埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2684|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?$ X) t5 H. a( E, R' F. v/ Z/ J4 ]
( v# |+ p0 ]8 g" z4 c: j
2。下边证明有没有毛病?
7 s3 y' o8 [8 F) Q6 B/ ]
6 J; _- |' g6 X* ]设  a=b7 }5 U! e+ X" D* ?! S* }

8 t' K6 g$ u1 i' H" l$ K则有: a*a-a*b=a*a-b*b
) o! T0 M0 o  b+ i! Z两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
7 I3 h% D. _: c6 O4 e8 S% {; |' n- p0 ^
a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 v4 P# s7 s# Y* n+ n2 y3 Ma=a+b: w7 O& p: M$ l. r
a=2a
' v. q' E1 P  T" x' V/ ~2 i1=2
  ?$ k: ]4 Y# J4 ?4 o
2 z# A+ P5 _' X' M证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
; i7 b6 _' z, D
2 j3 G  J, Y; X* e9 x$ R1)不能。比如11 @2 z' T8 [0 p0 l
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 k. O5 K2 H6 d/ h: o3 i9 c
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:5 n& _' c0 F; K7 k
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% r- j0 `* F' q; v3 l! h1 v! l
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
0 c! S: g8 C* {, @" ?+ ?  P
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, J7 |, A( C% g0 n
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# l; S1 F+ o- X
9 T, d2 e& c9 d, d& Z4 K
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)+ ?* U$ D7 ?' Y1 T& Y
& m5 i! J3 V' t/ k
Proof: & b9 }: |) b) ~1 D9 d$ _
Let n >1 be an integer
* W& ^4 L' |5 e- u6 ]6 q% g& B3 r4 ?Basis:   (n=2)2 Y( b1 Z2 [6 L5 t' ?" i& `$ J3 ^( }
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 33 b3 u4 b( V( C
5 e1 ?; ~- \0 Z- B) K- L* I
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that9 U! J9 n0 P. O/ u( d8 c5 S
                                     K^3 – K can by divided by 3.2 v& U( d+ m2 o& J4 [
3 i6 I: a& Z0 o) W
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. W. s1 d) D* rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem* i( M5 s# A; n0 E% C7 _! B
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)# f+ |. |+ h; a5 K" q1 k8 Y8 \! P
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 \8 s7 {* E3 d( C* N                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
; Z  g- c. ~; D# W. h5 s; X* O7 Y% g                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 X' h2 S; U; S- |' {. b4 i, gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0: F3 o. G9 H+ N) v
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)7 I, f' i4 b* }" h* R$ _# g/ s7 w( l
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( M+ U- d8 ~; W$ {/ G3 X' @6 S0 T                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: I' @& S% t/ T8 r( H- j) a; Q
) b) D5 g2 d- S) r$ cConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.( N( x& V6 p' k
+ Y# E4 J. a3 T; D
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。( J5 S- c$ F9 o: V- }2 B- U: u+ X
0 W7 ~  A7 h1 I: ^5 _
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:8 l# e% S+ g$ H0 [& U
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 f& M" |4 T3 A2 k- l. ?
9 [, u7 _# F# y& g8 O; ~0 T5 h% BSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-6-11 15:12 , Processed in 0.252402 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表