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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?% N! V$ h2 M# b; J
  L$ h* n4 E) _4 G  r. E
2。下边证明有没有毛病?
' C# O$ m) N# z  a% e4 \( j6 E3 j. V4 K  [
设  a=b5 E# C. Y  ?& P0 q
* L, P+ o7 v$ f( J' H. v8 r
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
( Q8 |8 z7 z" z两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):' U2 {; D8 y$ Q3 h4 p
0 j$ M7 c0 ~( x% L0 Y: f
a(a-b)=(a+b)(a-b)
. F$ Z' x: t9 ^* k2 e' O! h1 xa=a+b
" a2 k' q, [' }a=2a
* ~2 d5 C& F) D1=2
9 I- n6 l0 Y$ Z" U" |8 {, S7 \& v9 h9 ~+ y
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
& i) \1 y7 }7 [$ Y- R& S  l6 |* r) I( N5 f! `5 z0 C; O1 d
1)不能。比如1
  w6 V+ h% k& x! e/ B2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。# c( y$ d- q6 i4 H* S/ Z) F7 ?
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* A/ P2 ~7 U* A) v6 Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
4 r9 e' W9 A6 [7 s3 a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 k) j' c- ?! Z7 ^( y看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ }8 w+ K9 `+ Q0 E
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
5 ^) g+ J7 _. z; E

, R6 S' E2 ~5 S9 {  Z7 f) U- e为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# g, t' h# `) q0 L& `
3 e  h* }7 J! xProof:
$ W- _4 W2 G# z: YLet n >1 be an integer
# X& b' x- w; j' V0 f1 o' Q+ FBasis:   (n=2)
9 J4 C% c9 C, L         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 W8 J8 s" o, {* y
' D  i  L- t/ a. m% ^Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that: |0 O% ]1 F" p) E- E; M
                                     K^3 – K can by divided by 3.  F( z7 t2 t4 F0 f4 y* t

0 y" Q! `' d/ v7 gNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 31 B9 n4 R3 o; t2 u9 K
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( f& y1 y* I3 L/ gThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 B" ~! c! K) u                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ [( h$ C+ O# n, T/ B                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 S' R" Y! s# a, H& o: G                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 X1 B2 X* F, B" d2 ]3 M
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0  Y# m, r8 h* P8 J
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 s# X7 @0 L8 O+ a$ Y% d
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: P8 X3 g+ j" Z1 [* [& E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 34 |# K( }/ M: Z& j+ L) A& d9 d. D
, }, o2 O' s8 h
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.! `3 K. h+ H3 c8 U$ l9 U
0 ~3 C# P% m. P. Q' |' ?
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- w# `& ]- _. F. p( M% E, v& q% O3 L/ e
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:0 m2 f2 L# X  h* n& {
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" V: B. u  M, f5 a7 Z
( J  k( f4 ]1 @& f$ ISORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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