出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

) O1 A* R9 ?# h) |* H: f设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& G1 O4 x4 E. [% N) f两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
& I  a+ L) j! F3 \; e
a(a-b)=(a+b)(a-b)
" C2 ]3 O; w6 m3 o) {- Ma=a+b
a=2a
3 N. N' O  o9 ?1=2
% `; \" W2 p8 k6 r: T" ?
' ?" L: w/ m( c9 o$ K2 @  C! e" Q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ S" P8 A# }: ?1 p8 @6 t8 W7 y! Q1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% p1 u1 v) I( G- E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) F: [2 B9 g$ k) X) o" B& R: k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: T$ S6 d4 G% K- S) n" j6 u( w  g

1 a% ~2 f' P) N: U$ d  R为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- S+ h, o, ?% A
6 X1 r5 d% a8 I- ^& h8 R  S) NProof:
Let n >1 be an integer
# c* S& J. b9 U# \( T. D, yBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ z& n7 h  g' ]; V$ C4 X7 ]- w/ G
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; l" {1 x& B1 Y- T" H2 qThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 m' L' i8 h6 \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& d- ]' c" p  X' l# }8 H) j6 |                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

! N' P5 d( w7 a. |+ JConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. Y/ G! }3 p- ~# w: ?
! j8 T- c0 y  j2 r* ^% |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# z! \1 x3 w+ nShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.