出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

; J; s  }: Q$ @3 Z2 {+ c2 t2。下边证明有没有毛病？
" F3 r8 y* p3 g! H4 k
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

' f1 t/ e/ k/ O: `9 ra(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
0 D) I3 r" r9 n1 }4 Y, W1=2
7 W% B3 D$ ]' ?( b* M. H5 q
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# b& P4 X& D/ p8 H" ~' n% ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 t7 U! d( Y& m' A' P5 Q: E
4 V3 j7 [& j* U  z; a- Q- x$ T# q3 {Proof:
Let n >1 be an integer
4 w$ J" T2 ?" `3 T6 TBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 ^/ Q; Y" d+ Y4 esince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 N% o6 G( x  T! wThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, \6 s7 e2 T4 Z, r$ t4 T                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- {- K- W; ]& v' lby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 R, T& d% I) o: J                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ f+ M0 ^. E' g3 y: L7 d; ~                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 F5 ~, ~. n% W/ W
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
5 E. H3 I2 h# G) n  K4 `: }# z' s
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: j* E: f1 n) M6 Q/ tSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.