出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

# D/ O. Q5 d8 p( L6 \( V1 l% N8 l- g2。下边证明有没有毛病？
2 n# V  ]% g6 h3 q
9 P" A- m4 k# t* K8 M; X& B6 T设  a=b
0 r$ r- c) t- D% O( k
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

% Q# r' T7 Y2 Q) Za(a-b)=(a+b)(a-b)
3 c' o$ [  ~6 T! b6 A* i6 W. ~a=a+b
( f; [' T' w2 o& _( Fa=2a
/ s; h' p4 l! r( p1 Z- Q3 Q* C' ~1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

0 J* J1 x* X! I1）不能。比如1
" A: }* r  Q) h. Y2 p1 A2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 I+ G4 j* V7 `* R) R% y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
& ^& B, B6 V/ t" B& wBasis:   (n=2)
/ V  L8 r* v( e: ~7 t         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* [7 q  v8 ]; s! `5 Z0 F
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

* C- e1 ?# @* |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& Y8 S7 Z$ X+ P# }1 Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; ~# ?: B  D8 z3 K) G) g  X% N
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: q$ m0 M4 W" w( n
+ Q9 s/ K' o; u  n第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 ~5 Q6 Z& }) @; n
3 @% Z0 c' W' S7 s' ?+ o% S3 [( @SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.