出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# F. f* g5 @- |! Y, {& b9 U+ W
7 t) Q2 Y+ X4 _* |2。下边证明有没有毛病？
' T( {6 ]! b% x2 v% Z8 g
设  a=b

" }: e( ^; e# G$ s! M& ^: K则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 y' n$ O7 N' R+ ?( ~; T$ S) \
a(a-b)=(a+b)(a-b)
2 J% I& M8 y) ba=a+b
+ J+ l. o4 o8 M" Ta=2a
; U) L. E- q4 o% \* ?- S! K1=2
/ Y2 I, Q, |9 m. b5 @
7 A1 B2 T- I  d" i/ w" l证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 k4 {* s+ `6 ~! Z, ]! Y. k& g
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, s& _- U8 ?& d5 u  Z$ G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ \! Y2 Y1 o) l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! Q7 X8 p3 Q+ G& |' u2 m1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" M( e+ z; ^7 _  l% A& c5 ~0 h  k

) E- b4 ~1 x- m' H! ^+ R4 }4 N' y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

% ^7 X2 x( w9 R2 GProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
, Q5 g# y, h9 k* ^/ b% s7 E: b' W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' U3 `5 C$ S' d. W2 P
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; S) R4 O5 U* w, J
" U- `4 u4 h% [0 t# o' F$ oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 ]; f* \) n3 ], e                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; `$ K1 U! h8 J                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 u5 k( I9 s( ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ I) k- l- I; k& O2 A8 o
9 x2 R8 P. o% m2 f! R8 K& h[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% b6 t9 `2 D+ }
# j- q  R* H  A" D5 K& L第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.