出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 w9 `' e" ]( i
2。下边证明有没有毛病？
) P$ X1 X% x1 \2 i1 G9 i( D2 c" H
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

2 E1 a3 |3 [) b- B6 ua(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
! j# \) ]' m8 A( i& xa=2a
1=2
9 v) Q( U) I. r* o' y' f7 D9 E8 x
3 J8 c! o( e, d" V2 @6 w5 G证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ m0 Y6 N3 ?) v) D3 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 g" B$ [  X% v) H) W* q4 B% O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: B: {, F2 f+ `, [9 d/ r, @看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; d* K% h$ ~) X5 k; ]! U

  L; i$ G; g: U& t$ M0 h" Q9 k% V% J为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% |* A) E  w, j; v
8 L! n# O) U( i2 V! O9 ?1 O; D2 t" yProof:
4 ], U" ]6 n$ ?0 H# y* x1 v; LLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
1 e# Z2 j1 A' j: _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  _4 k* f3 {4 Q8 A! g
" J9 d0 I6 }: n9 T7 H# d% @, \# I8 @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 w7 V7 T% @: H+ x$ ?/ ^, u; D                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 I  W, J$ U" V2 X: I& H8 A; RNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- f+ C" G0 {# |4 ~since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# P+ ^* k+ h6 ~, Z+ `9 hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ }2 m2 U, J0 d) B+ v; S) [( _* o1 ]                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( S7 l/ V7 f! b6 q* jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 Z  A& v! T. k/ T8 g1 w) I                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% y) c2 u. h4 c) h' T                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& ?! g! @+ U5 T5 P1 U
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 F: S' A5 Z6 c: U" k0 x) h& h
' \' k/ u, _+ u, G1 {; X2 B5 W6 D4 Z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; e* N3 m% x4 W6 ~/ v
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.