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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
; Y$ J9 V3 m9 g" _# x! q9 e) z2 E( ^% }6 f- S2 H4 D7 {( N
2。下边证明有没有毛病?
7 `/ m% i+ D: j7 m2 r" b# p4 s0 m9 \$ S
: R8 w) V2 M' @) o设  a=b! E9 ~5 T' y: ]& _' O& w3 ]$ h

$ Y3 N8 O& }/ M; `7 k6 R1 Z3 c# E) D则有: a*a-a*b=a*a-b*b7 N2 W, J/ @4 e/ Q7 C
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):6 R! m/ L5 i6 M& g6 v
. N' [2 |" u- K4 h
a(a-b)=(a+b)(a-b). K' W9 B  H0 p& U" ^6 Y9 l" K
a=a+b. u; D* G& K% y; W3 {: g
a=2a
9 Y1 o- A9 n3 Y4 V- m: b4 J& @1=2
! o* c& X# y# L8 z, o7 ?3 K- }2 Q2 C* ^2 B6 v( w
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
$ U. T6 ~. z  f4 O4 B8 x% M% \) m2 I- A4 y
1)不能。比如1+ Z" U% m( a6 ^5 n8 H, ^
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。/ s$ x' n/ g' R; P8 ?
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:% M  N. ~% G6 T- s+ Z; c. n
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
) N  F' A' e4 o4 z! ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
& Z$ J5 n) E/ B# ^0 z
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:- `  r$ j: c( o5 t8 j+ x' }' a  w
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 X% c$ N5 w" z, [* c4 @

7 j0 n( Y; R( f* ], ]为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)2 d- J1 U; ^) L7 k% s
2 X0 W/ Q/ `3 p$ X9 j" o
Proof: " Z- S: s2 x( Q/ u4 \6 U
Let n >1 be an integer
1 D% ]6 y1 k3 w: q& mBasis:   (n=2)8 f! m& T  V+ h" v" T' o! x
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 36 i  W7 s9 m& V& W. D- i/ N: Q

' T! X4 e6 u* mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- i3 A9 V, i! v2 J+ k                                     K^3 – K can by divided by 3.
% p1 K8 U& [/ D: I  Z7 p  q
) D6 G* V# L' B; {' O7 g  T! Q2 M& }: bNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  P9 ~- ^0 b% s- Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem. _1 v$ c  w# e: c
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1): B5 g1 G+ l+ \
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. ?  H- F1 D$ R  y" F" [! @7 a# J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
* ]# X% u% ]* @0 H                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K); d5 N! f. p3 @' h
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>03 z6 k( }5 ^5 P$ ]- ?6 h
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 O! S; q& T; y# d/ x0 L- O2 Z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)7 g1 l2 U' L8 T% z- [6 Q- z& j
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 G+ K$ I" T: e, V! q1 m- ?% z- Z' ?
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 M/ U$ }: p5 G# J9 q; H* F* n
5 n" l2 n/ N0 Z- Y4 ?[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ q9 n: k9 ~2 t2 b, `. z: c- u) P( N7 d" ]& ~* ~' K! d& j! M0 p  M
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:1 J4 M; a: `5 K
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
1 t1 l. @# X4 V( h3 m5 m; n
/ V, a+ O. b* v9 l2 f
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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