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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?4 y; }2 J! l1 U, E8 ~5 j8 m
( ~$ ]1 u4 @. j* K& {- ?& a
2。下边证明有没有毛病?
1 ]/ B6 V7 E5 H& i2 n$ G$ Q1 }, u; Y3 E9 ^3 {4 f4 }$ S4 g
设  a=b% b1 B" s3 X% I. e
( w+ @$ A. F3 R1 B3 B
则有: a*a-a*b=a*a-b*b5 K+ [: l( Z1 t/ P
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
/ C- B4 @, Z) y  j( D: Q1 T
0 L4 `9 t! u0 |) ~' N4 @a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 I& T/ j/ ~& u  Q& Za=a+b
2 F( I( g5 h# C& @3 Ea=2a
, a9 p$ A" V) E$ T1=2
2 U/ Q, X" k& e( h% _# a) s
# T5 P. L- ~  b2 a) ]证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
6 a# l% z% h. S* R% _" h
9 |: u7 c# r8 e1)不能。比如18 ^6 t/ F" q* g
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' S) |5 s! G! ~; e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( i7 t; s( m) [/ ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  j+ g2 M+ Q- o+ X, b& Z/ z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; @3 z  @0 f! u看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:- K; h# m  C/ W
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 s& A/ E+ V- T

5 {  l; `5 n/ l6 F" b+ [% g为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
. }$ k3 a. ^7 {% r/ k5 N$ |! `7 y  |/ I; h% d  n4 D2 T! ?9 w
Proof: : C8 ]$ M# b, `4 W: `" f
Let n >1 be an integer
) f- ]8 c; h$ ]  [3 wBasis:   (n=2)/ r! k/ ], D' F; }! Z9 p2 v
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& d  I* V& `' ~8 q! i5 T- w( V% _) ?, V: _
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% r1 g+ m4 n+ q" f5 \- D                                     K^3 – K can by divided by 3.$ z) ^; m8 q5 L5 `/ X, V8 a2 e
+ G, F1 o8 |8 i* \7 l. O6 c+ {
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3+ k* h) l4 T+ c# R/ K% r% I& p5 E
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem& a: m4 P; Q# o1 X0 G
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% {2 v8 w$ ?5 s* E& \' q                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 p9 h; Q" h8 Q$ N0 x) R- y  Y& Z& n3 D                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)# A6 \9 E8 t6 w6 H+ ]  ^9 i
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! o9 F6 |3 w/ M; iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, L' a; V5 X$ l  A- J; @% ?+ vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 `8 l" w% W9 c- V6 e1 k: w' ]
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)' z; v3 L2 J8 u% {2 U
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 b7 E& ~3 K4 C3 H) Q) V% s: G# T  U3 D4 s4 t0 I
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.4 D) q# e2 Q# ~4 c4 Q7 c, N! |
' m5 s3 O* v2 z  X' d6 H: [& Y" a
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。# b: o' l+ o  f

: x" P2 ]" h- R第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:$ z  \+ o3 B; Q! p/ J$ v
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
- \4 a2 a7 v# ?) G( e

  k2 X; {. U: u- ^6 p" ]SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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