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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?! O6 z; }7 N$ y$ v! L0 S
5 n7 q0 ]$ d- w
2。下边证明有没有毛病?9 q, J6 `9 L8 o& O! n2 l

, C) v) I3 P% _( P2 N' [设  a=b) K% f  E  Z# |( B: E& G
& b: M+ ~+ G2 M! q' `
则有: a*a-a*b=a*a-b*b/ _$ M+ O2 ^- `9 A
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
, x: y! R% y/ t0 \/ i: u4 `% `  k" R" F7 B# L
a(a-b)=(a+b)(a-b); q$ H  o- j! u, X1 h
a=a+b
- v2 v: I9 a: na=2a: ^( K+ h! |) w8 q
1=2+ c6 @( S( r  W5 Q5 g

8 v2 g) ?# K0 {, ~! R证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
4 p7 z+ Q3 e6 d; h% d& M! L6 i/ V, k5 `. y. o5 O. U& D
1)不能。比如1
, u! S) {$ b  ]* d. u& X1 j5 E% P6 C2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ y+ W: s2 X; Y8 G: v* W, h2 q2 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:4 E2 W# \+ X! ]2 w, g; |9 i# b
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% }7 |2 H0 O: }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
# V6 m- X7 {; w" |
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 n, W' X( ~9 w- `4 u! ^9 \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! l4 h5 o) o) l5 K5 F2 }
6 t* h: Z; s! c$ F3 [' ]+ _4 W
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)6 u- \" B! B2 c! h3 c; }

( O: Z! X$ j( A" l) BProof: 0 q% p2 u; |1 T
Let n >1 be an integer ' q2 W: _0 S) A& s1 p" S
Basis:   (n=2)
" A* K/ A, u7 x0 Z- y# J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- |% o. z' f( }& n! M
* [9 V# G! E7 J- ]2 U; G- FInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 _, J+ B' L( y! f/ R+ f                                     K^3 – K can by divided by 3.2 z: Y) ^  {/ n  G- y

$ Y) |0 j# `1 m2 ]) i3 M' f# l+ VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: c* M2 Q* }, i7 C' q% J/ L6 fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) ^' H" G) z1 `/ RThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)% H4 \8 }# @7 U% B+ o/ L: @$ X8 ?+ x9 K
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K: G" A& F) E3 p8 @# u+ B
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)' E. t7 m5 ]9 ^
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)! e5 E) U0 c1 Y  F$ f4 J
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0/ o; F2 f6 u8 x# z4 r
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 d; r( ~  i# i, l: k! j( X                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- }. Q" `4 ^0 s( y4 N* x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3+ N8 _) ^$ W3 q3 ]  V
* b) c$ x1 \6 O4 o8 ~  A9 ~
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; m* ~  E( T' A  i
; f3 ~9 T$ b2 S+ X8 u/ K! t[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 [( h0 V% j& p3 Q
- K7 ~( _, [% `7 T3 x第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:, ]( \  Y, D& ?0 U* j& V
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 g1 j4 m! U$ ^0 P2 @6 k  v, O
  O6 t- l5 m' K% y6 }) zSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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