出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% o/ E( O4 g) \, }! y
' x& {4 W; j+ `2。下边证明有没有毛病？

4 V) d3 r+ B8 u( O1 [, G! s设  a=b

" R* H# k0 P* h' i' t则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" a6 d0 Q! u4 J0 H# O; d7 a
3 j9 Z: N" T, va(a-b)=(a+b)(a-b)
4 o% w* o, j4 s+ Pa=a+b
a=2a
5 k* H$ Z; G) P' [6 y! A4 t1=2

# w: |/ l8 P" p) |* N9 Q" O% o7 V证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ D2 h  J* u8 Y
1）不能。比如1
) D; x9 Q+ b: h3 }# S9 R* o) d2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: ?+ T  r( G% R, p. j$ X. A& T3 _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 Y7 @$ I( A3 }% Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 e( {2 f( H, b! L& j2 H, \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ ^: J" y# i, o. L看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 @- f+ j; N1 X7 I3 r2 z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

. T" k, a8 ~; Z# R1 D( kProof:
6 M# O4 @, t; x- S8 [Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 V2 x/ A, x7 O7 I+ P+ R: Z( o( y1 p: ^1 I
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  l$ Q$ P4 E4 E: }$ P3 X% {
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- o& g' `' ~* f5 M- e$ Psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ B0 `2 I* r/ e                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ z- I- G6 I; H. c  {" k+ @9 eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 B% h) S+ W: |' A8 rSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

1 ]8 Y1 N8 U0 J# o% L$ BConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; h& M9 P( F: U5 s; n; t) y
0 c- V" t# E# ?( Y4 R" ~7 n" b: z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 g3 _. z3 ~# d; H# |
. s' q9 H4 V6 l: u" t' G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' i9 P) W* G, IShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 B! z* D1 k5 {SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.