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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?( e7 g7 E% m# o1 J
, i8 k4 i; a8 K2 [- F* j
2。下边证明有没有毛病?
. Y' d# z; H/ F1 \# b  f5 u# u; h: G& |  Z" e( r
设  a=b
  \3 D: l- f7 C7 j
- i0 c0 b5 V. b5 j8 O则有: a*a-a*b=a*a-b*b+ l( y9 V5 B8 b% g) o
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):4 _. t, r9 p  H* B5 d4 v; R

4 _  l$ {8 ^! P7 ta(a-b)=(a+b)(a-b)# Y. T& q8 e# b6 f8 l
a=a+b  J: @/ m1 x: H4 n. y4 e& B! e  q
a=2a3 g7 H+ z/ w$ v; V/ ~
1=2
! n" N1 P7 a% }2 v! r/ z5 m4 Z% {! O) `5 X# [1 P, D) v# q5 t# E
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试% }2 Z' i+ x% W" w

; ^5 ?$ s  G8 f4 U( P2 s1)不能。比如1' _0 U, Z  B  Q4 [7 s9 a
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
/ ^1 R2 Q, f* s6 u0 @, \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 A  e3 s* L  b" M9 s- ?* M- }3 f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! I+ V& B# \% J9 O
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; n* j4 p1 \& W看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' F1 A) S5 o4 N7 S0 X% i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 F7 {* ]3 Q& ^2 r- }
1 {8 U( m. e& n: h3 t
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)1 v& q5 a; e( `- K" A0 G" F( a
  d+ I4 H3 K# s# E( f6 i2 H
Proof: + s9 E- S$ m0 c9 s  E
Let n >1 be an integer
' M& U' Z; @! q/ x1 e3 KBasis:   (n=2)) A8 \' X1 y7 G; t9 D" `
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 35 f2 x. m8 ~9 _+ y
9 w- K! l' W# m$ n7 z4 K5 t- g
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that3 p  }2 H$ \, R& f# T" Q6 m
                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 Q' i8 l% S; Q- `9 U
* B5 Z+ S5 m4 B- F/ xNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 33 m9 w2 c1 W1 J$ P' h1 Z3 s
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& _8 @4 O- P( i$ C+ A9 ?3 Y2 pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; J- i; F4 E9 e, J; k: M6 k                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- m& P! x% F3 u% k8 Q4 F                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)2 H. J9 |1 q) l0 i! U' [$ H
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( I7 l( ?8 K; J, T7 d/ L9 C4 i
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0& |* `9 f2 M5 P+ |3 X- u
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 g& m! O/ n. r9 L                                = 3X + 3 ( K^2 + K)4 R! P7 @" R$ I3 A) Q
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 Q7 j) H; O3 `, e/ w; h% ~4 j
' F% o4 ?7 r2 V% ]8 R7 MConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 c" O  E1 v% |/ k, e6 D
7 K& A  E; U  Q8 ]( y, R[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。. V, _  q0 W  v% X, A0 @
  h  G+ K/ \! ?0 U& L: r& O6 O- X% |: C
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:: u, b9 n* T0 A$ M2 u: D, c
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( M5 m8 x' a, W2 T" c
) g' t2 f9 `1 M, t1 ^8 n' b& c8 dSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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