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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
0 Y& i+ b' t9 F5 }) {/ o
& m# S- Y+ ~  Z9 ?2 d* C2。下边证明有没有毛病?
5 f  M% T8 I& F0 A
. U1 _4 i. [& |设  a=b2 E8 [  M0 p+ q' [2 `5 c

' q3 X7 r) B" W- F0 h4 \- Z: L3 M则有: a*a-a*b=a*a-b*b$ |, i7 q& [0 a4 u  |
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
  T3 r0 N5 U- C+ |: l2 |6 p. d9 U3 ^. u7 D& ?
a(a-b)=(a+b)(a-b)7 W( C) {) S. [5 J
a=a+b) Y. I) T$ M+ P6 I1 m' V
a=2a* _5 e0 ^4 Z0 x2 m1 }  ], p
1=2
" T4 N" i: `& v. Q5 D# S$ ]9 ~  B" s. }9 h
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
2 k) ~6 G* a0 n" B: b* L2 U4 c2 v/ K* J, o- b/ ^
1)不能。比如12 e; s. ]+ I+ Q2 Q3 v2 [
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ |# V' B9 T  {% i, w9 v) |7 a/ H
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& t9 O, M% ^/ a0 I. m# l- U% H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 ^6 }2 I3 }1 U, e8 p- @9 x+ W( ^' L2 J
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: k' ^- y# g0 z" d/ g4 m7 g  {7 F2 K看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% I% Q% N9 s3 _6 @% R( e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% o' d$ X4 W7 i$ H2 w9 E. x
" g  k+ u& y+ W8 d
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 A( K2 s* G9 w. c9 s* T
! Z& z- l1 L# ?/ nProof: , u% o: \( ?6 J2 u
Let n >1 be an integer
& o$ t1 S" d! IBasis:   (n=2)
5 l1 `0 Y# l% h% R         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3! F3 }# D6 d' X0 l" X

- t. H6 V, E- k" M2 X. `7 e. F. ]( MInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that# Q: U8 k* i; E) t) f# ~/ H
                                     K^3 – K can by divided by 3.' a7 H" K# t0 l! r
& l8 K3 j" X, ~/ X
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 32 K. M& v; C; n, p6 o! k3 c! z4 S
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem" S/ f# x) `! y+ B0 y
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 {) `  |5 u, `3 W7 k. F                                     = K^3 + 3K^2 + 2K6 |* \* B! q3 T! s% O( n1 J
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 u5 V' V9 r* A: t" w2 T                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% \1 i! R6 G) ^- iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( t: b- s) C+ }; V1 j; mSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ U- D; K1 [# H                                = 3X + 3 ( K^2 + K)+ U& Z( \. i0 q. N. N1 r; j" ]
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 31 |* n2 d% U/ ~  x% }' C' g
1 i- A/ E) t$ V8 H, w
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, i. s! g; B4 X4 e- J  x. l2 j* z: G# x9 R9 _* p  g
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 {, ~, `3 q. V4 b' M, F
& Y$ S) k% I( l% r2 ?( {9 j第二题应该很简单
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:, a; N4 ^  y3 Z5 M+ ?, e# K
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
" k/ E4 Q: `! i  Y7 T" @8 Z

. T0 Y3 i3 P: `" D! xSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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