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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
/ F) r$ q0 V! B/ T) b
2 V0 Z0 \& e; R; N" d' v2 F2。下边证明有没有毛病?
' U+ T* @& ?* J  k; U. A% U+ ]+ o8 B- ]4 |$ `
设  a=b
- x8 W6 ]0 T3 x
7 h/ i3 Y0 I% U则有: a*a-a*b=a*a-b*b
# ]# k) a* x: ?2 k4 K两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
) G1 U! A0 u3 ~' U/ F0 |
9 m) ~% O& ?. [; ]a(a-b)=(a+b)(a-b)" t0 {) ]% x1 u' {/ s
a=a+b, G" a6 ]/ b2 S4 Y
a=2a. a( Z; O, z, k3 @
1=2
) X9 U9 @; F" G( T5 H, |& F6 o
8 W# ^4 `* b* X& K0 U) c' H' }$ z证毕 ,结论,1=2
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试) q9 I1 K4 [4 h: i

# e* L) C/ ]" ~: o1 h1)不能。比如1
0 A+ \* ]- a/ ]1 [9 `2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, }# l) U/ N3 O. p, ~/ _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:- h& u: Q1 A1 B8 P/ _. P
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
/ }* |" R0 m& r1 c3 e. @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* @- h* s% ?5 T6 s4 s# ?看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! s# b6 a0 S9 S- ?5 ]3 p& U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 U3 u9 z' }0 k% t. r9 i& H4 L

. @$ p3 [8 b; V; J0 `. |: q5 Y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)2 V$ H. ~; W& A6 w: ?  D" X7 g) ?

* h8 I$ ^8 U: h# [Proof: / ^- d4 d& a& D4 N
Let n >1 be an integer : X/ A# X. `) J; R3 u
Basis:   (n=2)
% B* j* v5 F4 w1 e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# t3 n6 [0 j5 y3 T: ^
7 _/ g& V# G( N& RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, T7 e6 y1 ^% @& \  G/ p                                     K^3 – K can by divided by 3.# m) N. I' e) S& u+ E, m5 ~
9 e$ D9 \7 L) H" w' ]0 @8 z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3% f1 B  @" f$ Y( D3 t
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem2 C3 A* S9 d; _/ I$ @: V
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ g$ a4 N6 c  D# y# y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" a7 g' H0 L  C' b6 {4 Y9 K2 c2 E                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- m) G! I  ]2 b3 v" S6 j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. w% y! B- O1 U  hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% b4 A  x/ \8 iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)0 ]6 A- Z( |, m8 L) [
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)5 \7 G( T% m( e) g6 l
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3' ~" q3 t* ?. M* W5 b
( P( v" m, G3 J* }) N  ?6 @* n
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: ^, m; n% j$ t: c! T) ^, Q0 A: a  \7 m
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' ~1 n! S2 ?. L
- m( \0 K' S/ D7 E' x% T$ E& x第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" T+ _$ ~% B/ k# b: U) l- HShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! v$ u* k4 j# t* U. A" ~; l+ R3 e) h. E, t6 s( ^
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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