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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?7 t* Q! |; Q! }3 f% w. e

  J& C+ [; z/ B+ Z# H2。下边证明有没有毛病?# L4 Y3 e* |$ D# x$ D

2 p4 j6 t, T" \( A* s5 `  u设  a=b/ }. R' F) k, `; [
) y  |: @  z/ F- A2 }
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
2 q6 a9 h/ K2 D4 x9 f两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):  X( j  L+ t7 p& o1 T

+ }) ~7 }# s. s  W( h4 Ka(a-b)=(a+b)(a-b)% G# K5 E1 ?7 g! Q
a=a+b! a7 ]8 f* J" N2 z$ S
a=2a
$ s2 v/ d3 `3 X  D/ W$ Y1=2
" ?. h, l9 y5 v2 w3 G% H) U6 \( X  \
. j* l# V8 j1 Y9 F证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
3 D# {: _" N: X5 {: O
# {+ |4 a6 C+ y1)不能。比如1
3 L7 ]. Y3 L' C5 c2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; e  p2 T! K4 B
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:; Z3 Z3 z' p( q( u6 d) v% k- ]- M; F
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 m6 s/ k9 [4 `( l2 v
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
* k/ L: g4 ]+ B6 S
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ y" W; W4 t. `: n7 n7 Y2 }# O  S! T" J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 M; n5 V0 B7 a  n. x3 D

5 y9 r/ X; B( {8 i( c为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n). W7 D/ B* ?9 R; V( e3 J, i! m! ~

) F, x: F4 [, Q$ [5 S1 MProof:
! o8 V- s/ y4 n9 s6 fLet n >1 be an integer
" y2 o+ o/ c/ u7 m2 }1 yBasis:   (n=2)7 }4 j8 Q3 o3 P* ]' d( a8 B* t
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" H4 ?9 u- ~9 B* B/ v
) o1 c) y$ [6 B; E/ LInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ s- y* I2 H. F3 I$ w: A, M                                     K^3 – K can by divided by 3.9 b2 \7 B3 b. s: @/ s5 v& W" y- p

3 X1 |/ E; c7 ^- ]Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% \7 ^* b) s9 R1 R) t% A5 ^' ?" csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 S) e- v( o+ X/ i4 i8 u7 lThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 D( H+ Q( f) H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; z; ]: [: b) r" S% L6 c                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- i  i. o, q. P                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 W3 J8 u, V8 \by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0' _; l1 ~( Q9 b# D- U* I4 F
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)' ?- ]% g) a, {$ N: {
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)$ ~' c- C7 y! X# I: R
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& ]' u! W; L2 I+ e/ S: z
- T. ~. g3 v: a  D/ w8 C5 j. zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.+ g% Y1 \+ F# H! k+ n$ x; b

7 s+ }8 b" B4 c  g[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( B' \$ e" w& u. u- @( E1 ~
2 k/ r8 L( J' i8 O( X) n$ {) u第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
7 h  s' m: K1 q0 GShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
  y$ c+ L& w$ Y+ p6 H

. y3 v4 M. p! @* p0 ]8 @9 jSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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