出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
( k3 C  X$ A1 \% N; A% |, I
# @% I1 T4 R/ [- i$ j则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! G  J; Y$ W3 ^8 c  E) U两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. Q2 t& @8 }+ O9 C% x& O
+ _+ ?4 r4 p% T% `6 M2 v0 la(a-b)=(a+b)(a-b)
1 A+ ?6 d* }/ G* \- a- la=a+b
  U% M! {6 h* D& xa=2a
/ N$ Z7 w* m, G  O/ z3 F; K) I1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 B7 a7 i& _9 e$ w+ e
: R  ^9 z, H$ M" T1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 ?/ P+ H6 }2 u% X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% g& M  ]6 W* c1 ^6 h4 K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

3 w' g7 h) }& @* \: f) N为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

. T2 k0 d3 N% d- b5 t! A" ZProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

( \) g1 t( D; q  K' bInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 t+ X$ U5 x9 P9 W                                     K^3 – K can by divided by 3.
# T2 k& S) |, p" j5 g) i
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 \" B* ]" L8 gThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
! ?! A. I  l/ w' P                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 U. ]5 @  N" v% F" s& @8 n                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% J0 R" f8 K( P' M% M8 D
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( c& t5 Q% k2 Z" |2 q8 M
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- h' O. o* K6 N# ]( H. {* VShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- F( C3 m+ r" ]% D* u  ?, _! I0 g
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.