出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- `. ]  o+ I- b, V! G9 h/ {两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
+ I/ j/ a# J' |" s; o
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
: z2 G5 L$ ^, y1 Ia=2a
6 S( }4 t& i; @$ ^) z; V, {- k1=2
* o) @1 w  f0 _9 E* n% ^
/ I' B7 a7 L  ^证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
% h; [5 A; {0 g9 p/ M. q! N
% _" i9 Q. _: h/ j5 i1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" n3 b8 i1 c+ p9 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

% L6 G& k0 _9 O' uProof:
Let n >1 be an integer
5 i) m( n2 d1 HBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, _4 X. K  p: c& F
8 i: L3 y& f+ l' YInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

3 \% @/ a7 W  g- j! TNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: g5 J8 _6 b, p5 q0 |                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ @1 x% d/ e: H) ?by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ {4 P  w& h1 O2 O: [So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 a0 v( q& f) ?. F/ B+ H                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" v2 z: v* G1 B# H) P; e! k
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  \% ~$ o; I% k. u, [
" X' ?  U: p" @" {8 p- `. L' PSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.