埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2971|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?, g) }7 F" K) e. `& K& @

* V0 s8 R# w  S- n& N4 d, G2。下边证明有没有毛病?) ~2 U  f9 u( A" {) G! z

# E. F+ S7 _0 K0 D5 n6 h' y/ @设  a=b) U, p9 g( n6 L& {2 q3 k
7 g3 A$ b5 H. }* d# L
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
: Z8 F) O( C! c两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):: C  e. y- H, Y9 @9 |, c

- v) F6 F$ n+ pa(a-b)=(a+b)(a-b)
/ U% l  A: \( [1 za=a+b
+ ?# c2 g+ C/ \$ ia=2a
: v! b+ O' T7 g: B1=2
. S" R' V# ]* T
. Q/ x* x* ^" ^) U证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
6 s9 e% A1 y) R
9 W6 F. y) m5 S4 i) B( e1)不能。比如11 B" F. j+ H* O1 I# p# [; u0 @
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 T% x: I' b! k" m! e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:0 F2 n$ ]3 |3 p# E- F
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。) i1 q# b+ d+ O7 J6 X; J
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! G1 q' K. E7 B; y/ E1 }看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:& e5 }; j4 a. a4 K
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
4 d& O) _+ Z7 i8 ]- @

- U: \# n  Z6 |2 {  r6 W$ n8 o% V1 p9 h为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)2 Z6 ?/ _8 V  y; _/ K" l
) Q- K, z; I1 I
Proof: % O# c" q. P; }2 v7 u3 T$ @( P
Let n >1 be an integer 0 i7 O7 j8 t" `" u( K
Basis:   (n=2)4 L4 b0 j+ d0 g
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3) n" a( q1 ~* ~3 X* r/ E
& J! |, q$ ^6 n3 B
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that7 V$ ~/ _' r# w9 k# D% r& y
                                     K^3 – K can by divided by 3.& o0 e$ W# J( P, Y3 A) ~$ j  c

5 w8 g, H9 L( e" U3 [$ KNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; M% b1 [. o8 l% csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 \. k% U7 _! z' _$ t9 zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)+ C9 y" e7 b0 W# c% E
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K: v7 d$ P( l8 k4 k
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)" u" j! _1 j$ i
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 B& e9 ~# Q2 S0 g) Dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>07 K; ?! e5 G0 M. S
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 Z( v( C$ V- w1 s3 W. O/ u6 V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" w% X" f5 m' ?7 i# R4 t% m                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 D* \0 c9 x- ]
3 V5 F/ [) G$ p4 _/ t% mConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.: K) W/ G( H4 H, M0 C

( }) Y6 V2 q/ n[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" M: W# }/ x9 [+ X7 x+ j; q4 d7 F. J' _$ e+ u1 K2 V
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; L. J5 ?& Q) Y# z6 p. hShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) J. I' t$ M* \/ ?/ l
+ m$ R& K1 o+ ?$ T8 h5 M" GSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-8-31 02:18 , Processed in 0.385154 second(s), 17 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表