埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2318|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
! B5 k' s) b# C6 B0 F3 c0 p/ S, K4 ], x
2。下边证明有没有毛病?
* _: }& }# n0 A3 x4 V, j9 @: k+ T4 x2 K2 \$ L% U! L8 T9 M, ?+ W4 s
设  a=b  H2 n: T7 R2 M+ [1 P0 @1 N

' @! f# M! D0 j' _% m$ k* A0 P  S则有: a*a-a*b=a*a-b*b
+ K" z4 R9 e- i5 {* U- v4 `% K两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):/ h& T% S$ l8 C! ?5 {& x  {' e& h
: k" |5 a' ^% ^: ^1 ~9 u) ]
a(a-b)=(a+b)(a-b)! `  V1 x) f  l2 g! l
a=a+b
+ m7 ~! M& w+ L" D- v4 ~a=2a- [  ^0 D" }  j: @: ^
1=2
8 {, S/ l4 d5 Y1 e3 `7 C
' U; N# M! Z" N# N; b1 T9 c证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
3 b2 B1 B& M3 ^; J
9 M  C6 C" D, D9 G. F. ^/ J) J1)不能。比如19 C+ ^( k9 M: `1 \
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 `' S. N2 e" c
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:2 v6 t  j/ \: O  v
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 n8 i+ N6 }' J2 T6 X! z
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
! F% [& f) g  j9 E
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ i4 @1 j* E3 j2 i( k# M$ z9 Y" S8 i
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 _) Q; j% |3 ]# A: L
2 e  E; n7 J% u* x
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# J/ H$ v; t! q( r7 ~: }0 }5 G
7 a4 V* t: b- ]0 o1 e2 sProof:   a4 L- ?" V0 L2 j  Z/ A: J) a
Let n >1 be an integer
, \% T4 t5 t, Z5 CBasis:   (n=2). h% U2 O4 B  v! ]
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3% e( `- Q7 q' f9 h0 ]) k

* b, A, E( q1 I, g6 \/ GInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that& |0 W* G( v; j' f" n
                                     K^3 – K can by divided by 3.3 p0 D* ~/ R& [) }1 w4 g0 n, y
. l6 l% p1 w0 c/ u) ?& Y
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3  V) q: V2 v* G6 V" a
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem' q- X4 x( A. f4 V7 ]+ P  {" R. o
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)% N/ q' K) e0 @" j* N
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K, }  j, y$ g1 u) Q9 `+ R  p( s
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
; J- ^6 c* y; n! U* I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' _8 n& a+ l2 A! C( U' a* D* b" \2 rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0, n  K0 Q! m8 Y: z0 N: Q
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)# N8 [4 O5 d( h: }% E
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)0 D9 W# F0 H$ Q- R
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3* |( c  c) t% k" x3 G& s: L- b4 U

/ Q. W  K5 O5 ~' {$ q( mConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) P- ?8 l! s  v. h, c' |5 H  A0 |7 M4 K. ^: [: V% ]
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! k% }6 e( Q0 w) m1 ^- L
+ {0 r2 }0 W' Q( a5 q第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% _9 B' p2 p2 m' @/ B0 LShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; D9 P; l0 i  J1 P% @& ^2 t
( F9 D# ]  K' J9 w- d: |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-2-19 13:30 , Processed in 0.105508 second(s), 19 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表