出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ I3 B) y  T7 [
2。下边证明有没有毛病？

# ?: {- l4 B* g: j7 R设  a=b

, h- g: q) Y4 j- w# j4 `5 Z$ U则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, W1 |# h/ B1 |两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

8 g( I( g0 Z: ~7 D; `  B& B/ A7 oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
4 U1 r- P: Q" s) I9 u1=2
! n  u$ M8 m6 L& Q
1 b, M! V' r8 W( ^2 i证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  s% p. u* h+ q" b& h" G
5 G8 u2 q9 Z8 u! ~- N7 l& Q4 U1）不能。比如1
  T( p: R9 ~7 r& e, a4 T2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 g- H3 S9 k- ]  M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  C/ N4 j/ S% r3 Y6 G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ ~3 H1 `6 Y- {. u9 A" X7 L9 m; Q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 x) H7 Z, B7 E3 R" Y$ q1 `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
" a0 V: Q' p+ q7 J
5 y7 g6 R3 |+ O  C: jProof:
- G- N' A' @$ z& ZLet n >1 be an integer
5 N. r3 l) r. o- wBasis:   (n=2)
8 `8 X+ t% ~5 U8 Z9 r* G, ]         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" }: t8 m6 D' F$ `  k5 _, d
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. _7 I6 m0 K; |3 O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& b8 S' O' y" t' X. Q/ K/ K! g0 t% O% T: w                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 J8 \" u" {. ]1 hSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 b! L1 g4 ~) h% v9 I3 m                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) {5 L5 ~8 G. R                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 p6 j& S+ Y* U# ]  \
8 k7 w  Y3 L' Y9 RConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ Z0 K1 F- Z: n6 E, l第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: S% d- F( a3 N4 }: _8 m! J& ?
; q; N  ^1 F) `" T; aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.