出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" I9 @5 a: b3 n' y' w5 K) O
+ Y% }1 e% d6 i4 A/ H9 {2。下边证明有没有毛病？

" V' D$ j% D2 Y+ Y# z设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 \: `' C1 v6 J6 ?" Y9 ~两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
" Z' R) O' g1 m0 q3 x, La=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' |7 i9 ^! N. u$ @7 X; F6 R
1 ^2 ?! M! ]$ H% k4 @1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- m* c" v' J. E& G, r: x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" Y2 e1 _! N/ k9 J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 g7 C7 ]- v/ r# l4 l

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

. H; C9 f# v7 E+ L: o' \! ~Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' g* J& Z2 G) @* J* o7 b8 Z: A& ?2 ~
& O% Q1 q7 c+ w* }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' X  {% i3 d% M3 e- w                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" |* F! K6 M7 EThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 {! @6 Q$ h* e8 ^                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% i. s5 g: r/ a# JSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 `0 l+ y, C3 f# `' O. E. G6 |- P$ q/ i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) H8 J& E2 R* X, n
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ S( ~3 K9 ^) x7 ]4 z, C
3 K; x2 }, n: Q8 _+ J+ w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) B1 f* o: N0 h% r! D' kShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; F. W# [6 @) @" @SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.