出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

% j1 Q7 r- j2 @2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

" R! h. T4 E, U& r) P. D则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
- v. r) l+ L# w) k; ?0 {. I2 Ga=a+b
a=2a
, E' c' o  i: ]% @6 \6 D9 f1=2

% U$ ^. t4 b; _% E0 ~* s证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" c" ~  K; a& p
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! d8 _. q: p2 C8 N8 s! \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 d" b. P8 @6 J* g: t/ n) K4 D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  J: ?6 r$ C( x4 y: R看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

! b$ l! R. m0 M. t2 bProof:
# q, g4 I& i$ Q: R  MLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
1 k: R' t& g; J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& [- r8 g9 T7 _+ v
8 R  P: @% K  \- E) qInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' E/ x' V5 D9 L9 a% V9 w- G. B) NThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) C2 A6 Q% D0 E8 t  z% s% U                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& P) g; N/ C1 Y3 \' p                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' K% k3 X% `: x2 Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 }8 f7 H; }+ e, H* D                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 q6 M* y8 J$ R
/ d. n4 W1 U) Z; [% nConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

4 U; b& e5 p/ y* D. S$ Y: l[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! i# F9 B0 c. @0 X- y$ C4 L
" w' k* @! X, b3 H第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 u; A, n: u7 p- F  d
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.