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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?* f8 |- P, y6 D3 j& E( C! o

' U' b2 H6 u$ S$ \  M1 M2。下边证明有没有毛病?
$ H) R0 {! w1 F! X+ z. O/ n5 h& \, x# V( P
设  a=b9 n) z* C# M: T5 K! i" r

! h7 W* }5 O6 y! \2 I则有: a*a-a*b=a*a-b*b
, `8 D: i$ W( l. ~; l两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
6 t0 N" [6 h- X& _2 ^5 M8 L% s) I+ o0 W( ]! }, B
a(a-b)=(a+b)(a-b)) s/ l5 x# B! q% r) b# H3 U
a=a+b
% v+ z) ^& ^6 Da=2a" l6 k: R: \; g4 k" R
1=2) M- P, m# b8 W, ~5 m+ G! j" {

# ~4 r2 p! O1 A( x证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
# p- \  D- B% J: R8 \6 h/ Q1 {& D2 J2 k& _" t* k. J* B% n; k7 s6 g5 ?. W
1)不能。比如1
' y' @% E& V: ~  n4 g2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! ?0 c5 p/ k! G* D3 }
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, i! w1 n0 V: ]2 M& S
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, y% G" ~7 t" v4 R* R/ k  }
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
  B3 A; U3 ~! P* I1 i3 e
看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# l* k9 X; P" g  V$ n1 W% p9 w2 f5 {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; a4 r; L* M- E1 F
  m; r, t( t  c5 R" \$ B
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( A- E, Y8 g8 M: ?
% x2 a2 R2 Q8 YProof:
. _7 m- |; [- B) L9 OLet n >1 be an integer , {4 `* x8 K7 e6 x/ j
Basis:   (n=2)
+ O' s. {+ Q8 L) u         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 x" g2 ?' U3 g) h3 ~
! V) O1 }% ]0 \8 I$ _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 V* w- Y* c: y# f; M* B                                     K^3 – K can by divided by 3.# H: T( M0 I8 |

  a% g  ]9 y$ t+ Y' fNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% [7 O. N( H$ ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem) |* H& c3 m# s2 L3 c6 S! t, Q
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)0 J4 j; n( L0 {& P% w" P3 X
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K# \. y$ ~& k* L" D
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)! b7 N7 }) T# y% z* X3 f
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 `, l) a* A0 x5 ?by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0; F# ~& Q9 z! o8 n' }) D0 t; {
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% y+ b* X& Z3 C0 G. {/ _2 V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)4 w. L' P4 y# `: ^
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 u( b. P& `- }7 S) G; W1 |
9 i) d7 r' Z8 s; u/ s: FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.* N; l- W% |* @+ u( w

* R' N8 e( e. j# s[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  {5 n4 d: m/ F- h8 U8 S5 V, f  H4 h9 |# f) q: v, ?  V
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* D* M- D0 K' ?( @Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
; Y4 ?) Q! _$ l  j" c7 A' a6 {

% n; `4 \( r( z7 `' V  TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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