出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

# e) m& {/ l/ K% Q5 C2。下边证明有没有毛病？
) F7 l" Y! V, v' s$ U( @
* ^% V, ?! b/ M( u; t# K设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) }# ~5 I% M3 J: ?* k  K9 W- j
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ j" ]. W8 k+ l. i0 R+ D5 @7 Za=a+b
a=2a
1=2

" M4 m' B- B; P- g证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

9 G% L; U) e% q; Y# e1）不能。比如1
/ k& O- O+ C  R2 x. Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% p: L! H/ C: L) s& b( C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ V$ ?! h! T% C6 A* ], o% d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ d) w5 f1 o7 m5 U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

5 x, `, _  n& @& X: PProof:
Let n >1 be an integer
8 n# Z  v! J# z  ?( O8 @1 O, z/ cBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* L2 |( O2 f/ ^; I; E8 q+ _
8 _1 z9 J& U0 jInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

2 c3 R' P. c: `' O' [, M8 ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* t  E' |  A% q0 VThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  @; F! ]) G5 b* t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- ^, I# G' y8 k* W                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ L1 P5 q0 g4 u% z: c" cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ z! ^7 V; R- c1 w+ ~3 i, w2 sSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. S( ?. j; c% [$ k                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( I0 H; x' t- L& \
, G: K* j- Q9 rConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 B' K0 A* Q  Q( h! E# B7 [
. }3 [% J- N+ s; K5 g2 w' K2 h[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- m$ T( `# |% m" w. t5 c; i) PShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& \, {/ J! }2 m! S- Z  i
- U& ~% N" V) w5 t+ B3 fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.