出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- L1 W1 b% ]" c8 G' ?3 }2。下边证明有没有毛病？
/ c0 P. i) C! b: S! N
3 R% i3 \8 w0 ~设  a=b
3 c7 r( U+ A9 x# U/ Y' l. Q
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

& L5 U4 i' S. ?- j  da(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
: ?9 a: b3 G. o' J0 r3 o1=2
& N5 ?* ]0 C% {( H! y
. ?" R2 f/ s( J- S7 x; G证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
, G" `: o0 e7 N+ Q1 a- L2 I
0 @9 k& v+ P$ O' o- [1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  z- l2 ^0 x5 e. `0 X/ B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; T: P" J5 W9 d4 x8 S9 ~2 Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! ]% \' S/ T9 T4 S5 B" F, O; y看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ Q8 n" b! d" T! L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

4 G; m8 E" F8 t- C& i6 {为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
8 t. F- k$ B6 r7 VLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) i3 }& q# ^% R8 E, F  Q1 N$ t. N- u1 M
! G' V$ d3 m  U) i, N* I* mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% @& P/ B& J3 p$ q# B                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& _$ L1 V) q9 g                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: }' M1 S7 P7 f! ]+ {% u2 \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) `8 W* \7 s" R
% ~/ s% \" g% ~1 ^7 i2 C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: h8 n( }% U" d% a7 y: B
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ r- b3 I0 `+ a
: S# o5 Z4 k/ dSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.