出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

  C5 I) o6 v) W9 K! a9 M0 P& m2。下边证明有没有毛病？
! w1 F6 L6 @  R' ~# h2 X5 q  b( H) _
设  a=b

& X& n/ U- s  \则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

' g2 ]! w7 Y  g$ r$ ia(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
: g! T) w, r& a) K3 r3 t1=2
$ b6 ~8 R% |( N8 k/ P
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
% a. O7 a8 ^& E3 V, m
9 g& T. Q4 K3 s/ X; ~$ s1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  T+ X. `. P! l+ O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 h% d# c+ Z% x8 r" n  U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# E$ o1 W9 \1 N  z: s看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( F' c/ T5 f  K6 N; F. e8 x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
% ?$ f3 {+ u6 p& r9 f# VLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 H  H4 S9 h2 W% H- X# b( j         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 h6 l! k. }# \% G8 a) Q. y) s6 i" f
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 L: Q; r; A: E# _                                     K^3 – K can by divided by 3.

) K$ A3 b0 f/ d: O3 G3 ^! w' Z( ENow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) b# W2 v' P  D+ hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( A1 ?6 T3 {$ [% I& L5 ^. Q4 U$ @9 ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* x# ^- {( l* u+ y$ rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 H9 K( }3 @# J9 |. j4 Y+ s- R, _So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

+ Z7 P9 `2 v* }Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, C' Y7 r$ h7 o) c3 D$ @
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% l, }- }4 Z& f1 j% ]: a9 z* _
  y$ n& |3 B& e* X: {* w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( v1 }) |- ~# h% V
2 i1 }; `. Z* G7 Q) zSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.