出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% W5 J7 g8 G0 {
2。下边证明有没有毛病？

; b! ~: f' m1 j. A; B  f设  a=b
% B3 w  s- K- |" v
5 H% f4 V  [: J2 `* `4 _# V- v则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* m- V7 e' q# \7 D两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
( E' p( |+ c" z1=2
0 H( m' C4 M/ \; O  a3 A" f
1 }4 c$ ~* g$ k" [证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

( p) D; k9 A5 T! d1）不能。比如1
, G/ j2 ]( v$ T3 f+ r2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 `. L4 k0 U" E$ q/ ^2 X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ _( q, K0 I5 V6 [1 Q4 \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 X* |& C- V, w0 Z6 D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ y  V) f! \; y0 Z- B0 o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
0 ^7 n" p& j, e5 l8 @- XLet n >1 be an integer
9 j3 T* L  O; a, ?Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

7 S) P  D) ^; b' i( g) NInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 V/ P; q, Q* X* r2 |1 Y; h9 B* S; M
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) \  A" b3 t& a5 J. _1 x0 ~since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 K# y4 `5 N! F0 H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- X* i) ?: \4 P& w7 h* C9 wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, ?" I2 k; ]' S. ~                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

1 v$ m- ?4 o# ?$ L( p' BConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 y* E2 k$ k; l+ j2 c  y
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- \& Q' q$ m3 U, ]9 P$ J& _3 ^. f
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ D. \" j7 Z) I4 MSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.