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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
' v; S* E, t& _+ T1 B7 ?- g
9 H3 N6 Z2 u9 s, l: @- \2。下边证明有没有毛病?! k1 |  t7 I' F% ~# |
/ z1 M, ~- O0 E3 A
设  a=b5 Z7 Z8 `! I( l4 y; X$ {. X% K9 l
) O9 c$ L2 w5 o
则有: a*a-a*b=a*a-b*b9 N+ i+ f: |2 K1 q7 R
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
. Z0 `& X1 {/ I% f0 Q  J* h7 h8 z" C
! y( x/ i% e+ l6 L" H. b/ J' v! ka(a-b)=(a+b)(a-b)
; c" i+ c# M  {/ k# Ua=a+b
3 e7 I0 m: A/ p; M9 v3 N; c: za=2a+ ]! p5 u' v# n7 D) u
1=2
. \( o. d5 w# K' B/ a8 b! q0 a1 q0 [8 E1 r
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试& b/ _0 j; n, x

7 s+ r! `' O) c1)不能。比如1/ W1 q1 H( J/ M" A) |! l
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% y9 s3 r4 p# ?0 b
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:' |7 J2 T6 F8 y( N
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. B9 K) f0 }! A$ ?3 Y
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 N5 _) `* ?8 b5 k# t看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:5 I7 h; W: {0 [
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 ^  q7 X* W: T& U: k3 W  m
, w: J/ W, h. P: j
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)* ~: @5 y/ V, ~5 e( j  [9 b

" k7 z2 i+ R5 r# BProof:
! A$ _+ f' g- ?) p9 Z6 ~$ H5 q# \1 ILet n >1 be an integer 3 @& }& t2 L# ~* U& z
Basis:   (n=2)  D% z3 K* H2 Q5 B: ?7 C0 L
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3' D. C( b( \4 J3 ]4 P; M

# O* B# _3 t( I) J6 Q& zInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that: Z( x, D1 m/ m, B+ E
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, u. p0 ^3 N! z* M; r/ R( K; m8 d- C2 [; w% R7 B+ Z0 f
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ z+ S4 ], ^5 P: G7 e  g: Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem3 n6 U( {. Z% E
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# i- G) H% d" g/ w" E                                     = K^3 + 3K^2 + 2K. y" Z% v( p, z* G" l- X
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)" m# _, y, D; G$ l; a5 L
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 B; w0 A: v% j+ o5 \3 R$ z1 d4 Dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 d) c5 h8 W/ r- D! L# ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)$ W+ g9 T! [' E
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 [0 ?9 W. l1 z$ ?6 Y% O4 w/ P9 |                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; T/ a5 M+ H! y6 v, ~
/ `8 A8 B, l# V" c/ `  TConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.' i  i$ m" |+ x% H# F9 z1 N' |7 e% |
5 D& x% f! m  |" l
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 O1 A( G* T7 u% n, t' s$ M. i* c  v' F' L" k, R
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 p$ g1 a& \5 o+ B8 ?6 hShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
/ W. F5 N5 a% U8 C: Z$ n

' I3 `) R; s. W' Z, tSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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