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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?. `8 m, I2 @3 m2 g# E
$ ~9 u3 a- t! [: j5 Z* g$ W
2。下边证明有没有毛病?; |# m4 P. ?1 l5 r& m  C

2 }+ c  @2 t5 w7 u$ T2 k3 n设  a=b. S+ g  T- o8 [( Y7 X! }" S
8 P. h0 I; P5 V7 z
则有: a*a-a*b=a*a-b*b) W' ]4 {2 C" e3 Y  v
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):. s6 W" R# P" s

" j' o$ C2 k$ V1 @8 B" |  Ra(a-b)=(a+b)(a-b)
2 i% Q6 L2 ^" [a=a+b/ f1 @) m; h, f- w1 c$ A
a=2a  L% z4 h7 L3 z. Y
1=2
3 F% ]7 O. E2 |) o+ u" L8 G. j
: K- R- j( p2 v% K7 Q证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
  H9 ^, _7 b9 d* D0 M+ J$ X! |. r% k! V/ L2 n% x
1)不能。比如1; }& m+ K- ?) M# L9 _
2)a,b不能是0
大型搬家
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 o2 z4 G8 n! |$ O) v
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) K; r! }9 L6 n4 b" @1 X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 ~' ~: Y( [0 D2 z' W. T
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, M) w: b, k% s  _4 T4 Y看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:3 X  `, v4 s' ?9 B( d7 W
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
! Y; W/ P0 n1 q. ]
4 U4 |" R+ Y* u+ U7 g9 k
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n): ]% c& o5 J# a2 A

' Y4 k" e5 M" e2 U- j1 tProof: ' o& k' S! C, _
Let n >1 be an integer ! C& m7 l  O1 p& w
Basis:   (n=2)
+ m: ~$ T& _* z8 L5 G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3# }' k7 n6 x( Z% g. V9 \
4 {! ?- Q8 C% u5 ?' m
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that3 j; o  [0 v% A
                                     K^3 – K can by divided by 3.8 q* \9 y, B1 U+ D
/ w6 z0 V; B, }6 N2 t! ^. ^
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. K& Z, E" J" _' T; tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem/ ?: Y0 r4 v6 ]5 h* Y  I
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 j8 B9 @9 h, M" E& K6 K8 a                                     = K^3 + 3K^2 + 2K2 q; x% P& p$ |! g% ^
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)% l2 \( F/ X5 u* I
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)3 r# x3 B# @  M# \; @- k' n" U0 d: l
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0! O% j2 p! p5 h. V
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)) c# a2 u/ R) w* s
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ J+ C3 y+ H1 k) ]) b                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 38 R: \7 y. R2 f. W  P, s2 G' ]

9 Z. R7 \5 X. f+ h# FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 P4 ?2 `9 g; q* _. o! O- A  C
* P0 S+ _+ h6 Q! _$ C) p' x0 s4 n[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。+ b; {; F* Z: S. [5 T. s0 P6 G

6 J& r6 Y8 d5 r% S) V/ I第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- S1 ~- ]* \4 f) e  ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
  m- \1 A; n. l2 q2 z
: M0 R2 Q# X3 X* g: Y; d0 f
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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