出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
+ a3 L4 q  |( Q2 V) {
( O3 ~2 D8 N3 r. w0 U3 U8 P设  a=b
& X8 X1 N- h" t- @$ \
7 k( q3 c6 x. X0 z5 H$ n则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
  x; \1 S5 U8 O: p6 T
a(a-b)=(a+b)(a-b)
% K/ ?) g8 j+ Xa=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 ^/ q2 F6 D1 K) j9 x+ u
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 R& [/ n$ X* N9 h& L! N1 {3 m5 P看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& S: q5 a% E$ _* X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
' R, q) ^( T0 f6 B         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 V3 [6 b% k- o) T. a
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) y6 _% [& d' n) m2 \& b
4 x( D2 e8 P' O0 \Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ ]" y( p2 G( S0 Q, H- u0 w1 q. n- l                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' O; U* ~" u; p( {by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" N- z0 ?6 q* e& a+ ]7 h                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, {; }( G, ?& w' p) o& b5 Z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; y2 Q. j$ ^# R0 c
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

7 v1 m6 w3 @9 R1 Z1 l[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ ^, ]$ \+ D3 s
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- d6 G: S& Z& Z5 ~. p* ESORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.