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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?0 j, l: r3 J8 P; z- H" c# k3 m

6 _: j* \" `4 C% W$ A9 n3 i) W2。下边证明有没有毛病?7 \8 N- ~9 S5 s8 p3 V- I

9 K8 @! D7 H) y: E! o设  a=b7 C* ^# Q6 c  l

9 {/ o: {4 n* p8 E则有: a*a-a*b=a*a-b*b- m" K' {0 Z- H
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):8 B3 ?$ d/ u5 y% F9 ?/ P, ^2 `& v

/ V$ z8 I' p" P% i  y, \8 ^a(a-b)=(a+b)(a-b)
* {6 b) ~0 H$ L7 W& n; ca=a+b
2 n5 R" a" [+ _4 ea=2a& b6 x: |- r  V7 s# F7 \
1=20 |0 b8 B, {+ J# R) ?
' Q% a9 u; U! Q& u
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
. ]/ f9 c) a& w7 Z' I$ O- f* p
6 s! b1 x. j7 q& j, Y1)不能。比如1- B( t. X0 Q$ g/ w/ d3 g
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: G) q7 j8 E) n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:5 {; M. h! M& {8 C: X/ q, ~/ c
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
8 u. z) Q' A4 Q% L6 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
1 a7 ~& C! q7 V- J+ v
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ Y7 g) t, z" u( q  C& s5 ]
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
1 @; A  I: y9 `% n, g

, C3 ^# {2 J; c# R( {- c; q$ M为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)* z. b7 Y( F+ m( W! t0 _' F
5 ~8 C" c/ I: f8 F$ l5 ~# v1 ]
Proof: $ q% e: n" X0 V2 B
Let n >1 be an integer
0 X8 A# m" j  m7 {$ q. [0 K( B: d, DBasis:   (n=2)" z5 B% g; U* F
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3( Z( C' o# [8 F6 S9 H4 L

' g) Z- t# z2 t; f3 kInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) }; r/ `# {3 e! f: O                                     K^3 – K can by divided by 3.; t2 q. d4 \4 a  q; i9 s! `
& k0 f9 U' j$ ?
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 37 p4 t# _" x1 V: I1 F% `
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ T# S) h( L7 [- FThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* y) C0 S- l  x" G* v5 o                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) `+ Z1 D  ~5 ~% a& |  r                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)+ _" W3 p4 ~" l1 Z
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)0 l: a* F/ [) k- J7 O7 l' ~4 e
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 p4 Y! K0 R  X& G' |% i) cSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)$ B4 v! Q4 ~$ y8 v9 u0 N
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)4 s( H$ l- P8 \& S) D3 `$ S
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 y5 t4 u' i" D; ?$ S0 l9 I  `' X: y3 u' k2 l
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& v/ x' {% v# |0 u; z: y, `7 C7 f3 z' j0 r
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。. I9 \1 A' C: f

$ Z2 I5 O2 @- X- Q第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:: U. Y, p& L, I* z% n1 @4 Y
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ F4 H/ Z3 R! h& k8 P" H  W9 D: X& E- ~& t/ I- g: [9 E0 F4 _
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
大型搬家
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