出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
( t% _( `( X3 G" U/ B
2。下边证明有没有毛病？
( m) E2 I0 ], u. K. q
. p2 `: }0 Q6 }2 `- B设  a=b
1 s5 Q* y2 p. E* g
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

3 U/ m6 y$ u# b( t" U/ qa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
7 O2 O! C6 g4 |3 l  M1 La=2a
1=2

8 P0 K# r+ A) _; B1 {$ k. `证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

- u* @9 L& x2 c) u0 S1）不能。比如1
) Q3 M' R0 t- I6 k9 S& R2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 v) G- A* y! {. s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 c7 o) x0 Z- y# K1 _7 n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# Q$ x) B2 W: j) g- v0 P3 v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 h0 Q7 H6 Y4 Q+ m) D, e看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  ?5 O3 k+ @" ~- y
% v& E1 q- M3 q) b7 l/ H! XProof:
3 S1 C0 S. i5 A+ k3 ~* oLet n >1 be an integer
# m3 Q8 o  R4 F+ `Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 h% f) D8 [% Z3 M+ a
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  q1 `0 V8 J5 o9 V# ?! ^0 T                                     K^3 – K can by divided by 3.
) i8 O1 M# B4 _' h) M
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 O3 w$ y; }3 W- k5 {1 t                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# w6 o) p1 _$ ^4 k3 u                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" z# O! ?: H/ @1 V. y9 s                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: Z. Y( B, v" T, c7 z- a; J6 ^$ A: j
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

: D) {1 }& N0 l& K' [4 ~第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) B. Z: B  u+ r( c% `/ d, G3 Z- VShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 e: R, L. H$ R  T4 ]/ l9 J7 B0 N
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.