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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
) `; |8 K7 y) l; F9 R
7 v. ^, B0 y  n' s; S2。下边证明有没有毛病?
( A/ s% K' @0 q* x; O
' M$ n6 _' S- Y' d0 a6 X8 J+ v设  a=b
6 U5 b- x% p% Q9 z0 D) J% U- |9 b" c0 O& l
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
1 O6 @0 E  l2 x7 S8 p+ t! F两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):8 e" w8 E/ c7 I4 O& K# L! [' @# H8 ^

, y  C: @; x; o( ka(a-b)=(a+b)(a-b)
9 c8 {1 v& l3 t7 @  _( [a=a+b
6 l$ H; I& o( M% U: S3 va=2a) O) l! _9 @$ n( K) R  u
1=2% v; ]+ i  k  `3 @' z& F
1 Q% `$ q- ~' a' R
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
5 N7 @( B. {0 X6 b9 J% h+ I! z( Y4 a" K& r
1)不能。比如1  [- V. F+ I4 X' s+ V) f
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。) y/ s/ M' ]. P& b6 W
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' C% x/ f2 |; {+ C! p  V: z/ f; Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
$ ]- o, N- S( t! w6 F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
0 ^0 S5 W* f, X3 f! R+ t7 ^! U5 m' }
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% w, g' M% d. F- O* O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
5 I. z, B% U# v- d2 G& O
/ v6 A. T0 J. v' N6 S
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 w0 q' @: u# F2 I% {
3 r4 r" s' }  KProof:
: K9 g9 w" J7 VLet n >1 be an integer
) Y; d8 D( z3 W, s- QBasis:   (n=2)
" K5 u4 r5 U, Z+ J/ n4 q* e0 i+ w5 |         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3* R, H- ^' F# g2 h3 M2 R

% ?5 j, [) m: }: h; N6 t* {Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. m9 b3 E% @2 U6 V                                     K^3 – K can by divided by 3.
& V$ c4 g) |. p. Q
( {, \4 J" X0 z) KNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 32 s3 @5 u- I9 J+ k  {1 x
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 z2 P0 c1 V- d6 @2 `" p( g& eThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
! |1 ^( K' T! Y1 V) Z1 E% z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K5 S& E4 ?6 h% _6 a3 [, r1 g
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)( V: t! V4 V, C0 U$ X
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, F8 o/ ?  j0 s1 E8 pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' U2 J1 u8 V* X' C, sSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( v5 O$ k0 g+ z* A$ M
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& V, b6 _+ ~. W                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 L9 v; y/ s. K# M  \) I0 a; h" k
$ W* N; {% }7 `( K* J% QConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.% _; J( c8 M% S
1 b) q+ |- t. t' g7 z  D" O
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. ~7 a1 g4 v5 |4 g% q0 R# J
: S8 S3 _3 d$ g! |第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' i' u) i; D/ ^( @. WShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" q; U4 T. U+ o1 e2 E
( g2 G0 ^+ C/ t6 e3 [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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