出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
5 |. l  ^' V* N, ~0 c: ?' V# g
设  a=b

& k2 O7 t; r$ E) f则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 b% X% k3 r# ~两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

( w; ~% k  E/ n: {6 A, o$ y; da(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
  E8 w! o% ~6 X1 pa=2a
1=2
+ {/ ^6 E4 d3 k& L2 a
7 F) f; a* y. V3 h+ l) D证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  ?% B: l7 l0 r3 e# I
1）不能。比如1
9 h4 L0 q1 ]* }" Z2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 s6 W: o; W. y/ Y0 r% F( ?& \' U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; Z9 |4 q6 q: G  Z1 z0 f: b4 p看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( s4 \. T$ b, R/ {& L8 y3 _

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

- Z3 N4 |; m, o+ RProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 C7 S* d, y2 n3 D- d4 N
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
+ Z6 w$ ?9 U  J% Z% T
- k$ s4 |+ c8 |6 ]0 @; }; ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- J; K" L! Z/ A  Rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& x- V# b# N0 G3 z& ~/ nThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" `! `, L" Q" q! _- f0 a                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 N+ r) c( X# D. ~2 B3 \& }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, Z8 \: }2 O+ b* [* ^8 uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

- r: e1 [# d# e- V2 ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ I. Y/ B, X, i, x
* l- q5 b, b% z9 d' v3 vSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.