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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
4 a8 u* _( C2 s! @" ^( P
* q  ], R2 a, e4 M2。下边证明有没有毛病?
  F6 a& D; i& `: \/ \3 g
! C" o& |' d6 x$ J设  a=b
' z1 }5 [6 `$ F  z# k2 K. d; p
% M* L# x4 J! K) R- U8 Z( J, y0 z7 ^则有: a*a-a*b=a*a-b*b, `4 i+ @+ p1 K5 m6 R& s' U# K
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):+ j& O1 z: f9 R+ X5 Y* }

7 g6 U: A$ Q: ?/ S9 R0 V9 {$ Ka(a-b)=(a+b)(a-b)  O; _7 j1 i* b5 w2 |$ W" H9 x) T" |% S8 ?
a=a+b
+ k7 h1 ~! U# k  l2 \# G- m, Za=2a
' ^) O7 ^0 I9 v9 _1=29 y6 H' E: h/ ^

. [, g2 G9 [/ p' z0 j1 ?证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
' J0 }$ |5 f' L# h
% F% \9 F! _6 N1)不能。比如1' q6 }5 y: o  B5 n4 [+ u
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
- D; O$ O/ P  E6 w! a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:; D0 J+ G3 Z& g& c7 Q
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 m" C) u! n$ |8 ^8 ?2 e
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( F8 M1 E' C, o5 C8 ]看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% j6 \- }! p- |4 n* Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  n- V& M4 O3 f' c/ v) |9 X

* m# k) R0 W# ?! w: C5 U2 u为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)( s' n6 J! G' I2 `9 P! K1 T

5 a8 t5 {4 q6 J2 ^' z6 N% W) T6 a. OProof: 3 F* M! f! \( `6 j
Let n >1 be an integer 5 G  _! e! r' x( U
Basis:   (n=2)
) r- A+ I8 ?; @; g6 n2 e9 @, d( a         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" d  z% C7 [; P) f' \$ I% H1 `4 [$ c$ `+ T/ Z) i4 M( W9 e7 s
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that7 H2 ]* U) j# r% [9 y7 S: Y1 Q! a
                                     K^3 – K can by divided by 3.
( W) Y, e2 D* e9 h7 l9 W9 D4 o! z8 {9 }  j4 z' z$ f$ n: V5 i; [( o2 o* y
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 s  F; y8 m7 Csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! M3 Y9 J  ?7 \/ |( B- ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  v% z/ ]1 B$ |. \% N3 o5 k                                     = K^3 + 3K^2 + 2K/ E/ u0 U5 c! t; {, I2 O
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& Z$ F7 t; M/ d9 T- R. L4 |                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)6 ~& U% ]2 y# k
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>08 ~2 O+ U, X" b$ Q
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 E; k1 g  v! C3 t- g  }
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ `# d6 d- o/ p! X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 39 S8 ^# K: o5 m, \$ c1 b9 G( i2 p
6 \9 d5 ]9 ^( e, T9 n, u  H9 J8 f$ K
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 r8 _' ~; S! j8 [2 f1 E# A+ A0 q% s- S0 F, l
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。2 U" @/ l4 ~3 N+ _" D4 q8 w

4 B9 Z+ f! j+ z7 G. P: T第二题应该很简单
理袁律师事务所
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:0 x. q& T: [% F  T0 p
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
7 y1 F& a  j- G5 C8 b: V  o
% p0 Z/ n) v6 s4 o
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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