出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
4 n% d; |, t9 l* F  d( o& F
设  a=b
) M5 K1 h8 e+ N5 y  ?" G, c% F- W
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 q8 S1 J2 |) v3 L0 e! M, @* ^两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 }0 H( _# s6 w: q
! U$ [0 S; I$ T; O+ q# Da(a-b)=(a+b)(a-b)
8 |/ N. r# h8 `% K* ua=a+b
a=2a
1=2
. M$ Z+ V7 a5 [# x4 j0 x) D2 C
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ K8 A6 p( f$ X" Y2 q. c
. \* H' P7 \8 l5 f1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- k* T/ u7 h. b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! u: r9 M% L, c  ~6 I' x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% H! L2 {% j6 }% Q# |4 _

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

) a% n7 [7 F/ H1 d: K2 U3 |5 fProof:
2 o  t+ E- M" YLet n >1 be an integer
+ @- b- @3 r7 gBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ A; _& Q- z  ~1 Y7 @; m5 v" G
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, \  O) o, Z3 v* R' o, b  g+ r4 H
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ ~/ I5 g$ R. M( f7 T0 Tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& o5 x0 D6 ?/ ?; p7 I6 ^                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 X- P1 m: Z/ Z" Q) S, o                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 I  p9 j' v2 q/ f( t) g3 ]by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% j7 E# a, o' A" F- Q( eSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- x7 e5 |; H2 ]) j2 Z: w6 i                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 m6 R  p( U# y5 m- D6 _                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* A* @5 Q/ U, |, \- h
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

# ~8 Z. @$ W/ n5 `" c  _) A[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ Q5 P; U3 i3 }: ?9 J! t% ]第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: U" O3 I6 F' k# E
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.