出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 }: ]2 n+ ?" l. C/ S
2。下边证明有没有毛病？
% F5 c. z5 L& w& G
# @* \  C* _# n设  a=b
" ~8 X5 y& [/ k0 ^* O/ H* F
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. z$ ~( ?2 O9 p9 ^# C# n! K
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
  J" f# e! U6 H9 @: k, J' {1=2
! m7 K7 T, |9 z/ K& l: R
) X/ `. V! H% d# P0 W1 `证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- z" h) B7 p: O3 \
- _) s: t( N6 {4 K1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 `4 ]1 t. @* f, K0 q# R% b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 z: f5 c( e8 j: q$ W4 }

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# y9 j) F* J0 s- M
Proof:
$ A& y- X+ M( X: k* `Let n >1 be an integer
9 |0 r) s& F6 oBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& Z# u1 y8 |5 p
, K6 y3 i" j( q8 p/ [+ Q; pInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. r" ~# A) d1 F% P- J5 q4 l                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 p8 }6 ~, ^6 }& r" i
$ I: i* t+ j6 r2 b, H: pNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& t( r, Z, [2 \) j& t                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 @! ~, C# B" T) T& uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 F7 L& I) \. ?: C
  G% p! t3 b  H; c# U3 G; h. CConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

, ~- ~; C9 m; Y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% V( d2 x# T+ T% B
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.