出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

( ]1 G+ i: a. }& \4 m- q! K! t设  a=b
! ^+ m9 n/ P( K/ K+ ?9 l& t
' \  E  h) f) N  G# N2 F9 w则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
% J( p1 I' l; n5 O# g& i; E0 U/ E1=2
4 J# z7 _5 @9 @9 ]- t8 `
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: b% P0 q" H* a! ]) M" A, \0 g
1）不能。比如1
% U8 C. o& C5 ~' l4 Q1 N! G2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 K) k. j2 ]3 T# r6 S( F; }看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ ]; \( [. ?# }  ]: M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
+ n  _# m  s& f- ^+ Y- r1 LLet n >1 be an integer
* p) U5 R9 u; r) d/ z- K* @Basis:   (n=2)
. {1 N$ `6 V2 `( [/ Z8 D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

: H( y$ `% B6 {9 xInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
1 ?9 O6 C) I9 R                                     K^3 – K can by divided by 3.

( ~& X! {. u; H6 y" {( H/ N- F+ j) SNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 S8 R% Z7 ^1 Y* M' ^8 _since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! ^6 g( y$ l  b3 U% E4 OThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# c  n- P# i& ]4 x+ zby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

9 i  U, c* y! g5 \+ j9 h& s7 DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! @9 M$ T9 K: @0 d0 d1 b
; [+ f. j! K- K9 g% C% Y  tSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.