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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?5 P0 Y8 ]9 z- |6 a, S

& c# ]: l7 K: b2。下边证明有没有毛病?
8 o" ?1 u+ x4 ~. |1 {) E$ _" @
: [5 n6 Q" X+ Q& |8 |1 h- r+ O9 H5 ]设  a=b) i) V. S: L- p" H4 Q/ Q2 A

3 o5 d. N! ^! A则有: a*a-a*b=a*a-b*b
) G/ S# P  ]6 a4 v& ]两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):1 p1 N0 g  N$ g1 S  t& c
3 b( ^* m" i0 {: s) W( b9 Y
a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 B7 S! h; _( h' _a=a+b' _' Q4 I8 c2 A- {
a=2a
& o7 Y# ]7 z2 m  Z4 E+ |- Q. G1=2
2 P5 ]0 S$ J" I4 S7 v# ]; r7 z6 j' b$ g0 p- H
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试6 f7 M3 K8 E5 X" i4 U
4 G) ]; ^2 B9 ]- ^. c
1)不能。比如1
8 w: U/ V$ P& n. ?; p3 n2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
$ K9 `- Y4 z, H) p9 @7 G4 F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 C. K* C1 p: b  |0 `. ]2 E" x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 R: `, o! B5 `! ~& `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& J/ \: i8 W: ?2 M# m- J看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! k( m; w3 r6 {  {. [1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 H  `2 |/ P2 A9 {7 C8 K
, `6 ]) l* j* A+ H0 |+ V
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, e( [1 h8 N5 p6 ?9 n3 D; k- j! u  M, }7 z6 T: ~% e
Proof:
( D2 g% B% \! ?: r" V8 {  i5 }Let n >1 be an integer
6 H* y8 u0 l- R, y( B: |Basis:   (n=2)- [$ u/ z- I5 C; [
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3' `7 C+ _% {7 H! I7 ~
* D. w5 R2 |  R4 X: ^8 w
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; \5 s" T8 p- F; w                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 C# K' z9 O0 \) e
& r) c6 o' ^2 l! {Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) y# s3 r. D! D: d7 H& l# \6 Csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem- [( b" H- n$ T6 w; d( B4 i: }
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( j2 Y  _" c1 g                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 t, r6 a) I- S' G3 i' z6 o                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)1 {- c0 k* C3 G7 M. F5 d: x
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)% V( f6 ^( K, N8 ?+ }1 ^* }/ Y
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0( a! o& \& ^8 @9 K8 a% J, D
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)& F$ X9 `% b# T4 K! W
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  `$ w. }  w, k                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3  w) B* d. N6 ~( O) ^/ w/ }+ Z& w% }6 b

! e* _$ s( k: C% j; Q* }Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 Y6 z# i+ }3 J# j* |7 C
% G9 ]! k, E5 j/ w  u[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" J+ z- V. ]% u
0 O' `( H7 l/ q; G4 {; u第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:1 s% Y5 x( O& V+ S" v# w
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( _6 h# M! [# ?' n, K
  q4 G1 q" b6 q0 r; h4 B1 W- ^SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
理袁律师事务所
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