出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

4 s  o5 p3 o+ g6 z  [7 n2。下边证明有没有毛病？
1 G+ o0 g& e6 N5 H5 K" k& K4 L
设  a=b
, \2 |+ }. \4 f) c
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
' v* B$ O; p3 m" o9 x1=2
' {* h% V# V2 \( W+ f
+ s1 N7 S- p1 ^: ^, J7 v5 l4 G+ `证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
% `) c- S8 m( `+ x, J
1）不能。比如1
/ P" D/ [. d7 y& H4 q6 q( i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- l/ s# ?% x3 m2 g9 B9 d9 j8 M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 y2 w5 J1 f* W" \& z' ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

5 t7 X2 L+ m( e7 i; U: h3 z0 m为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
/ u: `! ^6 ]5 F! T8 R- `, DBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( B* B* ?3 x; Fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! w; q3 T7 `, v8 ~Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 r+ T2 g- B& n5 f, H6 Q6 d/ F* K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" n% G! J/ t. g) B" u                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; |& d, {9 e1 C$ `  eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 x+ o; S+ a# P* P* C+ x                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 P' S, P9 {4 U1 C                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

/ {1 p: i$ u$ R8 N3 DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ G- C1 q1 V, ?8 Y/ w( O4 R0 Y2 k
4 o" e% w6 K! N5 I# S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  {% C! T. X& k7 h' H
' P7 q2 _& L$ Y; W第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% c. o  S; N  ^* d: F2 U9 c
2 k" o4 A* E/ A; |6 q% g7 ISORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.