出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& E/ B/ T- |# Q/ a) l! u
  ]. G+ ~9 k# X, Q2。下边证明有没有毛病？
0 V, @" L8 N& p1 c: b
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' `6 R' f8 y8 Q4 f6 E  _9 @! i两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
3 g! q9 p7 _) T0 ^2 ca=2a
- D4 c- r9 k2 U& k4 F) y* n1=2
1 f, k* i5 F' v9 z: U. n
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  M' L" p9 L1 `, {# n: ^7 m3 ]
+ s; I- E( k4 M5 b5 [1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* B1 e/ C) a, V- U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% K- f% T; s' Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- E6 k% F! F9 h9 [( i看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; ~' U+ ^0 E3 C1 f  z
- @9 N+ L7 c5 p( y* UProof:
" G. c# Z8 P# n$ eLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
4 @3 M4 r8 C( X9 Z4 c         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ V6 i8 m5 N5 S/ F- n7 B
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; Z0 t( b% I# B; T" Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" L- {& H# e! G$ ?  t% e                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 e8 |* A! W: g* N                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& |2 S& P! X, h# N2 ~                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
- n8 K' z: L8 @5 b4 O/ p6 l
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

% h, m2 h/ |3 A% z9 o/ l第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# s# I) G. q! `
1 ^% n+ T+ m6 e1 g0 DSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.