出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
, v' J4 ^, d) v0 {' [: f
设  a=b

! e$ p  I" X; P则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* \+ m! o) x* C. G( [2 \
) V, K9 C4 q1 c9 n  C( La(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
7 b! p6 o( T" p' Y2 s5 \% o1 E
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
% |* y9 L# R5 c% O5 V
1）不能。比如1
" z2 T$ m+ Y; j- {* v2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, M9 u2 F( |1 x! K, }( b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* k7 J% |$ M  ~# A1 ^! C

9 m5 d. F) Y2 d1 I3 w$ X为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' |7 C$ E4 P0 W! d2 |: r
7 x0 U- V. s4 M7 ^! ?Proof:
5 E4 l2 |" w0 Z3 R: WLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
6 D! {3 E* M2 k; M         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
" T1 K3 V, G* y
# e( z2 V" k/ dNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 x+ {4 w. K7 q2 Q4 p0 [  I                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
; J( I2 J' ~( ]7 x' _' }                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" D' c6 L# l9 e0 s! f4 l7 yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 {9 \6 I4 c4 |0 H- Y6 YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 r) r5 J! G- D; `# w; P+ m                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: T  j0 `! ^: C; ^
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! L6 x4 \- W5 e- J) G2 ?/ p( B! j
# N) P/ d' [% e9 Y' q8 h第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% h+ W; x" L" r- d
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.