出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

. r8 f1 R! g' T! F2。下边证明有没有毛病？
# @1 @, E- M  X/ \1 i7 P& ~
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 t4 O* J! c. L" T2 l
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ _/ E$ R, i) x6 [! E, R1 d( v, Pa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: o8 ~. {% `& `; v* i6 x) A1 {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 B/ a' }1 Q6 Q8 ?, M9 e5 A) P: S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

* l; }. U- Q) u2 d! v0 Q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

3 X8 `& B2 K" _9 }- j& L2 ^Proof:
5 N! P5 V5 ^6 QLet n >1 be an integer
# E5 ]) t/ G; P+ tBasis:   (n=2)
2 O3 j8 o8 K! i         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, E6 o0 Z1 Y  W0 D% m% g" u
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( ?4 ^3 g- I3 L% F4 x& n* ~) ~1 P                                     K^3 – K can by divided by 3.

% b1 }# d6 u# n" n# S4 mNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 B6 H1 w$ m* y5 HThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 |! v" G( q7 s- w; U  S' Z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' Q5 }' T- \6 {                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% k7 D" T0 k' `by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 h0 V! r/ n1 G) v  A; rSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' P: ?7 v7 W/ N; l# ]; w6 U- p% t                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 D2 b( o1 O+ Z8 U                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

6 p! C1 p; d" p2 \- i) L5 NConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' y3 L; a& J% V1 E; W
. O5 ~$ k, U6 v9 s6 X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) g; _+ G% v. k/ a7 m5 c; i
/ P, q# w! l5 P: U+ Q5 I, B& x, U第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' }- P1 e2 m& g# T# \
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.