出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

( i" a  ]1 C! ]2。下边证明有没有毛病？
- e2 B+ U5 S3 h+ ~0 W
设  a=b
4 K2 ?) u9 D0 L4 P
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 B" j( ~4 \! v  H: u两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
& E9 s: I* P7 |7 L
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
" l' y" n8 l4 e1 F/ \: Na=2a
4 G" @0 [6 k+ v$ L1=2
0 U+ ?$ f+ ^& L* N' ^. S+ I4 w& @& N( v4 D
4 Q* \# f, _9 }# G6 u证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
( P5 T7 B7 N- c/ ~" L8 ^% R2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. F1 s3 z" s% B6 |1 x0 G

- t9 H2 l( i, J2 [% h1 |8 X为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# k" g% t0 X& O; r0 UProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 p4 u. M% H- I# ?+ C                                     K^3 – K can by divided by 3.

# x, Z' w7 E, C" j) _) LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* Y0 Y5 u& W' T$ k! osince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 ~, {$ q2 E! y8 H6 c, ~; BThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# h3 t; D" R% y  B- t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! r% g+ F' s& m                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 B+ J3 `7 D9 ^3 Q2 XSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 |; ]4 ^) ?! N+ u' O                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 v' g1 y8 [3 X
* F) R+ P# H( S4 B$ L5 ]2 gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 X7 \% @  ?+ ~$ @( t
3 C0 \0 m& z. n' z! Z( H5 a第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' `0 T. u& Z6 e' z& c: }& gShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.