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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
3 x* Q+ j: h/ _8 o7 f7 v7 C+ h4 R" |8 ]! Q
# m9 d! S! j6 j4 {4 J1 j2。下边证明有没有毛病?) O8 w( N! A  \( d* ~

+ X: k% P: L! }$ l$ f5 d设  a=b
' v$ C) J8 E: R& f1 z5 l) K) Q
则有: a*a-a*b=a*a-b*b, l$ D+ y7 u  G9 W
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
1 X- u0 J  m, H! U. o$ T, t
1 g# A* o1 A  ^a(a-b)=(a+b)(a-b)
! C3 f" v/ L' y7 ?0 t) ~8 k) k' U9 T( ]( sa=a+b
. J/ X4 q" L( J8 ra=2a
1 T4 i! K+ u; D5 O: D  f( M1=2
; p# O* W$ k* d
% O) g2 h4 h! w# D% ?证毕 ,结论,1=2
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
! \! Z- D+ I0 }1 o  `. G/ h/ n6 t% Z4 d) U' p3 c
1)不能。比如1' F; p. h1 f; b; A& ]
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  t) t, h9 J/ w( ?9 C
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 b  x' D. G% p+ t  e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" m' n$ O* H6 a$ i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  G+ c, t, T* t' ?) {看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:* J9 q5 N" x2 ^$ L
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* m) w7 V5 u: o4 A$ S

' b. W3 b. P; {, @* J& W. o9 j为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 `* P6 f1 ^+ h' n4 d% @& W1 W/ z! y- ]4 n' p' X. A- L
Proof: : A# Y7 N. ^2 }3 M4 R3 ^! k# b( v1 c
Let n >1 be an integer
7 X' r+ s# C$ X0 Z1 t% L$ ~Basis:   (n=2)
- N: i4 e( N' r         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 H3 w; ~0 X( g) H( \& l
/ F$ }  Q, z6 V. K  p  U4 cInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, T/ {- Z) @2 U8 a0 K' p2 K                                     K^3 – K can by divided by 3.
% X- T- u: ]3 y7 }
9 ~- s9 ~7 J9 g# ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% g( r8 K, t: l% ~  gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- A4 p4 o9 Z2 |* o2 j  _- |Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ V* f4 g. h% D: Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K0 H# v5 F6 ~& a8 H! n% K$ m
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)2 C. q/ {$ C" E! g
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 i: J( i& u6 e; Lby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0! g0 U: C4 ~4 M) c5 S
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 o! L8 w6 }2 x5 g3 @5 G% L
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" w4 w8 N3 y, T) T3 o! z  `/ ^                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
! M7 y; n' N0 c1 O8 w1 ?
5 {/ x  }7 @" L) [7 gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.# d0 }- c. ^  f) ]  v
& P5 t: L2 F% d4 `+ C
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' o5 A0 ?1 c) g6 j
- T* f& d+ X' U, C7 b' s0 g第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% n4 N: n2 X/ {( J, ?Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( F. N. Y% R8 x# S% H  _# M
7 \4 @. f$ W2 M% t/ T8 E7 aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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