出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. C  g; c# Q+ H' T% i( O
6 |9 ~( n4 f% @6 z. o  C2。下边证明有没有毛病？
6 _4 C/ a" _& Z) s0 M# g: u
- }: L: x/ |3 Q; j设  a=b
+ K" w) p" z' p
- ?# Y. q- j( ]+ H+ [0 M则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 V" a9 p) g: B: ^/ V9 u# Y两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: ]' |8 Y+ V# G( n3 q. o
a(a-b)=(a+b)(a-b)
% X! d/ j% ~& h' a7 \  n/ Za=a+b
, ~" c+ l/ L6 b. r* u0 `5 ~) y& E6 [a=2a
/ W7 w6 |6 p  D( W1=2
. z5 H, i3 Z" S9 @+ q5 ]
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
, f" v) h2 w3 o, Q# v4 Z2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) M# R) [; M$ _4 b2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) |0 N8 O! A; w6 s' Z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' ?: E, `6 T  Q" N% S$ v- k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 F9 T9 U6 A9 e  V/ r% k' F; j

! e) {8 _( U# X4 r1 r( [为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* K1 I( k$ j7 T* c$ }' r
Proof:
Let n >1 be an integer
- ?- t1 s" [  z' ]Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
% J4 F1 B0 O& k; Q& [- H
" S, B! q3 J& N2 ]Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% C# u# _1 J( _/ E                                     K^3 – K can by divided by 3.
: W# K  u+ v5 ^. c, i# r: n: N
$ X9 ]0 ?) c# r+ O# dNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: Y5 n& g' |# N3 d$ dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# u6 \. k0 l1 _: w( ~' h- d2 s# hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 P: C$ O- n) Z: f                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) [' g% ^# |7 _: S' f5 m- _                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 `1 A5 _* Z1 Y# s! I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# q" a) P. t. j4 E! Hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# A4 i- }# A2 `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; Q& [0 [1 T- v) X: h2 `                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

; @2 \" c& N4 VConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

* R+ E& ]& }2 N' G, h. D  g. t[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

+ s$ I  ^0 B" W5 `第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 d" H: X: i  F' b' i
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.