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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
; {. {+ ?4 j- D# m1 B# a+ X/ C( Y! U" y" f2 a
2。下边证明有没有毛病?( \; k# s( G$ G9 x& j9 R' L# U
; L. ~* U$ e/ }! A$ p# A  g
设  a=b0 s# }: b- o! w9 Y

+ B3 i, V! O/ @4 y9 I则有: a*a-a*b=a*a-b*b
' j/ V! j7 b4 W0 n* h  W( c# A& O/ P* h两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
: d  u. X, _, {: ~  S/ s4 [$ m1 T" O
a(a-b)=(a+b)(a-b)5 W- Q5 L" {& k% g, C, j# E
a=a+b! m0 E8 U3 r( L$ q) o
a=2a
; b% y$ O, C: [; ^9 N3 v4 C1=2" B: m5 [0 f1 V8 y! A# S1 P
3 q1 w: Z" b7 _- ?* u
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试' n7 K* S+ ]9 [

: D$ d" |& m7 I( z$ @% ~9 r  b1)不能。比如12 _5 \8 F; h1 [: Y1 [8 r
2)a,b不能是0
大型搬家
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( \- O( X. T6 B9 |  @# e8 m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! M) m, A0 ?: \$ N" Z' t" \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" W, x9 W9 q0 |3 Z( g: |$ l  D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. L* D5 [/ T2 B1 t/ k看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( H, a* c. z+ I& X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。8 n3 f% m  l0 P. E. W. b
' d$ {1 m6 G8 X
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 p. \; M: G. H3 V, A5 R
) e" f1 `. ?* |5 MProof:
' A* E% P: K4 K0 ~; B9 jLet n >1 be an integer
9 ~% y5 j: K/ }+ ^3 ~0 G3 Q/ IBasis:   (n=2)
8 _: g2 N* V) Q         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3' j( d5 K) [" {# n

# b" x, i1 m+ O1 G9 [Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' r( Z+ ~: b* O3 k+ o                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 x9 L( P9 K0 ^8 q
. N4 c, Y6 D/ g: M" h' E! `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 30 P+ `( Q. L& H/ g( u
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( F4 N2 Y1 U2 Z* WThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 v8 Z- ~$ f) W$ Z' R& ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K: f# U1 T( K5 S/ O2 i, }" @1 ^
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 F) C6 x9 |- J! }5 `5 w9 g/ c                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- V4 p, v, v# n( s. j$ d! ?by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0: c/ c' i+ X" e' D
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)- U% A4 |) Y: M- o5 k; b# A
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)9 P, e- x. V( u7 O+ T+ S! U, g1 {: V
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3( W) \$ V4 X2 }$ O/ _1 ^

4 L+ q$ j  e3 PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.7 E$ n# k( l5 P
" I5 W% ]* y$ X9 J
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ f  y' T5 c* s" y6 V4 _
* m5 H1 k% Y: T, L+ w# W3 o第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:# J& H. P: f3 l2 |" P+ q% c4 z4 b  O
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) `: r0 j1 D  @& S& @0 \7 D, K* T; S% N9 F( b
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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