出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
' i& F) f- V+ |4 m) A9 [+ E: K
0 l$ j% N! c( g8 t2。下边证明有没有毛病？
9 O% ~7 t$ [( H5 K/ G! Z$ v' _3 r  H
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  S1 M4 r6 K/ h/ e' R5 v两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- K8 W. V6 n/ f+ X, d
a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 @% R% ^0 X- va=a+b
a=2a
2 R9 X: y! s+ c* _: {4 z1=2
$ B6 _7 y9 V$ Z
4 z& {; k% t( F1 H. j7 e7 G证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 ^' _0 @* Q: A# T; _# b
) c4 [( B# c, S1 Z7 S; A6 n# g1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( S9 U; S% }) A+ ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 x, W8 A* x7 z0 t7 d2 a8 s9 i看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 j* y6 H/ ^: K; {: K3 b* T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ Y8 p+ E2 E7 a. ~

. i# v9 j; ~8 J! V& B为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

1 @. n( J8 l( W# eNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 j& _) O  o% ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 v. L2 e* r& A( z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
' ?' Y' ^0 f) ]4 Z+ u& F                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( [  }  `# T8 f1 O  k- H1 r
" z$ f! V( ~6 A$ T' j3 ~. rConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 @5 ^. k! H4 F% I: e* D/ A8 I+ `
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.