出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

! Q$ Y% c# o$ M7 Y2。下边证明有没有毛病？

5 k9 Z2 V. M1 Y+ e1 ~设  a=b

; {( z0 Z" i) `7 l% T则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& P! I5 t9 N; j9 }, {# C; o% r两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

; x, \3 A& D& y" Z8 H$ c/ D7 `3 @  ya(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
5 n6 [) x8 _$ T1=2
  L" Z, S, |9 \9 I$ b
) c* p3 n$ ^4 Y# h: \1 _8 ?证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
; t1 n* q, b) A! f: z1 A( V2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  Q" W( B' O1 T+ p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 `& @. G$ a" Z1 _7 f$ M看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
" ]2 v! V, W2 a* \$ Q* H3 v
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
7 i: t7 S, \8 `: T* K! G; d         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- j0 E- \1 n- n$ \) C
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, |& A6 v$ x, A/ a                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ n! a. k, _2 i, r2 {: b, k+ z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 I% [# N& v% c8 S, ~' Dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 q' X& r! s: k6 ~. i2 r; k                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: `+ `: n- M6 G! |8 x4 e                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 c6 r6 }) y8 |+ s  R                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

9 {% O, p. z+ K2 |* |2 Q3 m; hConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( T  R4 E6 T" {3 a6 G
3 U) M9 p% k2 ?( e# I. r) W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

- p. \; y2 D, z; q4 {3 r3 @4 d第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ q! \/ y+ r6 G$ @  `( D' lShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. L: O9 b$ L, o% ]2 ^# F
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.