出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# `8 |# l" _; Y  w4 k
2。下边证明有没有毛病？
, x/ n: `# Q4 ~* p1 p2 ]
1 O1 y- D" K  n% H设  a=b
) b% D; E: ]9 t5 v
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. z. e! u, \( o. C0 X1 U3 w* B两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
4 X* P9 b- y# ?% `0 b8 m$ e/ T( b
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
( ]' |, e0 i/ z/ u! G  A- U3 D
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# n* k' t- }/ x+ o/ M: _
. }! _2 G) r6 ^9 [1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 o* Q$ O! @) C6 e$ ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 Q  o4 Y% l1 V- J: M( A% ^$ t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 H+ |" Q# a% c9 {, t% u" P  X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  a; W# s; q' D, h为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ O0 D) ]8 K7 [; A- {5 `, ?
  u/ @/ }% a% W9 @- s+ k0 h8 _Proof:
. C2 |/ i, q" s" a- OLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
! G( t# Z" Q# ]  Q1 U* b- R* e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 n, D, l! h! i  K
: [2 `! H: ?7 t) T& SInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- S5 g: D. A8 \/ B3 o* A! B# K$ \6 y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 T. J0 c7 H- ~' o- F7 t6 sSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ q9 u) `1 n$ P. |. ^1 N! Q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 H! q+ B5 [" F# ?  Z% G                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

8 F) ]$ ~7 M2 x4 G) x- e第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! L1 E5 ?$ S) _8 Q5 R  t6 _! I& E
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.