出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
5 Z! ^: X) }% n) b! `, {
5 w& z2 z! `6 ^+ a0 M. d6 [设  a=b

+ N$ w* R+ T# l! {则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" H- E( k! J# x2 c* ?% t
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
" k6 [% J7 P( ?5 Y. T; r1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
( B$ y/ _# H) g1 ]2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 k% L$ E0 F" l& c4 E' Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  J) E9 [1 q' N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  ]. h7 ?  f# |& c看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( f2 c3 R+ x) h) r- \6 z8 |) s
- s% r+ O0 \) i+ x0 TProof:
1 ]) x# a2 d% K% \  cLet n >1 be an integer
  c! }- ~/ i8 R, a" vBasis:   (n=2)
; |5 `5 w4 J" {; [" I5 z2 y         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 s" G# |& s( f$ p0 x$ j+ R; {' M7 X
' f4 w) ~1 O; xInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* ~. ^0 {. b6 X4 Q, Y                                     K^3 – K can by divided by 3.

( m9 o+ ^+ u/ Z  ~% ENow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- v- `6 G0 m) i3 xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 t* z& C/ j" w4 H- c3 r7 t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& `% T4 V/ U* V. _* r0 F                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) [: d0 O% P% ^: L' Hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

1 H3 y7 t. j, f8 T[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

, Q2 w, U8 P' R, |+ Z# J; z" F/ l第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# u/ [4 N/ L$ r( r- K6 i
0 |2 |8 F; {* u; `8 h3 U& fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.