出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# d6 U& Y" n; {7 c
: v, Q& [# A+ @' S2。下边证明有没有毛病？
; V! n- \0 X) c9 C  s+ Y
8 T* V1 p0 |. s; `6 a7 z, l6 ]设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 F; D. k0 ^7 T2 ga=a+b
a=2a
1=2
8 R" z1 l. E8 z% q/ }; G8 L' y  [8 Q
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

% _' p- |& G' E; R, K8 D1）不能。比如1
7 t# W2 U7 w" B6 |: _2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ O0 Q, l" q" j

) v# T# U7 l; _9 z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( k. F  u+ c: A; j% R! K3 ~
Proof:
Let n >1 be an integer
/ B1 V2 @: ]5 T" S& N  Z+ yBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
! Z' c( B  f% A% A- [
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- x4 d3 [8 x+ \2 I0 d* M) Asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. ]4 L( R. I% h& I( A+ ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; W* t& b4 T/ g$ z1 q* Y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. `7 R$ M$ w3 D$ W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" D) h: Y7 v6 R% S+ Y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: K; V# |7 x# [' vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" O0 A: C; W5 {8 O% S$ eSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ I9 v, _' }1 Z! v' u: x8 h                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' _2 T: `3 x' f$ h
  D) M* O# F! v[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( H. h4 L& k" }1 j& t5 n7 G
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ |: Q* Y$ ?) \! q% Q/ ?SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.