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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?1 p. \& E# K% E% U( |
. V: R! w' ^1 g0 g
2。下边证明有没有毛病?
% n2 E/ Q" o9 ~* n; O" J+ `9 Q' \
7 j- r# w# g2 j! e9 d8 ?2 F设  a=b, x, K3 j# c+ ^# A

7 g* {3 k8 w/ }3 r则有: a*a-a*b=a*a-b*b% d$ y. I; m/ r( Z4 `* m! B
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
) q' e1 }9 z% U) n) x) P" I* l5 f+ |! o- E1 E& `
a(a-b)=(a+b)(a-b)
" k% O: _& G* g5 ~a=a+b' W/ x  Y+ \: I* U
a=2a
7 g0 C" u2 r) q% l$ s' ~1=2/ r$ i# l. v% S
; |) Z- _2 p, c: H
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试9 ~  c/ ^: c% |2 X0 H

5 A7 X% f6 U( L  \) F3 Z1)不能。比如1* t9 M7 M, ^  Z* {; j+ r
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 G7 P# r& U( b( D* p, o+ W2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 p9 d/ U8 t. C2 H: w- D; I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 i1 r# M7 B6 P/ v, p! S/ @
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
6 K& T# Q, _" i8 \6 g: c
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:. Y% C, ?7 X8 U8 K$ R
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: G& p1 E, i' |+ V) t8 N

9 {! d; c- U; T为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ k  p3 r# r% T) H8 c  R+ @& o7 u& ~  A1 }
Proof:
- I0 v' C9 u) v$ m* tLet n >1 be an integer
$ A% S* o5 J" X( ~. }, cBasis:   (n=2)2 u9 a( f# w) b# j
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3" K2 v/ s3 w2 ^
* ?% t5 c3 D# t$ |2 h4 h
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that; k1 b3 }, J% P- }& P2 q9 ]
                                     K^3 – K can by divided by 3.- [5 m# x* O$ O& Z2 R: O0 h  [
( F% D: B5 E+ j4 [4 M/ X; a
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  i6 H* p/ n, g4 Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" W, G7 m4 j1 pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)8 F# J* @; \. a# H* T. H/ q/ p7 E. l1 S
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) g( L5 V# [! ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% n+ s. ~) G: ~4 s# l$ e                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)5 b7 ^$ `, R3 V& f5 O5 ]1 C5 k
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 {8 D/ z& v; ?) m7 ^" n' V% iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)2 P5 z, k) b$ w+ L9 D9 e0 n: h( Q
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 H7 o( R+ v- g                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3( O  P; v* g4 v8 q' N6 z

: C3 G4 P* k, z9 e8 Y" u, }' {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- k& o% w- `: J" t) Z) Y
. W* h7 Z, p0 H* a2 E[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。% e& v+ t+ ]1 ?; P/ k. c/ q

. r: g+ P; D1 p/ y, d8 J第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 |* Z9 i: `: o* M( [8 b( [* FShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ n; h$ [" P$ V  \, @; m
) m, {, N, D  ~1 p- C" HSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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