出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

9 m: M6 H; E: O. E9 P8 g+ ^9 Q7 e2 k2。下边证明有没有毛病？
! _" \; M) D& t4 B3 `
& g+ R2 p7 ~: p) h4 @" E* W设  a=b
" A2 c2 x* }9 P$ o- j/ V
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
7 U7 z" t- f5 u# w+ D) `' D+ n7 O两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

" ~. [# U; k! La(a-b)=(a+b)(a-b)
% X( F6 |5 H9 A. \1 la=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 z  Q: K. K  H7 R5 Y' ?9 {
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 I. X3 m5 w; H$ d1 s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  s. n( I/ t& s: u- H  y, i
Proof:
& v1 {: h7 g3 e5 v0 Z/ U7 rLet n >1 be an integer
; J6 E: V9 M. g7 h, z9 I  EBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 {) X, H; p  k) n( {
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

# g2 X- F- N: MNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 B% ]# j6 t& |4 C7 e9 w  [* fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% S4 H2 Z# W* `" Q% g1 y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 `4 \5 }) o  p" D& yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 [! F5 `/ y2 e! d* @                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 j# ^  `% o+ M0 ]5 Y7 [                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; s* u; H  ^9 V) o. u9 ]
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

, Y9 M8 k0 s. z( V( H: K1 N[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 B$ ]2 z# r( q: w) j4 O: D5 A& Q( O
. A6 p8 \: Y6 U) b% d1 v1 K3 w3 Y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, {, P3 C8 P3 C/ G  @, E+ DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. Z5 H- G4 @2 _- E6 D
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.