出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" k5 \2 j% l* E! ?
  V3 K  f7 O4 f9 `5 @$ J2。下边证明有没有毛病？
1 k6 W  F) }$ J- }, u3 u% U
6 |8 O/ s% S( w- w& L3 E设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 y8 }% J7 g- H3 v% |两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
) G: }3 E+ W  |' |  za=a+b
2 d/ {9 [& E1 s% u; Z+ U0 ]6 M7 Ma=2a
1=2

& R" M9 }2 m1 Y% U4 [证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 r  f& m  e; l6 l3 b. {" r* s
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 ^, U- l7 s3 \7 ]5 N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

5 L$ E% i2 j  Q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 W# M: k3 @  g& M2 x0 I, Y
1 {6 U! @  {3 ~5 z, m. M( NProof:
- I3 E) |( o4 d0 h5 qLet n >1 be an integer
6 i0 _; X9 i( S: U4 b# r: mBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 Q5 W) l8 ?" P
+ ~) m+ s7 g, H8 `3 B$ {% n  TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
- i' {' n' J4 Y+ H, ~) `& E
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 b8 v$ ~- T* o5 e* e0 f  Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 e& X1 z, p% iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

1 b' Z) r; V6 uConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) \4 ^" C7 b2 N
# L' t  Y5 V8 g# s: L8 K% ?& c4 ][ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

! A7 X* }  k7 e! f# e& x第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, d. k2 R8 m# J
: J' E' M) ?/ JSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.