出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

: o# K' r, I) F) s+ N2。下边证明有没有毛病？

4 D3 ?9 D" ~" U/ Z  |- I设  a=b

- R4 B6 A: N# i8 ?则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) M5 C! f+ E8 m' d5 @! p& n
a(a-b)=(a+b)(a-b)
% Y) W) D% R( h4 p. C- o# Ia=a+b
a=2a
. |* L+ n& X% P! S2 M1=2
0 J0 w5 G! S  {( d  ]* d
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

3 l& \5 ]: ]+ A8 f! B7 ~* M" _1）不能。比如1
9 p2 `2 }6 v' g# C2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; Q* [1 Y) T6 V) x1 Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 ]; a$ R9 k! \  W看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- @/ v0 y. z4 q5 z+ K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, N9 p8 v: T; P$ {$ j2 m/ A

5 @2 F0 @: Q- M为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* Y) u: X! n6 d3 [' }3 j6 t7 e" Q
, [  _8 m5 V, ]7 f* [3 C% @1 l  KProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 M6 I% I3 v0 Q$ P  \1 C         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

( F3 n+ c) _7 n. M) gInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
- e! o+ v4 p9 {! S0 j/ w- G$ j
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 ~- p- [1 A3 n- H4 D2 f; Q% J                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- ^. p4 R3 A0 ]1 Q! y) A( i5 c4 X                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, b. \/ b. ~0 [) C  @7 F                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
' b+ j# j2 z. d2 p
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 o' f+ A0 E. i
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

& W" |* ?( B. q; A( ]第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- ?( A' O2 _% x
, N/ z% x" ?. U; l8 C" SSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.