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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
- l! B  Q5 F3 N+ Q. `( F; I2 d& k& q7 L3 y& \% {3 G- O8 r0 W2 b/ c
2。下边证明有没有毛病?
' i; I# n' d; V
1 g  }/ N0 I: I6 ?$ r设  a=b( D+ e, i' `: a8 T- Z, G
! s( Z2 l( ^" d- G8 @! m) w1 c9 T
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
; B* M2 }- e; l' {2 Y; V两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
) i) D- H0 v  x7 }2 O, \$ F
( ?$ a# `( s& p( c$ Da(a-b)=(a+b)(a-b)
9 y1 z* ?, g/ ^5 \8 I# ea=a+b$ h; A$ L" G% ~) d; d" i
a=2a
7 V* L+ y3 Q2 |+ [' c5 S1=2% T( f" f' a7 ^/ {( u& f. a
3 X! w) w' U5 U; Q
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试4 }) D% h6 l) N$ p) O
7 O) q' d$ `& W
1)不能。比如12 ~9 v. @9 S' }$ N( k( f
2)a,b不能是0
理袁律师事务所
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 F" U- O7 [# B0 V- u- o& p
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" N0 s1 B1 E. `- g! d0 O' X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. Y2 O0 c" C. u: o( H8 O
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# _; m/ p5 x" Y( `看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 T4 [# ?9 p# E$ h/ f+ l% [& w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
/ O: q: A( _+ U# d5 P$ d+ F9 m" W
3 x1 ]( J$ o  n. n
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n); x/ I0 e: m* R. |* z9 l

# r! d2 h) ~& V* mProof:
. s1 R/ r  u3 ZLet n >1 be an integer
" J5 V) u7 K9 ]1 f$ j( Z- }  GBasis:   (n=2)& v$ {9 {: G6 p
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3. Q, G9 O# m$ R; b, F0 q# W0 x0 u
8 I$ C- v, @0 o' p/ ?
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" _2 ~2 ~, ~* e0 _. H                                     K^3 – K can by divided by 3.
& r6 _2 B2 [3 w+ ?5 C& g: Z% Z2 x3 K( y, C
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3- b3 l9 P& {/ Y( |0 V
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ B8 a* @9 p5 L+ t9 [& R$ ^Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* g8 y2 Z$ r* Y! A% ~& e- n4 X! R                                     = K^3 + 3K^2 + 2K4 X" G/ M9 c9 F2 L8 ?& {
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)  u3 Z1 |: ~) o# v
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ @+ i- t3 R; \1 r4 Nby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0$ z, u! v! T& I3 D2 P
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K); B& F' w: w6 h9 X+ c, k
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)$ ]- Y3 o( a4 R' q4 l0 b
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& C+ e* E  F# k7 }* P! x: T7 ?( m! l1 a
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.8 w' U  L7 ?$ L4 V; F& _
( @! i5 m0 M% }; i0 k
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。0 c0 g, V) F+ A

1 W( l% E# `. V, w7 Q6 l% L% [第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
7 P' S& H; Z& Y0 SShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' z7 f8 n+ W' F
; _7 W+ S* Y( ?3 e  |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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