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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?' M5 H$ O3 Y0 E6 @4 j

/ e. ]7 q2 N: S* ]& ^4 z2。下边证明有没有毛病?" |. p0 y3 i2 c9 y- B

" Q: {; `" R5 E$ z, Z. o设  a=b
0 w$ \. _, g9 ?% d9 e
' d% D8 H  G' p* G2 x: M则有: a*a-a*b=a*a-b*b, D9 k2 R9 H& o/ s
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
- }1 n; N! L4 J, x3 G- W  W0 }# m/ X( x6 |! e* B6 s
a(a-b)=(a+b)(a-b); y9 P* Q$ Z4 r' F
a=a+b! N% ]# S6 ?5 a% b, a* L
a=2a
  B7 X( Q) z2 }% N3 h. M1=2
6 C/ W/ f) h3 R6 n" L, u$ `0 b2 S
! T: F; P1 {- B* f* F; x证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试& M( H2 a9 p/ b6 T7 q: T7 r  p

8 _6 {( I, v) [, Q7 c1)不能。比如17 d6 T" I# u% y! ^* k
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' O3 L& V! j& c8 _) l3 N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% M" s2 C) T" X# }3 w! z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
0 v6 T& G! Q# ~- L, m! e  r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% E! Y8 F) `+ U: X看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 }& W) g$ o0 y1 B$ w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( \) x* c% u7 H# z
  R3 X3 M. T, x: J5 ]
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n), X2 v: {: f4 P" H4 G# _5 @) e
( c5 X7 u  ^& X. p# k
Proof: 0 E1 Y. q$ Y# y3 F: \3 w( f
Let n >1 be an integer
2 l) T) o* `  d2 K+ F+ T( P7 WBasis:   (n=2)$ I% u  a. f9 z' Q/ r
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3. ?: n$ a5 a1 q1 C

! j. p7 H  r0 s; H5 E% rInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that; L: z7 Q/ f) S; c- j: U6 J: m* ~
                                     K^3 – K can by divided by 3.% \5 F9 Z* s: _0 T6 n
) `* d2 ~' R5 g" H
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  p* G* q* C" @; P5 ]1 |" ^- ]since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 i- i% Y- z- q/ zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  e: i/ r1 D- \% k1 {2 @                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 z3 l4 L: ?1 n. x                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ h  W0 D0 E, n& _( G: `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 w* m3 R5 v( y" h
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 |# @+ ^$ ~. Z2 e% cSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)7 W1 ]: ]; Y- w, r2 d* [1 s
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 x4 f. l$ F  {" e5 a; S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. j+ Y. U, D$ Y2 o5 f# ^) C0 U2 F  a. Y9 P* v
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.$ P) @9 r9 q+ @! h
  h0 m+ J" |& a* Q7 k
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; C9 u1 R, p) |9 m
! r% y$ t0 `' Z" T* E' e2 m第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:5 V3 x7 {- i8 q' C- Z& _
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
$ ?- k) n# d3 @1 l

0 B) d0 L% C8 u4 P2 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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