出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
! W5 P8 Q, R; q$ |# m' o
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! T/ G4 J/ x  x& c6 u0 K
3 g) w; }8 Y# i2 Q& X% Ia(a-b)=(a+b)(a-b)
! ^4 i) R( |1 S! N! ]6 @3 Za=a+b
' Z$ u7 Y0 _) K: \4 _8 Ea=2a
1=2
7 F0 ]( L- K8 z* J0 `$ b! F( J
: a% [9 X. n* a( E证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. y; j4 F# b4 n4 ?! o# C* X( E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  R5 N6 o! _" e% [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% Y+ r5 {5 q! g, C6 p看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) {5 M$ w# [+ I( s9 j3 g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! z8 u9 W8 A9 a) W* S

3 n7 K* G( a+ o8 x为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

% Y2 v8 \& W- p; t! h% zProof:
8 L* q$ K9 O$ M/ b) U( sLet n >1 be an integer
% E( ^# V5 f+ B, ~, PBasis:   (n=2)
/ b9 S3 M% w0 x% ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 w. W9 }: {3 g
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
" I: X5 a5 Q1 `4 I' d
$ E. R5 Z- ]% MNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ V% O# n" j3 \* r* Dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ ?: E  G- _+ z$ j* X7 TThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) x9 |6 o" J7 h% @3 z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 A2 ?% T  [0 Q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 }7 I9 c: U- D6 |5 I5 Y7 ~' o                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

: t' Z/ Z. \# u9 c[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 H9 [/ I, F0 h$ Z  B% v第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 o" W0 W2 X% o- kShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 n6 p: l  C( f- S4 d, B! T
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.