出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

. U8 S+ d3 Z" ^+ ]# \& E& X2。下边证明有没有毛病？
/ S8 N, ^+ ]* |% j: ]9 l+ I7 ^" o4 Z
0 W- ^  X5 f9 |设  a=b
  f& \/ L% Z) |1 w, y: p- ?9 O
* H  ]6 ^, b+ e7 t8 O6 n则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 Y& b9 E8 j# I9 x两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
8 i6 Y. p, k+ F8 Q/ e& P+ ^a=a+b
8 a- q: B* j- N/ Pa=2a
1=2
, A: R% y  j$ J, C, Z1 q
' B! e7 m8 H0 J0 g证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

) R5 v+ ^: i0 P- S" i1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% [8 c) a' k; N0 J+ ^# z& Y  H8 U

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# _! F- B( |: |9 Q, j4 o+ k9 v
Proof:
; v6 P9 z  i/ I! B) b$ ~& P7 ELet n >1 be an integer
/ K0 X9 x9 ?/ u. NBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ ?8 ^. E- h: S% Y) b. q3 b
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. D+ I1 i7 d9 S; D& `                                     K^3 – K can by divided by 3.

+ q" C. \2 A: h8 o- O" N( sNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. r+ I/ E7 {: fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: B; o; g* ]$ H& u% ?2 V                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 P6 B+ o$ U7 |2 J5 N5 H                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: ~8 _7 l8 v# m# W3 d1 c! C# X9 y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% W3 v8 M( h: t/ U, z3 _' NSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! o) D% e# y# t8 u5 g  W                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% m' ]- I. L, z. X& d5 a                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 m$ w: e4 p3 ~- [9 O7 `) ^
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, ?& W) {. N+ a; M. ^' r# g
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: I/ r; C0 L! `0 F9 H6 w
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.