出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 U  @5 K6 A4 K
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

" N3 G' p4 B/ |! V4 d% h则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* y% Q/ i& L; g+ e' U- H两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 H$ S/ _4 Q) j
2 A" ?; q: ^4 {& \a(a-b)=(a+b)(a-b)
3 {0 T; ^) }4 G/ N1 F. ~+ ?# @; }a=a+b
5 a; @& H. t, ]% M; n$ Ka=2a
, k9 {+ c8 J% c) a5 t1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

4 \  m6 J0 }% ^# ]- g1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" G) t+ D. g  L. ^' S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. s8 ~7 a! N" M% e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* n% w: _: |* m' N5 u, a看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& A, d' n* g: ?5 ]" o' Q7 Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! U: g; |5 v' o

# x3 _8 X; N7 Q: {; ^为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 C' q6 s% F7 _: ]' Y/ ?7 [: h- Z5 N' y
2 {! P0 J; t! Y* f3 NProof:
9 o3 V( n+ m3 C1 j9 A0 @Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
: ]# g* Q3 p6 h& N) ]5 e! L- g         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

9 g; q8 W9 P$ Q) R* r, N; u, i$ ^Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 ^# l$ v$ R4 `) w                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 R: m$ U9 V' N' s( d+ ?) s6 q7 g3 T# L: Isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) ?& m/ L! ^9 d                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ |# ?/ A( ?) B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# J2 F. G) Z8 ^3 q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 A2 G1 W1 u1 j8 E
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! R: j6 V9 E, C4 p
+ E: O- N5 c) J1 W# J3 t: k[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# w/ r- M- h5 U6 V0 q2 d
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% ~, }- }, |  T0 uShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; S9 R# u' R# X# y$ Y! {
" \; q: T( w* R. c$ ASORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.