出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

3 f$ ~* C, T; z2 L- o9 m设  a=b
* Q1 r) D! a" v7 V& x0 U; ^
+ ]& H3 Z. W: s7 I4 ~; \! B/ r则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) r* a8 s7 Q+ X: _& o) a
0 l/ f3 _; E" h9 S+ Z' Ra(a-b)=(a+b)(a-b)
0 e' X$ q7 R7 v( n# x# S) n, o7 V* ]a=a+b
- e4 C+ C$ S1 `$ C% va=2a
! q  S, ~5 `; M* @7 T6 P1=2

6 `; b1 L2 w, \7 u; R. C2 t证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ Z1 d. _2 K, S2 S
, X4 |# x3 _4 ^. @2 v; N1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" Z9 _  I, A# I& V5 K8 H0 \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, ?2 X6 Q* E$ H! `6 d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; m7 \8 w' c- x: u看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 d3 l2 f( z! Q, a; C" A

* X# H6 j& e2 s1 C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
7 u5 L7 o+ k+ e" _7 |' xLet n >1 be an integer
; A$ q) _+ c6 F1 Y# ZBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

& c: F+ {4 m  Z9 MInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 j# M. h. b3 \. _( p7 L
, b2 i1 o2 U- GNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 C! s. U# @( E% {5 k& rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; Y- B" f6 F% [9 h& hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 h- L1 N# v9 c  B! g# y' d                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, U2 v" N. H2 H0 j! u: V, t                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; ]* A* |3 ?/ `! `9 l+ x! a. Q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

* C# A* e& c* m  U3 Q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( M4 T! A9 O. @. {2 T
0 `' H% m; F+ k6 E+ P, Q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 W$ J2 K7 c  ?1 MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 d. @5 K9 m  C
9 H3 R7 i' ]8 C7 m( n7 kSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.