出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

& i- b* U# m8 P设  a=b
: |- p; }% @# c% |. I
: I8 y  S# _- H. u则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- d, d0 E* A' G. \两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

0 _$ R& C& j- h7 ~a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
0 T) R! F8 \; g7 r; I: Z) u; Za=2a
1=2
" g6 e4 {* R: `) g" S/ t
7 ?5 a: M+ m; H! e) `. X3 y* N证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) I- i7 @' w% E+ G: I
1）不能。比如1
: w! N7 V+ L  L) D0 w0 U1 B1 i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 H3 A4 E' b+ J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; I& d% n* r% W& T, K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: G& G3 [- E1 h( p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  r9 a$ D0 N5 h6 x) J

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; e+ m# }3 W9 E% u
" R6 ]7 A* s2 |# w" v' d( AProof:
- _, a& ]( @4 Q& H! |% ^  X- HLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
9 V5 `+ P9 b4 x) Z. o         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

* N6 E# h0 F& T: h) J# TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: P3 @& d$ ]0 ~) B                                     K^3 – K can by divided by 3.
' z3 r& N5 q7 T. j9 l
* C) U" n+ F5 T6 R; zNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, J' D9 M6 _1 `4 l) w7 N                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ u; m0 n/ a( l* c6 t7 Q8 e; J; Mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ H3 s6 Q% Q: a                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ L: f% K5 m/ t: I; ^                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 m$ q( |4 W( f" n* H8 d9 t
" N( p1 B  t, \& p( yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" z2 R6 G8 z0 n5 h
* @8 T: x- _  c5 r- P[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; `2 b$ g/ k) H* }Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.