出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) E, z! ~) y# O' _& V2 o6 ]# I
2。下边证明有没有毛病？
2 R6 ?0 g) g7 E* [" `1 M
设  a=b
( C, g4 c! ?5 V( R* m, _
  u' D0 j, q- F1 G* J0 |! e则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; Z; B+ o3 @6 E- U( a9 _7 ~两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
, x8 j7 [) A( H  E, E+ N: pa=a+b
) W  @# Y8 ?/ Q8 P) Oa=2a
8 m5 P4 y1 U* h' H( B- @# E* k1=2
5 h$ o; a& m9 t4 ?8 l3 q* g! z8 [
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) b4 J2 @2 o7 X
5 M: W6 j1 r% E0 t2 D/ G5 y/ S1）不能。比如1
: K/ r% \' Y0 G' J1 H" T1 ?0 e2 M" Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- @& J, ?: O! F1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 {9 Z- b+ R/ ^" Z% }9 V2 y! f看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; T8 O0 P7 G  P: Y  b; ^

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 x2 j6 `7 W- v5 r# h' p! {3 H% h
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 e- p" p% i9 G8 ~4 m5 V                                     K^3 – K can by divided by 3.

) @5 u+ }' }& @0 \: _; ^( iNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- R0 D3 e& H5 Z) ~                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ z1 E' s9 B5 v. a( M4 vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 l  w8 i2 O4 g                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 ^7 a9 \7 `- f  p, W& S, S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; g$ A+ P! C& \% a. ]1 e" g
& ?6 g  N5 I$ @8 B; W$ A/ D6 a6 wConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* h3 J! A5 \( r
, v  W- \: ~7 `4 X8 e& ^* s[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( o# }/ K" M4 w0 r& ]; m" `: X# q# E
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.