出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. w8 {" H; g6 p7 i
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

& r: x  v: V& y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

! Z7 b$ j4 t" W7 U& i0 N$ ga(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
8 D6 J0 L: I) X8 b6 z- F' z/ R1=2
9 @; J( E3 N6 o4 F0 ?
4 X4 c+ M; @- ?5 _证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 H9 x! ]1 f3 ^& c3 E5 q& t
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! p2 s0 D: V& b8 x8 `( Q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" t3 w# [" q# K5 B( C# o: U

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

7 h& @5 I4 v  r. [* n/ x/ b" R& ?Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 F9 q5 F8 g  @1 y' B
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 F% p/ D" r$ ^9 [. a8 f; z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' K; u; ~# x) Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" n$ Z. l( A) u0 t  _- t. e; K7 nThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' w: k. y$ k2 O1 h0 G7 y* k( A  P, ESo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 Z1 y/ a2 j4 b) \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 S3 F9 t0 H% m; z' g! [
4 X; X- O6 s! @# E2 K( v# H[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. r/ b7 T" J( Y: K+ X! ^
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! z) k  s0 O9 N$ vShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& b  L5 D5 d0 I; c2 g9 TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.