出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& }& }* h" ~6 }7 z% W7 F5 q4 e
2。下边证明有没有毛病？

8 ]& @% a$ u* {5 Z设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 w# |7 f& c7 [3 t' U+ R两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ I! E7 o/ E& y2 O3 ea(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

+ u: t4 ^5 R5 ~3 U' L4 {" d* `证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

4 {6 C% ]7 }" `& e' u1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ Y' ^! B" ~" {' J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 A! s2 [, {9 H1 `% a' y. ]2 D$ x! j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

. t- @& x0 B" L: K为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
) ^8 b8 B3 |9 P% t( ]( M, _Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 N/ K" l" J  c  a
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 s5 r% E2 J0 f                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( |( b) F% G2 @, h7 }# csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; |# d) J$ r6 e3 V# c2 p! a" RThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- [9 I& U  f0 v3 S                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, P) o( q- u% M# D3 FSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 N) n" s, n& a/ k1 {  Z* C3 r                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- r; R7 O% ?  A& d$ i: J
2 f; i; G' [0 J/ o1 h! Y5 W  ?% p[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 t% ]2 f, C7 P1 b3 \3 p2 pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.