出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
6 {3 e$ T  a9 {+ ^. k
" r) m, B, G; W5 s" m# g2。下边证明有没有毛病？
) O" N. z' k. [0 {4 P
设  a=b
3 s5 D/ Z( J7 m4 x- D% y
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( A1 H) k" H$ }& y& `
a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 t# P! ?  [) F( q, n- w5 Ca=a+b
a=2a
1=2
, y9 R+ B) g* P) d. _
6 \/ }$ l9 W7 F' ?, C* L3 _证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

5 X- ?' H0 G2 \4 K0 i1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! h# h  W) o  J# ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 h% H. w9 I& ?, H) B( p1 ?- v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 A: w) F2 U( ^

$ n( R/ t$ Y: g0 h* z! ?, P! R为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 `) Z0 v$ z$ j1 ?- C
Proof:
: x* e& O+ T* o( k2 F8 K1 wLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
$ ^) {3 i) u& ~+ u* w! s( i         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

. {/ }4 J$ V+ T3 C8 R; oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 S1 u$ D# \/ ~9 ?since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# S2 c' o9 f+ g+ ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; ~/ j6 e# k7 T- y* l' ]# s9 s% C                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' M! G* a. H+ B) F. W6 E3 yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# O& h" m: b5 T9 P                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- g/ }% w. R0 b                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

. k9 S+ ], N0 {- Y- OConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 K) r* S/ E# o4 Y
3 `7 `' {- A5 [8 ]3 C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" s; O( v8 M- f6 \: c7 ]7 ?
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.