出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 z( i& [7 W7 ~8 T3 S; g2 N
2。下边证明有没有毛病？
. N- g: p. K' D  z) R. u& h9 X) T
1 i3 e' S# f- H( ~& k( H* z) i设  a=b
) n. k1 K5 r( S
1 o3 E& I6 g7 g/ u) W, R则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 R, y+ P  `( P: |两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. d7 c" w5 H, h
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
" Q' t3 U" d" a5 `; T& Ka=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

" P% Z+ R" ?, p" \/ v8 Q# s1）不能。比如1
- h1 h( S) f4 Q4 w' e% G4 t2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 _: m+ k' \% Y( r% m6 d% A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; ^7 M/ ?: W/ a' k8 ~7 I: q5 w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

" D# o  [: L& @1 Y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 }, ~& f& e9 ~. o. x
2 S& `$ w  _* M( X/ f) w4 J$ P6 LProof:
, Y0 O' g1 Q1 {; G# h( K  xLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- a' J# F% z& D) A
* o( I' ?( T7 a4 s% LInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. ^8 V$ N* u+ x# a5 _) j
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ f% S! f3 \" }6 @8 r" Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. p6 X) ]$ `* S( t! Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 ]& V! P2 l+ {; ]5 @; z1 c                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 k( }) s$ h7 Z+ w; H                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  w) h1 p: g5 k; G8 o' A8 x
+ ~( U& u  [9 K$ _' VConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

3 F# u4 {4 x2 h4 O[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% x$ \5 ~& C) I# K
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* \5 |+ o+ m( I/ v3 _Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, g8 C& J7 T- N# b+ USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.