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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
8 T8 @4 K+ S- s0 e$ _  R
8 ], z" \/ A+ Y3 @4 W2。下边证明有没有毛病?0 D7 Y/ `. J9 c: u

4 X1 I, S8 i& q设  a=b
2 q2 t- {. A) Q1 X8 n9 K" E* R0 _: T+ l6 l2 [: s( X
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
2 n" ^+ P( [5 ?  [% D, M. @" V* J两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):/ d. Y' g3 Y' p* N3 l
0 c6 ]' a6 Z& h# @4 j- D: c
a(a-b)=(a+b)(a-b)
) B# O# }+ o8 Z5 N' Q& r* h' ?a=a+b
. N% o9 a2 `$ `+ {! q+ C. Q- J8 j2 H9 \a=2a- ?3 \' i- ]: A) h5 Z
1=2, }3 K8 r2 T' U" G5 [0 ^3 u% S
$ \7 k3 ]+ m# z: A- u7 ^8 ~" v8 o
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试  ?5 a9 l0 ~# H: g! Q
6 E- V% X7 g1 O  C6 o
1)不能。比如1
% v6 O, p3 Z$ z% p7 j# }" Y2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 G1 d5 N: u$ R
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 c+ x. l2 K- b# I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. A& ?, N. |- |) i- k
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
) d% b3 g. P' p  @
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:. k$ W4 N& m' F+ S& b) d' g
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% G7 @, k5 W, e3 A
  G4 }" Q9 E% H# q6 t
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 H/ j2 i* D9 E' G- [! V
# v) [  L% _2 D, O$ B) K. vProof:
& x5 O  g5 F# ^' ]* z% J  tLet n >1 be an integer
6 T6 }+ ^: a8 A3 WBasis:   (n=2): y( Q4 u/ T* r
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3: h, N9 B$ r: t+ u! a- N' J

, j% D- P% ]7 HInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 r3 |3 v: e% T. M0 j8 p+ p                                     K^3 – K can by divided by 3.
! W" A8 \% D5 E3 {+ H3 t
# w: v0 R1 }- `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  P6 J; B0 k8 z2 Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem) U0 d6 P7 v: a. L; `+ o
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)7 Y+ T: }; @% C, W4 m9 f1 D2 B* D
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K3 Z" ^) `  W. |1 M# y* A/ `
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 G4 l9 j5 _+ C& s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K); u3 i7 X1 D9 {* F- e5 u+ _4 {' E, z
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0" ?3 Q" S& L% Z# l
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, z9 \1 \9 s$ V7 ^; Q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: Y! R: T5 D; F7 H% E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 e5 Z+ y; m( G0 T' @+ B  O& q3 r$ B/ d$ q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.) e9 q1 I( R, o" i

3 d$ J$ f2 K6 V( U$ t# S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。2 \# i" P3 W; j8 m: t
5 ?4 {: j! w9 X$ C% A
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:5 B* C; H0 @& c# E7 F. t
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
& y* t" w' Q1 ~3 q$ D( g& X! h

, G: a. X4 T$ V& a  U1 j9 I0 F9 dSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
大型搬家
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