出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) j# ]* p6 v& q  o0 T: B3 R
2。下边证明有没有毛病？
" L$ ?+ C5 y0 F0 g, ]
& Q3 d$ h' I! Q( L设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- p. P0 h, S# P5 h两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: A. M# X  E+ i' N& t0 K
& }  g* O  K7 K/ e1 ^$ fa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
4 s2 {. [6 C' N2 Ga=2a
1=2

: ?) y+ g& `9 |8 s3 O1 T2 I证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

( U( R- H% \, w5 A, n; |1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 b+ S) r5 B! V- H! [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
. H& ]7 _$ j' @Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& I$ k; p( [, C& G
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 o0 Q1 N# ]! W7 Q- L                                     K^3 – K can by divided by 3.
  h- `4 l" J4 [( }; B* {' O
9 K6 m0 c- o. m; O+ g6 n8 f! JNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 H2 k. s% ^, T& ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& K  k% }+ t8 }4 k! p$ i, `Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) M& y3 j, k4 O+ W9 m% i* i                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* u& G7 Y! m) g9 V/ R- m                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

9 ^+ w4 T( A; d/ ]6 `. j' d/ O: ~Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

' O6 v. X8 ~! |* V2 J! ~6 Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 U* B9 t8 A1 F: n4 dShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.