出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

  H' {/ T' n* Q, V# o/ F2。下边证明有没有毛病？
2 w5 d" q- C4 r
: h  m2 M6 L1 F设  a=b

8 d, _* A  r" g% i7 d% o  k则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% v5 [/ o' ?0 k' q
" T9 G: t* c# w6 ma(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
: r) E9 N- H) n( h9 z+ L3 s% Wa=2a
1=2
1 @& ~3 l, L2 H: N4 R
; u, u% E9 Q% [0 Q0 a证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) p& ^* w% p" _" @$ z9 W
! T: m) s* p& F1 f+ U- b% ]1）不能。比如1
# `8 q6 l6 e6 b& p4 W! i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 C/ C0 i0 b8 q6 W* l" K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! @+ R1 c% q, v5 j0 Y看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

7 z% i8 m1 {- V7 X8 `3 J为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* A, d7 P- |1 X2 F
Proof:
8 z! V- v  M+ HLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 R! u& S# O$ U0 M         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. B' a+ z" |' n/ e                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 e# [9 j0 o7 r8 a+ Z
4 s! \9 `$ c. f* N( yNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 ~% Y6 L, Q# y- `; w! f. Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 T: s" ]8 X2 O2 H9 b4 qThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 r$ U) C6 Y/ B8 G' h                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. |9 L$ `4 }2 [9 g5 u+ v8 i3 p                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ Y' ~$ {- q! J  `8 n$ T4 O4 Y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 p8 Z5 F& W6 P" q: ?                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 ^# e; e" u" C5 q" l                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

  {7 S6 l" p" Z$ b- K第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% b! D& v# `+ m9 BShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.