出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

6 K9 q: ]- z- M设  a=b
+ Y3 j% n- v2 c" I) S; b$ Q
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 E0 V. R+ j  F9 {两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

7 E$ d" ]" N6 b# o+ }1 oa(a-b)=(a+b)(a-b)
: I" M- [7 y: e1 wa=a+b
/ R7 c- A6 T8 }7 j5 ~' Ka=2a
! o2 d8 B0 ^% A3 m1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- Q: t: k- G, t; N/ s) {# m! X' s
1）不能。比如1
8 d, V, `0 [& H8 A% }2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" b$ A# t6 m: `5 M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ @, L& C4 P1 K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( }  }$ j* E$ c# t* k% \. a看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# r* H( [8 v! n' h" [4 [1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) U  L9 b2 S% i, T. f

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

$ L2 \9 a5 B$ ?3 u  UProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
3 T8 W; \% t: f- g: A# N' {8 M         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

5 p! G+ h% J) V4 j* nInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' ~& s' K. m* a2 d  k                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 U+ P( Y1 K( Psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 A, w' b2 F" N! kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ H) i" V9 E8 R. v                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% n) i" Q4 I0 k2 r; b                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% t$ l# F) V. Z4 d$ Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" x( b0 V9 J9 `( x- `5 K' R                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 b* U: P) r/ ^8 K+ z0 ~& W                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 J; K. C+ b. G; l9 ]% C
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
5 H# \1 S) B2 R/ F. `
$ Q; F% i, @) g3 W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

- z6 {* N- K- R3 p第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; N+ A) C! R. b1 r5 g/ P* T0 u( eSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.