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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?- E7 N/ x& V3 i/ D9 ~% ^: ~
5 P( O% L1 W* C- M
2。下边证明有没有毛病?
& j9 s1 e9 l: |2 C  V, v5 S% {( x* C( }! j) n3 K2 }; O
设  a=b3 Z8 d! s* N  V# |. t

7 E3 V; ?7 C: b5 t6 ]; e- r! `" v则有: a*a-a*b=a*a-b*b
1 n6 y) i% @0 l. p3 @1 v( C9 p3 T6 v) [4 e两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
% o0 @1 A5 n" C3 w' q' q& S; p+ b4 Z% G" C
a(a-b)=(a+b)(a-b)$ [2 O! g; m: F5 ]% c
a=a+b
* G" a" d7 J3 c( l1 D5 [a=2a  t6 k! ]. j( f/ |1 \
1=2  M0 z& X2 F! _0 O: \% w6 c3 P5 h* s
* b7 b. o# P( [! \8 f
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试% f0 n) w% `, S) W. ~
  N9 C4 l' h8 y( F+ y
1)不能。比如1
! v' r/ O" @2 O/ y/ @( M/ d2)a,b不能是0
大型搬家
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# n0 W0 {. j; R+ B, k( Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:9 o' z' Q* l9 _  \+ X1 _
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! @2 d9 n9 h* U9 e2 S# b9 Q
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
' l$ L' ]6 t) j% R+ N7 P
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" ~5 @, _1 B7 T5 n; a* W
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
9 t4 n- |! N6 X! j

. H6 m# f4 Q! x; M7 G3 ^" f为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 Y6 l/ k3 J' v1 Z1 H# a8 u9 B+ t% H4 `2 A9 F% G
Proof:
2 w+ _$ q7 G% Y- e9 S# A. c- TLet n >1 be an integer
, Z. Q4 A# `$ z1 pBasis:   (n=2)) Q2 V. {/ f3 l1 u& p4 z
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ B3 h1 e. ^6 y7 n5 ?% B; T, f; l6 ^: ^/ S; Y: j3 `
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 S- i0 {: P9 P0 e; k% @                                     K^3 – K can by divided by 3.
( `( O: t) d8 E  [0 ]/ l
" W7 |. k+ c7 K- q5 }Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" b+ `& K# O+ psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem, W5 @7 o! n$ j$ i1 ~
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 |$ O5 _4 e1 v& C                                     = K^3 + 3K^2 + 2K4 U7 c  U2 v3 n4 z- z: p
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ K8 [( v3 _& W" {2 ~4 C- j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* c) v1 M# R' F$ dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0$ X& \1 Y& a( Q$ L- P1 e6 v
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& L! e2 F+ R8 S2 C) n- b% D7 q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 b2 j6 d9 T# _9 `                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 34 s: e" ]  B3 y4 U

4 y7 }2 L- g1 t0 H. M" s  J( qConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 b+ p  J! ?9 n; [* w
* c  ~; c6 Z9 v4 ^7 V7 z* H7 X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
5 T6 Q# T7 Q. d
0 H& i/ T7 N1 n第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" s0 l# d3 L7 L; a% o' O) qShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
9 e) Y  P# F! a1 O
& E9 c% X* u7 a* U
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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