出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
/ y0 w4 y( Q. A  C
) g  {  {: m% {/ T+ M4 V设  a=b
2 I& V  z6 A! d
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
) w8 ~2 {% a1 T2 x: \0 ^6 ], H  {5 G6 G! za=a+b
a=2a
1=2

8 ^8 \5 C' A* u, ^1 D% K证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 N+ `/ V3 h* H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 V$ q: d, U: Z/ |' k7 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& j- [! q- E, \' K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

; k3 Z+ g* b  t" K4 x+ {为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

* H3 D9 x, T$ V1 ]( ~9 l, ]+ y6 sProof:
' B% N9 J, J1 J3 w2 U  cLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
- t. E/ q8 W( \7 }         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# Z9 H" E1 U9 f! j( o  w- Y  v, U
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# ~- W( q8 ~) |7 [) X+ K; a/ tThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 m# ?! j1 H3 b5 J  E" ~+ S7 D) rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. K1 l. t$ F, C; J9 h" @So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ o; ?& `, V9 T% N* v0 ^( D5 s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 B, Y- f$ Y- W! T                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  c6 H9 k0 T. d! ]  K1 ^
) |: y9 W- ]; w6 ^" Q- zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 k0 \( G% |, F) H8 @
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 d  u6 @; `; N2 c& o/ P( {# v, c. O第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.