出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
' _$ {4 W' n' o# Z7 k  L
2。下边证明有没有毛病？
% v0 ~% m5 k4 T  L1 T) J
' q+ J, J5 I% ^; l1 j( a1 ]( Q. Z- u设  a=b

+ k; z3 t# M0 Q8 U* R/ k3 D' f, g则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

6 c5 Y7 T, r$ G! c5 h8 qa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
. ?7 L1 U- h* A* J% O( Pa=2a
+ m" @" r9 ?5 ?) X  z- A" _# J. }1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
8 d# I! k8 ?6 `0 q8 M( v  O0 [
0 I* ^# u' J8 ]6 W+ b; }1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" T1 r- {* Q1 R9 u, L9 D- V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  L- S4 C" V& ^) s3 \5 y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' o) p7 j: \' x7 s看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

. O5 \9 e! p7 _, x0 j  ^/ ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, X- F% Z# O! B
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# R4 t1 S8 I  @6 x9 p* @+ H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ ]% d) Q. g! ~" ?: Y# ?- [/ k                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 d( \0 @$ q$ v# A' o; g
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- |+ ]$ p  ?8 ?4 i0 h5 O  \+ t
' x8 J7 g  x: n) p& g$ R[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* M* K# O1 U( U3 v; k1 V
* }2 v2 X# ]$ k  r. @第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
7 M% v* z0 C3 s% }; F! M7 M3 GShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.