出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; X3 U) E( H" ~' J) O
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

3 I2 Q) p  M& F4 ~! q. ^则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' }+ U; c$ `- O0 G两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

! ]+ X! n1 F+ F  Na(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
6 O' d/ H& U0 Y# _' n9 J1=2

/ @9 ?2 w; p( ^2 P3 Z  Q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. m. m6 o: Q( u  T# k
1）不能。比如1
' N, A" |1 z( E( c7 E2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 c4 j6 H! u/ b/ r6 G; D# m6 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( w7 {( i! W! e/ @' A9 u看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

0 ^; _: r' \& \9 A& Q1 b2 G+ {1 z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
9 M5 `3 j( J- V$ i+ e! dBasis:   (n=2)
6 z) t- g  ^* t. w" W* n5 G$ H2 K         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& N; M: _0 m7 r                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! P" y# R0 J$ D! c& l# gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  p4 }  Z) Y: ?9 Y0 p" V. EThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 g, l9 J5 K  M, H6 E                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  C  p+ {6 O9 n; B                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) r* H, M  B) }5 g9 qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, b2 `" n0 o' ]* h; c; N" \9 U% G/ ?% {                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

6 p# s: v: D5 p4 A+ x第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% T4 Z% v  i, H" @4 _7 f) d( ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* o2 r6 j+ T* T2 I0 \9 I
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.