出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

& w: @0 [7 T  P7 I则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# K+ q; r* R8 B7 w+ O$ @
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
. [* p! b8 g4 y, F5 ?a=2a
1=2
7 p3 c8 `) Z) e7 ~, g
+ v8 O5 x( q8 V: Q. g0 O! s" O证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ ]% y, [  n* Z0 _' c
1）不能。比如1
3 @! }: S* a6 b2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ q1 V9 G) Y, S0 A" U) R5 J* ?" Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 `' ?( n* |7 X5 H" W2 }( w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% R/ F& z; t" `) f看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ n% i1 ]) }9 F; j3 o6 h! B3 C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 P. a# I9 J/ K+ |% R& X9 q! n8 d7 b
Proof:
5 x) ^' m# X9 o+ ^' F6 w/ PLet n >1 be an integer
* Z/ t6 X$ Y4 b( [$ v/ vBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 t# n- n7 j- ]( \                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 w6 l, x  ]8 ]4 q: I; U$ i
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; q" D& K) n, e3 _0 V# hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) @' I" J. q2 ^$ H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 M% B* l5 A2 J$ X3 nby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' o- ?9 p5 F) c' _: w9 ESo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 Y. U6 g0 P( k& U
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
# r3 K8 ~3 Y- \- n! H
6 Y, I6 U" T: L4 }5 Q% H+ D[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

% r, ^; h- g+ z  S第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, Y% B# O( x0 y* N' _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.