出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

8 j: ~8 x1 G9 J" c# |' A% T2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
: L- ?3 |1 k: P9 u! A  g
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

' H  u) a1 G8 C- ia(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
# d) P1 J/ \8 g. d( ga=2a
1=2
6 B! F% g1 T. O6 ]6 k3 A, U5 j
* W- c$ z7 V- ]0 {; ]  v3 {证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( L$ e9 o" z( e* {
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 r4 H3 i" M9 \1 `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 }# o' |: n) C0 b6 g7 \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% T3 d/ [/ p  C. s) F6 G0 M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. X# |% _. @0 q) ]4 a; X( c* m8 ?

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 C' `, h% Z- L! Z) C! J9 {
& @8 W& z4 I" w9 P" ?Proof:
, K6 s- {' [& U, \! VLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 D  C- u; Y6 V, ]0 F6 D
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 t% ]' i' C  Q7 u                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 E' V! W+ u7 M( v
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, t4 r( u- F( wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 J" V# M0 p  a. {% O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ L$ ^# @' }3 T5 M. ]7 P1 u6 x                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 S/ G2 E% m. Y" d- M; |- l' Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 ^, g# s3 A* r3 I                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

& t2 c/ J( O7 b0 R# r$ L" BConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& z0 D" _# \8 X' V6 }
5 g9 M+ A# r+ R# F) q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.