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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
! ~% q4 J& L8 [5 f# c, {* @" P, D$ u' `* G1 w3 ^6 \
2。下边证明有没有毛病?$ m: p- {2 O/ Z# r/ u
6 a# q0 E1 |9 G
设  a=b
* k4 l9 t# t, U& ?- c: x" v0 @
: m- x7 c! i. P则有: a*a-a*b=a*a-b*b
( _; p6 k- `% c- A6 R- K1 a) }两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
% t  \& A  o) C1 ^  z; I7 L4 K& j, S& y: x$ r# l5 m$ w9 f( c
a(a-b)=(a+b)(a-b)/ a5 T1 X0 L( o( O/ m3 V3 \
a=a+b
: l, M$ M" r! E+ a% }a=2a; |- r  h7 u- k6 K0 s" P
1=2
* c( K, ]8 ~/ _. x" _! V# Y8 p5 }+ M
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
; p+ [( O8 A; n$ F1 v& m4 z+ t  p4 ]3 b( c
1)不能。比如1' i8 N5 Z* c+ \- L. T
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& d- e2 y7 v, a" V! b( X
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: N- I; P  g' d8 L7 `& ^% b
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 ]7 ~0 r; K6 X& k- Y; X; J' P
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" \2 _' c' _1 W% ^/ G8 _8 @看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:  {7 j4 {" B" n- g5 f! W% O5 \  k
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, B" y5 T8 N7 H7 Q

5 M) f  @! [9 z0 w6 g1 v为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)  x6 Q2 r7 g* G% x: i; t' _

3 J. i+ `3 L/ fProof:
7 f2 b6 E# [% p5 F8 KLet n >1 be an integer % U) E( r+ Q+ [* o& k
Basis:   (n=2)) i( T) H( `( V+ a" Z
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 W& r0 [: [& K; D. a0 p2 a( k8 d! z/ l1 f) s+ F
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: C1 }# a* j- \, U0 J                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 i' G) i) X0 z" W4 ?5 y* I6 A3 H2 q& T* G+ Z" @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! Y" ^9 B4 D8 C, J5 Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, p8 ^9 E4 E) C( }8 n9 T# U+ IThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ j7 S5 ]' @4 [2 S7 M6 K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 i' c( l0 P( E. S0 Y$ g& L                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  M  I2 O  ~4 L9 d8 i                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ R' g. ?+ U1 Z# a9 `
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. Q1 k9 @7 C! p5 L  MSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) D* ?( S( s, Y9 e, [8 J( y, j                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  {4 \- {9 ~, p5 L4 z- I                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; u( z2 Q. ~, i7 }% e0 E- t" {, e  w  ]+ s" Q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1./ U3 Y$ _+ g& J

- t% y+ F2 z' U) C6 B9 |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。: @# F/ e. D* w
7 e( ~, d2 p5 O$ h* y
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:/ e& }  m3 o4 Q
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
+ y9 T6 J4 B: z5 }/ z

' ^& \' c) Y9 y+ U, {SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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