出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 ?6 K6 F3 q5 q1 `( _
8 l# a3 y7 L! b$ r7 v3 V2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
% W7 u! u3 @2 B/ M# C
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  y) G- M) ^6 I* d8 |两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ C8 V3 j! T' B1 I7 ]7 S3 V( {" Sa(a-b)=(a+b)(a-b)
; X7 L7 {; n! u- Ua=a+b
) X$ R4 l& h8 K- fa=2a
) n( H/ b6 L; q! ]1=2
7 B0 u8 ~2 Y! `; P
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
/ e& P$ x9 R, J2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 m5 T2 t5 ^' }; C1 t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, w& \4 G$ l8 z4 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. Y+ K' j( x' \, E+ O8 C看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( y& Q! b% U" ~/ I

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
5 M2 z* M: z* b: NLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 k' M( y# x' I0 R+ V         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- V  s6 C! W* H% v# u# D* C' \7 o
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* e; }' P: s5 c2 U9 b8 ]                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 ]* |# P- [% v; S; w/ q8 R. \since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: h: L( b0 p" A                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 ~5 h7 K2 h3 e& o2 m& _6 a                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 g9 A1 R7 Z# W3 J                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! f/ b5 z% _2 u6 r" _So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ {8 }2 d: H$ P  j0 K2 ^1 q) _5 X
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 G  ?  E$ U  @
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! c  k& O( o! \Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 y1 O( h: x% ]3 v6 w( z- }6 i( ?! s
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.