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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
/ S) N4 G. |: y' G: e/ [: v; @$ P% S/ `* m
2。下边证明有没有毛病?
8 r) a0 w. r7 e5 ^& h. z
8 y8 p* t0 S1 y, I) S设  a=b
2 x* {  b* F4 H; [4 j! r. r0 y# h5 S; F5 f  w
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
: |1 j' v$ ~" ^+ B. J; s4 G( @% Y两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):: q, B; L% I5 z3 u9 Z
  ^+ e7 z" ^% `0 S; n' m# h
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ }# {. e: E# @7 @  p$ E( ka=a+b; v# U6 C1 @* c! p! P3 ?+ k* i
a=2a
+ ^1 Y- M# p  h) H5 S) H7 c; V- k! W. Z1=2$ A" i4 l; a/ g. W; v

: k: P, H$ d5 b* K8 F4 h证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试0 F# J( q. O1 V$ o- `1 D- R" m$ C
2 I- s; P2 w" e6 H% n8 l
1)不能。比如1& I6 ~7 b4 @0 n( y; d1 n# a- l7 R
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! k7 v+ g9 `9 k4 t% k
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& V; Y* U' v6 ?/ ]' [) j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。8 t0 r  X; ^3 ^. L5 Y0 ]( t
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ s) E0 ^, f$ x. G2 \4 D看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: [# F+ h$ S* E! o# P
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。5 X$ q! y$ |2 w) M; `4 L# @2 o( r7 B

7 @( s0 ^  A$ \8 {- d  r5 H为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)8 k4 {3 a  e" U& u

6 B7 U4 L3 S& G$ E8 _; j% uProof:
7 D$ g9 i' B; O5 U. ILet n >1 be an integer
' z# Y3 z% c' ^9 ?2 c; BBasis:   (n=2)7 {7 z, o/ T! n* c* P
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 e0 [) @! Q1 G, T2 T- l1 y" K: h" ~: g: p# u4 E
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that3 Q* q$ j- M, X( M. v6 C
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# F5 S! g: l( h" K, D" y
/ g2 _( L8 h' Z& U- kNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 36 J. ]! O: R8 l/ u; W2 _
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- m) ?! V6 L# ^; n# Z) E+ `  CThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)! q& K3 A) l% ]
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K# {- W/ |; Q! x0 p( F& l
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( N& i+ b2 H4 v6 a0 V$ R( k  c                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 g. X: D9 Z  `- l! K) Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0# X- Y- j. r- p( E$ f
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: f6 S# Y6 ]7 P  \) J                                = 3X + 3 ( K^2 + K)+ q$ V; x4 ?! d, k) \6 h: P
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3. t+ N3 g. |. d

9 ~; Y1 y/ d9 {9 Y0 g. R* CConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.; M3 v* g5 k8 m
* E9 b9 Y( U$ d8 P* Z/ D
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  X8 ?( x, a! u+ w* ^  J2 S# O" Q9 w
第二题应该很简单
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:0 ]; A: K  v& T9 E/ U0 A
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
6 N$ u. \; E( \
8 v; R; R  u- W* Z
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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