出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
$ t/ U& q% @$ Q6 E* X7 Q
, ]) E2 V; u( e. k* a2。下边证明有没有毛病？
3 s1 V7 V7 J5 z& b* v7 T$ G. |3 m/ A
- ~1 g7 g7 }6 @& S" l设  a=b
# k6 ]9 F4 f9 P7 D$ @) j7 X
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ u& g$ n+ d1 W9 c9 va(a-b)=(a+b)(a-b)
* L# V( p& |4 U  z8 ~2 \a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; P0 S2 W: y4 B0 N% K
, J* I4 `5 e7 I" n& f1）不能。比如1
7 I2 {0 d. ]. q8 S2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! O% Y6 D; A( k9 ]1 A, L4 F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  c1 D- V9 o+ Z- @& K7 S  z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  j6 }6 w* a' r, S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
2 Y1 O! z2 t+ g) u5 r+ n  \1 QBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

8 k, r; }7 x$ R6 DInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 n; s9 I; \1 u: n- t8 |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. r) {! z- G4 C- UThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ p8 s' U/ ?4 D7 @: Y' ~                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 g+ _$ ?5 X5 c6 {                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 S) O' k& I4 Q/ W- Dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. ^1 u  e$ x5 X  Q$ `7 ~                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 p% F  r& x! |5 R# @: w# d                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

, \2 F' k6 l6 g% b# T: W3 oConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% k5 b' p, _! V7 K; ^9 ]0 f' |3 @
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# U2 t4 i; w: |9 I1 gShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. _: G3 Q, o" ]% Z8 a5 G. i  p) I, z) a% A
: Z- M8 i+ B% |- T9 @6 J$ U( S& tSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.