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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
9 \! @7 F4 c$ o  N, }) |4 w( l$ ]: f$ ~  r) m2 A9 i# t
2。下边证明有没有毛病?- N! ]. K, D9 _$ k
! p: \2 @  x) u$ [! O
设  a=b" T8 _* @! X4 b) s) n

7 b) N2 @1 `. G) w4 O( p3 ?. Y则有: a*a-a*b=a*a-b*b
0 L9 y4 u+ |0 ?  _! \- V$ ~! [  ^两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):" d4 `  U7 a& Y2 n! z6 f
: z& Q5 |1 `% D6 w! U, w! M5 h
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ S! s" }  _2 @. I; o2 D: E( ^2 ra=a+b) s3 Y: I6 i0 |6 z" F3 W# d
a=2a
! n$ p  s3 L% h) `& s2 {1=2' t* D  ^. w0 i5 M/ z/ k

% ^9 D+ S4 `5 ^, X) n( x2 z0 b证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
) d3 X" b) {0 H. f+ `7 ~
+ w; C7 N4 i* p1 L+ w4 `1 V8 \1)不能。比如1
) M4 j* U. C) X) p3 R2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
- S, W& p; A+ h1 E6 k8 m0 a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' S; U# ?9 p) r! I3 d# _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. E/ c7 u, e( `5 w8 S9 C
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! F' N; P* Z- Z% L% i, h6 z看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; X  h/ z; [. n/ S  [) g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 E8 D7 c5 q3 B4 S* f6 _* S

, w' l0 L; j/ }为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 W8 ]( t1 w$ Y$ j& K' u9 }) k. v4 @" z% S8 n; O
Proof:
6 N8 l2 l* r0 }Let n >1 be an integer , v* k- P) Z  O, Y$ S
Basis:   (n=2)
8 _; X# W4 u3 U0 V# j  \" M3 U         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 ^$ X- M# w+ `. s* C3 g# b" w
& A8 W7 b9 D" f7 A& {! UInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 p. L$ Q. l6 n& ^2 M: D                                     K^3 – K can by divided by 3.( W  `4 K5 U! k0 G1 M4 e

+ p# q" H% y5 e3 ?: N/ _& V) l- |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) P) T3 }8 v/ N: a* U  [since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem  ?4 ?4 w( t; t& g( ^) H5 u1 L* B& D
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 ?) s* g& T0 ]                                     = K^3 + 3K^2 + 2K% P% s' w* f( b7 t. w8 j  B
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ T! P+ l+ x- r! M6 C                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)! _7 x0 ?: e5 Q( N5 Q" K( z
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 m6 t( z5 A* w. |So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 u5 m; X) Z) b. [( q$ ^                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ _9 ?, ?7 F, E$ W$ J% {1 e                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3. ]2 U5 d7 h. h; v* R

7 Z3 x" ^- B" \3 T/ E+ |Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) u0 z! j9 T9 O* o6 `& g% K8 \9 X; g7 \5 w2 S4 v: M
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# o. l  C9 {: r# e: N( E- G
2 x: t* N( d1 X! L1 L第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  m7 X$ D% N8 f* l) GShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
' \0 [0 d" o6 y1 g8 A5 L) w( Q
" V; _% J+ u8 \8 i* r8 d0 n$ y9 d" J
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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