出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 l+ i! q$ j8 ^2 L; s( X2 }
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
- f4 W7 P1 y7 U3 A
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 c% w" I) @8 [2 _4 p
a(a-b)=(a+b)(a-b)
: y# \  o( j, V1 b6 _a=a+b
, r4 j+ ^2 {6 w( ^# r3 {/ ya=2a
! h7 K* b8 C7 d1=2

, D& R; N7 y! C7 x) _证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 Z, s7 J. V9 c) ?
1）不能。比如1
; ~. l& d+ P) H  I6 g) E: z+ N2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; H+ [' G. ]8 h. M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: {; n2 ]$ n; `' z! I8 H

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
# s  t! s+ u0 p+ A' k  LLet n >1 be an integer
" I+ g( M* u$ ^3 j1 SBasis:   (n=2)
; D/ j) c2 i" z: _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

2 C  o3 h& f  J5 C  j; lInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ I' q  L0 w6 s: y9 v( x                                     K^3 – K can by divided by 3.

- b9 [  ]. w6 D6 h% ~, ]. ]Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 h' l4 r( N$ F# s: D" @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, a# C, G7 O/ @8 `6 x" T& b4 ~                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 F" j3 e! x& j3 Q$ m/ ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" N  f, x# h0 d: v" c( F. u                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

4 d) y& K# t9 }, UConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- I1 ?0 V; H- s2 F% k! sShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' I4 c4 @" e0 w. R/ USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.