出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
3 P$ L. I. S# K
) Z# e* d) m! s! r2。下边证明有没有毛病？

- ]  I1 I/ f" L  C& K$ x设  a=b

  L+ B& Y+ p, B则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, d0 ]- P% ?2 @. j! t' }
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
9 l# ?/ |! P  E; G* Pa=2a
) {$ L' r- V3 e1=2
; G% j% `! V& \( {, J# @
& ]9 I5 {. R# y  G9 O证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1 E. f, s/ W& K3 C. g( H" r+ I1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 G5 \$ p$ `% `% }* t& e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 p$ o% i: T, H( h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 T' J6 s3 X8 h; y4 w( V  V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- x" D$ p2 b5 k; f6 e
Proof:
Let n >1 be an integer
' _% V6 n" z/ g- tBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& t8 b( h5 u( ?4 e                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ U& z  U  Z; u) E4 Z# UThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% A4 L. F% \9 {  J- L                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: I$ k/ X, r- D( r, X7 `' V/ A2 X- N                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- t$ P$ z, R6 G+ r$ o+ o2 S                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% G0 @3 I+ i- Z: m- n3 R3 pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ V8 L" _6 b* I; j, x: n0 z/ HSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 r1 i+ x5 w  M2 t$ S  e. H* J                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

0 I( q  G5 _/ r- f- p, u( IConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% n, s! I# y5 _5 E
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 m5 H* Q/ ]$ B6 LShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.