埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2780|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?, o& Z' Q) T: J+ G
: c! a, I% d  E; T. R
2。下边证明有没有毛病?) l; i& R. X1 h9 e/ K" @' \
: g( ?, {; N# e/ u
设  a=b. q% o0 Z, C' e  ~  e
! D" M/ f' K( t# Y- `* N  Z
则有: a*a-a*b=a*a-b*b3 Y$ j8 K; s+ B2 y8 |" {3 Y
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
1 {& m2 ]  t' X. c  M9 O; K) ?# E) n# p
a(a-b)=(a+b)(a-b)) u, y! n! l! W% N4 P$ e: B
a=a+b
0 u/ q& q4 Q7 ^) j0 e7 ?a=2a
! @4 }4 h+ q/ r$ F) O1=2! v' R6 C( Y. R! `
, g+ a8 k* D( U6 q0 @
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
9 z9 ?) o# p: G8 q, V
% K1 s0 `' g, [0 J( H1)不能。比如1' z4 v8 ~. T: j- i+ h
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, c8 g8 R4 k. q5 b4 m
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: R, h' a. U& l
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
) ]1 r9 m4 H& F) ~0 W" p! N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
3 S- X# c" H6 t+ [& u* Q
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; U7 D9 u7 W; P2 A7 f1 j* k! p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 D1 i* e/ P6 y5 |- C! A# o
/ y' C; y3 |+ S2 |
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)) S( m' X% I6 p0 x. j

) K- U+ M9 `9 V) \Proof: 7 p# q1 v4 F8 \' j9 ^
Let n >1 be an integer 9 e. {# S: h2 G. C; m; \
Basis:   (n=2)5 O3 o- j! s5 c1 j9 q
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 35 U9 U2 m) h$ p& Y" _
; I5 C( T! i1 ]5 u9 b: c3 Q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 ?+ n6 M, D1 u, ^5 _                                     K^3 – K can by divided by 3.: J0 P/ A4 J) Z! ?$ E- O
6 \. H$ P! h, i% t( s! A. M
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, V1 w. I& l6 d' P0 |4 q: bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem8 c" l" P1 m  q( f0 Y: R2 f
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)& q! f4 o* k' `1 S
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, d. f' X2 d" K7 K7 V$ y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 v/ S6 I8 @. k" Q9 _; T                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)2 n& k9 z/ W+ n2 ^2 F$ u8 K. R
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0' L& w+ X5 x# S- V1 H
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 N* W, B+ a; j% l                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 y* r, |8 z2 }+ S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3( e7 F- P" n1 s5 T* z6 R
4 m$ C3 h: k! r  P
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) v, W# R( ?; B5 V& e) l2 A( W1 ?7 i1 f
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 E1 E8 Z0 k1 m; C- B+ E! B, M8 I2 d" O7 t7 b# W4 Z0 f- S6 `* u
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ K& T" _& u( kShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" F+ H. C; ]7 S7 z- ^+ U5 f% M" F6 L/ \" p7 o" a( D
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
大型搬家
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-7-6 11:14 , Processed in 0.195900 second(s), 17 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表