出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 U0 K$ s8 j& `5 x2 }
" |- o1 A8 h4 {5 `. ?" b, ]2。下边证明有没有毛病？
; d& ~; B: M/ q/ N; {: s& y8 A: d
" o1 R4 |; V* [! @5 H1 v设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. a  i; A, f3 ?5 I6 G/ {两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ J% q$ S1 s; [8 |3 B0 @a=2a
0 |8 ]& Q, b0 Q0 i8 e1=2

2 N$ w: B; ?9 [4 u% h; r证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  h$ |# {- l/ R/ Z
7 W/ I: p. b! j: }8 U8 i% y1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 E6 B; q! q1 p5 @! h3 W5 s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 A" E" y. [5 k! ~: x5 y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  A: s4 D* B6 r2 l2 t

. j$ @  u; x, o; h- }为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ p+ M8 s* T" c" R4 ~) o- Z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

" ]( i2 r, x0 D" fNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 h5 N2 o/ S1 E( F2 F. \since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 \: `) _2 Q9 v9 s$ ]                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 J: e. p% e( r% e3 F6 xSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 n1 P2 J) {6 j+ C$ L4 w$ Y# {% A
- t( t2 n) g8 C) f' l! [6 ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* ?( ~' H: n+ p$ qShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) u+ X  H, P. @7 p# d4 ISORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.