出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: L* S$ }9 w, {1 s8 d- J
7 p) L& A+ @( ~8 m& R2。下边证明有没有毛病？
# c$ z) V; f4 A- v) e
4 V2 {# }4 J% R% J设  a=b
$ B! g4 ^. i% R' I. F
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 h. x9 Q7 j8 }0 Z2 a1 o, t7 y两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

, ?& N; G, ~: W, Wa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
" m! z* r: y2 l* _, o2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% ]: R1 U% _9 F% b2 G& @3 `: b2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 w1 ]5 A4 B7 p/ q5 N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 p6 Y" L7 n- v) Q. k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

1 `, ]2 m  Q% e; r5 RProof:
Let n >1 be an integer
# R1 v) ^. V$ j1 v4 k( @Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 w  h) [! E* E0 z. R9 Q
9 T7 i$ a% G8 u& [- r* N% I* D- V7 mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* _% x9 r- q1 `* b+ y0 f, S                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. {8 M7 B+ x" x% F1 Y# Fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 `; l3 I. x3 }1 Z- A* r
0 r, Z. M7 v8 B+ T+ a+ g; z2 j6 N, ^5 lConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

# H( T0 \* X! h/ Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' `/ E6 w5 q/ P% m8 F* d3 H: Z
* G8 i: Z# \" k第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.