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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
4 U0 K$ s8 j& `5 x2 }
" |- o1 A8 h4 {5 `. ?" b, ]2。下边证明有没有毛病?
; d& ~; B: M/ q/ N; {: s& y8 A: d
" o1 R4 |; V* [! @5 H1 v设  a=b/ W" q# {/ A9 @( @
, O6 i9 Q/ n* m) m. e+ S! C
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
. a  i; A, f3 ?5 I6 G/ {两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):' W$ u2 ?$ |0 u7 s
  }  r# A$ Z. ^5 I/ o# Y
a(a-b)=(a+b)(a-b)2 v1 Y# n4 W7 n- o
a=a+b
+ J% q$ S1 s; [8 |3 B0 @a=2a
0 |8 ]& Q, b0 Q0 i8 e1=2# b' i; v$ j* L0 R5 @

2 N$ w: B; ?9 [4 u% h; r证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
  h$ |# {- l/ R/ Z
7 W/ I: p. b! j: }8 U8 i% y1)不能。比如1% F' ]" n# ]; x% ]: t/ D, P1 d$ b9 w
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 [4 B' W- w$ S% l
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:& `( Y9 W6 ^% l& f: ?- [7 j
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 E6 B; q! q1 p5 @! h3 W5 s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
6 p& r: r; }9 Z4 f9 P! ?8 [1 b  }
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 A" E" y. [5 k! ~: x5 y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  A: s4 D* B6 r2 l2 t

. j$ @  u; x, o; h- }为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)# I$ N, v) O, G3 s! r6 |6 `
1 p7 `' `2 J2 E( \& t2 l
Proof: % C) r7 ^0 N: _& D
Let n >1 be an integer " n+ K1 V: A3 A: R' i5 H' y
Basis:   (n=2)
/ p+ M8 s* T" c" R4 ~) o- Z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3* `" y4 |7 |9 Z+ ?: N: n; a
0 x; U) d. h0 X4 j' d2 Y
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that; f3 _1 ~  _/ e* T4 _  d& w7 T1 G! v
                                     K^3 – K can by divided by 3.  h5 Y2 ~1 p. H$ D  I' J

" ]( i2 r, x0 D" fNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 h5 N2 o/ S1 E( F2 F. \since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem* v9 g  Z9 W9 Q0 y, M  C6 a
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 \: `) _2 Q9 v9 s$ ]                                     = K^3 + 3K^2 + 2K% F& O) `' k4 [" H6 V
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)( B6 \# J/ C4 g/ s1 E
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)9 B: o+ z: l2 o
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 J: e. p% e( r% e3 F6 xSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)9 h+ _9 Y8 U: e
                                = 3X + 3 ( K^2 + K). M4 K/ Z) Y1 g+ E2 v$ f' |  {% b
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 n1 P2 J) {6 j+ C$ L4 w$ Y# {% A
- t( t2 n) g8 C) f' l! [6 ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1./ W2 o; @2 ]- p3 ^, v4 R
) U5 V6 C3 P$ l: J
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。4 O5 _. v9 C: ~" z
! [5 }2 O0 i0 Z7 V
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* ?( ~' H: n+ p$ qShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
- R! h0 _5 j! S# z  V) h. t

) u+ X  H, P. @7 p# d4 ISORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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