出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
) |/ s5 f' A8 s, J( _9 r( n
! C5 l$ d7 @& W6 P+ y) v则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

( p, M( b* W/ b3 O. d; V7 xa(a-b)=(a+b)(a-b)
/ Y' g9 Q* e1 s9 Qa=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 U: ?9 S$ k) m$ p, i3 ]
' M* k) Y/ Z9 l1）不能。比如1
3 K" `6 _' ^. K; C* L! C2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 b8 _2 a2 F4 u+ n8 z% W# E2 F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, H$ p+ o; t; ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, t4 C" T1 S0 [0 q+ n6 y- b2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 l1 g$ P: \4 k3 `; k4 @1 x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; O* T$ u+ W* A5 V/ A1 I; I) O
; p( v& F- q' i7 }, M" OProof:
+ b0 X7 R5 T; }7 @  S! H4 ILet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

( E0 ~0 R" x3 |& _# m. XInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' @; A9 h# Q' N                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 P1 b) c. M9 q5 I9 V. n4 K* V
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 l+ N) S1 a5 K  i; e8 |6 R5 l8 H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ I* t3 c2 y+ e4 d. W% P4 {  `( `7 ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 }+ s; y; L. B0 k                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& d& h% ?, ^( l# {2 K, h% ^                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( u! b- s2 o, E0 x- G+ t3 _, Y( U- E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
$ N1 e$ K3 f  m* @/ P$ L
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: K5 M5 V6 n% K# Z- B/ e1 W4 y
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 l* F/ p4 m/ u: y( z
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.