出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
7 \" q: J; C: M2 L, Q1 j
设  a=b
: N5 g/ e( }' w% D/ {
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 `1 z0 i4 h  ^$ r- S7 s
5 e: L/ [0 `. ~# V& b$ u: fa(a-b)=(a+b)(a-b)
3 j4 }' P; B) B3 r+ Oa=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( o( e# o& A7 Q/ c
' Y/ y6 ]' M8 x( o$ k1）不能。比如1
7 I1 R! {5 Q/ M9 J2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 s5 u% }, [* f& b$ V8 \: E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 ]" I+ ^; X& Y( v& R( v1 [* W( ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" P- g3 D. Y9 d. N' h$ [3 W

3 r. A& I7 B& E/ v9 \为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

8 _. a/ Y9 }; B: KProof:
  i8 k0 U2 j0 h) ~  }2 o- \Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
: Z" G6 d% `( [( h- a$ ~9 O8 W2 W& ^
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& a0 [9 g! T5 YThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% v) q! P( @* G5 ~! N1 J! h                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 |/ @4 H- k* Y& s6 x# W; Z1 `$ N2 }! ~                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 x/ y) T1 f; h, e, G" QSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. Q- n" V6 w6 w# |$ C. q* S& {7 [                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) Q" a, s% T# ]. Q# q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

5 g/ e1 C. t: `3 |5 Y+ e5 DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% T7 U  H) d# e' c5 {- B3 i+ L
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: {& l& W& J' O% D
7 V% _% C/ h$ }" B第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" h- W& L4 j5 a' Z* o3 O! WShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.