出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
3 q  \: l) p5 z" G! D) Y
; M. d+ j2 c1 w, }设  a=b

/ l0 w: `6 _! x3 y4 L则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
2 M8 b3 G. A4 R/ L
; x' a7 R/ {/ T) X! |. \( r' E. {a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
/ F# M( E, K% L1 B7 r; s1=2
- s9 T* J' {$ }& u% O$ _9 Q5 T
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 ]* I8 w5 C. E5 {. \9 r3 g% q' x0 K
1）不能。比如1
$ s5 r- H0 F6 l* R$ E3 E, J' B: r. C4 l2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  V: l3 f8 c/ d

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
, ~( ~8 n6 ^2 Z( a( A/ OBasis:   (n=2)
/ ~6 r- D, P3 s* u         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ M# e5 L2 A: j: d2 x* H8 z% E+ \" R6 R                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. p; H* j0 {' l; Gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! Y& g6 D% t) D, }% Q7 zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 P# l/ v: p7 x& m, H' c# d. c                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) P/ t8 P% J; k4 l: ~9 U( Wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% b5 m6 `7 U+ A: B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ F6 E' a- T: f% U7 i7 ~4 ]
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) ^1 v+ A! v9 H+ a9 _
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
2 }: u  ^- D2 A' ^) E
! J% g( D% H/ x1 I1 O" Z/ p3 ]0 C$ [第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! K* {( M1 w* Q/ h' F
5 B- K+ M) {8 q7 v% OSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.