出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

8 ~+ x: T2 }2 `- k% k; F2。下边证明有没有毛病？
, X* R! Q: |' y* f1 d+ E& n7 S& |
6 v+ d- @; M8 j设  a=b

7 D5 O$ a' x* N$ K' ~则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% }! L, ]! M& _1 V& o两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) K# Q2 F( H9 I7 u4 h  C
6 x; P7 ^9 Q' l$ i& W1 O# ^4 U' h8 @a(a-b)=(a+b)(a-b)
7 X8 z" i( @- W3 \9 t$ H% Y7 y) |( Xa=a+b
$ D& {( \( r; D; c# }1 C0 fa=2a
1=2
# I) ^) i; @( b: J  h9 G# u# {
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' v1 Q" O! S( r% y7 V# f
1）不能。比如1
2 L; B, a. j! A8 I2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% e% v5 o# ?1 s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- R# O  s+ l; I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, p6 j4 g/ i, D% r8 p/ X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

/ Y  i$ |1 n' v2 U6 O% _  u* C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

( M+ D7 l$ v* L( `. ~7 HProof:
; U- Y' w( _- c, {" R& l" ^* z( PLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
7 M% V' {1 L' u2 e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 X- H% c  V! M0 f6 @( m8 }
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 ]% ^% R# \& U* x) H+ k4 {7 |                                     K^3 – K can by divided by 3.
- y. j2 E' W; ^* Z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, T. M4 W1 D% U9 o1 C/ X6 r- Psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& c7 s( Z7 S% K. SThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ ?  a. w# ~! bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* q+ k6 X6 a& l7 d. R: @
; Q9 B$ y2 k" o# T$ j1 Q# zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

, E6 I+ m1 b7 D* \[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ O: r& N0 m) S& n
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ a  E, y2 d5 U; `5 V6 G, pShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ \4 R7 x, E6 ?& T1 O' WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.