出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
- p6 O. v" a6 N3 `+ j
: G1 C8 a- f& I, G, j3 f$ S设  a=b

" W) E* @3 a( \( o+ K; d. [/ w则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: q8 ]* H, ^; ^  N* B. l两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
2 V% Y, K! x3 w/ H6 n; y, j1=2
1 c$ k( s; ]2 {) Q9 c4 q; s1 t( o, w
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 s7 B" {; J2 M+ z5 S
6 _/ A8 @: L: y1 J: p' O1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 d( i* d" Q) e& c看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* ~9 {* p5 Y+ ?$ G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ L4 j6 _6 e" u  z

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

' v+ S3 L& r$ F9 V2 YProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" E8 ~8 Y" w" Q1 R
3 V' E$ L# f% G& L& iInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  {# G) r7 {( A, Z# n* i
3 _0 _) E$ X/ H, q* w$ VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" d7 \% X- d( ?$ _0 Tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: M2 T' q. K8 ^5 m                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& d+ q4 `  G2 {* n! K                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) C* A0 M" ^  T7 A4 M# n: J6 Kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% S9 \6 w* L/ a- qSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( N+ |( @/ T8 q, N+ ]$ `$ r                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, G' v- W1 S2 Y/ j                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 I1 d9 F1 Q! @0 K  i
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ N' l: [! B7 y# B* O* _
" C( D1 g; N' A. q- G1 N; c# a[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 n, D$ ~2 j0 Q, vShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' N" [# S& {) o3 M$ O' }
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.