出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 A* ]; m2 _; ~$ b
2。下边证明有没有毛病？
2 U1 k; P& n  z3 B
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( S. u/ `: [8 I$ _: R
7 O* N# o# V+ t( r3 x" aa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
' ]1 ^& W) I* N+ m
1 ^( B0 d3 H6 b' W& D0 G; T证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 d+ K4 o2 Q, N6 Q# i1 Z# Y
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 e1 k' F; h" R. R1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. S) \! p* T0 X! Y看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' p# @9 W: c( o5 m2 U5 Z& l) g

/ Y& b0 y' @; m为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 q8 t5 Y# S' j3 N. y% M( Y         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

: b# i; v6 I  Y& b3 l1 X& O5 I9 ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  K' L5 V1 l2 @: dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, ?4 I" I1 o4 [* P! kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; p) g* B6 Z% R) m' ?: {3 Jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ p8 r% z3 M- I+ `, lSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 Q8 x$ @( `( W% e5 J. m! @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 A$ _) G8 @9 f
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 V6 T) Q  _, X
. n% S$ t2 S% M5 W# o9 C1 R( }[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

/ c: _# R9 A) i6 s0 W第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 N8 m* o2 N- v8 q" oShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' j& D. G' Z$ S2 E8 v/ P& M
+ K8 l! V4 |- u. [" CSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.