出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ ^: i. B' Y: E+ Z
4 O! f! d% u9 v% I5 `' B  P$ _2。下边证明有没有毛病？
0 m  ^3 s% @# o* k  i6 F0 Q
* [5 b$ T4 W2 f' j# U设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; y" U1 P' J  o$ D7 G
2 `1 ~9 ?9 M1 _0 aa(a-b)=(a+b)(a-b)
8 ?  P: _4 x" K  A& Ka=a+b
6 E& f" L4 J, d' I4 ea=2a
1=2

+ M. i9 S: w8 ^# k3 H* I* M# k证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' f$ \- S* M6 m- o' w; c( `7 u
4 W, p; F4 t6 X! Y- q: s: p! b& g1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 Z3 `9 h% t$ G" ]$ S! }$ B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ e$ t% |4 R% L: Q/ e5 I: A- u. j看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

9 l( @( r) f9 h6 A* H& M) k/ J为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* G' O! u2 t( y8 q4 G' _
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

. H; M; J# I+ C% {6 U' uInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

, z0 w6 ?/ ~* m5 S! \Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, ]/ \8 N" a, Q. x- E% O4 g, z8 |                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' C' e2 l/ f* `; H& d                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 D) t) e  R* r3 q% P4 @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& W9 [. U2 [8 g! ]3 a: c
+ U& t3 A+ k$ `; H$ jConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# t6 X- g2 t" r5 U3 [/ P
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.