出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# W+ ]& [9 a7 K( K% B: l, i/ `
2。下边证明有没有毛病？
  N3 z! D" d# h; f  J
设  a=b

! r" l; B1 t- k6 X则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
; O! O' G3 i# \a=a+b
a=2a
6 q! W3 m; T4 i3 ^7 ]3 m- B1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
8 M+ U0 K6 `- [
! [& r% X5 K! r: Z2 k& t0 d0 a1）不能。比如1
" }9 e+ d3 H, ?% J0 e! I/ S) v3 R2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 G5 v4 e4 ]7 u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) b4 i" R: z: b

$ g: J9 e8 c8 q7 |: {% ]+ I/ _为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* `# a' _/ G9 X' N- c" o5 ?
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 O0 y" Y. T5 Y& s  V, xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 a1 x% T, j4 N+ ?4 U! U                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 R# S4 h/ Y/ h& N5 Q, S# cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( A+ q6 u; c8 S. aSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 ~/ T5 ^, K% R. t. E- R3 C% V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
- U: ~' }' f. f, l" w: z% A
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 `4 l( D* S9 R2 z/ M4 a: G/ J
6 u- @2 p+ u9 V- F; C; B7 E! R- X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, b, I  ^) k. m! w9 b
$ \) l4 ]! D6 r5 m. }; \( F- b* JSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.