出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 f+ B! n. e- a* z1 B# r0 T5 f
% {. g) l, Z. x& g# d7 x! S; M$ O2。下边证明有没有毛病？
- M+ p; Z4 x: I- y) @* {
4 A! F! c! A8 s( h设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; s' [0 J4 n3 @- n: Q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 e: l* H: \% H& k: k, r
a(a-b)=(a+b)(a-b)
' k9 _$ I* D6 W7 Ua=a+b
a=2a
0 f4 i) t" f: h1 z! B- T1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

, Z/ A% E1 l& U( @, z! v1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ z1 h0 c9 _' e9 I+ S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 x2 R" N2 I; W; i8 A- q$ ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, L$ @4 N. l9 U5 @5 y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

/ p0 s+ S, o$ @1 I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
$ }# y9 i% F( o# n) Z
9 }& @: G) h- V; y) {0 [Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
7 r% u) s/ R) j8 e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 A5 t3 K  O1 y8 E2 F1 F  _- x
* X5 j1 u: K# y4 EInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. n7 v; ^3 c+ }; x0 ?& K7 |' ]) ]                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 k' D6 r$ a, Y( {
- D2 D9 U& o& T' [9 O  nNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; @0 D6 h' f# a+ |2 H3 zsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  L5 ]0 r' V% b. p7 GThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 V- {2 i4 i2 a# a) `9 `# k+ \# o8 m                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 ^* S6 v' u+ ~by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: N& D" ~& a- ^2 p3 H( R7 ISo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# F! m" a4 N: u4 K2 O+ H5 U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
$ F# @% q$ k: a' D$ I3 b6 x
6 O% t2 Z, H  U6 x& f' k; xConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 ]! l* e3 S; G) ~, I
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 }( q) B6 A+ I+ O# LShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ o# H9 I" m( R, W; `  g1 G
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.