出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

' W8 C/ J/ Z. q: m  @+ j  t4 d2。下边证明有没有毛病？
, O" C) a3 Y" @$ q* ]9 {$ m* ^! q& {2 t
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% d5 R8 b1 g9 z6 s# g, j9 t
- o$ N+ e+ {9 s5 X- t1 qa(a-b)=(a+b)(a-b)
( a1 l& R( ~4 P0 a0 L/ z9 `5 g, Va=a+b
7 C. i7 A0 C4 [- v! _2 C% na=2a
& a5 y5 q6 P: p# t1=2

- H, R: X1 m5 R+ z0 y. s证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

% F! G, j7 ?1 O! w! B  e1 v1）不能。比如1
& s# t+ ]( B, L4 Z: x( f6 f6 J2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ w* t0 w' }) z' x' d7 J5 f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- f3 C& Z4 [6 E0 S! N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 t. T8 v- ]; r$ R/ R! Z) d看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 o8 c  H0 j- s8 [0 C" J0 J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: j! `" L" J4 b2 g% f: h7 M/ K
Proof:
, n& K- H! J  y9 ~6 |( jLet n >1 be an integer
: P: {  C/ ~2 V, d3 ABasis:   (n=2)
3 g9 i) E- ?, x4 b# V; Y# y         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ e1 L/ j' \% ^0 d( C' d                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 B# s% P- s/ a
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  ~: E. E# F2 o  J' Lsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 \& z" T) p9 ~5 C9 l. J% |! V# q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
" _) P( f: h8 O- NSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) [" G1 p& n+ v; ?2 ~2 @3 I. g: r* B- L                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 q+ J* {9 U& h" s                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) `, n' l$ {! N: f+ E8 T
7 Z% \/ d% K% W5 Y# f[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) d$ U, C: y7 x! T
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: B+ @6 \% y' P! _' N% ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 f/ k4 [4 a( a; a, g8 d+ m- o1 O
: K( k1 k5 {1 j+ [5 x5 Y7 M8 @; {7 f# sSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.