出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! a5 J4 E3 i2 u/ b' q
4 q  H6 f4 I7 Q9 }: ~2。下边证明有没有毛病？
4 m+ R9 u0 [1 O* h! A6 t3 k- j( d
. b9 q" j5 h& {% ^设  a=b
( s# A" o/ E! s# O0 k
, H+ h) b% L4 j& Q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 ^+ @; p9 D) e$ r6 B两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' H, O9 Q7 P- N( Z& }4 p
0 L( g5 Y% W5 ]. `. _/ Ga(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
' G7 x1 ]: f9 Q7 ^6 r
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
/ I" S7 y3 V. P, Q3 Q' M2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ s$ y8 ?6 K; f! T6 Q$ H; @% f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# e+ K: |8 K2 }+ I; Y( W9 Y看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: c8 b; Q; `6 J
Proof:
& o. ]5 G# o0 v0 }( S6 OLet n >1 be an integer
% [  @; Z3 H2 ^0 ^" U2 v7 v% i9 N" vBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ S8 o. C' |& ]! m
* t: ]0 Y& b" b' ~# G6 _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ x) y0 A1 t4 \/ m$ U8 F7 ?                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( B* D( |) C  F* `/ a, isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 Z# K# o# ~* Y) ^1 t; Z; u5 ?Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" c& Y* s( V2 ]: ?; w2 ?% r                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% Z7 ?8 c# ~8 D# L5 _+ O  o$ q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& N" l0 K6 J) c1 d) a# \by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 S& R6 N, S6 k1 }+ D5 N                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, y0 X+ V6 t6 M8 Z+ V5 _                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) ~3 D# P9 y/ G
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

, K7 ^  L8 I4 w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 w" @# ~  p  l; ?
0 ~2 j# |+ v% {第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.