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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
0 N8 D5 F9 {/ J6 t8 o4 T: B+ a4 h. t' B" v& L, h
2。下边证明有没有毛病?( I* X: e, L8 f
! n" a/ l6 V" f9 c  a: M
设  a=b# L# ^, `# J/ G5 A# f

" `: e9 ~" E$ l. i* H则有: a*a-a*b=a*a-b*b
$ _) |7 a! G3 _3 T2 D/ e两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):4 s) y" p* b+ t9 c% |4 y5 O3 ?

* O2 @* X7 ]% k( y: X4 va(a-b)=(a+b)(a-b). P( h3 K' {) {
a=a+b
8 a+ J( Q9 T! }& U" @9 Ea=2a
& b5 Q- T9 m+ i! o  ~1=26 r$ ~" j8 V* _
" d, j( j4 M3 Y( _4 p7 L
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试; A# ]# f) f0 E) o( w  o
3 |- ~% l3 [  Z7 n8 C) z5 |% X0 d6 ~
1)不能。比如1
- t* O" _! T9 M$ T% B) A% _3 L2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 \- z. k+ k! E
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:; Q& h% i8 q) G
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* O5 H, m9 V& |0 j6 @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
3 |+ ^7 S" D8 V, ]
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, g! T8 K1 n; t  _2 l. v9 n4 b* v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  V9 j, ?) K. y9 s* ]& o2 d

# Y$ l4 l7 g$ P; f为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 M. n* M- O! N+ p; J0 [" U- `1 x5 d0 Q- D
Proof:
5 c7 I3 Q& _$ {+ M" T% z6 F3 nLet n >1 be an integer 9 c4 ~& K  z& w  H4 n% }
Basis:   (n=2)# j1 h3 }- c* u0 t+ A
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 34 o- G5 r) g7 w. e

" p3 ?7 B" j& t; }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, f5 M& l9 ]% E$ j% ?* S8 C                                     K^3 – K can by divided by 3.
' a& I- f. C# t5 m) W9 s; w$ d; g0 \& W) E3 p
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 33 p$ ~4 y/ z8 j) _4 N3 m
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem% W: N1 e9 S2 ~) b8 i
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)% A: g& c0 s7 l) _/ ]
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ M; f8 l- l: @0 R+ O9 ]4 b                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  b/ w2 Z) M1 H5 u* m+ s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)  f* }+ O7 b) f
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 E$ X/ r0 o# T7 H6 \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)- k) r8 k9 C1 h) l/ x! T' e" o
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)  S6 \% N  o# ~0 m; y& T8 g  K
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3' U# s" e( @1 `9 \  _3 [
2 I7 L8 u2 z8 q# h6 L
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.( m" @; j( h2 }6 O+ g6 `
5 Z  A9 }, t) _) _' c; ~" W# z/ Z
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。/ R/ l: I# t+ h+ t& i+ C2 C/ k
& c9 @% m; q3 _; e* u2 b# e
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" n3 f$ |$ I) NShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
- B, G; Z" h+ T8 [3 t( s5 ]7 `

7 f' u+ j( y6 tSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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