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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
5 |7 h6 u% Y- k8 ^4 k" x1 C7 r! u! Q: B  ^$ ^4 f3 P
2。下边证明有没有毛病?
2 h7 ^6 _9 f, C9 ~% N- _- V5 a1 z( K! L: }8 ]
设  a=b
% f, k$ K3 H9 f" K9 S
. U9 @6 x) X/ ^' p, s则有: a*a-a*b=a*a-b*b7 P% B" Z  R) ?/ b
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
8 O2 A4 V8 H1 ?1 c
% P  \8 I8 r8 _a(a-b)=(a+b)(a-b), D  _2 d* n* C6 ?8 y) x
a=a+b' R1 G- A2 w5 p; a# i* h
a=2a1 B+ L: d) K6 g2 U5 e
1=20 Q; H  U. q( E8 Z: T/ U2 P

3 r6 E/ |/ I2 \7 q7 g; }  X证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试% C/ i' Y9 f0 L* c) F

4 F% m; H1 F5 e9 E: M, ^3 a: V1)不能。比如1' H' L- M/ `: S/ O, I9 {; L
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 R% l8 M. W7 G* y
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" a* z, u( D- f/ b- I4 K7 y$ X
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  o) n" _4 h$ S2 i3 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  A  L5 b9 L& D0 U看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:3 x; j8 C' w6 e
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。" b9 t$ ~$ J- e0 E: U

/ q) M  ?- z7 X% {( g为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 |1 K7 j8 P# I8 Q+ |
) Q- F/ {% h( O, K' JProof:
; @4 P( }- q& c& J# Z8 a( _6 \Let n >1 be an integer % g7 f+ X( Z' n( b$ C6 `+ y7 _
Basis:   (n=2)
/ _5 f7 k* ?  T         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 R  n9 ^, r8 D
( T- Y  h; w( ^  f& U  T6 PInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that! q* {+ S8 s9 b5 c  s% y7 l3 {6 F
                                     K^3 – K can by divided by 3.# w& W0 m1 e# C9 b& c8 x5 @
' k. m) s4 O% D( r
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 34 x; Z* ]7 x# A1 T: a
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 W2 H2 D* g& n' s: ?Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)- {# R  R: ]( C; a- w+ E
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, U) ]# P0 ~8 ]- k/ Q% |2 p7 s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)) _" w) t3 Z: S# b5 _
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: K3 C; |+ \4 K: S: Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>03 |. D  j; r1 B7 D3 y. I8 i
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 h% n8 }% E4 t4 a! }* f7 _                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 L4 q% ?! T% Y0 ~6 ~                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3: q4 X2 K9 c5 o, G6 t# {

5 e% z0 x( B( _, K) u2 n5 \Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.2 a/ B- n  ~. i' d8 ^9 c. E1 q

( L) f: L  \, @0 E4 V) E[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' F4 M& ^' Y9 j( L5 S. h3 V: A! K4 q) h+ h5 z0 L
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. h" m6 R, O4 B' vShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! i: z1 T3 w5 ?: Q  a5 v2 s5 c0 i  R9 E
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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