出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ \1 Q7 @' ~8 l. b
2。下边证明有没有毛病？
* I' L0 N/ E" `
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) G+ p, r* ~! L6 Q. a6 D
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
# `# O+ \# {9 Q( _; qa=2a
1=2

/ n1 E3 l7 x. {: _% {证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

; \+ I, Q. t3 l& M- C1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 R2 K% W6 r4 V' `+ H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ v1 _4 X7 y! ~  @. o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& N3 H0 F& @# F  Y0 s看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- y% h! d, Z7 u- D5 J% o* D- a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

8 H( r* b/ d: e# g9 }: @7 b为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 z/ n' l# i, m% K) _3 S
Proof:
Let n >1 be an integer
+ b- v, ?5 z" L- T" ^" I6 g: LBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

- T, L4 Z+ L- }5 q% \* }8 \Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! u; Z. D/ H( B  |+ Q! ?Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 p  o7 c. ^% |* `) }/ ]' O                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 Q! t3 @  V9 L) Qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ U% \" ?; E7 a# r                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  {4 p) a- O. b) c                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

1 o7 E( j2 Z# `2 h4 M/ K) s[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.