出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& X. o: i3 X+ j2 D3 k' v& K
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 I1 g3 E- V7 I, J- w  B& n$ ~两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
& I( |, \1 B: L* c0 [' j( H5 h
$ F' R" k0 ~$ e! V% K5 ?. Ua(a-b)=(a+b)(a-b)
) g0 ~) [/ @( N" |- Ga=a+b
a=2a
, {. o7 V% @& y7 c1=2

' a/ f  m% P# [/ Y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 \3 s0 v4 {$ U0 m- S4 ~# z' v* l3 x
$ @' |3 i, Q  A1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& E3 K7 j1 Q6 F9 c5 o& m9 J1 @) p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: u6 y* ~  b. Z- p' |0 Q; x, d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 a/ ?8 r$ E% c9 j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; @0 e3 g! Y" _

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

' I. w7 D6 q* e/ I, g; v7 pProof:
) s9 {, n4 u; Q3 s2 H! j9 nLet n >1 be an integer
* V$ A2 y( ]& S* W7 b( pBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
% U: u+ n+ ^0 e( N
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

) n1 z( z& c8 {Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: {( S+ q% T8 C- y& y; s" `since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 O6 H/ t+ f% s7 `* Z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ L5 a6 Z2 @& Pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 G$ T+ U5 L9 i* U, u4 f                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& y. l& w* m0 X- R% `: o- j4 U8 d                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

2 j0 K5 ~% _, d6 S. `Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! u* J/ d2 h1 o. G7 N; ~0 b& d
# R8 E) O8 J( m9 t[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" M% W( k: t4 g3 R& x, J% M
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. L: D5 j; g0 D/ L/ J3 O/ nSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.