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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
% C5 z- w4 K" a- }! m7 k/ m  n  u7 U
  A. g) i' c3 _5 g2 r; K3 }4 S9 q2。下边证明有没有毛病?
- U; Y$ u- S. S, s
/ b. ?9 t9 }. @6 k/ u  J7 e$ T设  a=b- d+ v+ D; M6 q4 ]! F6 q
5 m0 U: @5 q% Y- ?7 o
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
, p$ S, J* X& U7 }两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):3 \  y: V. M, C- q% r

# @" s  R. R1 ^$ ra(a-b)=(a+b)(a-b)2 Q5 z  j9 {* S- v% |
a=a+b
  j( b0 U! S0 G5 w1 Ca=2a! e1 d6 t7 E, u% H$ p
1=2
6 c3 q. r8 x: B* }1 X: v0 F) ~" V9 r
/ h2 @0 G1 o7 D* [证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试$ N* z; e4 N* O  A  B- e0 V

' l1 G: X9 v- h5 A1)不能。比如1; C5 P- X- I: ?( c- B
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; p9 @! L7 ?& }! v( w8 t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:9 b) \6 Y" N$ x; U, q# [
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 Z* x' `( i; F$ u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( ?+ v/ R+ r) s+ T0 P7 r. S看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" \/ ^" `7 f. T" Y% o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 R+ i+ q5 i: @7 @: q

' ~' u& _. o0 v0 C* l为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)1 H- i  }0 `3 C" d$ y/ Q
$ G) o* \3 J) S8 |  O+ ^2 n
Proof: 4 |! x! t# Q$ r1 N3 D  W% d- i
Let n >1 be an integer % r3 Q( h1 W8 ?% c5 ~/ f
Basis:   (n=2)
5 c! M: d& W( i5 j; F# y* }2 {         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 35 b5 P, \6 {2 {8 a9 d6 }
0 S( w, q; {( e$ i. W/ S
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* j; b* L+ r( z8 k* d8 |                                     K^3 – K can by divided by 3.+ ^2 G8 N0 s/ \1 ]! J  T) h* T, B
+ Y; z( O; r/ j% d( o% I
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 ~1 [1 W' l; Y8 ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem- P, c1 y- S. f- e5 X
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 g: m4 b- u9 x; q& v  t% G" A                                     = K^3 + 3K^2 + 2K% k3 W5 x2 M  v* f( q
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 h. l( _. y& Q2 h5 Y  p4 z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" w& o! y2 p  g4 U9 yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ @  J) Q8 n6 s- T# xSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ _7 b8 C8 p0 ^7 v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)& R0 Q4 o. ~) ?, S! d3 Z
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3% o& ~8 G* ~. g  c1 L  [
; l- d  L) V0 d
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 E: ]! t4 \( ^3 ~! G$ u% b# A
. X! k/ X2 R1 J0 ?/ ^: x[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  V5 |) K: O  E; b1 D7 D( m- a6 X# t3 n, U! v2 y
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:. r2 x) @) k# H7 X! ~2 D
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- n" z$ f: d$ O
, M2 n2 B8 `2 e) s% LSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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