出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 Q  t  n1 F8 Z' o$ Y
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

, k  o( R+ [. M6 T则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

0 A2 O7 e( {2 i6 F' X8 l4 ?1）不能。比如1
" l$ f7 ]! i+ U2 k4 Z/ ]' j# x! |2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) Z6 H8 q5 l) N  {& R' Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ H+ A7 `9 q2 `/ m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ {. f/ t- E) b! D看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* B7 D9 m  r% M3 |% z  N5 h9 F7 a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' V3 u) g8 N7 f9 |4 S% R

' O, f1 U, P7 i6 {6 o+ \4 s9 U' }为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

  b1 @2 Z7 W8 ?1 }1 bProof:
+ d' L5 k( k+ J9 \! ILet n >1 be an integer
& x. l8 T- B9 _  q; H, J  {Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

5 P) S) o! u. p7 j1 SInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 S$ c, O) M  I7 u                                     K^3 – K can by divided by 3.

& A- [9 s8 F1 E- x4 Q$ K. ^Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; Z5 {8 h  F. _) S  J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
* {1 p: U& F( O                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

/ Y$ z& s- e( c[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ X) i/ e+ w( M0 t( {Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) }& Q4 v, F- K5 @4 F
0 E7 Y* t/ X9 vSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.