出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 e3 I' a4 w1 N( z
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
# o$ E* ^9 m6 d4 B" p8 f1 x5 a1 T
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 a+ b  y" a4 \* n7 l3 X! w3 ]  y两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: @7 q$ e5 \5 m8 }8 S( A1 q" |
; g3 S4 }% I  Ya(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
4 z9 V  q! {& p* a0 V1=2

0 I) a( v4 t; _9 Z- {8 e& \证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 k8 v- B2 M4 s
1）不能。比如1
( ~1 X# H  H" P" g; i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  }: h6 T0 y4 b- L2 ~1 y, v0 ^2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  e8 E3 H( Y9 V4 N1 `3 t6 L4 B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 F# B1 \8 y  P% j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

3 e- n1 B2 s0 t/ HProof:
: f! F1 F5 P5 A+ A) C% w' DLet n >1 be an integer
; S* E- |0 p+ {7 O  j8 m* p* MBasis:   (n=2)
: _+ T; x! N7 b! ~/ l         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
; b+ W) W+ z" Y6 p
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. t4 B! ?4 \) K  i0 ?( a/ k                                     K^3 – K can by divided by 3.
) k4 \7 {/ X$ q% V( h3 B
5 E. r8 J% ~0 t7 N; S4 t  T- U, ^Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 R. A- t. P8 m, M  U% Xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 V. N8 `# N) L8 l; E  _Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. r6 D8 n/ e8 f( h; f7 a! c                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 X& t* C, o; l; X& X+ I                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 R) }+ A# c) }. A1 L4 Nby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& I  Z" Z  y7 z" o2 H: B) H2 _% \' m& ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" A/ F& \0 [8 N2 l, a                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

+ z: G/ r+ P1 p4 w. O[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) {0 ]- z( v- U1 M( s
# w: d& w$ H4 N! \1 q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# q8 h9 ?/ `0 o2 }Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.