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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?7 h9 S( l1 B8 v/ k) V

, g5 ]: [$ h* b6 \" H! I5 W2。下边证明有没有毛病?
% E. v& s7 U# B$ }9 l
2 o6 \/ l2 B" a+ g设  a=b
) ]: a5 k+ _  t! ^+ v% Y
( V& o; t. y5 R则有: a*a-a*b=a*a-b*b" P$ C, Z, x( u" x9 H3 K
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):7 l5 v* k6 Q* c4 n1 D2 b
- U, a; ~- {& M( y
a(a-b)=(a+b)(a-b)$ I0 r; X+ u- Y/ v6 I6 F( G
a=a+b- f: N4 M& b( _
a=2a
, P. X4 n; @% p1=2! M2 E. j- I3 h9 W3 V9 Q6 b
1 R: Z' n6 g% ]
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试  v4 W5 w/ v% J/ y' ~9 q

7 y" Q) Q6 i7 W" f- \, N- S+ P- h  G1)不能。比如1
) T# T! i4 `8 Y+ ^5 b% k) P# L2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
0 r, q: F1 q' G6 a5 |& ^3 L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 l) ?  h8 P# ~# [, k9 p  X' z8 h' Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  v% ]/ |, j9 S. t0 ]
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 V) t! z! _! [+ |* Q, z& x看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:3 H# I* L# r; t3 \6 Q3 A0 p
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 E- @" n! O0 l  S) V/ O
/ i. [6 r5 n  @6 i6 ]
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)4 {1 B: `* T" b' l2 Z" t% D

& ~6 c5 D  p* [& S# a- UProof:
3 G: U) [6 x& L# bLet n >1 be an integer
; ?) W! o6 T1 C6 u0 tBasis:   (n=2)
: D, b7 g  B$ ?. F4 \. o         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 s; x1 g! x. s  e( U0 J( y$ R( ^) W$ A0 I* `5 j: @
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 V# g7 J3 t% D+ g; L3 N                                     K^3 – K can by divided by 3.& n. M2 D+ A3 U6 E# z! y
4 L+ K/ A- `$ N7 s) d: z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 H# J5 P: }6 ?/ c4 L9 Asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  M% ?, {; Y+ _) q" [+ lThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)5 p' i2 Q6 {3 V5 p
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K' O! t1 S# i5 F- a0 Y  Q& h2 v  g
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ z" }$ K0 d9 c$ a) S0 a. \                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ H% i9 y8 z3 v+ v- i" H1 Kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0. s% ?7 |7 z1 R2 f& ^" P
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)* Z2 G( e; u- R& }/ f
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)( Z. Z/ @2 b. y/ }4 U
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 @9 ?0 v7 }* W) s& r4 W* k7 \' {( u4 q- g9 E% z5 S/ a; d
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.' p2 N/ R9 o, W
: E; P8 f9 S; X, H
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。' R# y. B, U$ p  Y! p& M
: T2 i& u! N1 q
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:( [) |; {: k0 R3 @
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 r, y& V3 ^6 _. \. a/ ?9 K2 I6 g( ?% \. w) L  ^8 n
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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