出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

% e& b# t3 z( z6 i2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ w6 ]  J+ _8 @' w" V' O0 T两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

5 x4 P5 v, G& r" l0 b- R. g" ^& ua(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
- Y( P+ K& n! la=2a
$ D7 G% v  X# v. K2 g1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 @. G' H6 b- f# o
* M" r- N5 K, P- D3 q9 c7 s1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 V$ D! S$ H$ v' ^6 W2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ D) l! F" A$ G6 C% e% `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: C) H8 P, W+ h$ c: k# ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

& [" V& ?' f; C+ ]为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

) R* ]# h, J/ F9 XProof:
Let n >1 be an integer
% f7 c& s1 u0 p% L3 ?5 K* TBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
% J5 m: s  H& A% @  O' U
1 ~1 j# |# _0 o+ VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 k2 X) n+ b2 k1 N$ gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 L" M0 ~+ q6 `. k1 P                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 j+ ]6 a  q( T9 k1 V/ S# Z$ w) O                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 D  N: z, S+ t" t. Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 o, `, Q4 q/ P# T5 }9 ~, o: C( m
/ C" y; M! N6 V$ H, m% gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

: l2 l  [7 b2 U: Q# A[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

9 b, E/ v$ C# ]- e1 [第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: S8 h  u2 a8 I6 L" \) I% o5 bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.