出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" C6 d7 ~0 N) R) X7 X9 W* A
2。下边证明有没有毛病？

. q. m: K2 q# Y# S4 ?设  a=b
% ]$ z  \7 W6 G$ ~, e
1 N# s0 m5 }0 u则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% h+ H7 w+ v+ N两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ }( j( o" k* V8 D
6 }7 ^) a4 k, H  Pa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
8 P7 A( M! G: J; I! r, Wa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ R3 K/ D3 ~& Q3 N
) N8 j+ E/ E) |0 s0 M8 _1 x1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 c; G& N% D2 Z% i% a. R; h* q  S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& D/ d5 t7 J1 B" \" K. {

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

& l) }: @# Y6 w  R7 q/ e6 [2 @Proof:
5 _" u2 q- y: q9 t5 ]$ fLet n >1 be an integer
" \9 L/ X5 ]% Y4 W" s% B  jBasis:   (n=2)
4 o- \7 L& J4 z& n* |1 B- ~! s         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  w* u; B+ P( q# y2 q* X& I                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% ?& h1 M# Q* P; [$ O7 _( X  ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' ^) j7 F' ?8 q( I- pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( x7 y4 W2 W1 u3 u                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 G: }* Z$ G1 i8 a/ s                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 F$ \! H: t0 C0 k8 n* c
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- O+ a1 b& r  |1 b4 Z
$ I0 V/ V7 `8 B( r第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& h+ W# m3 @# uShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.