出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

; D' d/ W- d3 J- H2。下边证明有没有毛病？
8 v, X5 Q  E0 J
设  a=b

: P% B/ J5 S! T$ X, ~5 ^! u2 T" L# b则有： a*a-a*b=a*a-b*b
$ Y3 Q, n& r2 ^. H1 ^0 _9 t) ^两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

' b4 |* e1 T& ua(a-b)=(a+b)(a-b)
2 @+ o) C1 @$ }3 ka=a+b
7 g- t, V  R# g' [/ B7 S- V; I6 ~5 ra=2a
1=2

6 p7 Y- n1 _$ }9 c证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

, B2 O' L" w0 e3 |- M0 H1）不能。比如1
; O5 U3 N9 W+ L- \0 m! }2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ _* U; {/ ]$ j. {4 u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 M# Y( w+ `% q1 i. }% U: n

- b2 J4 m1 ~% o# p6 ?) |" ?3 X/ V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( P. w$ y" m- g; A6 u- x
2 J* r" j  N) C5 FProof:
& _: L0 I: c) D7 xLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 @9 d4 K7 \8 F- s: a% c
2 \2 h5 u6 L& A$ k# Y9 KInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 z, @  t9 |6 Q) j; X                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 E7 ~- u+ n. G) {7 s: F9 C% H9 v* T, }
* y( l( ]# ?3 ]8 ]9 S! MNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; B2 \9 x9 ~8 b. F9 Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. |% s* x% P9 t- h0 R$ }. nSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 v- S  I6 |$ l                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
' ~4 x1 N9 @7 V% M) }2 T. P, q: @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  L: S" N6 l* P2 N+ i: f
2 ]% u* V3 r& [( {7 g0 u/ yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

8 a( H' X/ t% e/ C# ^4 A0 K. W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# Y% M2 G5 `% c) k
; w' K  x' v/ m5 t6 j5 S5 eSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.