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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
' _$ {4 W' n' o# Z7 k  L, D. L3 X: [9 J; F/ W9 J6 t" v
2。下边证明有没有毛病?
% v0 ~% m5 k4 T  L1 T) J
' q+ J, J5 I% ^; l1 j( a1 ]( Q. Z- u设  a=b$ Q4 {: [& _1 \# d: F8 g

+ k; z3 t# M0 Q8 U* R/ k3 D' f, g则有: a*a-a*b=a*a-b*b6 I% d1 n7 G2 |6 n8 L
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):7 @# ]4 |  `( q& y2 W3 z

6 c5 Y7 T, r$ G! c5 h8 qa(a-b)=(a+b)(a-b)" r3 d/ O+ r0 S8 n  A5 j
a=a+b
. ?7 L1 U- h* A* J% O( Pa=2a
+ m" @" r9 ?5 ?) X  z- A" _# J. }1=2) v2 `8 F7 |( E; T! \# G9 F
" W! o2 {+ }5 l6 s5 j  z
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
8 d# I! k8 ?6 `0 q8 M( v  O0 [
0 I* ^# u' J8 ]6 W+ b; }1)不能。比如1# L7 d0 I  O, d
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' c) m; Y+ u8 @3 w% `
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" T1 r- {* Q1 R9 u, L9 D- V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  L- S4 C" V& ^) s3 \5 y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' o) p7 j: \' x7 s看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:9 u* H- a* U8 ]) ?
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 z+ F$ Q! L6 W9 S

. O5 \9 e! p7 _, x0 j  ^/ ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)3 ?4 I! i5 i0 u5 b/ p  P
0 |6 b( B- Z0 \; e- ^
Proof: ( q% ~& f4 V7 B  n
Let n >1 be an integer 0 j0 Y5 G6 O/ W' G: v
Basis:   (n=2)* L7 ]0 U! D$ f) h
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3- ~; p2 B5 }& y& P
  W& b6 w6 F" r, T5 k& A" J1 j
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that, L4 `. d) O1 |
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, X- F% Z# O! B, i" i4 g7 @' i& ^8 v8 I6 i6 M5 w
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3) C$ B( W' o9 k6 Y5 H: B
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem* A0 t/ i/ `  Z. `
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# R4 t1 S8 I  @6 x9 p* @+ H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ ]% d) Q. g! ~" ?: Y# ?- [/ k                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)/ P1 _+ f7 A* a
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)) [6 J  g4 J8 p! j2 F
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>03 P# t6 T5 u6 K) x
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K): r9 h' U- ?2 {6 t
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)3 b' H3 v( k4 F' E
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 d( \0 @$ q$ v# A' o; g) V; m2 }/ P2 E$ a
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- |+ ]$ p  ?8 ?4 i0 h5 O  \+ t
' x8 J7 g  x: n) p& g$ R[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* M* K# O1 U( U3 v; k1 V
* }2 v2 X# ]$ k  r. @第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
7 M% v* z0 C3 s% }; F! M7 M3 GShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
" F  o8 |* h& x% K9 C
# h2 B( A( @! o( C4 m& Z+ Z
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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