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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?0 `# D- R1 _9 {; D! N7 t( k
" r. W9 K  n3 n) X! e. d2 f& o' ^: f
2。下边证明有没有毛病?
, i4 |" ]- ]) g# P7 b$ Y, ]  n# G7 H2 }- K# k+ w7 d
设  a=b
- a% T: N2 u5 B& E) t
" x9 f0 t6 x* q( X' ~. M4 q则有: a*a-a*b=a*a-b*b- j, Y8 D0 ?! H4 X9 Y7 _
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
5 S: E9 r) Z+ K0 s1 l2 G+ W6 k
) P" T! f/ f* \# E1 z( ?. z8 r0 ra(a-b)=(a+b)(a-b)
* P) t4 E+ l3 T; t2 La=a+b2 u: X+ ~- h# ~; O; t/ f) r: ]
a=2a+ s# i$ x' ^. F0 V' X
1=2) W/ a. v- b& e! e0 {9 ~2 C# [* _/ ~
7 b* @9 Z. H- }9 C, {( j+ A+ M
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试# A! P" k. z' T1 `6 W

9 ]9 L4 E9 K5 Y, ~- ~( y2 n+ ]1)不能。比如1
& D4 H0 y; Q$ x: W* j. A) ?2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ [) ~! m9 @+ Q" `7 o. G0 O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 S$ o; {3 i  a% v( N& n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' t2 j4 y9 d5 Y
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
2 H. k' j$ e3 j& n' k
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 \& w$ W; z* w2 _$ @+ x! q, S$ @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 |* O* d" v! c4 j
$ M1 l- D+ n3 h* ^' I* k! O
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' `' N/ h( e$ B' N% w1 {, O) x% L: `, D
Proof: / u6 C* O: t( f" F2 e0 m
Let n >1 be an integer ) a" D+ _; V8 w2 u- i
Basis:   (n=2)
% r* ]) T& K$ r! J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3. ]! \7 `* Y; a$ y% c! S; W% B5 X( y
: ?) u% K9 R) h2 _# a* [
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that( Q% H" N% y. s9 `& I
                                     K^3 – K can by divided by 3.: N' @6 E. b$ a4 d9 t& k9 Z8 H7 v
. R  t+ T+ v  ?$ n  W/ o. c) a# ]! E
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 32 p! ^4 |- R5 V2 |  W& i$ H+ Y( V7 ~7 G
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem( L' V# M8 Q0 C( P  b
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)' f: ^3 w' {! U/ r4 W
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K* D& U1 Q' r! ]( v
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  N3 C4 ?$ `. Y( v4 ]3 D/ e                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)0 k9 A5 X5 ^; V7 z
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>06 D2 |5 J- Y2 h: H& B+ ?5 h/ x
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- r2 X' e! ^) a- ]* E/ v' J# c                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" D0 A3 T* r* h( t% Y2 o3 z% d, A; G                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3# r+ P: @+ H. C  k
2 }) z, I) l" Z& m+ p
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) K4 B& W6 O. x/ `
* N+ H# z, k% B8 N( \[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  [" \7 |+ ?: u7 ?: }- @1 |( t9 }
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 w% d' O( ], d' u/ T$ k! @& EShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ q4 }1 l8 r) j. z8 q# D2 q5 ^; n1 |$ D" [+ m. ?1 \# m
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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