出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
4 s% ]6 i! h( L- k/ S8 Y
0 Q$ {6 {7 n  f4 [" `! h- z. g设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# b; a$ ^" r2 w0 `; Q% k- g
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
' Z- I# l# q* n, r2 ya=2a
( c2 \% D8 S7 u, O- e4 K" s1=2
5 `: {; u% N8 m) o
  v" g8 F, _9 |. _4 ~# `0 f证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
& B8 K; \/ p+ w- n- z
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, G2 {% {. [- d) W0 y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" b6 D1 j* Y; x' @  g$ u. n& d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 h& o, `* m: {) K1 ?& ^" Y- y

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
5 H: Z" h- K$ N4 G' o, `! ELet n >1 be an integer
- [! S5 C5 L: ?7 z2 y& `# D; iBasis:   (n=2)
0 r  h' ?, H9 w+ z. ^( b+ Y0 L         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ g9 q* [% y1 m5 G- z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) T. l8 B& b' P/ {$ f" Z) t) m
8 I$ B+ r/ w; y$ F5 r9 i6 a$ kNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 w$ e4 U$ x& ]; w( nThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- a1 Q9 B5 C& @5 W7 vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# x+ k! `! ?  G8 f! K" I                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 K1 `) Z4 ]5 t( U! u( i0 w& ~                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

1 E9 d. f7 `0 P6 {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 x3 h2 R( d" N' I
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ j8 F, d- l7 \' |8 w5 I' T: J% r第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; z$ o6 n( _# bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.