出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; H6 l8 N0 B4 d- I, K' t
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
+ f) h; w4 y+ x( s$ F6 `, }. S# g4 p
7 x' z9 w# f4 r4 `1 @2 r则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% @* |9 g3 n" g% F0 W. N& N8 H
, z0 x' K" l1 G0 s8 n' z9 Z. wa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ Q5 B  l8 f- e" _% A" T- Ea=2a
$ S. q3 ]: L; C- Y2 B' a1=2

* ~' [% R1 K5 t; Z& U证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% b7 [9 l1 q% D5 Z1 ^6 z& Q" `/ c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 [4 V" D: K- t9 C( [# t
/ f" j; \! ~5 f0 C; v6 ^8 ]Proof:
Let n >1 be an integer
8 q4 f7 ^6 i% `) O) K( D. H2 N+ \Basis:   (n=2)
7 T; Q/ x- n, b' p3 e  @# _9 ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

2 o- {9 R- n9 T6 b* l; aInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 I; d# m1 {: j! I. ^                                     K^3 – K can by divided by 3.
! J; Q. |* y) n$ |; ?/ \0 R% @
( [" J# P* X: |, F7 L* V- QNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; R  o0 j3 e) \7 Nby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& J2 o/ Q* a# C/ [* \7 c
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% I& g$ E/ X# }
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% n/ Z0 x7 F' V& W! w9 |+ d
6 _0 c4 g& A, M* ~第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 R* H7 _+ M0 Y2 p+ ?( k" h, dShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 X  X8 u9 o; I6 p  o" ]" T' B
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.