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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?: V1 O5 P+ `$ k% _  y
  W8 Z! i0 m( S  d% u" e& J
2。下边证明有没有毛病?
- E# \" o# F# x* g( j* y4 @6 ^  n% E' O3 Q
设  a=b+ _5 M: }1 d( H# c2 Z0 x

- \3 I: b& [2 s6 c' J则有: a*a-a*b=a*a-b*b4 x/ M$ s4 D# j, f+ T' k
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):- ^$ U( S% y. X1 E4 H! x" o
# x" x; ?- D( O4 R  n7 p$ z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ I  H& g; |7 W3 [6 K( U6 ca=a+b
4 y+ c" s" c, o* m8 g6 z2 e1 v6 i, s$ Va=2a2 ~8 D% g( m5 m7 g! m. l
1=2
# n9 b% S0 M+ ]9 V' W( c
/ i$ p' F' l: \8 R8 ?* C证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试; ~' B2 s- f2 ^, j2 v+ w+ L
; V0 T% s8 y& V, j2 I1 e: ]1 Q, \
1)不能。比如11 l  x5 a/ a, n% W
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 S) V9 b- A  u% ~. f2 d
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:' C  d3 I1 q1 W* D- }; s" O! h1 }8 Y: \
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' K5 m) [: @) ~2 }% [. o+ G- n* Q
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
6 A6 P6 w. z$ Y5 K6 z
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:( P) @3 L3 Z% a1 t8 Z
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- V0 p0 E5 Z0 G' c$ [$ u- u. U
1 a2 \7 p4 L9 H  X2 v! T/ T
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)" I6 @; p0 K0 e, f. t, P

3 v6 H' R5 W0 XProof:
5 `% A" G: W7 Q, R$ O% i. c0 Q! ~Let n >1 be an integer
! C3 ~* E) w% ~( s+ EBasis:   (n=2)" R9 O% Q7 L& R' J1 p! i
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3- K, C# F1 i3 l) l, \4 q

$ E' C* L/ ~0 @6 WInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ c: s1 ^5 f! C& m% _                                     K^3 – K can by divided by 3.
2 Z) Q, d2 v) g) C6 x1 }5 ^/ g" I& }; q- b3 _7 A6 ?
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ E7 X5 X! U1 U( X& J3 i& D. Jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* N$ A3 v  E( u: F* f! ?4 r6 HThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)4 _* ]( k$ V, Y0 t3 i
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K, e; P; I; v5 w- J
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)1 n/ J) I* I- L2 W& U+ g
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" J, f4 I# e! `7 x2 H# tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0, b' l, V. P; Y- e% ^1 T
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. J& _, y+ B% z7 o5 G$ W                                = 3X + 3 ( K^2 + K): K) d+ d7 J' {% }. F
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 30 x$ ^- @! k. h9 C

& H/ |" n- E/ t9 w  S$ mConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" x. o: S9 [7 I" m  v& L6 b
6 q+ a2 o) X( U9 t# O* f[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。+ o: U  v1 c. l. h0 \! m

7 @- \1 B, H# Z) ^8 j, L第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:1 ], k. n  Y* n9 ~  N* _
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ S6 u2 N# l# T: L! n2 t6 q, ^2 M8 V2 Z1 ~
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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