出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
( d7 Y. d1 f6 C0 Q
设  a=b

/ z) c, }3 j( [/ i6 z* D" ?9 {6 L则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
4 @8 ^) {' f: N( }, J0 ?! m7 Ua=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

3 T3 d' v6 G6 N( |% y3 u1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: W) F. c9 S# D1 x( R1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 ^! x5 e, l, ?4 z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. W  J/ I1 Q* N9 e看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. Z3 A1 O, E8 R; G

: R- d& f- R$ C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* U# X  F4 g4 h  I4 }9 G6 J
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 A* R/ Y$ s7 ^" u- @
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 U- W% }3 `' R0 [  H
' n( h- ]- E- H! V* bNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# H) H5 X. c0 Q2 Z2 X+ asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' G) i: l, i/ [9 T1 nThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: o8 G3 h- n$ J! _                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ F" r, w/ @+ q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& K/ p/ c( F& f' M4 ^+ n! Z/ Wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- U2 s! j9 V  O! f                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 a4 n3 ]/ W7 U                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* v% a, X$ o$ {0 A; x
+ a. o  b- N: nConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! X7 v& O4 j& [  OShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.