出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ _/ a9 {* b! N- |8 x8 \3 y两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
  y+ x+ @* \! p' Ba=a+b
% `/ R8 }! o# J. X$ E5 Ka=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- v& ~" D8 O0 }9 ^' ?
4 j& \% N4 o  V# U3 N* A0 Q' H1）不能。比如1
5 \# i# T' C( d9 Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 m8 K; m6 H+ y0 m" h4 r+ d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ x4 `2 a+ u9 D* W/ r

# Q$ d! W( i% @为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' v3 w9 M0 Y% q% l% v0 T( _3 Y- S. \
Proof:
' @; ~( a2 F  ^4 xLet n >1 be an integer
+ o, L; H4 p% b$ f( X2 JBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( S4 I9 j4 e/ r0 R% s7 [$ w
! v$ M+ t# A) N* v5 ?, m' r( DInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
- i0 z6 [* s8 q/ w- N6 e$ C
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 z/ T8 G8 E5 f1 f8 }& U5 J- M( }# D: |since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 S- ~4 y/ b( O0 z4 R) Y. m8 Q! G                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) H& Y- H8 o3 q9 ]1 f  P                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) u# o9 F( x& j+ z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ G% \, ]5 j0 `% y, J. b; h' mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* b  c% Y* ^8 ]5 r3 ?( D4 s) `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
' U+ P1 U( |; t+ @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 o% }; x' D' K
4 P3 X# H4 W9 K& Z# o) a# xConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  g5 U( e% P3 V! t7 I
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 \' T5 t9 u$ ESORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.