出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

6 _: j* \" `4 C% W$ A9 n3 i) W2。下边证明有没有毛病？

9 K8 @! D7 H) y: E! o设  a=b

9 {/ o: {4 n* p8 E则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ V$ z8 I' p" P% i  y, \8 ^a(a-b)=(a+b)(a-b)
* {6 b) ~0 H$ L7 W& n; ca=a+b
2 n5 R" a" [+ _4 ea=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. ]/ f9 c) a& w7 Z' I$ O- f* p
6 s! b1 x. j7 q& j, Y1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: G) q7 j8 E) n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 u. z) Q' A4 Q% L6 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 @; A  I: y9 `% n, g

, C3 ^# {2 J; c# R( {- c; q$ M为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
0 X8 A# m" j  m7 {$ q. [0 K( B: d, DBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

' g) Z- t# z2 t; f3 kInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) }; r/ `# {3 e! f: O                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ T# S) h( L7 [- FThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* y) C0 S- l  x" G* v5 o                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) `+ Z1 D  ~5 ~% a& |  r                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 p4 Y! K0 R  X& G' |% i) cSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 y5 t4 u' i" D; ?$ S
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& v/ x' {% v# |0 u; z
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ Z2 I5 O2 @- X- Q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ F4 H/ Z3 R! h& k8 P" H  W9 D
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.