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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
" k5 \2 j% l* E! ?
  V3 K  f7 O4 f9 `5 @$ J2。下边证明有没有毛病?
1 k6 W  F) }$ J- }, u3 u% U
6 |8 O/ s% S( w- w& L3 E设  a=b: k, }; @$ U: x& K2 ]
1 G' W7 J2 ~1 L3 _+ q* ^
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
8 y8 }% J7 g- H3 v% |两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):% L! Q2 l" l! t1 S. n3 t9 }9 [
5 K5 p  }+ I( Y4 ~
a(a-b)=(a+b)(a-b)
) G: }3 E+ W  |' |  za=a+b
2 d/ {9 [& E1 s% u; Z+ U0 ]6 M7 Ma=2a: d) R5 j2 s2 J+ G% @" @$ ^, x
1=23 K, S% l( A+ N, d$ K9 d! [

& R" M9 }2 m1 Y% U4 [证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
6 r  f& m  e; l6 l3 b. {" r* s, F. M/ A2 @, A7 c
1)不能。比如18 x. l# M! y* ?4 p
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- }$ Q% j9 ^9 w7 p7 Q3 C
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:& |  U3 F+ V% ~7 w  N  F
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
0 ^, U- l7 s3 \7 ]5 N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
( M8 L7 n' t2 l3 D# B: V
看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:5 I5 S% H2 M8 r) y4 `. F
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& B0 b  {9 a- c2 h. Q9 g. v

5 L$ E% i2 j  Q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 W# M: k3 @  g& M2 x0 I, Y
1 {6 U! @  {3 ~5 z, m. M( NProof:
- I3 E) |( o4 d0 h5 qLet n >1 be an integer
6 i0 _; X9 i( S: U4 b# r: mBasis:   (n=2)! R3 O. L# L; m! G; P% U# o* X# w
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 Q5 W) l8 ?" P
+ ~) m+ s7 g, H8 `3 B$ {% n  TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that2 {) |2 |8 j9 G+ N
                                     K^3 – K can by divided by 3.
- i' {' n' J4 Y+ H, ~) `& E8 M) |$ l4 {. T; C: a9 y
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 b8 v$ ~- T* o5 e* e0 f  Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem. C* W6 S0 T# |- G2 b
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)& e% D3 |+ K6 }/ _/ ~, y- i
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K8 c* _& o4 D! U
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)/ X  e4 ]: B& n
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 e& X1 z, p% iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>09 _$ i! M( O% ^4 H/ Q  k
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 R% x, ?/ i1 N7 Q, [
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)$ T# {% |$ e2 J$ V. S& u
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 33 ]1 O( B' l4 K; o3 x

1 b' Z) r; V6 uConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) \4 ^" C7 b2 N
# L' t  Y5 V8 g# s: L8 K% ?& c4 ][ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。; N) F; @2 X% A+ U( @" Y

! A7 X* }  k7 e! f# e& x第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:! b' H1 c/ v, g0 W& B% i* ]
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, d. k2 R8 m# J
: J' E' M) ?/ JSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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