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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?9 e" ~% F8 o- m+ d) {
, i/ _3 K2 x* x% L. U
2。下边证明有没有毛病?
5 S; J5 W% D+ v4 a2 x
- D, z8 k8 o, k4 v( G设  a=b
: f' l( c. i; r( U: ?- Z/ P( i5 d2 H2 O# g
则有: a*a-a*b=a*a-b*b4 t$ M4 P# _, H+ j! E3 q% ?- \
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
9 U# {  t" r. V) I6 }9 M5 |# G9 [  Y4 k( ?# K6 R/ C/ R
a(a-b)=(a+b)(a-b)' k/ W6 [0 L/ e5 s& c9 c, p. n
a=a+b! r1 s* d: w2 m& `
a=2a
) a2 A( {- I) e1=2. s7 ]( P& B2 Q
0 H; T7 K) r1 E- M2 Q! Z
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
: i9 L5 V9 k* U" u& l; }1 @, K# d4 c/ d+ e* n- D! g% `7 D, W4 F
1)不能。比如1+ W! A+ L- d9 C- H' n3 o) L
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# I0 P# q  y6 ~  E2 ]( `4 B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! x  i. O  \0 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。8 d0 W4 P9 |3 x$ h+ Q
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 @2 Q* i: E) D% _6 O5 @. V看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" K9 n+ S! s- i4 \8 T; |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
1 g! D5 H% @5 ^1 e# }
; n" r8 j$ E1 A
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)( o2 ]* I0 H7 k' I; R& j
! f+ @% g: U6 C  Y5 b9 l, O
Proof: 2 s) |( x/ P4 c9 e
Let n >1 be an integer 4 z/ [9 d( y8 k( k/ Y; F7 [, J
Basis:   (n=2)) ~0 p8 @4 ^4 x2 c+ S. D: O: n
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! X# h  F* f" ^$ @# J2 l2 T2 D
+ _: ~+ k0 K+ @& ~- r& h5 a4 \" V* eInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 f9 t. W6 x7 ^* A3 j                                     K^3 – K can by divided by 3.
" U  l9 ^7 r3 x8 }  V! l+ l! N! v, v& C8 _% B
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 E- i( {) \$ E9 N- V: k* K. Qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem# l' E+ E( Z$ {# f% R1 m) ]* X% r
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; n0 H5 ]7 ~7 o5 ?5 s. e, _6 T                                     = K^3 + 3K^2 + 2K+ \2 n2 q0 ^$ P) \
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)  A. u8 X& b. P; f8 f( i- s: Q4 C
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)& [! _" |* |/ Y
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& \* G7 S" J$ B- u# ~. CSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K). s, M8 t6 Z) f) i' S7 S  f
                                = 3X + 3 ( K^2 + K): h* D) \5 @  c: }3 x
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: T& a2 I8 ]  B; {+ g* j$ I" c8 `; C% |+ w! ?6 T. B& a5 \
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 `$ [8 _( q6 o( e' z& m: Q: h( Q, V; M
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。3 O6 D( e+ R6 U
1 b; X+ d. s- Y; n7 i* P
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! Z# b! M9 N5 J6 Z- A" Q9 R0 cShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
1 B+ ^1 j! C1 s' Q4 |

, `1 E, P# |" B7 b. D. F2 x7 P# O/ MSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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