出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
* x/ v5 t+ I3 ]& z9 c0 k
2。下边证明有没有毛病？
% e; l0 b; _! |3 H5 I2 E7 X
% A4 C3 x% k  C2 u( L+ n0 H设  a=b
* [) ^* C$ T: S) |, W& g0 f
' T! J# Y2 r- Z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 r$ e5 t. N6 A两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
  ^* b' h8 e/ ]7 a( R
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
, ~- F3 ?- R' L/ J! b1=2

: w0 @9 ~3 U* h* G( E7 T) ~( @证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" n" k; l( U0 v' y3 g0 N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ B5 A7 C$ _5 m6 t6 \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# t7 ~. c& s# H2 C" F看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 |( B8 h& [: D: J& ^1 G$ u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

8 n: ?2 a; [  _. i$ @' t' FProof:
: K3 p, f: W2 C' {2 h" Y3 H! rLet n >1 be an integer
' }9 x: Q' f- ]4 T0 p! FBasis:   (n=2)
& A8 R! A" }. v  |* r/ o  m; ]5 p         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( _2 Q0 T/ u' h
$ {5 T0 P6 n- p) k6 K9 I( UInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 f8 K/ I" D, _2 N                                     K^3 – K can by divided by 3.

  A& l* \) F) r4 y6 rNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- `3 e/ u) B; M4 |# N8 Psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 o& Y' n7 B! Y) `Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% a/ o. ^, c6 [) ]5 Hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- A, s/ c  K' hSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 z1 i: y* p! a# k# u+ F8 G                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 ?  [9 Q5 b' J! t8 l& \0 }1 j                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 |) e9 A1 V4 G4 V1 Y9 h. ]
: Q+ v+ ~8 W  v" N2 R( fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 O& X" Q2 \* U" ]" W4 c
9 m& b/ K1 T+ R& }5 _! O8 r+ ]3 D[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

6 ^4 y6 b6 c6 \( ~- G. a第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.