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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
: S: n% o% g6 Q) x$ \
4 x6 x0 C% V" J+ v8 [2。下边证明有没有毛病?
- O/ O9 M4 u  n% M, x4 {% u
9 F  l3 y' N( ?( y; C8 l) k& D设  a=b2 v9 @& y! z' r# O
( B7 Z4 C& _5 y. }6 L/ U8 V
则有: a*a-a*b=a*a-b*b5 Q1 |/ L/ X7 X+ G* C
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
# S- a1 T" ]! `! Y8 z0 `8 K# s+ }+ y# v) x; C! P  m0 o7 P" Z
a(a-b)=(a+b)(a-b)% i! B4 W$ E' {1 f$ t4 W
a=a+b
( t- |2 S- K/ g2 ta=2a
- Q# V$ L, U6 p1 L1 z, C4 O! U1=23 I1 L) Z  z+ [4 p6 s' J
# c" G, X1 x' X( \% i+ _; L+ k6 t
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试0 \7 G) E1 C: O# J0 R) o

- P0 {* f4 F6 l3 V: K* H1)不能。比如1& B2 a; F9 k  C; ^
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
! K; [: @8 x3 o' l5 g; O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:) d: {( x! z' Z  }1 g
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: x7 J: n  z% G) r+ l/ l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- ]( M8 ]5 M( E* w2 ~) a: h看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ K) z* P/ t2 V# A* b
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 e- j3 e" A5 o+ ?0 m

  z  l( t) A/ g, `为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)+ l9 p! @& P' I8 l. h

( ~* v1 b& l& W! Q+ ?; H3 FProof:
0 S1 b, b' `9 l6 I/ K) Q! KLet n >1 be an integer
" n- p6 t/ A3 h  x4 {' ~, r( C. NBasis:   (n=2)
2 Q6 }( r$ A. N0 R5 x$ s' b! ^         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ B- r) c0 R# F# h( F
9 q' T; O0 L, hInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that( G* i' S" P% N0 ~4 q
                                     K^3 – K can by divided by 3.1 g$ D! i$ M( G- j
  a1 W0 i, D+ h6 P
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3: ?2 h5 A6 v) x" G
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem' P& A/ @4 X( \( m2 f5 D3 j
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' h- V" d, Y2 c- D) s                                     = K^3 + 3K^2 + 2K/ e* r! K3 A% I
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)5 b3 ~3 G, Q; s5 Q! F/ Q9 ^
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. Z' ~. @- R& k  D% L+ L5 f7 m* O/ Tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( l  B+ q: ]8 O% q" X4 MSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K); e5 {1 g' _" [( S) R5 V3 G
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  r+ c0 S* z( G+ |! U$ E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 Y; c  n9 Q& h. o3 s1 ^7 u
. ]. x8 ^4 i4 Z# J. vConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! `7 S0 t5 w* s( h- r2 `4 [! Y
1 y4 H/ f6 ?; R+ R[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% C9 J6 P" r: J+ T$ c1 z& U' C6 @
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" @& ^" Y8 |) NShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
4 o9 V/ L! E/ m
7 r8 f) ]4 J3 ]1 z4 z3 ]  v
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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