出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 K2 }) ^( o- W
  a1 Z9 D# I1 K$ M) J2。下边证明有没有毛病？
1 ~& d7 G  s( K  r( s/ V
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) u  {& P0 K% Z* E7 L# f7 i. O4 |
7 m3 J: c$ s( O9 a/ N* C: I5 p; Ha(a-b)=(a+b)(a-b)
# l$ ]( p3 E* Q+ {a=a+b
a=2a
% D' Z. D% ]1 D+ W1=2
; t/ d' o4 w# q+ ]
+ j' i6 u, h9 k证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

  P: L* t5 z; V) w; m1）不能。比如1
, J- u, X- N$ j8 R# Q' |, M1 _2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ l4 r, K  h+ E  {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

$ ^; o4 y# k( j+ Q, U2 r/ ?! t& I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
& b$ C3 {; G) e+ V& C/ uBasis:   (n=2)
4 n& v% q1 X9 p5 o         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ `- v1 {2 K. v2 d, f5 [' b# c                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 W0 V/ r" q9 DNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ d& A& T4 |) r0 o: S4 ?Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 f+ x6 T; O2 ?3 `( N/ JSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( c* F0 x% u; w- O, g                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" Y8 n1 i7 i# T# s# D8 F6 F' f
1 [, r: I' }- h' vConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 o: k) J* x% Y" bSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.