埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2501|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
. u/ b% ]/ p7 o" }% l+ g4 f/ j5 R$ m4 g
2。下边证明有没有毛病?
( C# j( b9 Y8 i4 w7 J3 B1 z. S  B
, L# g/ W' G! z& P3 ~4 m设  a=b( N& T6 ^" s! _  `% A! T

  `% X+ t$ M' g则有: a*a-a*b=a*a-b*b- k1 M# p: T* R
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):% K4 o; s& F' T
5 i: U; N8 o3 T
a(a-b)=(a+b)(a-b)
& m9 ^  r0 Y! na=a+b
7 ]# d& d' ?( O7 B7 ~0 aa=2a4 c6 _5 x/ x/ D8 d) Z' ~2 Q
1=2
# M: t% Z; Y& w9 L% Q0 O5 |( U8 T; B  Y& ?7 C  i' l1 ^
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试4 A3 ^! g+ O. m+ _+ [, u4 \

- [! {% B, b+ h8 X: |1)不能。比如1
' ^4 e4 D) S9 Q- ^$ P$ b+ N2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 {# }% `+ d0 u, {& Q: m5 S
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ L/ P. ^) C3 J3 Q$ ]( Z/ {! [
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! E4 j5 ?0 P, l+ m- v1 i8 ~' ]  s( e8 V
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
7 Z1 o7 d0 B9 z" L5 N
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:9 i& e  j7 X* e9 A5 f
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
/ T" [* m1 o9 n# x6 }' ~7 @7 ]
1 y# t# z$ s7 l1 A
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% v/ I1 v" ^1 H' v7 _& o- D& Y
% `( g9 z' J, ]! e1 o' `. u1 qProof: , ^8 N: `& s0 P! b
Let n >1 be an integer * u5 Z! Y5 e& n) L% y
Basis:   (n=2)/ G0 o& Y$ m' I/ e2 F& r0 T
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 _; l6 H' E8 f4 K. R4 D) @$ B: u
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! x: _2 n3 T/ O" G: K% o                                     K^3 – K can by divided by 3.9 E) o" r; \( w2 e" ?

7 u3 B9 c& V  YNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 33 Z6 g0 M4 S3 n: R- B/ c
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 z# L! ^6 V9 p1 B" r1 }Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)* ?3 a: X1 v2 ]1 R0 _, y# a
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K* Q) G2 r* G+ Z
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)3 e* d, [9 G. _( f6 Q: a8 S
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. r  ?$ n, E: r0 q% |by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0* e9 K4 p' V1 T: V) X& V
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ @( Z5 ^5 k, A) T5 a5 O% ]  a# f                                = 3X + 3 ( K^2 + K), T$ b! ^# k7 r8 g& P
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 39 @  k$ f4 @4 N8 J

2 Z  U: z* ^3 ^, U, |; S! AConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" m0 R3 y; w; |+ H- B1 \" |/ w" H' m  F1 W) c+ i4 b
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! w3 d. R- f! t' h" s
3 P1 k# h' S8 U第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:$ p2 `* l, Y( ~1 w& q
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 j5 n" f* j4 {* y) `- Z
, g- Y( n, h& g( ]0 ESORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-4-16 23:08 , Processed in 0.140066 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表