出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: O4 B1 c% Z6 B8 z0 l% V
8 r9 z; o" G: T/ w- M. L$ w/ y2。下边证明有没有毛病？
7 j& C" Z" s3 z. |
设  a=b
' J/ q1 m! z6 N, s  c. G( c# O! o
( F* ^( X9 y* b6 X/ i' |则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 N% u0 ^! o% H! r" |# X; f两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
2 q5 o! y" [5 E7 ^0 G& E" t
# W; w1 [/ J, B& S4 a, Ka(a-b)=(a+b)(a-b)
5 t$ a; W0 g: x! da=a+b
a=2a
1=2
5 h1 Z7 A6 i- q6 U1 A' S- Q
* E* o9 `/ t! f4 V- o! }- R证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 \/ c6 v, r( G9 p9 d  A- g
* |$ Z4 w3 p% ~$ B7 R! {% v* _1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( r% Y0 Q' U$ c9 S, T1 i

/ P" [. N8 ]/ G0 J4 Z* P9 {为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
' a; v. F8 _' P; \7 J7 B6 E6 }Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 I0 ?/ Z$ J3 _% eNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 g+ ]) A0 E% ]+ T6 \' H6 B: S# \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. d, L( o6 D) Z6 N+ R                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 ^7 d0 z' U0 R. c6 @# r# o% F4 h) a3 dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. C" M  d+ e' `9 a  ?                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 w4 ]" ^- U0 D
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

8 o& z# A8 Z2 Q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: S, d* T! T2 E  r5 l
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) a# R8 I* C  D. D% t
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.