设  a=b
: s4 \' f4 `: ^; d4 v0 }' A
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; i# i6 x+ A$ H3 ^1 z( X两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

8 M& B1 ]0 G8 S* Ja(a-b)=(a+b)(a-b)
, C. T4 _6 [( ^4 Ma=a+b
a=2a
; X9 g3 j; P2 ~9 `" `3 z1=2
. x& c1 E6 e: O: u7 g& A: B2 A5 e
- ~( d  _2 ]' x$ d证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. l, V  k% _% P- Y/ ?. e
/ q# _) [3 C3 ?2 {) o. P4 v1）不能。比如1
! S/ B8 X- X1 _, O2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' ]  M/ ]4 K. E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" ]4 `& z: V# a' \5 ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

9 d4 ~% T! Z9 H2 \) ?( }5 s为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% C$ X5 j+ K8 r1 m/ W2 ]$ @
Proof:
8 ?$ [3 \% T3 g5 ~6 `Let n >1 be an integer
' y+ I9 e( J5 W2 N. IBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 A4 p% x$ o7 L
/ A; N/ Q6 A2 n: y9 ^" y* aNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 A& M1 s0 b- \& j1 M# isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 v9 Y( e6 K) t: b  a+ x& _                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, q- I1 q- A, {2 O7 V: n2 pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) A& K& U/ u4 J. H3 t                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

: `1 J: X- L" r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& H. M0 ^* E6 R$ [; D: H
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 y. u$ f2 ^  P2 ^  h- m
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.