出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 h# C6 J0 i8 z7 e. o7 K/ K- O1 K
2。下边证明有没有毛病？

6 M* o4 O& Y* ^/ E设  a=b

) O) U5 B6 R4 C: w) N则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* |/ h, k; |5 s4 p% f( P两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( f7 c$ {9 l2 C8 ]
9 v: p) W2 R: [, @, L6 Ka(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
- ^$ h3 Q" ?$ Y7 e' c2 S- _0 x# f
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 n: A$ \6 {+ w) ]. s/ S
1）不能。比如1
! }. z+ a% ^" k9 w/ u% C0 [& [2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! V, K, I: w  t; Y

# ?3 P' v, [% j% g* V0 h2 g为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
1 l0 y7 K- K2 B9 a8 y8 O, ]5 JLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
  }; F# a3 n' _! ?0 p         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

& B! y  S+ s6 E% `- }& {% }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* f2 t2 }2 K; ^. |4 ?% ^                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- s+ }/ b9 V* F0 ~1 _' _5 VThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 |! D- F; K& [) ~                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 n; ~) R9 t0 R( G3 R- l4 D; V& V; Pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! m9 E8 N* H6 N/ X+ c5 p( P4 u. YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ y- g1 z7 ?  ^$ v" q, N
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- D: l0 q: @8 ^. l
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 `  ]1 {- P6 _1 _- jShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.