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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?9 S4 P0 c2 h: S# x' u
/ e3 W9 T2 z# J0 X9 A
2。下边证明有没有毛病?; Q! ?- d7 K! F/ H( q( @5 _( k
# z" Z/ R. m  e/ ]% L0 V/ Y
设  a=b# W7 k6 f6 t9 Z& G2 l8 T/ H6 q

$ d/ E' X6 q+ a* I% o; k则有: a*a-a*b=a*a-b*b8 H) v- S  [  @# ^3 g7 U% S
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
6 j4 v3 b0 y7 I5 q2 f% c
+ W8 u, v7 F* {7 {+ Sa(a-b)=(a+b)(a-b)0 s2 q! `: r" m; F+ T1 S
a=a+b. d: I0 S9 H! G$ c; o5 ?
a=2a" `- Z5 I& Y& X/ S  T
1=23 f( K; ~' [, v6 `, D' l- [9 m. M
  l1 c3 i  f6 D  A
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
( l: J: E+ f2 p& B0 r4 i, J' q4 P4 E) W4 i- b
1)不能。比如1
# [/ _* V9 w8 `7 Q2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
& c2 ]: E; G3 l9 L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: J4 V& Q& S: D4 x4 N5 a5 b1 F
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。/ a5 e3 Z4 o* U9 i
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
& x1 U0 [3 b. v# i+ w( W
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:4 ~) O: I( z: A1 y+ B
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* a+ F$ [, x; G: P/ q$ i+ z1 f7 G
  ]8 Y8 y6 J% O; R1 F; @8 s
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# ]% R, a2 B+ }6 S( }; _$ M6 a& Q" L( A  f& b8 f
Proof:
$ a8 v; _3 @5 A, J+ l- FLet n >1 be an integer ' N" s2 Z3 F, t
Basis:   (n=2)0 v3 H% V3 [3 B( z: ]7 l
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" ^* U7 U: H7 W. W6 {8 C/ A, G4 x8 w# W) L1 I- r' \5 e' x
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 _4 P( x3 U/ @+ Y                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ g( U6 U: T1 R; j! b1 j3 ]9 k" W
/ U3 ?' P7 a- z$ d. c3 c8 j8 P4 [8 ]Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3( n4 R$ _/ T# W  g
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: D2 H2 d) O6 j4 e* e- sThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)! t+ I6 U; J& x3 B4 ^, _- I2 c
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K! o* L" T1 T' p  d* f2 @$ Q+ f" c
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 I) D: o- Y9 F; z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)! ?/ U+ A# Q  O( u
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& w5 L5 O$ _5 I! T- K+ c- S% xSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 J. ^0 \! o- s4 \2 @1 J% _. R# M                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 V* t; {7 y: @/ i) Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
' |% e6 v$ x, }( V2 m: q
: A- t' T5 E# y# `; |" j' sConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.1 D8 q, j9 B. b- V9 ^

) |+ [4 e4 d8 C% N+ E+ k! @) s[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  `. J5 u: n8 P% {- M
; `' E# B8 r0 @) l* _5 N" n( Y% o第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# L& F' ^6 y. h; ]" c2 N# u- V& I! |Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
- _9 e, ]' t! D+ z$ ~8 N

) V$ K3 @0 h8 M) s  {SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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