出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
$ ]3 u% k2 D) i# v% w
2。下边证明有没有毛病？
) ^* D8 {9 g+ A
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) a8 `5 l+ l7 p
- p( j! t) u" l$ N: Y" }, ~a(a-b)=(a+b)(a-b)
4 x) Q* t2 i- P/ B  w$ c+ Z" ?. ]' Va=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: \# Q. M$ K- Z8 n3 j- ]
" D2 |0 ]$ q0 L, i% }4 S5 x  \1）不能。比如1
) _0 w% u# z' T& e6 N2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  e$ Q4 b, ]5 R6 Y% u! J4 ?) a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: }8 z8 ?6 T  s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 X  J6 y5 O" c$ B& U3 F0 \( S! o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

$ f1 k1 H; s9 v8 A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
8 H: P5 B' j2 z7 A, {Basis:   (n=2)
+ l4 E3 \' x- u- n5 E$ ]+ r8 z; g. R         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  L2 e- ?  r% P0 ]                                     K^3 – K can by divided by 3.

. @2 ~, u* O: S/ B" aNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ u# u$ B9 ]6 J) g3 H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. q* A( e4 L, \by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) a4 g3 M9 X( Q9 JSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. l/ L% ?  m9 [: ~! B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: Q+ `/ g5 ~3 w4 @- n- i
- O- D: p. c) L: t  ~' u[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 P( ~+ r5 k+ _/ {Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% k$ R- e: a  X! R8 Y3 s: fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.