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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
- J4 p) L9 ?8 }7 {; q/ @" Z
4 h5 y  R: H8 M3 U) T+ Y2。下边证明有没有毛病?
& ?" u  B$ }' C9 y) v4 I2 z& z% x: x
设  a=b
/ @5 S: E3 {2 U, [, b& C3 t
& [3 j9 D$ O: p/ B' E则有: a*a-a*b=a*a-b*b# O* P" N# z- `: R8 y0 x$ j
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):2 ]% G+ e0 n4 {: v$ D1 \; i

3 G9 p! z  }3 [2 c' i8 ya(a-b)=(a+b)(a-b)
0 _& R7 s! E+ F0 Y; |a=a+b  x1 Z( E  @( O& Y
a=2a1 |, l: B* u( o& z9 x; r5 Y5 D
1=2
" R1 y5 M) Z( ^6 f
! A5 R0 F9 ]7 w& N, I* k) c/ r证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试& N: B: T3 n% E
( Z& H9 O& ?  X+ X9 p% ?
1)不能。比如1
- l3 o+ ?8 u# r; \0 Y2)a,b不能是0
大型搬家
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 J- n, I4 s1 M
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ d: E9 j. t5 ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 V2 z* l" M& V( ?* C3 O
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
/ A3 d( q" H, Q' ^& O* G, [% N4 \
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% ?$ N0 F$ M+ R# J" p" M5 x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( j+ p( O7 f; G  q" f. o( t" H

5 ]. z1 g$ R! B/ }+ V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)) j; y  q! E+ N* ]. e
3 Y0 O# A# L! k, m" ?$ W1 ~
Proof:
7 O6 u) I0 o+ k& \1 r; a- _Let n >1 be an integer ; u, g$ P* P% w2 J$ i
Basis:   (n=2)( C( n& M3 ?7 V& {7 \- ?4 ^
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 37 D( T  o  z% d6 p4 y, e5 X9 _

) z! a/ _( [3 O' a9 Z9 @! X8 xInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that% X6 w. V; L% x4 a5 ~' k+ k
                                     K^3 – K can by divided by 3.# ~( ]0 }1 `0 R7 f7 n( @" R

( U4 {: H$ L+ q2 G& w- BNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 36 k$ [5 U$ y5 a$ w( O- r4 T/ p
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem% c' z- E- {3 {; O' A4 Y% B
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. ~8 W) y, D0 S8 ?, U  E! }                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 e7 \5 R! x% l- L* `                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)' M: [( N8 N( U- @2 q4 [% l; z5 G
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% D) Q" N7 T, y: H6 R) f0 ^by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>07 X" k. {& E9 m" ~" v, r: W  w# U
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)# U7 {% v" v$ T+ B2 v
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)! r. @( t& ~+ ]( l8 W& m
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 \0 \- {9 }5 P: ~
" Z8 L/ t3 \; T5 T2 C! A# C; gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.9 P9 O3 \" a- d0 L7 \+ I
) D/ T( ]" v3 r) `. b
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。! ~4 [# J, b. |. b4 _- A
' A+ Y1 I. T6 P3 w  j
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:; F  ]0 R* J! f
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ D( U/ `8 M/ h2 s7 |# W$ o# i. s0 i
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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