出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# g% X7 c! [9 |; n$ s& [- U
2。下边证明有没有毛病？
4 c& F4 L3 o$ K
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
$ v# i. r& K$ M6 f9 |- Y/ c4 t两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
, y' }' ^# a" k
& S  c3 D/ i2 [1）不能。比如1
- C  B- D" ^3 X9 u2 b# j. Y& `2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ g# }% N7 S8 p+ Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
, q! P* r& ]8 W& N* ^# N" NLet n >1 be an integer
, b8 H+ v0 y/ _) w3 P4 O0 J8 dBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

! }$ e% R* g& O- e- {7 c' ^# pInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 L- o- |1 _8 o) c9 I2 N                                     K^3 – K can by divided by 3.

7 ?% k, E& W& mNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# o- ]4 R; ?1 qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, m0 h; O. j, d' g                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 R& o' D! V$ g# u. ?% v                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% \; T; R7 s. U2 {3 L- {% l                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* @' o6 N7 k/ G- f4 V# S% {% |by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( w3 J$ z  |2 c1 i5 ^( H6 ASo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ G0 D' \  D) l+ B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) m& V- a  a, e- O1 X
1 J; I+ [+ u% ~. X  F& E! Z; b& D1 zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 x5 h  G/ \% v; g7 Q+ X
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

; H& I- N# q, i第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% P, H1 M5 W! X: rShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! y) ^% y4 E2 O3 ]0 T
9 I; K* a  ~6 `2 I% s& cSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.