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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
0 C- e8 \& o' s- l/ E) a
, I2 W- l+ R; L( J  v2。下边证明有没有毛病?# F  G0 K7 c$ ?. M

* p2 u3 {8 N0 y/ \' [% R设  a=b
" c. ]5 k# o% H: p5 H. S3 c' W1 k: l+ D( q  y
则有: a*a-a*b=a*a-b*b$ N6 {% _0 y" I7 W& e! `9 x
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):& K1 w: e& j: v. J; E( C; Y1 ]

" D7 B. A# x# O2 v6 c3 D. ha(a-b)=(a+b)(a-b)
  N3 Z6 Q! w7 c; A6 \) wa=a+b
) Z; q% [4 u7 b! @/ N' Ja=2a
, E  S0 \' @8 q; s" b0 p) c1=2" n; Q/ Q9 V/ C8 e

: n3 W' x1 f8 l证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
5 E6 u( V1 Q: [* b0 s
0 |" I+ F0 @  ^# C1)不能。比如1
' W5 Y% |1 }- Z2 B/ ]. @2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- r+ a. Z3 l; V& S/ Y+ B
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 u& b+ q# m+ O2 u7 G: [5 P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. }% X( @7 V* C/ z
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
& z( e9 k5 o* X8 x; u" T! {. {! v5 x
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:) u! O4 q5 D% W, v
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
0 J, e  d6 W: p; H' e1 d% }
7 S# Q0 L1 o4 H' H
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)" V4 e  E) J% ^& I  L
7 c* C3 o8 t3 ~  x3 x7 m" B0 Z
Proof:
0 D7 `: e- Y, d! i0 o+ OLet n >1 be an integer
# {, d  C3 C& S0 r2 PBasis:   (n=2)! \* V3 }% F8 y8 d
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3) |6 p7 J5 W0 f: O& Y0 d

5 I1 m8 y' E8 N; j9 R8 oInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) J0 v1 {- J- R4 \8 i4 w                                     K^3 – K can by divided by 3.% E( w% V3 ~* C& ]4 `! t8 m1 R" \
" K: h( m. D* P( s% F: i8 A
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3$ w. X4 p, A+ A1 F8 K. \
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem5 m$ i9 m/ o& j- I+ c0 a, c( Z
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1), G3 }. M" V& l; N# ~7 g3 V
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 I5 J2 t$ t; Y6 e5 z: o                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& C5 F, b( I" t7 ~: u/ U+ I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; _, Q! a9 N- a; fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 j3 ~0 m( B, G" j+ i( ~. d) N9 ESo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 t- \9 m# w* |( O2 b7 A9 @                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 f2 W& a3 e9 y/ D+ \4 A5 }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3" h. n* ?7 }$ L, |  M
" j4 o$ h+ t0 l- L3 y% N" U# o
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 m- z! |" d1 y( f; Q4 P2 a4 h
1 M* h# ?" n1 S  O6 c0 G[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。0 t' v7 r  `2 o; J9 X& k, m) ?
+ U  v7 I6 }$ m
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:0 c& |9 [  ^4 g, K+ T4 ~
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
3 b6 w3 j" p7 T" w! K' J) {
% W) ]: V' v! K0 R9 k% S2 U) Z4 d: Z
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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