出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
. N% X5 \7 b6 h7 g2 _0 }
8 M/ {' x7 }. w1 O* C设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
" Y* @1 T  N0 h, U; x* y两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
, Y4 n9 L8 A) s1 M8 aa=a+b
a=2a
1=2
0 J, W6 u, l% C- g5 V( H4 C* l0 ^
( l* B+ E* i! j1 g3 j+ R  a证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
5 Z6 T5 i/ Q3 l7 {2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ }# |0 P0 E; |2 o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 D! n: c& x5 b+ [, x7 g9 f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# ?: v8 U; u' }8 z
' m' R" {$ y' M& [: YProof:
Let n >1 be an integer
# s# H& |3 V% @1 d/ B9 {Basis:   (n=2)
, j* P* P9 E5 d$ B         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

8 h. ~- F* ~# m/ ?Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  k5 [) `+ C8 m  e                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 R0 _/ k5 L, U; |3 M
: `& f+ q  }- zNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 }( G; u) v! y! ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( f/ g7 z, t  I) {- N; W& TThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% O: n- G$ w( |3 h3 N' j. a$ \; R                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ Y* t6 y" B  a% vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 F% z' `( ~$ O2 N" L                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 Z2 p9 V: S& k6 ~, ?3 O+ }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 I/ S) H- f, H7 mShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 x# t' }3 q5 H% T4 R: P0 L& g
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.