出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

5 Q) c1 i! ]" k4 g' Z' o2。下边证明有没有毛病？

3 r( V* b7 p# x) E" e设  a=b
3 \" T" y! G/ @6 {, t( E
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 e: L& ^& U( W* S! p8 F
a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ L  i/ e1 }) C- O( ca=a+b
a=2a
1=2
$ W" ?* c7 E4 Q1 C$ P% b! Y# E
9 S+ U# h+ Q1 W- W9 R& d证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

) y& s( N' S* G  F0 A9 b1）不能。比如1
: e" M3 o: ^4 A2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 ]2 x: o# [% i* ?0 T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; s2 ~& ]- t5 l. a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: M. f2 b8 O/ _8 R
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
( m8 B; W1 u4 o2 E# ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 _2 Q' k( d; g8 R5 T+ J+ V
& c6 ?& Y5 m" H( e: C- [Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 z% [3 `0 c) |                                     K^3 – K can by divided by 3.

7 h, N% M5 T: ANow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 `+ K& r9 o& e8 d  K! p! n3 ?  D. ~since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ \7 f0 z( g3 b2 g  J8 `                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, G2 f* w% n4 B6 k                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 }* u. o9 j% V, ~                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ }3 ]+ u9 N' V. q4 L7 ^* ?: M5 D" `by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. D1 j. ^9 R; i: j  i% G, x                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 g9 |9 g5 s2 \8 \  P. c
0 a1 |9 T% X; d% V3 G" WConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 I( J5 s6 M9 V  {  r6 L7 R
; P4 f+ G% j1 j3 p; }% n' W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* o! f# K0 o" l
3 A- P+ S) ~8 Q# i- Q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ _6 g( D' z1 AShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.