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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?% m" a7 R7 x' w# h3 f- }! d
3 h. M7 M7 Q. y7 R
2。下边证明有没有毛病?7 i1 U* C$ }' F# E' h3 T. T2 b

% B5 C: w. K( @* Y' G5 J设  a=b% z3 m, |: \; X- u( Z
- E  h% c, R' G* m# ~
则有: a*a-a*b=a*a-b*b/ ?6 X- r. `* ]5 N4 y- v
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):: @1 o+ E2 J/ i0 I. }

- o9 @* X" s9 [a(a-b)=(a+b)(a-b)7 O; T( E& A8 u7 w0 p1 n5 p
a=a+b; [; `( b3 y! {' j( b- b) p1 e9 h
a=2a4 O& V- B. e% A2 N
1=25 _! {+ Q+ F6 O- m, U+ _$ k6 j7 W* S

2 m: Q4 W- J7 t; V2 F1 l6 _证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
* k5 N$ E! `6 j. U) |6 H) a
  {/ z( b6 ]/ L! U5 S1)不能。比如1; z6 p9 \# J! `# Y% p9 Z; @0 L+ k
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  c  v9 I" M5 C
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 W' z+ q0 I) \: o/ ^" [" o- @/ }4 d+ Y5 C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。$ G, e; V$ M+ P
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
5 q9 J# T3 r% ]! V% W+ D8 b
看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:( J. \# T2 k0 Z/ c: K& z
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  A6 \8 A  ]2 C- x$ {
& f  ~$ I! b; s
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)# A( x. i- a" H; w( j* y, W
7 q! @/ A0 K5 u3 `+ n5 W8 B) k
Proof:
* ^8 ]  }4 N; P! K2 o$ l# ^Let n >1 be an integer ; {# j3 Q8 H  b; P1 e1 [
Basis:   (n=2)4 R* |$ T4 G4 A4 |; ~, }
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3  `! X% e+ `$ H1 \: f! _3 {! m% @
& e3 B$ j9 m' g' M$ O
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ Z+ X0 m) B- ?7 N# o9 |                                     K^3 – K can by divided by 3.5 o$ D4 @% T, I* v3 P
; N0 n3 H  ?7 T, w, }; n
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; H+ N5 d; |1 c6 ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem) u: z& D7 w! D. y7 d/ P
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: K$ U% e& \* d3 K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K; ]1 W0 W* f/ E' c
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 {! d; f7 R% d9 L, L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)9 K. w2 l( R, k1 J" v
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0: E# z, `0 i6 ?5 o$ n0 @
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)* v5 S, m& V$ l3 |
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)( z+ k/ I- C( n
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 39 e( U2 u" ]  J5 O1 f' [+ _4 K

& @/ X& r7 a( K! A" A7 W0 lConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 T  a$ N) F$ }. ]/ b
+ [9 B2 d3 I# K[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。/ g: d/ F! D0 T8 X" C5 v

; V% \* d9 }9 ?% L  M2 s第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:: A% ~4 S# z5 h8 q% r- O5 ?1 n8 E& g
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
( E; A- Z% c6 e1 C

( |5 K1 T- Y8 [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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