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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?& L8 s. N; k. F5 I* O/ a/ B
$ E1 T% S5 X  S
2。下边证明有没有毛病?. x* C2 J! R9 F# [* g

5 l3 c& Q: i7 n% N: Q" v设  a=b, j* H' g2 E0 l3 Y. X
8 H% |2 |5 r, s, [. o
则有: a*a-a*b=a*a-b*b5 G. e, Y& ]9 t
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
& j  L& s3 G" l$ O0 z+ [; v9 I* m5 E! d. F6 q( ~1 c! y% O
a(a-b)=(a+b)(a-b)9 ?0 ]- E$ r$ s. K
a=a+b! M7 d$ i1 F0 {/ D4 V7 `
a=2a
9 o/ C2 |: ~4 V# I9 \0 `/ {, R* ?1=2- o. A: o, z& ^- c7 G) @
2 K3 M. y% L) r, a8 n' t$ ?  u
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
! ?1 \/ y0 A* G- w
- Q# _% \6 n: a1 r% V7 q1)不能。比如12 e! L5 C1 R. R$ ]: w
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 e  P, h: j+ Z( H
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ N9 [1 n- i8 S
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
9 \: F# I0 d1 b& A# w: P( `" ^5 c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. p' D  C' Z# @5 E5 D+ A看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:# [/ H/ i4 G  ~4 }
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; @  n# p7 q; |9 I5 W' G2 [) z

* z! }) s) |5 M. s, b* F; A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)/ }" @" p" h( |' Y5 k9 R
6 K/ d" O' Q! \5 D0 W: _
Proof: 6 p9 Q% e4 l; Q, f* v  _
Let n >1 be an integer ( d1 T- p! t( f
Basis:   (n=2)
$ V: E; x* Y7 f9 }         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3* Y; e# @5 ~9 b# C0 J5 y! `

4 B- W( K, F" X" s7 d; IInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that) ?7 {; |  s0 [$ W1 n9 g. I7 m; E! W
                                     K^3 – K can by divided by 3.8 l6 ]- t6 t1 r* J. O' o

5 J) R+ w# i) h# b, A# V7 N* W; INow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3  |0 g5 V5 H  [5 S$ I$ C: c
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem8 k6 F9 e: a. n6 m9 x
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; M% v5 J7 }; n) Q2 L! s# j                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% _; c$ K  P. _* L                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# F$ ^6 n# ^. U                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K). f' }/ k2 k* L  y
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0' o5 E. C) f# f3 d$ w1 o' p
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)* H" Z. {  W0 [
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)/ o+ p' s& b/ H& u. P4 H) f
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3( v* O6 H/ x. V
% E7 T. j" m, P6 e  N1 ^* |+ W1 m
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1., T; q  ?& N- ^

7 L4 `" f2 d0 U[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。3 ?  `+ f4 \. B1 E

! i' K( O/ b. L4 c1 z$ O第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ l( R9 |  |) ~: l+ P7 p# sShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
' k+ ~0 ]& ]  j- t7 T+ x0 i
5 G7 Y% T, n* i) {/ z% F2 [  V8 g
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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