出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 w! j. O! O8 h2 G( c
2。下边证明有没有毛病？
: v* U/ R) O- @; A0 M/ M7 F1 T
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

# \* S/ v- d7 A! M! x: M0 ja(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
" Y  n# \1 v; Q3 x7 x7 `a=2a
, h/ w, s7 \3 q( c1=2
' ?# q# W3 w6 C- n1 Y  J2 G3 A6 o
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

; J# j& e- F6 p6 L9 \1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ L7 }; O9 a' J! c5 Q5 g, _( S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 {* p; m& H. `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: _9 B2 u; q- U$ i6 i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 |1 ~* o3 C% W9 S/ t2 a# u看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

3 W7 b7 r: ^; }! l, C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 B  h9 m- ~% A/ S' K& }
# O: e4 K4 [& hProof:
Let n >1 be an integer
, G. V* p- x+ \5 p4 C( L+ SBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, b) m% A% H! O1 t, D1 h5 @1 p7 _                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 E& x- A3 N% ~4 L! n8 k                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ @. a; q5 \: D. F% H7 ^                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 ^5 y8 w' y1 Mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

" x: Q: D5 f8 N! l# v2 g5 PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. @8 D3 Z# Z- z/ e
% U. R) C. Q+ _. r/ D5 O$ S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* G* Z" q: M( X! FShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 T" C+ ~* a3 K) g- fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.