出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. \! z8 J1 S% m% k, l; E' \
2。下边证明有没有毛病？
7 B" C" s- D0 r4 L
3 }6 L! l+ ^/ H' G) j设  a=b

0 P3 Y% K0 d! R% |9 j0 k) e则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% D6 ?& Y% y& ^" @1 |3 o两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
# t5 d' K/ O, _4 na=a+b
9 K* z) W- }  @: m1 t; C1 ea=2a
- H' x3 f, e. R9 [1=2

2 g4 `+ }- e" M$ _3 o; |证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

5 L: F" V" {; _6 f2 P2 p! G/ L8 P  M1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

) m! M: S7 U! ~+ F为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
8 j8 O5 Z/ _5 k3 r% k7 ?Let n >1 be an integer
" E! c9 m0 k8 B0 u- Q5 \Basis:   (n=2)
6 ^) K! F6 P# T: p2 Y% ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ f6 z( H: B" u, |8 i& P
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' R# I6 Y7 g2 z                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. l5 T' A8 M$ c5 p' L; ~since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 i% v/ Y1 A/ R+ ~$ uThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" q* ^# Y( F/ |3 H  H4 ~                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! Y2 q; |, q/ |' J1 w                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ R0 Z  q; d6 aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 o  \- l" J+ A5 X5 |3 m, a, M                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) Y# ]# l$ \# e! F. j9 L
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ A9 T+ ~" ?% y: k1 G$ S, W* d. R
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

" m! q9 f" h! i4 W+ ]- m第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# h. V+ q1 r% O* W, Q; jShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.