出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 N$ z4 V, g$ ]& S5 d- b
2。下边证明有没有毛病？

9 P+ j6 P' B+ L$ p: H设  a=b

  g; @0 b7 z! y# t" Q# q, B; f则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

) x5 h7 Q) z: `% x) `3 q; Ra(a-b)=(a+b)(a-b)
8 N+ V0 J  h3 L) {$ x" W3 ba=a+b
a=2a
2 X! d7 l# H3 s, K1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. a% @! L- g& y
  T% g9 K+ _2 V" b: {1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* P% L# o/ ?5 t7 a' N看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 Q0 D# e, \4 m; S& d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# j8 S( u3 t* ^- ~6 R; X
) M' @. n: B) b/ cProof:
) d3 P7 i3 A. M: X3 i0 X8 {$ E1 }Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ Q, Z: ~$ Y7 R& P9 `  c. \         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

$ T) q$ x1 x  Q0 KNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ d( ?1 b: {5 vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, h% y3 ~' i" t! Q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  d& I+ i' _: B0 O, o
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ K- i9 U, R& R
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 e) r& w; N$ G/ ^. CSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.