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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
: O9 F. c2 h5 a; H; e5 w1 h0 v3 t& y- k9 h! f% S) @+ i
2。下边证明有没有毛病?: c& @6 }# i# [! Z' N! {9 r

6 v. s' P8 \, o* q1 L设  a=b
/ [% _- c2 Q  v" T' g" Y, i; k/ E0 w% R3 o& s/ a2 h  d5 f: H6 y) x
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
" t1 Q( t( c) t两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
: h7 U4 V7 K1 }( S  M( _5 `
- B5 V/ u! o' C5 v7 b/ xa(a-b)=(a+b)(a-b)* g" ?' K1 O0 c$ d- _/ o, s
a=a+b
* c; W7 p3 s9 h5 |& p, ]$ ?a=2a
7 g* j7 [3 l2 `$ Q& I4 R9 s1=2
6 q* Y9 i0 k# [# u' p& Z" J3 f  Z% Z$ B9 M. |+ r! \  w' B; T
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
3 a8 ^) A# m7 [* y" s$ ?' n( x2 ^  }
( P& B! {* `6 k! ~  p5 z1)不能。比如1/ _& ~7 d% {1 m( ]' O
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 e% p9 W' i8 Z" T: }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 d3 Q# x4 W2 S7 ]2 g' B' ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- z/ D) m( G6 ]  t) g0 b
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
# F  [9 U0 D( o: U, {
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) O! f8 K$ k# S' Z$ `; [/ T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 v, A& V3 @0 T9 L
' m1 m" l" b3 g: ?/ }1 [* z7 r9 c" C+ h
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)/ Q, ]. j! Z9 y4 C
& [  b$ Y: S* M2 e! Z3 Y
Proof:
0 x$ w, }9 o# s; q. iLet n >1 be an integer : t; B3 n2 |2 L( ^& v
Basis:   (n=2)
8 t# u- ]1 c" A/ d5 F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 30 i1 j* Y8 z3 K( G
* d+ k5 {, n$ H4 V6 T+ Q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that! r8 ]% M0 j6 x8 M/ U  L! x
                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 V8 [: {& y9 B! H7 H6 u& S7 [# p& E# K
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 \7 {( g5 l, b4 M% nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem3 J9 _  n; d( @- J4 Z
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)2 S: N; l1 U& L+ L% _  y7 j$ B
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K, v$ R1 b8 R' G8 Z% C6 q7 j" u4 z; P
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ W* T& p9 T& [  u. I: ~                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)6 x) \+ e7 p* `: P7 M
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 }* l; T/ b1 C2 V! U5 |So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' j$ P* r: ^, B, k, Y' w& M% L/ J6 R                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ r# K  A4 D! O, Z! r                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; J+ W7 U1 Y2 y0 t0 O% G: c. _* o6 l2 d3 d) o
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ v2 D5 R7 f9 x& V* I) [% Q' m& u# B) f9 E" ?4 P7 A) e4 Q
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: }  k5 i1 j, ~; _
4 ^! q5 O- `# X6 l! o. o/ h/ K8 h5 I. Z1 w第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  B- F, F3 z. b. n. u1 ]: d, _" NShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
9 M" x8 S4 s; ?, {8 a

- x8 s- d4 P3 ^" |" N$ x, USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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