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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
3 R4 i4 H' A% ^5 a8 h
! Z, y# @0 T, |; E5 b+ J: K3 k2。下边证明有没有毛病?
( }6 ~" W3 E+ A! o2 w% P, g3 `' u9 ^; }
设  a=b
! ?( |5 y- s1 c' q
# [) W" E( B0 y. C: n; g' m则有: a*a-a*b=a*a-b*b
6 q2 S# r  c. ^" x& |4 x两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
. c( \! {2 R2 I. F9 j! [  n# \
5 c) i/ |+ S1 e- k8 w; Xa(a-b)=(a+b)(a-b)
. a2 o" C% y2 S' {( J; ea=a+b) k$ T1 T( j$ q7 l/ r6 r/ ]
a=2a
1 s# n. R8 N" ^4 [- K1=2
# n4 B  x8 m' R
- @7 L0 {% T* m- I9 n( q4 F0 }( c$ v证毕 ,结论,1=2
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试2 w# Y4 N1 N$ q! F: i# n

4 L( Q) n! y3 K  R3 b# k7 V1)不能。比如1' ~) S0 V% `2 g
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; R) w3 c# ]& q. n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! a9 O0 w9 z( c- |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; |+ q3 T+ s) e
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* Z" q2 M& h+ G: F! }$ T  B! I# K看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 H0 W4 J. {' {9 l& O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 w) Q, g" m9 H8 Q! m5 R
2 r: G, @* ~* L/ S
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)6 a% {* u2 a: [! G& e' S
: a1 c5 V% |! B0 e3 d
Proof:
) I( \- X/ a  M+ p( B4 i1 j  BLet n >1 be an integer
/ D- f/ ~1 [) v- j( M8 c" a# QBasis:   (n=2)
1 o2 C" W) g/ ^4 P% i         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- |8 C) Q# _( \% w( t( R1 B
! }7 Z6 E3 h# ?# ]4 t: PInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that6 Q" ?) x/ h* `, x* v
                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 d( K) r4 M8 Y9 s2 B$ I6 _" Z  a/ p3 [5 V; ~2 }! H; {
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ ^- J& F, O+ Psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem+ ~8 n% v" ]$ ~
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)$ P  E( \* R5 M9 m5 ]! V
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  B* r/ N1 j3 |& p4 ^                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)5 M1 \$ S! I5 H( e" @4 ]2 ]
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)$ d$ u; D7 w$ g6 u) m
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# z* ^1 X7 F$ O4 xSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 u' \+ s" n. v9 V" N! ]* }                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! v/ M" B! P& b                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3- A7 t- B' e! w1 s0 G3 Y

4 \$ f) D% E$ P) k! P0 e# E( iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 p& C* q1 {  ?" C2 W9 E; H, L' |/ ]: n" G- L& x- ?4 t
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
理袁律师事务所
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。3 Z1 n: y+ @# U9 Z: R1 h

  N/ W; \+ B* g- |  n/ e% r1 x第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:( {+ I/ G: M* K" h: E6 ^: G7 r
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 |1 {8 l! K( Q+ A7 {$ v1 S" E( S( ]% T+ L
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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