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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
: c6 H; _8 J9 l4 _5 y  w: ~1 Q0 u
1 L' N4 P' b0 O  x2。下边证明有没有毛病?
, ~" |7 O! a( p& X5 j2 B) K& i# q: ~9 K
设  a=b+ P+ e& |) `. l4 L2 ~/ p$ s

1 {# X( [# w, `' d8 r8 B/ V则有: a*a-a*b=a*a-b*b
1 G: F/ h0 V  S# Y- r两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
& r2 Z2 U: A! p" U/ t6 P  A+ H) F4 l' O* K2 a7 `
a(a-b)=(a+b)(a-b)
, ^7 L  M& y3 @5 z& \$ B& B& O; ya=a+b
/ [' _$ }. c1 s2 H; [+ |* p4 Ta=2a
3 t) c0 m9 ?$ V8 A4 L1=2& P/ h7 S) C) O! F

% e- B" l& x* k2 a9 n证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试% J6 W8 s: `& ^7 J

8 P( |5 j1 {- e5 U% B$ R) e9 B1)不能。比如16 A. Q% A5 e# }1 ~1 ^8 Q& D' f
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 k1 l4 o7 W' X, C7 X
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, z9 p; d, }% e" ?8 w' m, S  u. q* a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
. t& i8 |, t) R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 m: }7 U# @9 Z! B看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; u" D& Q" I  A8 j) G5 Y. [1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# I# r$ R& N* F4 n' Y  P4 F9 U

+ t) x! k. z1 r6 V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 t4 i8 `0 J2 _" V  \) K( I; q% a4 O- y
Proof: 3 U/ X5 T; Y2 X8 \
Let n >1 be an integer - Z6 {1 f4 d( W3 b# Z3 S1 ~! P
Basis:   (n=2)
# l( }( v! F7 K. W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 H" \4 K. z& [: [' [1 c5 Q+ u4 P9 z( z4 c* ]0 ~4 D
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that# H) S6 A6 n+ D0 k& @& }4 d
                                     K^3 – K can by divided by 3.7 t7 s: ~. m7 C; t
6 q8 L( a3 x% R+ h! C8 f+ e4 J, a5 a
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. w1 i6 b9 P  Y3 @/ ?since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 a5 Y3 K, B/ d3 y- jThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)/ u" G& \* c# a6 r" p4 I: g$ u
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 T3 ?2 N, j5 X" I  \+ K                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& ~) p$ H9 c  V. @  e                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)! b9 O7 b  [: @6 Z. F
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>06 o# J; n1 f0 o, D9 I
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ O8 e! t7 _6 a
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! O# g9 D3 [9 w$ r; v' B9 y: e                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 32 i; P. T  m6 ?: P& A- H* m

; d& Q, \+ j, Z! u  V7 I4 I9 l* iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.1 k+ ]/ k5 W& H) M7 j/ i7 B* D
+ y, h$ H% ?4 T
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( H8 d' q% g8 o* C# q4 K( s
  ^; Z9 q. W* A4 N- x3 Y第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:/ E9 p- }0 ]* S9 H! f
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
4 [  _( R! H& q& b, H- R
, z$ I8 @0 F: X3 w" x2 l; i2 j0 i
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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