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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?! r& Z) y0 E% h2 N) p# V

4 b% X- j" M; p2。下边证明有没有毛病?- j5 C% J6 Z4 V) e; e% ]* Z
: ^6 F- N) H$ m' h( i  V
设  a=b0 I1 a0 h* t6 D" f$ G1 O% _9 W

5 f# M3 R" X( k: a/ U则有: a*a-a*b=a*a-b*b; b# F3 y5 ^/ P- ~7 E: s; E4 \
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):/ p# Y1 x* x" l, Z
* L, k0 O6 D+ |/ }) J; e
a(a-b)=(a+b)(a-b)
  C' H! u) B8 n5 s, _6 b& `a=a+b( ]" ]! O* W$ P" ~. _9 }$ q3 T
a=2a' q4 m, a' m3 f1 o/ [
1=2
1 u% ~/ i6 f( Q) ]
/ b' H  F/ N6 Y1 `, K证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
0 B+ ]2 e7 |7 s& L" G- c  p- ~
" ?( A5 @- n- p2 ?) m& Q1 I1)不能。比如1
, F3 \* q; E/ f$ |1 {2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  }( Y1 U( J; w! Z! U
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:* {& X1 ], h/ v- T
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 B  Z! W8 i8 N5 v' ^$ Z
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
/ _2 l! {3 _7 T
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:; J( A8 R+ ]; g+ w- j7 J
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: H- }6 I% k' `0 H9 z2 ^/ H

+ }4 |7 r5 b- B$ |3 D为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, S4 M8 S2 g( ^) ^2 W! \# L7 A1 O& c
Proof:
3 L! S4 @1 \/ I$ x1 pLet n >1 be an integer + k5 `1 C% `3 J* T1 X# T) I
Basis:   (n=2)3 V9 F0 a" k( D% i, }- e2 S% m
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3( _$ h% f6 ?( k
: y+ O7 r3 z, E* |* F8 W1 v
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, x- T" J# G7 M0 a                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 G' M. o, n7 V" Y/ u* D9 v! w. X
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3& v% Q+ k3 T. T
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! u: j3 |# V+ X8 sThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)4 f. ^, t4 h4 N3 A
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K' ]: T: N2 Y9 S" q$ ^
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K): R2 E6 K* T4 ?) _% B
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)9 X: j- \" R' f% v; m
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ Q* G( @1 }' S8 h  ZSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 a5 Z) p$ S% T2 n                                = 3X + 3 ( K^2 + K), F+ X* w" J- _) Z3 |+ I" m
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 35 a1 p3 u! A& I& r4 _* q

& O/ |( O5 }2 \0 C6 ?! A, EConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, |  U- k! [/ H4 G! o- f7 L; x5 ~; o$ C6 d- q% J7 q# _7 ]( B0 Z% s
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  b" s: c7 r' |  F! @4 e! Z6 u7 c9 S4 l  z: ]/ P/ [
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: ^5 e; V* G; D/ [& U9 L3 IShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ Q4 d9 {/ ]) F8 f! g: e
) S2 Z. g  F' @  ySORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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