出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
7 s3 y' o8 [8 F) Q6 B/ ]
6 J; _- |' g6 X* ]设  a=b

8 t' K6 g$ u1 i' H" l$ K则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) o! T0 M0 o  b+ i! Z两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 I3 h% D. _: c6 O4 e
a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 v4 P# s7 s# Y* n+ n2 y3 Ma=a+b
a=2a
' v. q' E1 P  T" x' V/ ~2 i1=2
  ?$ k: ]4 Y# J4 ?4 o
2 z# A+ P5 _' X' M证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; i7 b6 _' z, D
2 j3 G  J, Y; X* e9 x$ R1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# l; S1 F+ o- X

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
* W& ^4 L' |5 e- u6 ]6 q% g& B3 r4 ?Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. W. s1 d) D* rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 \8 s7 {* E3 d( C* N                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
; Z  g- c. ~; D# W. h5 s; X* O7 Y% g                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 X' h2 S; U; S- |' {. b4 i, gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( M+ U- d8 ~; W$ {/ G3 X' @6 S0 T                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: I' @& S% t/ T8 r( H- j) a; Q
) b) D5 g2 d- S) r$ cConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 f& M" |4 T3 A2 k- l. ?
9 [, u7 _# F# y& g8 O; ~0 T5 h% BSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.