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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?, O3 X5 E( ?/ g1 J/ E$ w

: a# m6 v; C& g" b8 D/ j( F; n$ g1 X7 m2。下边证明有没有毛病?5 X0 ^, j* N: X7 ?

" q( E2 C4 y5 b+ L$ L7 O设  a=b
- S' e$ D& M# R
1 o5 F; b* b1 T8 A" I4 a则有: a*a-a*b=a*a-b*b
: A9 H% E6 k5 M! U两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
8 k' `' H+ P4 v+ \0 g
: N8 J& [2 r2 E, G) ta(a-b)=(a+b)(a-b)9 L  v* w4 d9 d& A: @
a=a+b
% C+ X- M0 C. ta=2a
2 o/ J: p+ m. s% I8 `1=2
' W: r: O( l; Y" J0 ^% s5 z: o" ^  k4 k9 q. c
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试% ^* p! C. X7 P

8 f3 A9 p2 l0 l% @! _1 F4 h- K1)不能。比如1
8 w: g, v+ s& {, r9 S  E' y8 t2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。# t- \- H4 k, V
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:  T% n" W/ B+ c: q
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
1 A! X: ?9 R1 _3 T/ w+ ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
5 ?' d* N* m+ }) C0 X0 U0 ]
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 u7 Q# J2 M/ `9 ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% `2 l  a. m! R. A' d7 j" f$ Q

$ W0 p' h( I% l) @5 H. W% X4 m为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)' x/ r" _7 J9 h: X1 ?8 q/ P

# `! Q+ u$ R; RProof: " l# F! s5 m' }# x/ |$ R- n3 i' ^
Let n >1 be an integer
( I, `/ S9 g( _$ }* H3 mBasis:   (n=2)& v3 }0 t9 k9 p' B. `% s
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3" |- P$ Y; c/ \5 |

! D- H* D: _( k& o, h! G9 lInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that8 e- E' ^7 P/ c* A8 ]' ]
                                     K^3 – K can by divided by 3.% s0 H) F) e! r6 Y0 \* Z4 z  `
, p% o' K7 z- m% x
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3: U1 m( N' [: U" G
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem" s/ j/ T4 w5 @! F2 H
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)8 G# u% }! e4 a; R8 L
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
0 K6 S: E1 `/ V, A# s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)1 {: K) W& z+ x! |
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 V# i" E+ b. M1 j. d: G8 w3 w
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 z! V6 J& }! JSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)0 l/ }  y4 I5 u. @9 [5 m. p9 ]/ `
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: }0 |' q1 k/ G2 u- L! g' o4 t  E7 p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 p3 l. m2 ?  L/ s1 x; t2 [/ f  G' P6 e$ a) L
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.' P# [/ q8 }! x; D1 `

8 i; V3 w8 m. s: q9 o) F/ V[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
理袁律师事务所
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 ]/ B& f! p" E8 b& w7 B
8 _# A* u4 Y  E- G第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:# Q5 @5 K% K. f& E0 z4 h7 P% k
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" N; a. X( j1 P1 I% T
  l* \8 [, ?4 W9 N+ `SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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