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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?* ^+ d4 R( W. S9 E

# D/ O. Q5 d8 p( L6 \( V1 l% N8 l- g2。下边证明有没有毛病?
2 n# V  ]% g6 h3 q
9 P" A- m4 k# t* K8 M; X& B6 T设  a=b
0 r$ r- c) t- D% O( k1 R9 f5 [( Z, f8 \2 z' [5 j
则有: a*a-a*b=a*a-b*b  I% C) b/ `( n9 _
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):+ v) ]. g  k  Y! p# G1 f8 M. L

% Q# r' T7 Y2 Q) Za(a-b)=(a+b)(a-b)
3 c' o$ [  ~6 T! b6 A* i6 W. ~a=a+b
( f; [' T' w2 o& _( Fa=2a
/ s; h' p4 l! r( p1 Z- Q3 Q* C' ~1=20 ^9 n+ p- a+ x" L( U7 |8 i
0 V5 C) ?  ]+ d$ b: {
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试+ j2 i% E/ j$ |" E3 U

0 J* J1 x* X! I1)不能。比如1
" A: }* r  Q) h. Y2 p1 A2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* p6 [% O7 v7 @% q( j- T: H
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, g& H  I0 R- b# s  q! l  ^
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 I+ G4 j* V7 `* R) R% y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
% R1 e" O" K3 A/ `0 [' O" _
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" b& H, g% h( q* y3 R- T* y
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, g( ]# \) T3 V0 G. F
9 U& g- ~4 m# y3 S
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)( R& i6 W) u% p4 Z, n. t
- U. \; r- H8 h0 l
Proof: - q, @6 z4 q4 Q0 c9 s
Let n >1 be an integer
& ^& B, B6 V/ t" B& wBasis:   (n=2)
/ V  L8 r* v( e: ~7 t         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* [7 q  v8 ]; s! `5 Z0 F" D+ J$ C( A7 p2 H- g2 n% L
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that' E% p* R( p" g" {
                                     K^3 – K can by divided by 3.- {5 u3 b! [, R0 B% O+ m) ]7 S% S

* C- e1 ?# @* |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3/ L- r, s* o1 s' H, }
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem8 B" u6 f- r) x. R  N
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)4 A3 t  z5 w5 C2 x
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K/ l5 E( Z0 {4 X! O5 m
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)2 }2 P: n& h6 q  [! D
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& Y8 S7 Z$ X+ P# }1 Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0. ^2 v+ n8 m& s4 V$ ]! c
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ e2 p) Q% O- ?  ?2 _
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)! A4 ~( U; U+ @5 Q. O( Y- y- N
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 39 I$ V7 R0 s& E1 U. r+ z
" ~8 {5 E1 S" k4 V0 b  h) K
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; ~# ?: B  D8 z3 K) G) g  X% N0 x! J* r) D, {0 F; T
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: q$ m0 M4 W" w( n
+ Q9 s/ K' o; u  n第二题应该很简单
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:4 |: n# Q4 P$ }- e" D1 w
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 ~5 Q6 Z& }) @; n
3 @% Z0 c' W' S7 s' ?+ o% S3 [( @SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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