出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ S' K% S" m, P8 u
9 G, Y6 A' A( S# S/ i1 w* z+ q# ]9 }, i2。下边证明有没有毛病？

- N& O. N! o& R设  a=b

# U  k3 V3 r9 X则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ B( Q; r; O/ W( }两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
  [; R% {5 E* y7 ~( Z$ f: ~
7 s) B: g2 d0 h/ k6 B' {a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
, D6 A. e" b: B4 C) c7 {1=2
: N+ V  D) u$ h* r$ b$ c; L0 y
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- K8 M. X% H/ o# z% b7 K* H
" _0 l2 ~' Z. g: d  Z; G1）不能。比如1
3 O3 ^$ {1 K& V8 d& ]2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 h9 Z2 u' M7 P4 e7 x- F- d2 g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 Y0 U( Q6 K7 S0 ?! c1 d看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 Y+ o& T7 V* }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 Z$ K, o+ C# b# J

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
/ W9 O- L. D1 x8 n8 j7 C3 fLet n >1 be an integer
7 x8 @. ^/ H, a* u6 f6 tBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
( {& i( s; l3 V
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- Z& ]. H# ~, w. l+ C& s$ ~7 U2 B% iThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, Z+ i. [3 H4 `* {) x) G- d                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" D; g" L0 ]( H0 I( n8 B( U) bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. A  i3 v% P& q9 r9 ?2 RSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! G6 ?" `7 p. ?" n* @! [                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. M, k, |* W1 k  {
% |: [8 M( u! R) K7 fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

1 ?- x. Y; z1 q/ t# X3 b1 I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ z! a: N( J+ n- W0 gShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& c& K" h+ n# D7 JSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.