出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
0 g0 z. e( f5 h" z, L+ _
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 n/ n; _( r% T2 b# k; W两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
" y0 e# e8 i/ I+ ea=a+b
% `+ w. S) H% K( C) e$ v8 m$ `1 z- ^a=2a
3 S) J( E" z- Y0 D1=2

  d4 K  d" E+ n) L/ v证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" q& a7 A% y7 H
1）不能。比如1
* Y8 i. a$ h* I0 t2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 l- ^4 w2 x) V) y9 E, @% v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 J$ [3 F" Z. j3 e- @4 x4 H看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 ^% C/ C) K. |' ~0 M3 P
4 |3 L7 @) e( H* n6 c4 n3 tProof:
' X5 C2 M& H9 _* n* T9 R7 Z1 X4 n$ o+ T( QLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
3 j& g+ ]& I- K" a* C" i( L         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ v  o( s7 r  F  f- e3 M5 J                                     K^3 – K can by divided by 3.
; i1 k: ?7 P7 O  X4 R/ i
: Y) b, u& B$ d% P( k/ `3 C& q" t* ~" V  oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 J* j$ Y) Y' T( I4 Fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( G& a8 j) ]; ]' P1 s/ N1 z9 ]Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 E; A# N+ y4 [: r! {  i; S5 u  Kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 y! b& u$ ~+ y+ g2 @. X                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% g. o" z- {8 l! A1 V% @% f7 j: X
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

" I2 i( q8 [9 Q, j0 _' g+ w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

4 d/ u0 J% E5 r2 P8 y4 S! C5 b第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: X* }& l" t" o% L
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.