出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
2 S% X9 n$ J- s& n; _
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 V: c. t* \: }" T
a(a-b)=(a+b)(a-b)
, n" [0 n3 X& }2 W5 }7 j+ @a=a+b
( U& X5 }: P9 r) ~" Pa=2a
% x2 X! g% L0 ~) u* W& ^1=2

2 P2 c- q! c2 U9 }& ]9 L3 \" i证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 ~/ v, d6 _% j% ?' u
1）不能。比如1
6 X- x1 d# \: Z$ i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 O8 d$ h# T8 E" ?7 w# y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) d& a! I4 T( \  S1 e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: P' h  f2 E5 ^5 S7 [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& }5 u3 n0 X% P2 \! |看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 s3 c4 l' F# p6 W. L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  [& ^1 @5 v' ~为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 A9 D, r! Y  P% Y* P' g
% I3 b, i5 U5 T' \Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 f: \9 T- Q7 y: e# w3 Q
% M2 s! v5 U1 Q# [' k8 D3 UInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 J4 a# H- f0 s0 b  i                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 z4 f0 o' d- H. a
( @: \" {; n3 q& A3 p; Y8 JNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 C) j( M( u: y6 ~4 K2 o7 osince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 K4 Y) J, H* s' u, F; U                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. D8 D. C" d! f0 ~8 f; }* \8 T+ G                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  ?% s7 H1 G4 W9 H0 kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% ?+ k8 k( b5 z8 v; ?& ^2 B0 \) ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& e* {  a( R* b& c+ o                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 |6 P* f. O4 ?% Y# D7 @: K
+ H) ?3 ]8 }7 [; c9 ?( ], q  i9 m+ _6 cConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

/ E1 a8 f* F7 K3 j( p[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, E" x" @+ p6 z& r- t# \6 mShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 @+ w+ ]( {' @1 K- YSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.