出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
2 _) n& I" ]2 M# k# O# O: g
设  a=b
8 m) a3 B1 e1 K6 x% L. v
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 H) [; r* z- H* A. p两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
  ^5 j; W) L2 Y5 i, q1=2
% g! ~  r; d' k+ r9 L# E
7 G! T' {/ x& {" ~9 d证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 O. ]7 x2 O3 ?2 D. P4 K
7 Q6 b# G8 v9 ^) b" I/ q1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* W$ V7 n1 f2 c( p% P看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ U5 |+ P% m: _+ T% @: y9 L

( r) B1 X# V% s" c; V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

: e1 ?& S! o7 O; g/ R; s& S5 MProof:
( c* @1 Y7 I1 U) iLet n >1 be an integer
% O4 ^; I' S7 ~% H6 LBasis:   (n=2)
  a/ Q5 C1 Z. a; D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! K4 \/ F* f+ I7 w2 N+ u# X2 [
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( T/ n+ Q: u' {$ u$ Z                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 G3 z& o. j- J; Z& w; K3 x1 y
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 [- L1 P$ ]0 C. }. ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: Q9 g* D* W, h0 r+ d, e7 s                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 y1 ]+ s- i- ]8 D                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 e- y3 V8 D$ s: I8 o3 ?/ SSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) y; M) C1 V  \+ M1 R                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

% L' B% V7 h7 B[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
2 G& p& `: I; q2 M0 m$ \
: p( g7 m3 H+ u- c% I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; F3 P# y6 ]1 D8 f
7 v: W# p$ z. t. Q: L2 mSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.