出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
8 b: ]; r+ A) F0 m* M
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
! F1 j: E& c+ F0 j- i
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
7 Q, f+ b6 y# y3 e9 R' m2 V) }两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 R( c5 Y# m! ]4 Z: K* M
/ |0 O0 z, O, _- T3 G$ \6 n) X; ]a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
9 o4 R8 o; k2 e8 ]: j6 ia=2a
; U- \# U9 w& q2 t& ?1=2

$ z. Q* ~  Y& z% X$ D* i3 Y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* J9 O, V5 J8 o6 c8 P, ^
+ H5 ~6 J1 m- z9 k- {* b2 o$ G+ C1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  L+ v1 s$ Z* ~8 E- k3 h( O% T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- X. u' _1 C: l9 Q1 f
5 o% }0 F* m0 @+ m. {5 h1 VProof:
- B- N2 D) E6 s, @Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
! i+ v' K: V% H         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# |) s1 n2 [1 z+ q0 y
' ^: n6 Z% J0 B2 x+ w& wInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 w$ r! s  Y- r5 B
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! K/ i  s. [& f( asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 h0 m  ^- f) ^/ d                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# U5 C6 T' @7 k6 M  s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- g, i( v9 k7 k, @" p5 ?' K, r                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 F  f* M; u$ i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

& `" h# f) }& p# q; t2 {1 h& gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

% G! P1 k5 O1 I9 c/ s" T4 I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- d8 ^7 F; s4 k; `' Z! a5 K  iShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.