出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

# H( P# q; k0 Z2。下边证明有没有毛病？
4 F: Y* P1 C, k7 |
% W" a$ x* j$ L8 w; X设  a=b
' E$ o& E( K4 O' v- X: Z
- A7 y6 Z" |9 j  L1 a3 H则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 A9 ?1 c' y2 h0 n; }2 L2 I5 `两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
# o4 O7 g6 v2 Ua=a+b
) g& I, h$ i( f; V4 {8 _- za=2a
7 B% y# ^: O- X0 F2 V" }6 p/ \1=2
: d$ v3 ^# e' K" J+ Q
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

* U8 l3 k" K4 G/ m2 F1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: J- t: M! a4 B& {2 X+ m) M0 w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ \9 k, U1 V( a- m) G: }2 C& Q4 a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: Z2 ~( M, Q# N0 }' }4 C6 }
Proof:
3 ^6 w: W$ T; ~, DLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
) ^# W0 X' F; l9 Q' H2 N- ^         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" o& l) e! u% M
2 e1 C/ S. g, m4 E6 HInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 _0 l  d/ b3 O1 Z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& @! @- }  F2 |' z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% y0 C* p8 g2 U& K3 D" ~7 i0 z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 W2 R8 ^7 Q2 A/ j) u' K5 W. g                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( z2 y- e6 Y! O% z* ^                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ T) O- ]3 O3 x( ?  q
% K$ u8 o$ {& Z5 p2 Z3 pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 a5 P7 ^6 B* D, i* Z: Z
' A: n( M% f8 K$ ^$ ]9 y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ b  Y3 p/ q  B! j( n
0 ^5 a* ~2 t( ~$ E第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; l9 Y0 L- R2 c: e6 R
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.