出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! a. F, V8 c( Z9 M  ~6 R% x
2。下边证明有没有毛病？

. ]5 D' F, |, q; r设  a=b
# A- Q$ ]* Z* m' ^
2 ]; R, |- T& j3 c* Y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ X: {2 z5 l5 h# v# B* E两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; c5 B: m1 [% }6 q/ h& \4 _! m* z, W
a(a-b)=(a+b)(a-b)
' D7 r9 H$ w' B5 @a=a+b
5 f1 i6 M' ~4 k! i1 v& U  K2 \a=2a
$ V. C3 u- {4 o& ?' k1=2

; H/ V1 o% j$ _2 A' ]4 [2 T$ W证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

& L  {0 `0 j3 y+ E( N1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* X" a  X" u4 k7 G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- g+ @: q$ `; O

$ P7 r. t2 Z0 i; c; u4 D为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# p' h- N6 q, C9 z  ^0 D* a5 C8 xProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) L* o+ r; J% s& @
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ R) v2 T  Z9 t                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ M3 M- r! a7 m& f( T9 d
* n; ~4 e+ \& y( L* W* Z& g8 I# WNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 v8 g. \5 r8 R1 v( r9 T8 ^3 Ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 h; u: K" u! F9 R4 B) W                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, v7 ~: J4 j0 F: m, W0 w) N- P                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: d1 l, B9 d+ o6 M# v. `0 V6 c                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 U8 e, h2 l5 w( C! e  t
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# F5 \' i& i; y0 M" N* I
2 q# n$ L' ^2 f3 b/ K& A第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: Y' |$ E; t! `& r! A4 T- Y# M5 c" c
3 o. _/ `- [6 c. z, a- fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.