出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; {. {+ ?4 j- D# m1 B# a+ X
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

+ B3 i, V! O/ @4 y9 I则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' j/ V! j7 b4 W0 n* h  W( c# A& O/ P* h两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: d  u. X, _, {: ~  S
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
; b% y$ O, C: [; ^9 N3 v4 C1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

: D$ d" |& m7 I( z$ @% ~9 r  b1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( \- O( X. T6 B9 |  @# e8 m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! M) m, A0 ?: \$ N" Z' t" \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" W, x9 W9 q0 |3 Z( g: |$ l  D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. L* D5 [/ T2 B1 t/ k看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( H, a* c. z+ I& X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 p. \; M: G. H3 V, A5 R
) e" f1 `. ?* |5 MProof:
' A* E% P: K4 K0 ~; B9 jLet n >1 be an integer
9 ~% y5 j: K/ }+ ^3 ~0 G3 Q/ IBasis:   (n=2)
8 _: g2 N* V) Q         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

# b" x, i1 m+ O1 G9 [Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' r( Z+ ~: b* O3 k+ o                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 x9 L( P9 K0 ^8 q
. N4 c, Y6 D/ g: M" h' E! `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( F4 N2 Y1 U2 Z* WThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 v8 Z- ~$ f) W$ Z' R& ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 F) C6 x9 |- J! }5 `5 w9 g/ c                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- V4 p, v, v# n( s. j$ d! ?by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

4 L+ q$ j  e3 PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ f  y' T5 c* s" y6 V4 _
* m5 H1 k% Y: T, L+ w# W3 o第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) `: r0 j1 D  @& S& @
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.