出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
4 r9 e4 Y( C; ^& m% Z. M, u
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 i9 N) Q) v4 Z
1 Y3 y+ i" ~- t; Q6 k9 f: pa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
# c0 e- {1 |6 Wa=2a
$ H3 U- {' W2 Q. C: s  h6 ]+ {1=2

( K& o! L! d" A) T证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ R1 B( I7 u- U8 R- y% W5 E  J
+ o2 t3 j1 o' Q) R7 q  x# t1）不能。比如1
& n1 s; H' w  I5 J2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 r) ~, M( \, ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& @2 k. p. G  ?" I8 }* M1 @% I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
. j! Y3 n4 n) M2 z
% J  q2 U" O5 e2 xProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

5 h9 b$ I3 A2 Q: m: S; uInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ b! F/ B# R5 o1 ~6 Z0 H6 Gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 |+ r+ [4 u, O; d                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) G; `1 \$ M( U0 k4 Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% m( ^, ^* I2 N) ^0 Q* n) ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 R; g0 f, f! D& Z: E. c' o                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. I- V, }9 G9 S+ |" ?; x
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% h% W! o& K, M1 d; r0 r/ |7 M
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 `3 q# Z# k/ v( i' T! _Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 \: j6 A4 s- Q, J) i
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.