出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 E0 Z. I4 G0 t5 c6 }
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

5 }+ k% J1 {& e! I6 W4 ta(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
; ~9 u0 P! n  r( X% G1=2

0 w2 x! `: T& V- w% x; W: F, y7 r证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* _% X2 w4 p1 h  B9 m. A
! J/ E, N# R0 x1）不能。比如1
2 R) q9 S. e3 _! f" T2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  P! x. X! A9 X( Z7 g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) g+ b: Q" g: T7 [4 \$ z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- L/ d. ?3 U) l# s0 A

4 S) ^, g5 T1 C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

& k+ R) x* Z) h0 z2 A* _* X7 ~Proof:
2 d* P$ ~# ]# e: y3 {Let n >1 be an integer
9 A1 X3 g  w# o/ jBasis:   (n=2)
; x5 j/ E" I" f         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

6 m/ ]: d* \/ K! A, y+ qInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- {6 L# V9 l* d* }                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 g+ }- j) Y( R7 j% i
* s  e  _% E" h2 k, ~0 ?Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. x5 b. i' C. J( Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 K, a+ n- Z; a* Z) g' EThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 r9 @, Y' A# e! U# w+ x, q( `! b0 ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 M! p; O  I& t& z( O! W% [                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, t* C$ ^* z; l% }9 ~1 n                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ J5 m% O( D/ d/ y  E: t' ?; ^                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 n5 }5 N3 N2 x  d                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ U( G0 ^5 \, B7 u8 X+ D0 w
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  b7 p5 [- d% D
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. i) E3 t* i+ \Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 U& V/ k' a, V5 o
( j1 v9 k) M) L9 X* g1 B! [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.