出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 Z6 h9 j, e. _1 r
2。下边证明有没有毛病？

0 }7 s7 C+ V5 ]2 y0 L. _% e6 q设  a=b

1 k' J( h: `: a1 k, F9 i' h则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
5 f/ p! J4 r. B5 o- D4 U' c. ua=a+b
) _3 ?* d4 m6 c* }1 f8 Ba=2a
1=2
& C+ [- [% k! r# e9 ]: j
; w5 a- `5 h6 m% `证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 p6 r2 d" ^& ?6 l. M  t# Z- z
1）不能。比如1
- p( G: ?/ A1 P% {! h  E6 C7 c2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ G2 Q( l& ^# w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
" ~( G! b" A( q/ x1 jLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

; ]/ R4 {, o1 U& A1 `4 j; S0 OInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  F8 {* y8 A5 M. Y" w                                     K^3 – K can by divided by 3.
. _& U3 w# y: h. f
' G* u. z- U* H; O5 y9 ANow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  `2 p4 V3 S8 ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! b$ B3 `% e: i2 l" m3 p4 e' l( y% T5 uby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 ~8 P% F7 l+ A6 i* }3 O' ESo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) k! M5 g4 G5 C" e. x- o/ d                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 q& ]* Q- D  }3 [/ V
0 R' y. |% Q' f5 V6 w% G* OConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 J+ j1 s) {/ l1 p# V" [
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

  k& q$ ?" a+ I  {! k8 G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, j6 _9 h2 E) L: B
+ `7 f. m/ M+ ~0 ?9 |- ESORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.