出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

/ A  a  g. a) M  A2。下边证明有没有毛病？
' |- @! T$ E& Z% J0 X2 \
4 ]+ b! q. N8 l  \设  a=b

3 x7 {% q4 t0 B  d( x  {7 m则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

. v, ~6 B: O+ M! F* \& J; ~a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
: v0 m$ _0 S" [1=2

( `: q( F& S( `4 _) Y/ k1 Y" D证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

: _$ E( F1 S& @* ?1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 \. m) s) e1 p+ B6 _# G9 g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. @, s1 h, F$ {4 s' f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 ^+ E* z; C  L7 ~$ M8 |2 j1 H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 E  k3 x7 e* X: G- R! U  b9 G2 \看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 A  z4 x- U0 P

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 d9 E! M& _5 s  R6 z' u1 L' e
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 z; n3 {& @  ~
: H+ \5 X3 O5 p; |9 c9 v2 RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 }3 ^+ f% q' X% f                                     K^3 – K can by divided by 3.
- y/ q4 p% H0 K/ B) K* A, x
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) S- O" c0 A% o: ?6 XThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 p% {& L3 C  V' g. ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 W0 s8 Y" F# U* Q- A9 R7 h! r                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; U* F4 q" N" Z% b7 a2 V                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ c- ?, C! [1 |/ R& DSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.