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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
0 d4 [1 n# t) o4 y; m
! v7 M) l  p7 ~2 ^+ e2。下边证明有没有毛病?! A. ]3 D6 w& {# g( ~, I+ V

5 `" R' B* t- \8 e# Z- n, t设  a=b
0 N. h' u+ U& ?8 A2 `) {: A
* Q  T) i6 a! D2 {& v$ N* Y则有: a*a-a*b=a*a-b*b
) {8 H8 f$ C5 t0 ^两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
1 _: \0 R1 c+ ^8 i3 V! ?' {
0 s; ]$ Z" [( Z$ Y  Oa(a-b)=(a+b)(a-b): C; M+ ?" L0 d" ~- T
a=a+b. m0 _3 `- N% Q; |
a=2a
9 R& x9 {- |* \1=2
" E" T0 Q1 }  }% X1 k7 o" @8 Q$ W- P1 `
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试; t2 G5 d" p2 c: h/ h' u* P& G
  m' c, ?) ]& {* K7 F
1)不能。比如1
$ \  b0 c  C0 K% F- b  G/ J: l2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
9 r  B3 ?3 q; `( f1 J+ r7 i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 E8 l8 w$ P# l" K2 M; v$ D$ f/ u! N8 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
& a; H: O8 n  L  r7 Z5 g: a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 J" _. s3 I+ ?1 w0 I看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ b4 M9 W4 d4 w$ I: b$ u6 b8 E
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 I+ P$ L$ S; p% g
' j. t8 i0 f  w$ W# m
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- C6 D( r7 ?, p* T) y0 P0 D
- L, Z7 n) H- S6 H' T2 F5 z& NProof:
) J( C. N% c/ N/ p4 DLet n >1 be an integer
2 r! I; k5 g* O: ?" j1 l8 o! xBasis:   (n=2)2 ?) R7 C2 _( |2 L
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3# f0 U6 s( e5 |% D
  x9 X2 y0 \  H' r0 @  g- O, j: n
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that- `: v0 ?( j# ]0 [% C
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 R6 N% r$ `; K1 B4 n1 P
# U* ]& T' P5 ANow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3- z6 d3 T3 K# g% T  j4 g
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 c% x3 Z8 x7 B! `  D6 i0 R) JThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 ]6 u0 j  J+ M. f                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 I& j, ?. D$ r5 z* M' @                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# G* U3 t, |- z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ U! A( V  c4 Y4 jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0, ^( Q- ~$ J2 f" Q. K9 L4 k
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)' o+ D! J5 G7 S+ ?3 O. W: A) u
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)1 Q  E4 G- [; I' c7 H
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% I/ `/ P: ^# P+ a, S( ^4 Z; k2 `  N) ?4 r
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.$ t/ e" q% h" C" B

- V3 e/ I, w, Y3 d: S! g[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  O' O9 |7 ?- X4 u7 Y: y  a; H: T5 M
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' j, {+ D9 e# X: Z0 S' ~/ \6 TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
- Z1 X. y. j) i+ v

9 F6 Y$ y, i+ q8 _8 s$ m  aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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