出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
" ^2 x8 h/ E( N9 g1 N
设  a=b
/ w' Q& F3 L" q4 M2 V
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
  f9 n/ C2 i/ c7 \1=2
& @- o: i8 o. B
4 A- O6 ]  i& z+ J! p$ u! i/ p证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ M, `& {* ~- I6 m( {) s! w
# M  }2 M; s  I  y' A1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ _* G& k1 E0 N9 L( J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! p# S/ }+ Y3 Z) ]- a& s- N

- M$ `  R$ F, G' S为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
& p0 Y+ c- W4 M  q
$ f/ j5 c5 h6 \9 qProof:
3 M6 O. X6 Z) o5 ULet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

* o3 ~" e3 s( n6 h0 \0 `! }3 AInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ E8 j& J7 R/ S6 B( S
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 ?! Z1 {$ V* L* z  h; Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 H% x- P6 ^9 q! S" y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 W2 h7 R% q/ o: R; E$ f                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 {$ b; }% ~) v  P9 vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: ~0 |( D# z2 e                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  y+ C4 v; t, y5 T. `! _+ N
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  e) ~) |: w9 D$ w3 B
4 F9 W# {5 [1 W( r" X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( h/ R( B& _+ R, p  Z
8 H$ u! z2 a8 U. X$ i+ }1 q1 V( ]第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, p! {% X, |6 u) \# VShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; ]. Z* N$ K/ g( @' ^9 j1 `. ~% ?) f
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.