出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
0 W3 h. n# g, A, w+ O% t
- Y; ^2 t. b, a设  a=b

0 N9 Z1 h9 d/ c; _则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* B5 l: g* p# z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
0 l1 V+ u9 A/ N4 n1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 T1 z- |& o, \7 x
, I6 E% z4 {( S2 t$ D! X! X: S1）不能。比如1
8 Z) j: M) Q8 P! R1 J: O" F" Z2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 \, Z6 \4 E( W1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  v  i" V( k& o4 Z7 m/ T2 B) i
* }, ?6 i+ t' H3 n; GProof:
/ h. \+ L" h, kLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 F8 h( t6 L# f: ^" D4 F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

' T& S# }& \# ]1 Q( wInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, i5 t. q3 A6 O- \/ N  Y                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 x+ M& e' e! @* {1 N- u
, o$ w/ U/ P  v5 }7 ~" |0 F+ iNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" F8 c6 x5 f  {9 Gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- |* f: z4 h4 o1 G  v) {Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! K3 l0 s# s1 ]2 d- d3 Z* q& ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
* R4 ^& T; E! |! p1 l9 ]' t4 x                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ [- {4 ^0 b6 M6 a! t4 g+ r                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

) p, d+ d2 ]1 ~6 C. h- v9 kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 `; a, V8 f% ]$ ^$ N8 `
# b* l3 e9 i# N: n  l" P[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

! Q- a' S) j. T0 ?$ s  h! b第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. X5 O2 z2 H2 a% D9 o5 J! iShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.