出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

. Y0 w6 b! E" U2。下边证明有没有毛病？
' f* d7 S+ O  k
设  a=b

! v; W4 Y. W' `! C! G& |' ?' e0 J则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 Z: k1 F/ l: Z5 q5 B/ u两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

8 w& P" v8 c1 x4 _2 aa(a-b)=(a+b)(a-b)
3 T3 @; i& B* H5 oa=a+b
. U2 ]% ^! N5 U- u0 @, p4 R! j- oa=2a
0 ?. \1 Z3 t3 I& ^4 g5 M1=2

5 ^$ z* l; k/ X& }  x' n6 Q6 g" n证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
! b4 l2 e' P: b2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 q8 c" s4 y& x$ o% b9 B1 X- O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 Z  g: A6 {% p5 ?/ F. v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* Z6 E" m: Q" z9 {5 k8 p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( ]' K3 v1 z( X/ L* G& r1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

! Y1 x  v" Z8 v0 G  e( v为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ a) p% {% a8 h+ H/ q
Proof:
Let n >1 be an integer
& B' i5 ?/ M3 a* d' Z1 @0 rBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

' G% C4 }+ k+ E6 P8 MInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 i' Q6 E8 _8 N& [7 f                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 `% s4 ^+ B1 j
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, L6 z+ I  u5 m  X& r$ e                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 l0 [0 k* X( x  Y                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

4 o$ [( h8 h  I& u) Q% R$ TConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

$ Q/ j' v: d8 ~! g' Y1 T+ {: X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ X: p5 U0 M, Q( F: H
0 O6 R: |% ?5 L, y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ b8 V) A" Z  N, u2 BShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* H5 Y* r# W9 x' c" ]
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.