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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?6 j$ P: J1 ~9 c/ h7 f

+ o% G2 h: W8 l. R( f2。下边证明有没有毛病?/ d. n3 c3 M4 t5 `' l" E

- r6 D6 P# L4 W2 u- i  n' g. D设  a=b
2 r. B7 [9 q! ]# s4 D/ r% B
: R+ m/ j: a  Y" X  A; d5 x3 u则有: a*a-a*b=a*a-b*b
# S8 H0 Y3 t! B# C# _0 B, u两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
; ?* w6 n7 a0 P% ^! t
9 x) a! Q# u8 A/ F) a; D, {: Fa(a-b)=(a+b)(a-b)
- _# M8 c: s% ]" c2 g3 Ma=a+b
$ T. v# P: f$ B: J% k0 {' {; s. A( ta=2a" n/ b% I* H0 e6 p
1=2
, j5 s2 u9 y* F7 }" V1 \0 R0 F+ N4 ?3 v3 \3 ^
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
  f% E; o, C, G+ j- A
0 @5 J. a7 R! ]% ^9 {1)不能。比如1( w6 k9 V4 s# `
2)a,b不能是0
理袁律师事务所
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 Z- f0 O2 f$ T) ^) \$ z
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:. e. Z. h) }" n% @: C7 B
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  A6 {5 f1 n% y! {9 p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
  `4 ]/ f6 w! B& I. M
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:5 M( ^" E6 E5 C4 C
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 ^( Y# s( Q( h: Z0 s9 j1 f
- z8 U6 T# _" z/ G. H
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)  r# E/ h- }. d" j& Y
3 R0 p5 j, @$ {
Proof: ) R: w+ c. `. y* y% k
Let n >1 be an integer
! R: u8 E" m5 H% EBasis:   (n=2), x; Q3 s+ B+ \# M; C9 V1 j
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3# i0 a# W" G7 i. W. X
% T. y. R# h$ B  j# j
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" U5 J( i9 z: T1 y6 [& Q; P, ~                                     K^3 – K can by divided by 3.
+ X6 U$ O0 s5 b4 J
7 r+ D/ @* u$ P! k* n$ N7 }3 F- ^Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3; K) S7 X8 K* j$ ?# w3 a% U6 P9 s* i
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: ?" x  W7 H8 a- }; s5 WThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: _, w: T! }0 }7 C2 L, t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K: c. ?9 o& M, j8 i- ]3 j
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)2 i/ l3 z: g3 g1 a& V; A
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 F; H) w9 K5 u" Z4 e2 Iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" n5 b, v+ v' A; |) zSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  T, a* @+ b: S- `2 C                                = 3X + 3 ( K^2 + K)# L/ Q# `% D. r$ c
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3# g: b! ^; }1 ^

" c7 N" ^& Z( c9 X$ d* ?# R( FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.% m. k0 v# v! [8 q

. _3 e# x6 }2 g/ Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。  T% t* t$ Y- B$ H" v: P6 ^: E
; H6 l' O, Y$ _4 L& s; ^4 Y, I6 q1 i
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' T, |5 p* v  P- r6 v$ ]9 iShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
2 m$ b2 H, q) M2 M

6 l/ m5 D0 r0 g3 q6 |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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