出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" {: [) y: M( f! h
2。下边证明有没有毛病？

, z& B9 s; D; Y+ }6 m4 w设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ h1 A9 g5 }) S6 r两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
; Q  ?( ?8 N4 y% |a=a+b
, ~) R3 N2 ?- R+ }a=2a
- `/ f) x6 M8 Q4 I. H/ g1=2
# l' ]- T7 H" s8 _
6 y" N; C+ [1 e0 C6 h  K证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: @6 B5 D5 \9 F# k
' I$ j! C, {. l1 V- D6 z* j1）不能。比如1
# x# T+ x% R0 X! j; g) b5 J) ~: C, \2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ |, h: E# _$ o! R. [# D* j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# A% F: Y$ M" c  M' k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 ^: }# W: i# ~$ i; s; z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 A: S/ i- N9 W! a# m看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ `- e/ F4 M8 T+ `5 V# \4 {

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

7 S' R7 j& \1 d) kProof:
: S, [. e) H3 y8 W+ q$ ELet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ G7 |, J' H  h) e7 _* O         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 Y! J  `! U0 ^
: N! Q  Y* F6 j8 Z( j% zInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. v. D8 s0 a" A. C& N# N1 z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# g: F5 {* U" C4 a& ]. qSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& D' E* r' r' J% ?- t; Y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 I7 y5 L/ x5 a- I  o  ^                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

+ D9 y  \3 e" B[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& W* m) k& @# Q! f4 T) O+ y  g
5 _& s6 K' O- A1 R) M( x/ l# YSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.