出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. S, P9 A& `- [& S4 N8 d* m" M
2。下边证明有没有毛病？
, J- @7 e2 j/ _+ ^9 {
+ d/ q. k. C" y设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ V4 O: }4 f  h+ Y) Za(a-b)=(a+b)(a-b)
; G$ ]" z1 v; A3 F. @7 X/ ka=a+b
a=2a
1=2
: P' y) q+ S5 O+ J0 D! j5 t
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! d) A! l7 y4 x: M7 H! V9 @* ?" L
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) A% U; ]* D' b, H5 ~$ T# m( C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, E3 ^2 A. Q0 {) G: O0 P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# c" ?; C: A2 C% ~! h* b4 `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 i, }% u& [& n看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( s; a2 r! X0 \6 D  P5 l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 G: }  m; L8 \; [- ]$ ?; t6 K$ t7 U

5 R. h( e9 j! b; [为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 e; m8 ^& i; @9 _) d# P/ \
Proof:
* c) u: a1 f& \, @Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

! k* @4 J8 ^) {1 R4 \. E, NInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; X9 t/ `* P3 k& Ksince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ @5 E( w4 w$ Z: VThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& ^) [! L7 m4 ?                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  K) N2 O! c% ?7 z. C5 \9 C+ u- ]So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 l8 i5 y5 h& ~+ b1 U8 `4 u9 \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% o$ f6 f5 v! ~5 X7 `- P- V3 i" X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

+ A# H5 \. I$ B+ l! u# ^Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

: ~0 {( |1 b4 h' m; N[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

" Y% X. S) t4 r7 _1 v+ U: F2 p& F; s第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 c# \- j$ Q2 ]' J! B7 MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: L( [+ w& U3 x9 F; ~
& L. e8 J- p) q' m: DSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.