出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

$ L/ {2 ~$ c1 m/ q, g* e. S/ h2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
$ t( c1 J7 i  R7 x  c! v1 K& Z8 l
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 S+ a9 W8 ], o- i" v两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

& a" l4 E6 c9 t/ J; g' s  E% U' ^4 ka(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
) u# r, b: r6 ]0 n) _, i# wa=2a
, {5 e7 R5 g+ O, ~9 O& ~1=2

, A! y& v7 p3 ]# B; A/ X* ?- o证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 y5 m# M7 i# n  S& q7 E
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ c( C9 Q2 T+ ]9 y  K* ]7 E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 G, ~+ m* f7 V1 P. p看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 Y$ o6 o+ I* _) s+ h, ^" N# D

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: `' r/ [& u# A3 P" l
/ H& o- p& w+ D3 `+ pProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 |4 n  L/ C0 A$ W1 X8 P                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% |/ r! H  ]% u$ L. RThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 M* n5 V' q# I8 `6 K' w0 \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) [8 s0 |- G- m  x- g                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 ~( w% K( \" `, O3 X6 \% U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 w+ o& ~4 ]/ b                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: x! h* _1 c4 D4 c3 J6 j
4 A+ \* v0 k# UConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

6 N# A9 }5 l$ Y; Z8 O+ }[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 a1 Y: M) l" Y2 b
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- c" F3 O  c% i
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.