埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2111|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
4 h' s" {7 M. ~7 [5 I: I
; u4 ?* E8 N1 C$ e2。下边证明有没有毛病?
, S1 A. _3 @" f) N! m6 ^1 ?/ T) L) {1 Y0 v; j& t8 C4 X
设  a=b
- p. F' _: M, p! s7 O! D) _3 T, k2 x! g% Z- J, O, C3 I2 ?6 [2 f
则有: a*a-a*b=a*a-b*b. t1 R4 @; J% T- @2 f: s: M/ P
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):; F1 ?. f/ w4 r# ]4 t0 z
5 b, J1 R" \/ d9 F1 B5 ^
a(a-b)=(a+b)(a-b)) [# Y7 M) Y. U0 b& L9 t) T
a=a+b
! |. D; @- r, A8 C. Q# @. S$ C1 {a=2a
. Y7 `2 }+ \: s# D1=20 g2 ?0 h5 r# R7 z5 \

3 T' }4 h1 Y1 s  P2 e; t) q. g证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
8 D4 {7 p0 B2 B) o% y) |, O7 {" }. f
1)不能。比如1
' x: ?  _2 a- D7 l  v2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' O2 E5 `& H; E3 ?8 F7 ]$ V0 s; A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) j: g. r9 I0 S: T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% }5 r6 ]) I8 U0 S2 c2 u/ e
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
$ W7 `! O" C9 a) c
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 k, _, }  D6 o0 j8 T6 F( t$ O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。# k4 E4 B0 c  i
( z+ K5 @& T9 J$ J" o1 B4 w
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)% m  T/ v, M2 S4 f: ^

" C0 v9 D: y7 o  f6 E+ ?7 WProof: # ^  z$ W; I( C  j: H7 ^
Let n >1 be an integer 7 T' X4 m. u4 c
Basis:   (n=2)9 q5 R7 Y( Y- M" S/ A7 C0 F( E2 g
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3" B6 p% w0 e* w3 G

$ [) d# |' v3 ?" u, oInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that+ K& E: g# R& d+ y- k
                                     K^3 – K can by divided by 3.2 f5 A8 q; P: \: S9 C( g
9 |( |$ o, `% F2 W  @! O' H
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3& ]% I# K$ l8 B
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 w& h7 X7 u4 h; J) x6 y- Q6 cThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ {( O$ O9 y( Z9 s* \( L& H& u                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# I! k4 ^) [% I6 j                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  F9 @( O3 l" B: Z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K); M& b; X# O5 a  p4 ?6 t4 h0 k
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0) C4 u- f$ Q+ T, ~% V4 ~6 T! ^
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)& w- _( v: I" Y. `* K6 Z
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
' g0 g0 T/ B( d6 D  a                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3# o; Y" V+ `% c. U' j
& Z2 O1 @+ t$ w- Q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.- u; X4 H) r: m2 k
. Q; u5 W' J, W* g" [% }$ C
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。0 C; I3 J0 E# g; }% F4 M
. o( k: {% f! z1 a4 H
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:0 S$ {5 @+ W. Y( u1 s
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
3 N  t% m% y7 e7 z/ g' _  ~' L' |
, `$ L& p, a( R$ \& G
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2025-12-7 14:49 , Processed in 0.169689 second(s), 17 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表