出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ F) r$ q0 V! B/ T) b
2 V0 Z0 \& e; R; N" d' v2 F2。下边证明有没有毛病？
' U+ T* @& ?* J  k
设  a=b
- x8 W6 ]0 T3 x
7 h/ i3 Y0 I% U则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# ]# k) a* x: ?2 k4 K两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) G1 U! A0 u3 ~' U/ F0 |
9 m) ~% O& ?. [; ]a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
) X9 U9 @; F" G( T5 H, |& F6 o
8 W# ^4 `* b* X& K0 U) c' H' }$ z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

# e* L) C/ ]" ~: o1 h1）不能。比如1
0 A+ \* ]- a/ ]1 [9 `2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, }# l) U/ N3 O. p, ~/ _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ }* |" R0 m& r1 c3 e. @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* @- h* s% ?5 T6 s4 s# ?看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! s# b6 a0 S9 S- ?5 ]3 p& U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

. @$ p3 [8 b; V; J0 `. |: q5 Y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

* h8 I$ ^8 U: h# [Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
% B* j* v5 F4 w1 e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# t3 n6 [0 j5 y3 T: ^
7 _/ g& V# G( N& RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, T7 e6 y1 ^% @& \  G/ p                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ g$ a4 N6 c  D# y# y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" a7 g' H0 L  C' b6 {4 Y9 K2 c2 E                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- m) G! I  ]2 b3 v" S6 j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. w% y! B- O1 U  hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% b4 A  x/ \8 iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: ^, m; n% j$ t: c
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' ~1 n! S2 ?. L
- m( \0 K' S/ D7 E' x% T$ E& x第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" T+ _$ ~% B/ k# b: U) l- HShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! v$ u* k4 j# t* U. A" ~
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.