出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, w9 _0 F0 Y. _
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
# A* N: q, [4 i* q. t4 ]2 h9 [/ Z
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ _0 {% s4 K3 D. z6 H两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# E3 u% l, k  U4 u+ q$ l
: g3 E2 v6 K  H% I9 R3 Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
; _2 g! f4 a. \/ K  f1=2

( D+ ^( d' b/ b( G5 M6 h7 B# ^证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: f$ D4 p! m6 _2 w; t* v: Z
; L9 h+ t/ ^) V; C1）不能。比如1
( U& P2 g1 K4 {! D6 x  X6 f% ?# j2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- r+ h# W9 C0 ~& Q6 p! |9 M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 C3 d) |2 Q0 R看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

2 Z2 }, s9 D. e" TProof:
0 f' I' W' f  H) X# y6 ELet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ V" _: b2 S2 N. [                                     K^3 – K can by divided by 3.

$ f6 C: [( F! m% r; SNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 @4 J8 y2 y6 u0 Asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ P0 q7 h* Y& J  K* `0 E                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 A0 H9 w$ I. a* s7 m' a                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' _+ w2 w$ ]# g  p. d3 Z' Y! I* I                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

6 ~5 g6 n; P2 |7 J% ]8 gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 V; @5 X& |3 x# ^# ]: \
) H3 j1 u- H5 T4 w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* S% p6 ^+ [+ e
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! j% X4 L0 i. R7 |/ j, f& O' fShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 F. m: D. ~6 v& _! Y2 V
$ }9 Q+ [+ c- a2 OSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.