出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
8 l5 d" T. y4 h1 R, b
/ X  w# ^2 r3 i( w/ {2。下边证明有没有毛病？
3 `/ h1 U* _" M+ T) e8 i0 F. G: K
设  a=b

6 a+ z+ K$ @7 Z- N4 s0 s+ W  t9 Q* q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 J4 y; e/ ]* j; }两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

9 s9 a$ `, j0 ^7 |. fa(a-b)=(a+b)(a-b)
0 e5 z. v& w( l) }  i5 {a=a+b
a=2a
; ?" L9 m, U. E* Q6 e/ u2 u9 F. w- a6 H1=2

# N; M2 K% V, Y, p0 F* @证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 R, y( S+ }/ f3 _
; _  j* F, s) ]3 q* m( r1）不能。比如1
0 |5 j% u6 L( W' d2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 ~* v9 G0 _- ]' z+ w4 s5 f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 T- {$ ]5 @% L' A$ C, q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 z: L, q. d, d. O3 y6 Q' A. |
# v$ k3 a+ f# C* P* dProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 u6 H; S+ w# r  W3 u4 T         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* M* X9 F" ]4 W0 W1 _" V
- B- Q( I+ X9 n/ U) r* w7 AInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. o7 x6 `+ s  p/ B& ~8 u. K                                     K^3 – K can by divided by 3.

0 I/ j! C  w; d4 e2 d" L# QNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 v( Y3 Z& }# B- |7 s& W# p; `since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- `8 l: {6 G1 J1 ]( c3 I" {                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, a% G9 p( z+ |  s, F( h; t                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: N3 k" Q4 b! x9 B5 o2 x& A1 s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, a- R5 Y1 n/ e# c                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
- r/ l% F3 A. D
. x( V8 ]: ?8 h. w5 h% {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" t2 B# `( C% r- d. H' o9 V
9 ]; `8 ~% }" Q; O: B[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ f# A5 _2 P- M. f第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! _; U& D4 u0 A* jShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 Q* ]$ p$ F) F$ z+ V; n# @
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.