出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. u/ b% ]/ p7 o" }
2。下边证明有没有毛病？
( C# j( b9 Y8 i4 w7 J3 B1 z. S  B
, L# g/ W' G! z& P3 ~4 m设  a=b

  `% X+ t$ M' g则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
& m9 ^  r0 Y! na=a+b
7 ]# d& d' ?( O7 B7 ~0 aa=2a
1=2
# M: t% Z; Y& w9 L
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

- [! {% B, b+ h8 X: |1）不能。比如1
' ^4 e4 D) S9 Q- ^$ P$ b+ N2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ T" [* m1 o9 n# x6 }' ~7 @7 ]

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% v/ I1 v" ^1 H' v7 _& o- D& Y
% `( g9 z' J, ]! e1 o' `. u1 qProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 _; l6 H' E8 f4 K
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! x: _2 n3 T/ O" G: K% o                                     K^3 – K can by divided by 3.

7 u3 B9 c& V  YNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 z# L! ^6 V9 p1 B" r1 }Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. r  ?$ n, E: r0 q% |by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ @( Z5 ^5 k, A) T5 a5 O% ]  a# f                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

2 Z  U: z* ^3 ^, U, |; S! AConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" m0 R3 y; w; |+ H- B
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! w3 d. R- f! t' h" s
3 P1 k# h' S8 U第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 j5 n" f* j4 {* y) `- Z
, g- Y( n, h& g( ]0 ESORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.