出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

, z3 G- f9 j; U7 [1 ^2。下边证明有没有毛病？
4 g9 X; @6 x. b7 B8 {: d  G. C
7 W7 y" A8 i) n$ J设  a=b
. i2 m! M3 t% ?( l, z
& X; t8 i8 T0 Z; j, h则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
* Y7 T1 y- R4 \( x7 S* o% d/ t7 ]4 sa=a+b
a=2a
; h% W4 e  g9 I8 r$ N1 r7 M1=2
0 ?+ L6 W& F; u, M$ j+ q
6 `  C- A! K7 t证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 w7 \% q2 I" S" J: @* R& z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* P# D2 |9 E( k% B! y, g  h看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 i9 K. N5 A  m7 x6 }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

7 [0 J  u3 `7 Z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
, {; ?+ h2 m2 ?$ o         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ }  Y& F; V2 s2 T; E6 \3 V
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
- \/ c4 I# x! f% _" L- @, J
0 K! ]- l0 S. A) W" b- y& M6 {Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 O$ a, Y- A. H( m' r4 l5 e% ~                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: }% a4 U+ ?3 ?                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 k* {) ?7 `- |! K' \$ oby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 k2 |( x0 F7 K5 w* aSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  y" Y. p) h6 F! Q0 \5 e8 S5 ]" e8 H                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

& Q  _  [2 }8 K5 I0 `* X第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 g1 r" F, g, |0 l
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.