出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

8 S" R7 a0 m" e8 w- ^! l9 K7 L! ]6 D2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
3 T5 ~! V2 X" M3 [% O
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

& U6 e+ Z# G% e  |' S" wa(a-b)=(a+b)(a-b)
' J% p& w' |% U$ g) d9 e" fa=a+b
a=2a
/ ~* B. V  v9 G$ A1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

! F% X, X9 M3 g: g: y7 p6 t1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 O" E& d. j% C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* @  X: A, W$ Q+ z0 Q8 @  }$ N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 Q: w7 Y# D7 p9 o/ k; q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* d* t+ O* B7 L看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, B6 @( ^9 k1 k8 I4 l

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
" ^( Y* ^! H9 E3 x) z3 W
$ i# ^1 T9 h! ^4 u( d; oProof:
Let n >1 be an integer
& d3 N$ d3 ~  x6 }4 L$ |% hBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& q% }6 P. c9 s                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 F; y, f0 H6 ~, U# S  s. Z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
! Z- x* s6 s0 q- r9 a; P2 T8 u                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! h( o4 ?' m/ K' C2 K* e- U5 J4 V' N                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- i7 X0 ]  D; x1 c* fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 }8 b# t; n; d* z2 D( J                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

( @1 @% b2 f" j$ B- J[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

* S& V& h; Y# s2 V) ~0 B第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ b! i$ m- I% U) J4 f  |( a$ [Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 [) R7 C. [" \
% w! I  _  H4 D$ h, U3 GSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.