出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 N8 D5 F9 {/ J6 t8 o4 T: B+ a
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

" `: e9 ~" E$ l. i* H则有： a*a-a*b=a*a-b*b
$ _) |7 a! G3 _3 T2 D/ e两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

* O2 @* X7 ]% k( y: X4 va(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
8 a+ J( Q9 T! }& U" @9 Ea=2a
& b5 Q- T9 m+ i! o  ~1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
- t* O" _! T9 M$ T% B) A% _3 L2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* O5 H, m9 V& |0 j6 @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, g! T8 K1 n; t  _2 l. v9 n4 b* v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

# Y$ l4 l7 g$ P; f为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 M. n* M- O! N+ p; J0 [
Proof:
5 c7 I3 Q& _$ {+ M" T% z6 F3 nLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

" p3 ?7 B" j& t; }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, f5 M& l9 ]% E$ j% ?* S8 C                                     K^3 – K can by divided by 3.
' a& I- f. C# t5 m) W9 s; w
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ M; f8 l- l: @0 R+ O9 ]4 b                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  b/ w2 Z) M1 H5 u* m+ s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 E$ X/ r0 o# T7 H6 \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" n3 f$ |$ I) NShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 f' u+ j( y6 tSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.