出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 m1 ?4 Y5 S+ t: o( y, H
2。下边证明有没有毛病？
& M3 C9 A/ S* N5 Q6 U3 \
设  a=b
. D4 q0 U1 t8 z* G5 q5 l2 Y
+ P# j4 Z* C5 z2 j, ~3 I/ F则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, W$ r. x$ K8 N# o两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 J0 F+ O1 @  f" r/ a# ?% u& U
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
* k% q. U( Y! {a=2a
, y; Q) J! N* T9 F+ o! T( `1=2
; K, P  ~0 J7 G- v9 ^* E
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  Z" s! e  Q0 z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! ^6 R9 U$ {+ G$ ~$ O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' ]- o, y4 w% Y; F) b2 a. n看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 ]: G% t7 t' ?( P4 {2 I! C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# `- H: ]: A5 \* Q

* w& j  k0 w6 A& `  m! g- n8 u为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
8 x& s( F! d2 Q  H8 pLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

* N9 W# J3 g# m) A4 K- MInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ i: ~/ W* i* L; E4 E9 V$ ^                                     K^3 – K can by divided by 3.
# A7 R: i6 |; E  V
: V5 P! n5 x7 B5 U3 uNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) @' ^5 D9 |2 R$ H                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 }1 v% _$ s& i, i) L' R                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 O2 {7 ?5 ?+ o  r0 l
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. g. K( a: C3 M2 ]% m+ x; _4 h
* v$ [) s4 w5 |+ P" x2 u第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.