出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; Y$ J9 V3 m9 g" _# x! q9 e) z2 E
2。下边证明有没有毛病？
7 `/ m% i+ D: j7 m2 r" b# p4 s0 m9 \$ S
: R8 w) V2 M' @) o设  a=b

$ Y3 N8 O& }/ M; `7 k6 R1 Z3 c# E) D则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
9 Y1 o- A9 n3 Y4 V- m: b4 J& @1=2
! o* c& X# y# L8 z, o7 ?3 K
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ U. T6 ~. z  f4 O4 B
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) N  F' A' e4 o4 z! ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 X% c$ N5 w" z, [* c4 @

7 j0 n( Y; R( f* ], ]为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
1 D% ]6 y1 k3 w: q& mBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

' T! X4 e6 u* mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- i3 A9 V, i! v2 J+ k                                     K^3 – K can by divided by 3.
% p1 K8 U& [/ D: I  Z7 p  q
) D6 G* V# L' B; {' O7 g  T! Q2 M& }: bNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  P9 ~- ^0 b% s- Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. ?  H- F1 D$ R  y" F" [! @7 a# J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
* ]# X% u% ]* @0 H                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 O! S; q& T; y# d/ x0 L- O2 Z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 G+ K$ I" T: e, V! q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 M/ U$ }: p5 G# J9 q; H* F* n
5 n" l2 n/ N0 Z- Y4 ?[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ q9 n: k9 ~2 t2 b, `. z: c- u) P( N7 d
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.