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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?! X+ w( P( q8 {, Z
% i" z' G) q8 P) i4 _" P
2。下边证明有没有毛病?
4 s% ]6 i! h( L- k/ S8 Y
0 Q$ {6 {7 n  f4 [" `! h- z. g设  a=b/ f2 I  H3 E3 r+ ]
3 A( y- S# ^/ T; z9 g; k
则有: a*a-a*b=a*a-b*b2 e( J# S/ \6 y: z+ h- L
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
# b; a$ ^" r2 w0 `; Q% k- g6 _" W" ^. A, v' V% P, u. l
a(a-b)=(a+b)(a-b)6 G2 ?& K& p8 E/ B2 |3 c
a=a+b
' Z- I# l# q* n, r2 ya=2a
( c2 \% D8 S7 u, O- e4 K" s1=2
5 `: {; u% N8 m) o
  v" g8 F, _9 |. _4 ~# `0 f证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
& B8 K; \/ p+ w- n- z% G& ?6 t6 W) K- m* Q4 r
1)不能。比如1+ o7 H: {% d  X: j1 N' Y1 X) W+ z
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ v  r* w. x/ U# g1 a' u# e) B
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 J  y9 @5 l0 O4 ]
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, G2 {% {. [- d) W0 y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
4 [0 o" o8 j0 _7 s! b
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" b6 D1 j* Y; x' @  g$ u. n& d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
5 h& o, `* m: {) K1 ?& ^" Y- y
' u8 _5 M/ q1 B5 z1 o0 @2 E5 M
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)* w# a2 F5 k- y/ J5 A' L
7 q1 ?& F: }) z' v
Proof:
5 H: Z" h- K$ N4 G' o, `! ELet n >1 be an integer
- [! S5 C5 L: ?7 z2 y& `# D; iBasis:   (n=2)
0 r  h' ?, H9 w+ z. ^( b+ Y0 L         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ g9 q* [% y1 m5 G- z: L2 {$ ^5 c; f5 j  ?) G& R) M
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that* M( I0 u  U$ ?/ J0 q6 I
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) T. l8 B& b' P/ {$ f" Z) t) m
8 I$ B+ r/ w; y$ F5 r9 i6 a$ kNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3% N/ G/ E7 y1 K; M# n# y' S9 ~
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 w$ e4 U$ x& ]; w( nThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)7 Z2 S/ R9 j/ r5 {. V+ d
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K5 J# g* z$ ]/ H' v; E: A% i$ P4 c
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)$ C. M; P* h3 W9 w8 m3 a
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)) {' {5 e* M* b' t
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- a1 Q9 B5 C& @5 W7 vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# x+ k! `! ?  G8 f! K" I                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 K1 `) Z4 ]5 t( U! u( i0 w& ~                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3$ d2 w  T& o  P3 w

1 E9 d. f7 `0 P6 {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 x3 h2 R( d" N' I  S# |- f+ }# d. i, w; t" T3 ~
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。: S/ `# V3 f  E( ~- M0 j# A- J) ~

$ j8 F, d- l7 \' |8 w5 I' T: J% r第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; z$ o6 n( _# bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
/ Z+ C" L  Z  k: f$ y, J+ h
6 D; o2 T: R2 j* R
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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