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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
4 ?( H' c: i* M$ u1 \7 H8 ~8 z4 ~/ a# t2 F$ c! i1 l5 W
2。下边证明有没有毛病?
6 M/ n# n9 T! D3 h& `9 X6 C
0 _6 x: |8 R/ t2 ^5 O设  a=b& C/ q2 a, G  N) ]

) m7 f0 U, e& b% }& ^# N则有: a*a-a*b=a*a-b*b
: H- h: k" P2 F0 E两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):1 _6 i  M: s& ]! ?  y5 h3 M+ `: c) N/ `! I
+ L) X8 C  S7 y6 I
a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 d4 r" l$ u/ M) x4 s/ ba=a+b
1 s- r1 V  Z4 P3 O( u: L& aa=2a( f4 c2 K/ l* t' y! X; `# y
1=2
& Y& n6 U  f* j  P- k8 E, _7 G0 |4 t: W7 i2 n
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
: v) k; n, s5 T4 V7 O1 z4 k5 M7 Q
: t- l# j+ A6 @1)不能。比如19 c2 x' S9 H  K9 N% g2 d3 R3 u
2)a,b不能是0
理袁律师事务所
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 w& m7 V0 p6 a! @& _* u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' R& J" P! C$ a  e, V5 {- F9 |2 z+ C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; V2 h# L7 Z9 M' W8 F  D
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
, ~1 S. w4 A5 l7 O0 M( O
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:* v! [/ q4 T5 d; R
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 g$ h% Q2 \; s  S& o

# M$ K' i) D6 l; }' w为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n); E  K$ e3 {7 M1 V; D% Z& P) i

7 ~7 T* E' b7 ^3 q" fProof:
" g) ]0 c2 J4 D, ]$ W9 mLet n >1 be an integer / \3 \- f4 t  k; a. _' K0 M" |
Basis:   (n=2)" ^  b7 _% y' M2 e
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3/ ~1 r, B# ^0 E# c/ u$ R+ \; k4 V

2 p& `5 O) y7 s  g  X; x/ s: J1 [Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ k6 ?/ J1 ~1 J+ W/ D" J                                     K^3 – K can by divided by 3.' _( w9 G5 m- s/ i

( Q  R  e7 I2 A3 v9 A6 {6 W9 }Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' w# P6 Z2 G$ g+ \2 r' N: W1 l/ J# ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  m+ |, H8 S6 w1 ?3 l& q0 oThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 c7 G, Q# q: V                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- E" s: W/ e5 \0 x                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)6 o8 `8 m3 h1 I" Y
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 y$ F& s& `# S$ ]9 wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; V  B/ W* c# \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)3 r3 N: Y4 J/ c. g! Q
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)1 q7 j- e/ q( `5 L8 I: X- k
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* r/ Q8 P  p6 U' a
3 G7 c' O2 p9 |4 X& z5 m3 l9 cConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.0 x) l/ k! C- S1 L5 z0 B9 u

8 O8 w* U0 ]& t6 O# o  `- w& N[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* G/ W' f2 r* X+ p
0 R0 n0 {- ?# h$ e& {. X第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:4 W; w5 c- e( h" Z  K% Z) J$ V
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 _9 i+ i3 R) x) Q. r9 Q+ M! Q8 D7 t! [& l! C! G; N) E. D
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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