出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
3 n, n% \3 O9 H' A
2。下边证明有没有毛病？
0 P: i; U8 a8 i8 i, u+ s; n1 \
0 [: B% @$ X4 j! t3 v设  a=b
0 R8 q2 y) h8 ~' X
- z/ S8 d+ j4 v! l3 Q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 ~8 K4 \0 ^( F0 W9 [7 n两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 x( w% l1 ]& W4 U) N7 U; B- |0 @$ P0 [
a(a-b)=(a+b)(a-b)
. z, u% J( C' t& w$ ra=a+b
  x" x) g5 |, l/ {2 s. ]* ^a=2a
2 }+ m, ?; J& [9 k) }1=2
* q3 s5 k, L$ s8 y- e
  G& E) r- b3 m/ s证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 i4 _4 S/ [4 X2 h, w, f
1）不能。比如1
( h1 s  H* v0 F4 ?; ]! s, j2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! ?* d+ z3 X) N/ ^$ d' G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. Y3 c$ S: C2 i) _" x0 H

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
8 d; y) O; s0 L8 \$ J' s1 K# IBasis:   (n=2)
* H4 R4 G1 d9 ]         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- W- x1 l! O( c% c# q) x! Z4 k
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

- Z+ ~1 i" U7 |, s4 r) P, X; I5 H5 tNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- |# d1 U) p; ^. J* W  Y# [  O# a% xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; K  u! l- h/ j                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 V) P) \/ l6 P* j1 {; Q- }                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! b7 m! t/ @/ V( u* @2 n                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& j# D( H/ S5 P. m" g                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; z! k. I; `7 v0 I8 k. U2 e7 U+ V
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% `+ F- O. Q$ p9 V
1 c1 F$ q* h8 O  U2 Y# U9 D; H3 j[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; w+ h, Q9 k; R+ e# X8 K2 ?: t% ^' O
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# H+ e7 v1 R, Q, P
/ H2 U+ ]  C8 TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.