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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
, k  v9 X. Y0 i% e" p+ {% [' }* s4 e; s0 i) v* M  w7 s
2。下边证明有没有毛病?) v1 @8 ]. P4 V7 t  n0 N

$ C+ ?! i8 u- k# ?/ }4 ~设  a=b
* }. R# j3 j, J- ?! A, y0 @6 w8 |. d: O! Y: i! P2 q
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
2 r) M0 L4 h& |+ ?2 P5 |两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):: P. Q4 G* x8 K, J( Z8 h
5 Y5 R  F$ T7 Y
a(a-b)=(a+b)(a-b)8 i- @; `# x6 x: c% ]
a=a+b; g3 C8 Z7 U4 i
a=2a
& Q" h( P( o% ~! w& _6 t, w1=2* x8 S) D9 g" l( V

1 v* P; p  T9 ?$ c! K/ F0 e/ b6 r证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试5 P5 |% H9 J; v0 I( q8 m
  Y9 A5 j& V, h2 l- z
1)不能。比如1( A; h: s5 [3 R, S" Q' v
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 X, X* g# Z* K  }, ~
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, L$ o7 t( t/ y7 ^
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# p% b: f0 t& V. Y1 {4 u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
3 Q3 m3 `! b' C; y0 ]/ q6 S1 F
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' j6 W! x" n  s( E5 ]/ R4 y7 H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; p1 y5 a( F1 m: ]7 _: s% p4 A

* z: W- _5 ]. w( a* m为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)9 M: k* y, o! D+ }* @$ \7 s

& q' M6 f3 E7 NProof:
; @7 o/ J: F, c$ v0 J7 ALet n >1 be an integer 4 C" S8 x2 ]. @2 L7 i
Basis:   (n=2)
/ A+ L$ `6 j6 P; h. \* f* l/ p         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3; F4 ~$ l1 y, V# v6 \  k
- K; W/ A4 k1 L- E, o' H; k
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& |7 W) i8 E! H  J) y                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 R, ^0 ^' F1 Y' v1 G- [
( g8 l; ]" _) r2 l3 oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; ~3 a! Q7 e! qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem$ U9 T$ A' }0 `5 S$ J
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)7 L9 k4 H, @. S( Y  z4 K( I
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 u( l9 O" V; b- M. v$ c3 M- e: e                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ w( L7 S* u4 y! y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  _! T4 f$ m% ~# x) _by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0/ \7 y) @3 f1 h
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 g% j. D  g/ w. J# q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)8 \  b# c) \, i2 z
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3/ n+ b2 w" E8 _, N

- |" D" s: k+ ^Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.2 \! D( P& B0 I
) v3 _8 R: J2 k5 R
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 l, |" B; }: K9 w; H/ f% y4 G( r2 F/ H6 B( [9 z' ^
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:! h5 i7 L& R* x9 m3 i7 x
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# z% b  ?1 g* U1 S6 d
4 ]  [9 r# E" S: C/ b9 H. ]/ RSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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