出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
. o2 N$ a# o# x. L* `2 D# i1 N
9 q1 k7 Z  f( n  s( n  _: L设  a=b

/ W, z; Q: _6 ?, P2 R) f则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

2 T4 {- K4 B# U! y* Na(a-b)=(a+b)(a-b)
$ Y8 f2 j- O3 l' La=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

" g+ w: \- x; {9 B) o1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# R3 ~) d- V- R! ?# Y8 G9 O3 P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 x2 W. C. J" l看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 x- Z5 i) [+ L9 ~2 G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

8 m* w9 c3 d2 ~' U3 ^$ kProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 x5 ?/ R" O$ E# Z; g$ v         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- l  n) w- [8 g( u' K1 p
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  F9 K6 H: W! ]% {# b0 S
5 c4 b' j  E" c$ P: KNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 Z: I/ \: ]) b' O% N) }1 `7 I% G                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: N/ |4 R! _. p7 p. ~! @by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 k/ B) O% w; `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 z# W9 U4 q8 d9 `+ W, K                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" o. ?; b4 A' p0 Q+ J' G                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# I/ O+ M$ F' ^3 I
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' u# l3 B8 j7 @: K& |/ [
6 G) }8 j" }4 A" k: A[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 s- Q) f9 O7 d. \" T/ q4 ~* d8 |
% E* T; B# L5 {( b+ P第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 b* P7 [3 \1 U6 Y5 L2 e
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.