出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 {7 @. f% \1 p" D8 o! J  J% V
2。下边证明有没有毛病？

0 {) W" V+ Z1 G8 s设  a=b
7 N9 x) l+ D2 j) ?
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

0 S5 K7 t8 b3 d- f8 ha(a-b)=(a+b)(a-b)
; v1 R4 E2 ]) s) S$ L; Z% S/ P8 ja=a+b
% J% C0 Z7 c# }3 C1 S! X5 La=2a
1=2
2 j. r# J7 S6 u
# a' @/ p5 h6 D$ Q; ^4 o证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: }7 G- Q( Q* T, d6 I8 w& `$ O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 {# |, c: A3 Q. y4 U) _+ V+ @/ H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 l' C; u1 T+ T6 x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! [% r, a) T* J

8 Q( Z0 D6 q% [# N5 Y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
9 V& o- u7 c% h- g# W2 xLet n >1 be an integer
* G/ q5 @: k( P# kBasis:   (n=2)
+ k+ [! d+ U% j: \( y: h& P5 V         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" I  p# W8 X, U6 H; {! O
& s- {# x1 v7 h/ m* uInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
2 L3 e+ T  N# f  Z( q/ a+ R% \8 B0 v1 g
; T# V# S  g! Z( ^/ @) k# I% [Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, l8 W) i9 x1 B9 V- Nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 y7 M4 p/ G: d2 F                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! F$ n' M# F5 j4 a1 j" q, E( l6 ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ {4 v- W& S! _; O* `4 C/ q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

! }- k; z0 p$ M/ D8 k8 O/ I2 S4 E$ s1 ^[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 x" M$ M$ x; F8 Z
  I: d: ~& v& A' u第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 v( R; ^: V; h' zShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.