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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?! }. Y5 e8 K8 X: Z# p2 |/ R2 P

# C" ]' O: f1 o5 x& A- O3 i2。下边证明有没有毛病?. r' N) f5 ]/ `" W, Y  b

" M' m3 Y5 _( I2 H0 T' c) t; R设  a=b, [/ I+ w% I* u! t- s9 L, S, l
9 F2 t1 u; P( g- o- f7 Q8 G
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
/ i) ]6 U. |' W# z8 S两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):! k. K8 S: z. W: `3 c
+ o* A0 H( Q( v; c; h& r) Q4 P
a(a-b)=(a+b)(a-b)9 q2 r6 E$ l9 {0 L
a=a+b0 k/ U6 K$ ?. k. D* @$ k
a=2a
& J/ A4 c# d0 e0 B# i! [+ [; O1=2$ F1 E6 A( u5 U% [" B
7 ]0 e' b: }/ i( o$ S* L) f
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
4 X; i- k/ E$ h. C* C1 ]
4 K# x  p) l, x" j; u1)不能。比如1) u2 V6 b( m; }6 F  \
2)a,b不能是0
大型搬家
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& V: Z' Q6 I3 A0 S+ d
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: W9 C2 N/ ~) f' D7 \6 n) d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。/ m# q) c- M6 U% n; N0 q
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 W7 H3 @5 m2 L& O+ R# S7 F, u看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, I) B/ ~  B6 R( M. S
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ X* P- l5 L6 j2 K0 X5 O
! H! r8 R8 z3 J
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* ?. b4 q6 X7 ^+ }8 |
( ~+ ?: z7 R2 v" q  cProof:
7 ]4 c" m' q& D4 o+ A: ILet n >1 be an integer 0 n6 V# Z2 D5 V% ~. V
Basis:   (n=2); g- G1 o: T4 y# \/ c* E4 f! t, u
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, i, @3 R, Y& l  g/ |! w( u' Z# L4 y; C/ I4 @5 E* u8 K
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( G+ t) c; W8 u! G+ g+ e                                     K^3 – K can by divided by 3.! U( K# U+ F/ L6 n, v
5 U$ ^8 S; N6 b- t  B
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ l% z, H* ^4 g: q. J0 u' l5 fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 j7 D% ~& [1 ?5 Y1 iThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)! o. Y9 s0 }% ]( f- M. l
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K+ j: R& h9 x5 A/ \3 J
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, O/ {' f" P; _' L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" R5 _- E3 [0 Q% j/ oby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 K7 ?- u; {4 c: x' zSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! O) {( U" P0 Y2 q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)0 p' d, [$ f( Q
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ ]3 K0 x) y" u4 S6 w$ J1 o* A9 \5 W
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ z! o/ a5 \; Q: V" ^/ L/ n# s9 @: {
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, V& m( _7 G' r. Q7 j3 V. ]
2 M( i) B- k* x3 G第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: d2 b' p2 }8 x& {& D/ I1 l$ hShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  n. [. y3 n  Q" Q. D: l0 u2 \1 F; [& Z9 W  K# z3 A% {9 L; S
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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