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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?: _7 M/ {7 O3 P* Y# u8 a  K
0 @6 L3 H  s6 Y9 D+ r* Q
2。下边证明有没有毛病?2 x# G# T$ m4 f

% l1 F* T- [7 Q- t' `9 T4 G设  a=b9 b0 V3 E# A" I" i# ?7 }0 f7 Y6 {$ E
* _- Z8 b8 B+ z3 R
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
8 D9 Q8 Y% ~6 u4 H两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):4 L6 X/ I% z) C9 a) X

% M) r# Y4 T; Q; B5 wa(a-b)=(a+b)(a-b)
! L- e. c& `% Ca=a+b- ?, H$ V8 o  s2 T- V) U
a=2a
/ P5 b' Y+ n( z8 X9 ~6 x- S, B: e; `; h1=2$ l' R$ p( }  X+ ^

% y. N4 C0 Q( Q" t- X& m证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
  ?8 E* ~2 W% |' c  ?' V8 a: V# }: K2 i$ D+ B% H' w/ e5 P. @6 P
1)不能。比如1
% k9 @2 f# }# ~2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
& `; d/ G! T( p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 O+ |! T6 O3 Y1 i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! q# S* N2 o  w4 |& O
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
; Y) i: `0 ~6 h4 K) Y9 m
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* i  |, M# F% ~7 o4 }" J2 l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, r. C# n( V1 x% V" F7 F

' V; }8 Z. E  s! o8 m& S' P, a- k为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n), p" w; H5 [7 S; p" q

0 u$ P/ p' X+ vProof: ; @& n- u: G* t1 _$ ]: j( F6 U
Let n >1 be an integer - J$ L! X6 G+ U! _, v
Basis:   (n=2)- j, u" c# c! Y  Q
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  G( ~; k5 s0 z. i7 A6 \+ ?) C9 k' a: e/ ]: p% b/ l1 O' |: T
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& N* C/ z7 ~$ P+ _: x: u                                     K^3 – K can by divided by 3.4 p# `5 R/ d, x: k7 V
$ ~5 T7 s$ A# G' Q" d
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3& a; v1 w& x# R
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. E8 V5 ~: d2 AThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)$ M4 P$ A3 @& S/ ^
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, T" z* p/ R7 y) }; d( W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)& M; r. j' r% g! N" ?! w* H2 G
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)0 B" {. R7 _, d4 J! i2 I5 V/ x8 I+ {2 l
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>00 P  s7 n5 o8 O, a& l' O
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)% G: k6 Q4 p( ]: p* G* n+ u+ s) s
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)7 L- D. J: ^: W4 o8 z  t/ \2 r
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 32 B+ u" Z# }# M& s

& Z; W' k) v: y. A, n  J" iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.2 e0 J; F5 m, Z6 z
& M! b% F1 S3 g
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。2 [% p& n( u9 d6 R
: L; b4 d# d( O# M& U5 }
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:* [5 i0 X1 V& L- \2 N- D. T
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
7 O: C5 l& \& s' w

0 d6 X' X$ T8 |$ b) |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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