出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" d  q+ z# p6 y# t- [. h
2。下边证明有没有毛病？
0 V% f5 Q/ n0 o8 ]; a
设  a=b
! [% o5 J$ g' e' O, ~. m
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

. i! b1 a: T4 k9 X3 ia(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
2 P: C( t) s0 n" v" K3 ]+ Ia=2a
5 u% j7 `6 n: I" s/ D4 B0 f5 L1=2

, o: I9 D. ^$ T& T0 z2 R- U0 B证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
& q4 a% Z2 p- T
2 K* r: Z$ ?9 Z7 y1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  R: ^' w) J$ N/ O/ t) r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 }4 V+ ~! `' R  f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 p6 ]( Q: K9 Z/ T* E8 n( [1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 m0 h$ k2 s# t/ U: ]0 ^

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 H4 `) H% U' u) Y& |
5 i4 H- K2 n6 z: HProof:
) @% @, o4 [. h  D4 U' F9 SLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ Y8 n) s5 }5 l# `2 A- v' k         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 E# e* I- z/ Z. P* Q- B7 r                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  n& O% ]0 z: J# Q. K0 S  B3 h+ Y6 Rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' E. k7 [0 b# Z' Y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" w0 k- x5 Z8 T$ ]                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, X0 _: i; W0 _+ Tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ L4 B$ B- N' }) ]$ ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 D2 o' u# ~: H                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, P+ L4 W4 j5 ~+ s: P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

9 m% J) k& y4 G* b[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

8 W' T) L: [6 t0 i5 I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 j1 e6 t) K/ i: g! v4 K
/ a' T8 j$ e$ W- {* YSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.