出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: P# A5 q- B* N; U( b" Z6 t1 x2 r
2。下边证明有没有毛病？
$ K, l+ H8 c) }- L9 z) x
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

8 P" j" y) \" @" H) n3 r" Pa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
( W( @. @8 ~. r: M3 L2 Qa=2a
1=2
/ ^' w; @; {8 K6 z
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ d/ b6 C% L( o
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  g; v' \. K' x! E$ p8 N& V/ N, Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; J5 r; o4 G- k看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

: y! N6 |# M8 T7 n: E$ M为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
) q9 n1 H6 x. L1 t
6 k& e1 x+ }4 s4 TProof:
5 h$ n* R' |% R3 m" kLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
6 A( ]# Y* S' Q0 N9 U         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 H* ^7 o: V, b7 F  z3 P
7 _. Y$ q! F' `4 R" `" h- E' Q( [Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ H+ N( z" V/ r
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ P# y5 c, }# E) J+ S# B) Jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* H$ z+ {( m/ n4 U. |2 ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) ]+ a& r+ y2 f/ }- c( Q( O" K+ O1 s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* A# b5 h7 Y4 w$ u. R5 q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! j1 X$ F" a6 |0 g! A                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

( H) G: C7 u* \0 `( r. A, R[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

: M1 l+ W  ^( G6 Z  p第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.