出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 k7 C1 X7 L) _0 F' H7 u: \
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

* B4 n4 z' M+ e& n/ m4 Q, P则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
' P& M4 A7 e9 n2 S4 ~a=a+b
9 ~0 w8 n* x) E& l0 ]% Ra=2a
+ H* x; j8 ~" p- B* Z0 W& ?1=2

+ N3 q4 u, ]7 F证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& F( ?% D& u% G5 J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: R  E' p' \4 b* n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. B1 e* |4 S# @7 n( Y

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
+ q1 W3 C/ O# m) PLet n >1 be an integer
. O: C! A9 P7 O# RBasis:   (n=2)
. W7 z: Q5 o! T3 S; s( X: g         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 @' H1 ]: [$ P- `8 A
1 O0 T# e; M, [* NInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 e  K0 a6 C& T0 Y: g; K, e6 I                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 h( \% p0 C6 v2 B3 Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% y6 l. ^+ B) Y% s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& k4 `; g/ Q: }$ D% j" r6 ~! }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 w8 w" v5 {. |5 n; o                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  K1 w- S1 I! p6 u! T' o8 b* u, ]
6 I9 q0 }1 Y9 Q2 g' [2 X0 FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ n' X2 T* i9 W& H" U
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 t9 t$ c9 p9 K  mShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) n1 q: b( k. l  y( N6 I
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.