出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

' ]1 a0 Z  I. v# ^/ ^) s, a设  a=b
7 x+ ?3 ~, ~: A; u/ n
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
  F8 {0 T( }. y8 Z0 ~- Z: K; n8 t
a(a-b)=(a+b)(a-b)
, X# v. o$ d) _0 W9 `& x7 W" @a=a+b
a=2a
0 h7 x/ A1 |  d: Y) e4 g1=2
& Q, [4 ^* K/ O+ V' [* R' \0 x
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 ]+ d% z  n7 [! g& @6 m* l& Y6 L
- H2 P$ |. t  o1）不能。比如1
/ P* O" `7 X2 l& y& p4 V: J2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) I- b4 i" X# ]0 Z2 T% F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- m% [9 X  F; X& h/ K  D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; n) E) ?+ V0 R! s$ M) [0 m% K( E# @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 J' J; U# j' }* v8 o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ V" C) A7 R& ?. x+ N

- N; H  c4 ]( @5 [为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
. D/ V3 J; N; A8 z% s8 \  R
Proof:
( j# A% E2 J. O& M; Q1 YLet n >1 be an integer
& {% f1 X- l. v  wBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ q7 ]  z+ w+ [3 B4 x4 q; v
6 x; o6 H- @% l" i& B+ mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 E. E: w( z/ _4 S  c
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* c! g" L5 w9 ]0 ]+ Z( C5 S$ Y+ Y& u                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) Y& e  |; V& |$ ~. `+ c2 A                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ ?, V2 G, m, y, u6 m9 h                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ \4 X$ t+ }2 x; h
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. p; J* T' l- d; w1 W5 y
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 l/ J! Q7 P; J8 Z( s6 o  d
" o  h2 ~7 h: z; w% K; r- U第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 w  c' h" O7 p  u6 yShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! t7 A" U2 p2 \- U3 K% l
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.