出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

# q( r6 T4 A- Z3 A0 a3 I. o  \# R; p2。下边证明有没有毛病？
! t) t$ U7 R, y* [# K9 f
设  a=b

  Z/ j: f1 w" R则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% s  C( Q" x6 `/ m7 ?$ X: j1 i两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ _+ a$ Q; J0 w# E& m# W$ i
3 K" D. D3 F; K3 r' j- Wa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
4 b2 B& g5 t" Da=2a
" T* e6 G) Y- i+ X1=2
& B/ ?; U9 Z" I# g& X1 X2 Q
  b/ \2 J# E: X% {4 z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

, J% u6 b5 j# \0 I4 m1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ |* H' V6 O4 }4 I7 a9 M2 }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) F/ c; v- e: P" T! K. ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: m2 q3 s: x2 h; c% \: K看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

! U; s, X! E  n( s, B, v为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, m3 P/ m8 ?  o! e
Proof:
Let n >1 be an integer
% y% e% l  R1 O5 f3 VBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 M$ h5 a' R( o9 k- }  Q+ V
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 v  c" S4 |6 ]/ g7 d
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: P) `( @' d4 P1 vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, Y% h. s; _# U" D  J- M/ @2 D                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: x2 V" M3 k! C# i6 j* lby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ {# F" A: ~9 ]- RSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& {* C) F) a# s* f: {  Q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. d. o. w7 V. C) G. K                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( z& y0 y; h, p; _/ E  B; F
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

2 l  V8 [1 h7 Y' j9 z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

7 H: }) q* p$ {! r1 A: d$ L( ~第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.