出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
4 b( ~" k* V; b% U. W" g
; Z, M! I3 w" Y; u8 ]3 V% m设  a=b
) ]  L; g( C* N6 C; w" c2 a) p# X
- _$ K" A9 x. y* y# y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# v3 [) O$ a, t$ R4 i8 U两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
" I: [& M. O" za=a+b
a=2a
1=2
7 e( M. A/ e4 F+ u8 y9 d8 s
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. u  B7 w5 G  p: p3 U2 K
1）不能。比如1
* j8 m0 w0 j" c9 J8 P4 L2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! w1 K$ s! ^3 _( z" ?# {! l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 n% c' Y2 h0 R# y! W) ?3 g% d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% B  h! S1 Z6 O看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" V/ D2 e/ W) y+ A  D0 i5 t0 \& K9 \

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( ~; c9 Q0 g6 j, F: \
5 C. j. y+ n5 o7 D4 nProof:
6 R$ V7 P; t% u7 H& l9 ~Let n >1 be an integer
1 o  l5 l4 H5 J+ c1 `* BBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  j" q4 l) S0 X% M, C; E; o( W
9 i  h9 D, Q1 E8 d/ jInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 j8 R3 U: l- Q7 R/ p! u% f8 `$ u
" C. `. K0 ^8 H1 |. `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, \7 n& P- H8 q  _" Qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

! T( B$ U& e6 o  e[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

" |) V1 N5 R3 ]; C第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 T. G1 ]1 J: }9 ~5 U4 I* \0 iShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.