出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 V' |/ `, |( M; [) Y1 P' _- q
5 G, ]9 \0 R- Q. W2。下边证明有没有毛病？

) B& _4 W2 _1 Z设  a=b
' y0 u! w7 s1 i. E/ W
) }! l# |, M9 R7 H% Z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; m9 L# _' N) p% z% g; V
) g( o2 x% W) K# f1 u! M1 c( ta(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
  s% O' S9 l! @# a# X# I6 u1=2

# v  d" H# N' b5 w% Q  b证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
; a+ {( q) u+ K2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 q4 ?, |8 _& b8 K3 i看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 h0 Q7 h- I2 d# `# k
Proof:
- F: S0 T) h% K& jLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 c* K3 y3 n$ t5 r" h         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 x- ]$ i+ y7 p7 m1 b, `* [                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ y. ?; D1 U+ O# q( F
* Y& E! U6 b4 M) M3 p0 w4 B1 Q5 INow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 U( w. J& k5 c! m7 K  g8 M                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ z( M  g1 O* k# q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

8 u! U/ A+ u7 u6 z: g, P) SConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

9 t- b& w: g  L1 A5 `4 U[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

+ }8 K7 _4 D+ h5 F第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.