出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

* P! F/ `% r/ L8 G! e7 ~2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 B+ `) @4 v5 Q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

& C% F( w% k& d: t; Z: aa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
7 ^4 ?! }5 B/ g& ]- B& V( L/ ea=2a
% Y, H0 ?! a5 a  _2 k; G) W, \" h1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

- D1 B: ~3 J! u1 Q0 K  q1）不能。比如1
4 Q0 G- I5 z; Z2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* h5 t9 f* |* u; }) b3 {8 ~5 p看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ B/ R- T  ~) e# h3 V: U0 w  m: _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ a; `: ~5 e* K0 x

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

+ \* w  b8 G" U& }Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 [8 `& F( o$ o% P2 v' c         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) m8 \( x7 B% f7 Q7 G2 z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 j6 Q0 V! O& E( j6 S4 W                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! ?* d& X( S/ y7 Q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 d2 s2 [9 U1 Q# @2 a. j; zby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 G0 P; g4 e9 i; NSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 n6 M7 q" {" S! g                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 x% h( B7 R- U1 u# S' l2 U
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* {+ n2 I- c/ _
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ l$ U5 }: }# G, Z6 M" w% e
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.