出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
& \. _" `2 `! r' Q& @8 ?) b" g
设  a=b
7 y) a/ s3 w4 z3 _" p2 N
* f  J( N6 T' s: ]& {) i; Z% Z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
9 O# m( {3 Z) n# W5 R1=2
/ f5 o# y) D4 o
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 S& P1 s% H9 O+ I" K) q9 @% \
9 B+ O6 p+ L4 B# a, U1）不能。比如1
) p# l4 L7 [4 o/ h6 _2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* i4 g0 W' O; g; t2 m9 u! r6 L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 H) I: c- Y& y$ }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) d+ A, c4 C+ U看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

2 U3 p7 R. ^) u1 ^* ~Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 ~0 `* s+ q8 c2 s3 L; t3 z9 ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

) n0 }2 d7 Q5 m: J% ?1 `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 o- h  g: b$ f* G  M, {                                     K^3 – K can by divided by 3.

; }0 A- o, B2 w, U1 K1 I9 K5 {Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* ?+ v/ b' D( B8 A$ f6 O, nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# W3 P2 S. S# P. }) D. MThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 ?- q$ h( V4 U4 v, Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) T1 ?' s. T  {5 N+ Z$ O5 d6 p                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 j1 c% O- r  O5 W* J. z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 D8 W0 {7 x0 Q; m# i2 Z
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 I9 C: f" m6 \
3 h, u/ b1 n5 y& p% {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* N5 s5 D# z5 t9 P' r7 U
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.