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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?& x# h% u' i* P, p0 h
7 `7 p5 f  b7 n% t
2。下边证明有没有毛病?% z4 |% T' C$ u

& i- b* U# m8 P设  a=b
: |- p; }% @# c% |. I
: I8 y  S# _- H. u则有: a*a-a*b=a*a-b*b
- d, d0 E* A' G. \两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):/ T) i4 o% I, ~' y% T3 J! ^. i

0 _$ R& C& j- h7 ~a(a-b)=(a+b)(a-b)! Y3 Z: `" Y' j  z- j
a=a+b
0 T) R! F8 \; g7 r; I: Z) u; Za=2a: y5 b3 P$ P  F6 R7 p9 R
1=2
" g6 e4 {* R: `) g" S/ t
7 ?5 a: M+ m; H! e) `. X3 y* N证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
) I- i7 @' w% E+ G: I0 Z/ t" t7 w; g+ @) ?  E7 C4 H
1)不能。比如1
: w! N7 V+ L  L) D0 w0 U1 B1 i2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
8 H3 A4 E' b+ J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; I& d% n* r% W& T, K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。$ z& F+ H: Z' S$ }, y- i. I
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
% Z1 N6 a/ h+ w3 Y; G/ C/ f
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: G& G3 [- E1 h( p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  r9 a$ D0 N5 h6 x) J
+ i3 W* b; z" I& R) g/ x9 l
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; e+ m# }3 W9 E% u
" R6 ]7 A* s2 |# w" v' d( AProof:
- _, a& ]( @4 Q& H! |% ^  X- HLet n >1 be an integer 3 |% |! c# I/ H
Basis:   (n=2)
9 V5 `+ P9 b4 x) Z. o         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3$ w) f( h$ S; i

* N6 E# h0 F& T: h) J# TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: P3 @& d$ ]0 ~) B                                     K^3 – K can by divided by 3.
' z3 r& N5 q7 T. j9 l
* C) U" n+ F5 T6 R; zNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 39 _+ A" M/ [1 E, g1 ]
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem" S. H1 [+ f! w9 Y
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)) S* L3 J; W5 v# W
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, J' D9 M6 _1 `4 l) w7 N                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)% ~9 D6 b5 v" i7 y. ^. F
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ u; m0 n/ a( l* c6 t7 Q8 e; J; Mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0" x" Q" W3 s2 O$ s5 ^
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ H3 s6 Q% Q: a                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ L: f% K5 m/ t: I; ^                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 m$ q( |4 W( f" n* H8 d9 t
" N( p1 B  t, \& p( yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" z2 R6 G8 z0 n5 h
* @8 T: x- _  c5 r- P[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。. }; B! d, J+ }
/ a1 X% @. @& `- h+ p% w8 J' X  E
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; `2 b$ g/ k) H* }Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
- r2 E9 a  Q& J7 ^( n
8 p& U' r5 ]( w) D3 F8 g
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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