出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ S) N4 G. |: y' G: e/ [
2。下边证明有没有毛病？
8 r) a0 w. r7 e5 ^& h. z
8 y8 p* t0 S1 y, I) S设  a=b
2 x* {  b* F4 H; [4 j! r. r
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: |1 j' v$ ~" ^+ B. J; s4 G( @% Y两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ }# {. e: E# @7 @  p$ E( ka=a+b
a=2a
+ ^1 Y- M# p  h) H5 S) H7 c; V- k! W. Z1=2

: k: P, H$ d5 b* K8 F4 h证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& V; Y* U' v6 ?/ ]' [) j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ s) E0 ^, f$ x. G2 \4 D看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

7 @( s0 ^  A$ \8 {- d  r5 H为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

6 B7 U4 L3 S& G$ E8 _; j% uProof:
7 D$ g9 i' B; O5 U. ILet n >1 be an integer
' z# Y3 z% c' ^9 ?2 c; BBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 e0 [) @! Q1 G, T2 T
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# F5 S! g: l( h" K, D" y
/ g2 _( L8 h' Z& U- kNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- m) ?! V6 L# ^; n# Z) E+ `  CThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( N& i+ b2 H4 v6 a0 V$ R( k  c                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 g. X: D9 Z  `- l! K) Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: f6 S# Y6 ]7 P  \) J                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

9 ~; Y1 y/ d9 {9 Y0 g. R* CConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  X8 ?( x, a! u+ w
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.