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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?: e+ M+ H# t7 `0 s+ n0 s9 B: c% B' ?

8 j: ~8 x1 G9 J" c# |' A% T2。下边证明有没有毛病?4 T3 z- B9 V  s2 T6 ?, }
. L: e/ \' B. n$ \
设  a=b
: L- ?3 |1 k: P9 u! A  g2 l% g7 |7 T! O- N) n8 E
则有: a*a-a*b=a*a-b*b) I3 N( W  H* r
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):3 P6 x" g/ c; D9 x( |2 Q0 z

' H  u) a1 G8 C- ia(a-b)=(a+b)(a-b)7 H6 i  n0 w' F3 x* ]0 g# h
a=a+b
# d) P1 J/ \8 g. d( ga=2a, D. N# N1 L7 |+ j) I
1=2
6 B! F% g1 T. O6 ]6 k3 A, U5 j
* W- c$ z7 V- ]0 {; ]  v3 {证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
( L$ e9 o" z( e* {$ v5 \: {3 f! r2 r" ?! {: Q8 U4 ^
1)不能。比如1& f/ O0 s2 e, P; P% L0 d; r
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 r4 H3 i" M9 \1 `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:! r1 m2 C- e) ?) [; C5 E% |1 [
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
1 }# o' |: n) C0 b6 g7 \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
# h% ?# |% S) k* B7 c
看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% T3 d/ [/ p  C. s) F6 G0 M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
. X# |% _. @0 q) ]4 a; X( c* m8 ?
7 H* Z8 ^: j( B
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 C' `, h% Z- L! Z) C! J9 {
& @8 W& z4 I" w9 P" ?Proof:
, K6 s- {' [& U, \! VLet n >1 be an integer ) K$ b- V" N! z/ W% P  E
Basis:   (n=2)* z. t2 r0 y1 k( ~5 n9 |8 k$ I- C
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 D  C- u; Y6 V, ]0 F6 D9 U1 D+ t. ^- c4 `$ ^" @+ c/ H- s
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 t% ]' i' C  Q7 u                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 E' V! W+ u7 M( v- a) [6 V2 I  t( G7 r
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, t4 r( u- F( wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem: K# j7 B5 J" E, B) K0 q  h
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)- q( h# ?1 O7 c4 t7 Q" L
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 J" V# M0 p  a. {% O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ L$ ^# @' }3 T5 M. ]7 P1 u6 x                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 S/ G2 E% m. Y" d- M; |- l' Xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0- r0 L) j# e; q2 Z) |- L
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 ^, g# s3 A* r3 I                                = 3X + 3 ( K^2 + K): v, ]1 x8 c. f' I6 E. B5 ^" R
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3) f& `0 V0 d5 ^/ \: }$ |2 F$ b# n

& t2 c/ J( O7 b0 R# r$ L" BConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& z0 D" _# \8 X' V6 }
5 g9 M+ A# r+ R# F) q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。& _" D9 K0 m1 C, ?/ C
3 \$ ?2 U- J' m2 H
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:) b/ m2 H6 x  M* q
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
0 ~& [. V) z+ J7 `1 l
0 S0 R- ^& ?2 _! P* K4 J4 e
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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