出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

2 }+ c  @2 t5 w7 u$ T2 k3 n设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

" j' o$ C2 k$ V1 @8 B" |  Ra(a-b)=(a+b)(a-b)
2 i% Q6 L2 ^" [a=a+b
a=2a
1=2
3 F% ]7 O. E2 |) o+ u" L8 G. j
: K- R- j( p2 v% K7 Q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  H9 ^, _7 b9 d* D0 M+ J$ X
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) K; r! }9 L6 n4 b" @1 X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, M) w: b, k% s  _4 T4 Y看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! Y; W/ P0 n1 q. ]

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

' Y4 k" e5 M" e2 U- j1 tProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
+ m: ~$ T& _* z8 L5 G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. K& Z, E" J" _' T; tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 j8 B9 @9 h, M" E& K6 K8 a                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ J+ C3 y+ H1 k) ]) b                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

9 Z. R7 \5 X. f+ h# FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 P4 ?2 `9 g; q* _. o! O- A  C
* P0 S+ _+ h6 Q! _$ C) p' x0 s4 n[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

6 J& r6 Y8 d5 r% S) V/ I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- S1 ~- ]* \4 f) e  ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.