出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
  |- W6 i3 S: H- K; U
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 \$ P( c1 `. X& j9 h/ k
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
: N& g9 `: |3 ?" I0 s- B3 xa=2a
6 r2 H, e/ k9 {1=2

  S7 v; J( K% l+ `3 H7 [9 g证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

$ j" q$ |. U7 I7 D, j8 @1）不能。比如1
  m8 I4 b1 F' F) `/ o$ Q" l2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. J+ V8 j0 ?( N( u0 g  g9 f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' Q/ W( p4 J) m, S/ v看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# M% \" P+ f; A9 `, l8 a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 [- v4 `7 c8 q: v9 P/ O

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 w' w, _( @) I8 E& X
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
! N, g9 c& {0 Y2 `- S                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  M1 g! {8 p9 y, A4 l" t                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 `5 ]) L4 x: \: Q8 l$ @0 t                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; H4 J% A, d  S. n5 K: Z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

: X4 e: }: `" KConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 Z4 h2 j( M2 y' Y
5 h) X3 [# M) \* S1 r2 V, X5 b! L+ R[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. K1 O$ P! U9 yShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 ?/ ~/ J8 K  |: d' P+ B- ]
# q% w7 V) k' H* V* |, fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.