出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: j+ _+ o# A; O. @. ]' Z
2。下边证明有没有毛病？

! F+ o+ o! V+ U4 Q, H) i+ j* H设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- K0 _& k3 m( v; G. i. a8 \9 I- d1 ~; c两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# ~5 G# \0 r5 L2 Q& z! s8 r
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
8 j" ^. P. V& ?) I' ma=2a
" U, E2 v  I# c1=2
; D* j$ `1 c$ e# c) G3 N; R
; \' X# {: c* m4 S8 ]- K证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 m6 P9 d6 c% V# Q
% ~* `5 F2 x3 t% n$ f1）不能。比如1
0 ?# o% H" y. }& s: @5 U+ X; h2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 A  I8 M  N0 q8 a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 X/ g: s  k! Z' A1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) X2 }2 ~, z7 L5 \8 s7 z# T8 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
% V+ n, c  n" _& R         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
; D2 ^! }2 i' q5 M5 l8 V
5 d) n" W9 o9 _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% W! k0 Q- b% i2 v6 y$ z                                     K^3 – K can by divided by 3.
( Q& E$ J( K4 H3 Y
" N9 @1 `) v* U7 JNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 m5 n& q* x, `- U+ L5 j9 z; \5 ?since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 M# V5 U/ \" g! \3 v4 [0 h                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 i4 b# s' Y- |4 N: _- p; {* S                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 I6 C, D$ A' U$ K! p$ q- [4 U4 p) V0 Y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 H9 _7 u) M1 p  n* S8 `$ Yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 R" n5 X2 B6 }* R7 W                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 w( W  g, T- ^2 B9 A( U9 a
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! K. Y" d& `0 o. v/ ?5 FSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.