埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2395|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?  A+ R( P& E3 V' `( Q) q

' N% q1 F! v5 _# t$ A2。下边证明有没有毛病?1 b; w6 e" R# M

" X) ~- w' d* p; t" P, D设  a=b
( A! d  [5 D) c- d/ t( X% [* s. e3 Z$ M1 u$ k3 P& c
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
- @7 }: x6 o. F, V: H, Q- s) f两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):! S- p3 R) g" Q2 R' \

* b7 s; I' E% W& s) U5 \a(a-b)=(a+b)(a-b). {0 d" e/ Q: [& [4 h0 y: h
a=a+b6 \0 M- @  g' `8 `
a=2a
3 V' m* _0 W+ ?* S0 C1=2
! O$ h* j& v3 j; m2 I% R
9 `5 M1 H+ \, a3 G! b* c证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试& F4 v9 f( p3 u6 ~! \9 |
. C: z, b" M3 Z- D  s5 q4 \2 c
1)不能。比如1
4 f! h6 \7 S5 z2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。# J5 q+ }7 W1 o8 L) Z' f; ~
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, Q# W+ F9 u; M" O% M! i6 L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 _' K0 Q, H7 ~& j/ v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
! L1 J$ }7 ?( X! S* g
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" h) P# E; n# {( i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. D$ F  V8 G; U( t; Y6 L

$ m  X' q+ ~7 p+ a: Y. _  W为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)% _  O8 @; g- j; B' `

+ s/ Q- r8 Z/ H  H' aProof:
) O2 ]6 R# W! K. }Let n >1 be an integer ! e  H, k1 m) n; r( k
Basis:   (n=2)
: S" P7 Q5 F+ z1 S; s; ^& @2 m9 _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3+ X, L4 A+ F9 A: H( ^0 [" r

3 l5 Z' M6 X9 R$ ]Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# e7 m7 W8 n( Y+ i7 J/ e3 t                                     K^3 – K can by divided by 3./ g, s# F' S; k& `5 ]
3 E( B- @3 e, T9 _
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% E9 s9 o0 p) H- g6 L' w6 Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem, T9 F* }5 t3 G  R* z4 z& N0 O
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" \/ n6 s5 q6 P# t% ~                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ o9 Y& R' D, q9 W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. l/ z* q4 z8 D& k                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# O) B- N! Y2 ^& W: Sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* H+ z: J9 Z; iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( d2 i& a3 N: G& T4 Z) d                                = 3X + 3 ( K^2 + K); U: t+ C- p3 r( D3 a
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 35 B  n( O2 B+ ?: Z& T

! w  ]( e# j% |, v# uConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 h; k/ t" W/ V4 n3 O6 L& r" ^' r! @3 q, h0 R
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。3 {+ c5 I& }! i

& d. P5 d9 K/ |; R/ S第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' q/ Z6 {2 q9 I* TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
9 Q) d1 U. i6 |* l% d& s4 `

+ _. T. ]. \1 ?$ U% WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-3-22 02:59 , Processed in 0.199629 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表