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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
/ U3 Q" B. ?) C  h( d' S$ d5 l  }
5 H# ?, X3 F! U& }: Q) g1 {& N  ^8 M2。下边证明有没有毛病?
6 E1 r* o3 i+ J/ @+ _/ w- o7 O
5 ]: E& Q5 _% z; Q1 s& O, _' ]! N" ^3 q设  a=b! H& n' Q: B" A4 T# K# `4 `! F+ m

1 t, N: p2 p1 y  O. o" [, r则有: a*a-a*b=a*a-b*b
+ m; ]3 B- S3 y1 |" x  k# j, @5 |: h两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):  h8 M2 _* q9 U7 W- k) I
9 o& v% n- D5 A6 V
a(a-b)=(a+b)(a-b)  i+ |$ p3 W9 [/ w0 `9 K  r
a=a+b
$ I3 R: M2 `5 |2 Q8 p, H4 }a=2a
2 ~  I- t' U0 m; d+ d1=2
# }% j2 [4 g, l" n- p
2 C6 o" \- V3 T; S证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试: F6 z& L4 S: @7 r  F4 ~
% V, M9 e3 y# p
1)不能。比如1* R0 {) {; x# S+ F9 {2 X1 x
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ m6 o3 q6 Y1 u* \: v: q, v, N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:; [1 G5 i* d% S3 J7 j
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& _2 e/ M$ ?4 q3 g6 I( A
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
' S* d1 Q, B- K% r! k$ q+ I
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:. x6 Y0 h# H+ P+ B) H' M
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% |( S* l6 w/ m6 |2 V. I9 c$ c7 q4 b
& \# G% @+ E5 @' u
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 t5 h# }1 T" c  E9 _( m
! N; y+ B; G* C9 M" V! \Proof:
" M( t; n7 n6 @/ [5 ULet n >1 be an integer
3 N* J5 a" y+ F3 t0 X: z& h0 o) g, DBasis:   (n=2)- l9 g; F$ @- c5 ^& H6 F0 Z, J/ n
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3" I9 W& E; o+ Y" t9 S+ x8 k2 h! t

$ W* P5 W  c" ~% CInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ \0 Z+ [$ P1 }9 h                                     K^3 – K can by divided by 3.- R+ Z: R) i6 C  Y* r0 F
4 \5 f, `# I, i# h6 J& b# o/ S
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' I  r; h) G$ Z, nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) C6 Z/ N9 J! w; o4 r! d3 J+ f, IThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' H! Z0 Y+ i: l  ~2 w7 h& C* q) y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  |8 W9 U) _% V                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)8 _5 {3 U; |: n2 _: {
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)$ `& Z$ t( L' |7 u; @
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 e% s! G- a9 a" c! O5 a3 ESo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 \# s- Y# p$ w                                = 3X + 3 ( K^2 + K)4 `2 F. V6 s; s3 ]" v
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 33 X8 Q. Z9 d7 Y" S$ m% h; U* y
( X% d- C# C9 v6 G$ P& ~1 m
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 d: A7 e5 v2 W. j! F$ U. S: H0 }! u. O" Q; T" p% Q
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。% w  ]# ?8 v5 d6 E* g: m. n& v7 G

4 c- n3 G5 c+ E: u1 i! c第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. U7 n, ]( @& B" W) ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
* k5 O) l, D- o/ f  N0 D5 o

9 n$ l( n5 W5 K- Y. U6 ~5 i6 ASORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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