出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! ~% q4 J& L8 [5 f# c, {* @
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
* k4 l9 t# t, U& ?- c: x" v0 @
: m- x7 c! i. P则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( _; p6 k- `% c- A6 R- K1 a) }两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% t  \& A  o) C1 ^  z; I
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
: l, M$ M" r! E+ a% }a=2a
1=2
* c( K, ]8 ~/ _
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; p+ [( O8 A; n$ F
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" \2 _' c' _1 W% ^/ G8 _8 @看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

5 M) f  @! [9 z0 w6 g1 v为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

3 J. i+ `3 L/ fProof:
7 f2 b6 E# [% p5 F8 KLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 W& r0 [: [& K; D. a
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: C1 }# a* j- \, U0 J                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 i' G) i) X0 z" W4 ?
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! Y" ^9 B4 D8 C, J5 Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, p8 ^9 E4 E) C( }8 n9 T# U+ IThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ j7 S5 ]' @4 [2 S7 M6 K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 i' c( l0 P( E. S0 Y$ g& L                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  M  I2 O  ~4 L9 d8 i                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. Q1 k9 @7 C! p5 L  MSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) D* ?( S( s, Y9 e, [8 J( y, j                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  {4 \- {9 ~, p5 L4 z- I                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; u( z2 Q. ~, i7 }% e0 E- t
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

- t% y+ F2 z' U) C6 B9 |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' ^& \' c) Y9 y+ U, {SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.