出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

9 T- {2 Z5 s2 f6 f2。下边证明有没有毛病？
, p4 a/ r! t) \! Q
设  a=b
  N9 G( x/ @: k2 @
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ g2 a% o! d( @9 U9 g6 X1 U6 w+ g; Pa=a+b
a=2a
2 G2 M8 U& @0 ~( b1=2
) w' _$ q% g3 M& D% M: r
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
) c( R. x# |  |  a3 ~4 J3 V5 U2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 t# Y6 F0 ]' z  _! A$ B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 f. [! E% ]! @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. J& W8 y) b: r

: r# i# \: u+ J  H$ Z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- t( O$ I: Y; N
% C: ?* Q: [- x5 A7 ?5 ?: _9 MProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
$ U( j  D8 s# ^7 N9 B         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, ^- T: [0 R5 m, f2 p( b
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# u* G& q* e3 Esince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 }9 U: H  e6 j4 K# |% A$ D                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! p# M' G- ?) e3 j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; M' g5 U' s3 S2 h9 Q0 D                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" S  J4 P, j8 C6 c9 r8 n- R
, a2 r. c9 U7 L) N+ O  U, t. m3 BConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& y4 d* ~0 t" ~. MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 `4 v; D1 u% A
9 q& b* x4 S8 c, ^# f5 MSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.