出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
2 l$ `& u% K. d* q' {
2。下边证明有没有毛病？

4 K: F; f7 g% M  }设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

$ I) G% d! l6 _+ J3 N& x& ~a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
- k* l& ?8 s8 k; G4 x* Za=2a
3 Z. h/ u8 q5 F8 y% `6 w6 g* b" S1=2

+ Y  c, v5 P1 `) d证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  s7 Z: Z  y9 E
% N' d' e* D  O, Z; y7 ]4 f1）不能。比如1
& i8 i$ n% }  d0 v" T2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- J; U- S. K. ^! v4 }& c% J2 l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: z5 a' q) e  Z" L6 j" h* w7 l2 R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 R+ S' K9 _" r: t6 _6 X看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 ]# R2 u0 w" z2 F- [& H+ m  }  a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* j" P+ O* t$ T8 w- M7 ^5 S. u

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 _0 Z; a  J+ W. v- B
5 ~, M1 ~/ w& a* n! P0 f! WProof:
Let n >1 be an integer
8 i7 C: E* i& B' qBasis:   (n=2)
$ T) a: T$ Q$ x6 w. O8 }$ b         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, N0 g6 }. W! \+ ~  o
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
2 }# U' M: e7 \$ g2 h( g
( ]) B9 ]9 Q, G# d$ KNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ _! i# L# `$ {: e7 J/ a, E2 @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: M5 _: ~, f! e  H& g' JThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! w. Q) ]" b9 x) B" d) N                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& ]/ t& a: M! i: n7 f, e4 }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 p* p1 d, a# S/ i7 |So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% S; j+ J. U: {. A! L4 ~* p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 O8 M, H# `" n% i: @# G+ H& V( X
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ m4 M  P* Y' t  C# q( M) {" d: |! a& d
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

- Z3 S7 u$ C' T$ T( {; j, x: C. j& g, E第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- d- m- U- Z" A7 D8 wShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# o$ C0 [5 K+ D) O( W
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.