出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 l- W9 E1 ~, w# K9 C2 h9 k
2。下边证明有没有毛病？
+ I9 J- V1 j. Y* z
设  a=b

  w0 ^+ J3 _4 R7 `/ s9 _( ~, l则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, ?- }7 A  i0 o% B) Q
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
, F8 ^6 M/ T& u$ [) qa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

/ T* {6 C# G# w$ q, E8 r: j; K1）不能。比如1
! \' m8 F, i0 L2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 a2 W- n3 G7 X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 Y) L3 G5 |5 r4 w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) Y# ~8 u. X7 G看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

0 {4 t1 k5 g$ P( c  l为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
; r7 ?( {+ ?$ a' h7 bBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. R; x- J' N2 o) c& ^9 J- V9 ?" U
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# |. [* R* j6 e4 d; d9 M
$ R, d0 G. Y# e% ^% ANow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ b: [! O4 R* r                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 M& h$ h1 f- b                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. T  F- b& H8 n9 s6 Kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" b, J$ u9 m  M9 N( Y7 TSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 t" U" ?! k" r9 y+ D                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

8 \1 T- I" a& R8 c: q2 p5 ^Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

) L; F" a+ r( J3 z' N( x( u% c[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

9 L' p$ a5 {$ E- M' V- U第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 A! u1 f/ z# I+ c( n8 x9 d' `Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# j# W4 Z- B0 k
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.