埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2076|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
" I9 @5 a: b3 n' y' w5 K) O
+ Y% }1 e% d6 i4 A/ H9 {2。下边证明有没有毛病?' n8 y7 L# K* @8 |/ H( l  R# y

" V' D$ j% D2 Y+ Y# z设  a=b7 t( s: N6 u% t( `' c
5 l% p4 ]7 E0 r
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
6 \: `' C1 v6 J6 ?" Y9 ~两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):6 w# l2 n8 T# ]/ D
6 D( h9 t6 T( K: |# W1 l
a(a-b)=(a+b)(a-b)2 d8 Z0 Q# W: m( w9 a* c
a=a+b
" Z' R) O' g1 m0 q3 x, La=2a! I# K0 I( B1 x
1=2. `2 X) K: @9 Q- Z; M4 T- Q# I
" _, d0 ?* ]) C" |
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
' |7 i9 ^! N. u$ @7 X; F6 R
1 ^2 ?! M! ]$ H% k4 @1)不能。比如1$ S- O2 v2 W. ]" m
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 V. Y( o% Y8 g' N0 e- C
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:3 L2 P0 j7 c- V3 g
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
- m* c" v' J. E& G, r: x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
+ w+ u: E6 Q" y" g9 s2 H3 t/ ]
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" Y2 e1 _! N/ k9 J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 g7 C7 ]- v/ r# l4 l
/ ?8 O) B8 ^" m+ A/ t8 t& S
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)8 ]  K5 g9 k; U+ l

. H; C9 f# v7 E+ L: o' \! ~Proof: * x, k/ d2 @8 _" b+ u( b7 i8 e
Let n >1 be an integer 0 o/ p5 [3 y$ _# X9 g7 C
Basis:   (n=2); t0 s. C% G4 G1 M; N
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' g* J& Z2 G) @* J* o7 b8 Z: A& ?2 ~
& O% Q1 q7 c+ w* }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' X  {% i3 d% M3 e- w                                     K^3 – K can by divided by 3.9 r$ E# Z" D) c3 @& r6 h
- S; j. o1 Q3 M% {: Q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 33 q! ^9 O+ }$ p' A- G  B
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" |* F! K6 M7 EThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1): Y! W$ g* `" a" [+ i! p1 O
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K$ n  q6 Q8 l# h  O3 b
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 {! @6 Q$ h* e8 ^                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)) p" c" a/ [/ t- z* ~3 _
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% i. s5 g: r/ a# JSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)+ H2 z+ o; L" T7 I' s+ J
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 `0 l+ y, C3 f# `' O. E. G6 |- P$ q/ i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) H8 J& E2 R* X, n( B; [* x, G2 J. i; ~" Q4 g, H2 z
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ S( ~3 K9 ^) x7 ]4 z, C
3 K; x2 }, n: Q8 _+ J+ w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。9 ^& {2 t8 [9 s2 g
* S1 o' A4 g- g; ~8 C: j
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) B1 f* o: N0 h% r! D' kShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
% ?5 j1 q/ }( ]3 X

; F. W# [6 @) @" @SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2025-12-1 03:08 , Processed in 0.226135 second(s), 17 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表