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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?  h9 x! T  P4 P3 H. d9 H* ?; V
5 b3 P8 |9 K, ~3 k. S2 P6 ^$ j% Z
2。下边证明有没有毛病?* Q+ ?% g6 ^" G% j6 ]( G9 G4 n0 e
, m- ^$ U) H) a, e1 z
设  a=b* u, d) p. O& N2 i
- h8 C; o' s3 }% B3 z+ i  t% ]
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
- `. ]  o+ I- b, V! G9 h/ {两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
+ I/ j/ a# J' |" s; o/ d$ H8 f1 ]0 C: u) y
a(a-b)=(a+b)(a-b)5 n; f" {% I+ B3 t0 O. K
a=a+b
: z2 G5 L$ ^, y1 Ia=2a
6 S( }4 t& i; @$ ^) z; V, {- k1=2
* o) @1 w  f0 _9 E* n% ^
/ I' B7 a7 L  ^证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
% h; [5 A; {0 g9 p/ M. q! N
% _" i9 Q. _: h/ j5 i1)不能。比如1& a$ s( P6 k$ }$ ~- y6 c4 g
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" n3 b8 i1 c+ p9 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: ?; s$ m4 j# H4 t
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* a& D/ f! S' x+ B1 Y# E
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
/ h9 c7 g/ v' F2 _  }
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:. }. }0 i% B" Q
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 O4 D9 ?( C& K" v* `
5 ]2 L  ~- ?! k& m7 @: C
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)4 ?1 j/ S- b/ c" g. y8 J

% L6 G& k0 _9 O' uProof: 8 u* I# u/ i4 ?2 s' s  G# j
Let n >1 be an integer
5 i) m( n2 d1 HBasis:   (n=2)0 f2 x8 l5 O( D
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, _4 X. K  p: c& F
8 i: L3 y& f+ l' YInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that4 c) A: W% C1 V; R
                                     K^3 – K can by divided by 3.$ r8 I- U+ e% j+ H9 R1 M: o

3 \% @/ a7 W  g- j! TNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3- q* T" t" o# ~4 ~0 W$ M7 P* F
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem# N9 q5 O7 a& I7 r
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)* H1 v9 f/ U) y# i, O
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: g5 J8 _6 b, p5 q0 |                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)* K' \5 C1 j' `9 ?
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ @1 x% d/ e: H) ?by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ {4 P  w& h1 O2 O: [So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)& g! I" l" D0 ~/ l% O
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 a0 v( q& f) ?. F/ B+ H                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" v2 z: v* G1 B# H) P; e! k; F9 `0 k% q, s2 i  _7 k
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.2 D, b, F$ e6 v; V7 \2 c
0 \7 ~* Z- C1 B( B) d% d
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。( p9 J- b" c6 f- t& Q
9 j' K, L9 E/ o8 C% ^
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:( K; w2 q7 N, a$ w1 i
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  \% ~$ o; I% k. u, [
" X' ?  U: p" @" {8 p- `. L' PSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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