出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
8 N1 z+ K0 w& G5 e$ L5 B  P9 O
* e& l) Y9 V* z5 w2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
3 D6 a/ b( q: B5 C
: O4 Y5 W& l1 Y, W则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
  M7 f$ Z% p; q5 m/ ^$ d, w
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
; [3 G& K3 r' b5 f0 n1=2
% v7 V( }$ N1 O/ P# E1 M# X& j8 r
/ A: w3 P+ T7 ]8 z& W证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

% P8 ]! \* Q5 F& K" |1）不能。比如1
  ~1 S' o  d& B2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( c  Y! u7 g) u. D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 z/ Y+ ^2 K2 f: ]4 V7 h; P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
! k( p5 w9 z' v" u6 U
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 ?  V! R' M3 r+ V
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- _1 B' @2 r0 ]& m6 U, j                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 D7 p. i! B- N  \, U! k7 v7 ^3 h
; u9 x; w1 M: l5 Z4 k: i" R* g1 ZNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' @, r- W: m/ o0 K, zsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ e0 F+ O/ U9 pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) P1 P& E# Z: a, _) j7 l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  y( {) }2 \* G$ w& ^# |7 w4 F) g                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 v# H/ b5 ~  e" A                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 u  v+ o9 o# J; q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  Y7 M' A1 U9 n! D% P) P0 s
9 s' J& \0 E$ `0 n4 i: f0 kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

" q) B8 s4 ?; F% @第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& x! v# ~# \4 w0 c, E, }5 N
# U+ Z: ~  ]" E" NSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.