出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
2 `: F$ W$ W9 n
! o4 V; f% j, Q7 u2 y2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 F$ ]& |* A$ ^; |
* q+ W4 ~" s' |1 a% B. ha(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
/ F+ e2 ]1 n; O3 S5 D: Ea=2a
% O: I, h* X5 n7 a1=2
6 f/ T; P( p% q9 i# p, {$ g$ |
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

* E. \* [  H/ g  R2 T/ r1）不能。比如1
6 A* p$ u9 \5 i3 S+ x, i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; k. j/ l7 ?* B& o0 ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 i! Y" s/ d! U% d2 I0 l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: \! S" F0 c% p) `* K4 Y+ n7 a看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, T% e, S) H& n/ u# j% a# {7 V1 d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 Q) j9 b' ^, L. K* |                                     K^3 – K can by divided by 3.

2 c4 h. t9 d2 h9 M9 n3 e7 i" xNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; ?& K) g. I1 u" R4 c2 Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 D% ?  C+ J2 g6 g1 A                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: Q. N9 E( ~# d* o  ?
' W; [; r/ {2 d" |/ S/ j( _[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 c0 o& f, A: I: {  [2 `
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.