出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
% p% j" c2 V9 \& P2 ?2 w6 H
- H7 l* h' F! n) S/ a设  a=b
6 b1 _  D5 Q( K' Q) c, ^
* O  t! U+ g  i3 F则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( }& F' e# L: P" T2 J: L) c- F两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
- C$ h: d; l% x  W" p) f" I9 t
6 ~* i: z4 i) v9 v% ?证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' W1 J# _" y/ P0 E' Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- S  j- S* r. X+ i看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' R  b) r; u; _9 k" M6 }/ A6 o# f. {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* v* {7 M% o( I8 R7 }

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
/ r' F0 D. q- K* e. YBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

9 u9 l' v* E4 A, @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 h8 W. C' D7 ~+ \$ X                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# U6 H: B  d% d0 _since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 b; R1 Y( H# n) n. ?                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 \$ ?/ t: x( w: q& w/ j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. z6 E" c. f0 Jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 @! d4 S5 x+ \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: U/ W- ~% \8 H+ i. ~/ y) d
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 V1 |* C" |; n
$ E& w5 Q: {# S" E! W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( p0 m! \6 ?5 H' w/ a# |" x
, t$ P  J" l) ]& r- v) G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ ^6 J. Y( C( \2 ~5 X4 ^6 JShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ s& U9 x% K% C" J1 h2 ?1 v. r
) d$ Y* e. r! F; v  C4 OSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.