出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

, C) v) I3 P% _( P2 N' [设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, x: y! R% y/ t
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
- v2 v: I9 a: na=2a
1=2

8 v2 g) ?# K0 {, ~! R证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 p7 z+ Q3 e6 d; h% d& M! L
1）不能。比如1
, u! S) {$ b  ]* d. u& X1 j5 E% P6 C2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ y+ W: s2 X; Y8 G: v* W, h2 q2 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% }7 |2 H0 O: }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 n, W' X( ~9 w- `4 u! ^9 \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

( O: Z! X$ j( A" l) BProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
" A* K/ A, u7 x0 Z- y# J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- |% o. z' f( }& n! M
* [9 V# G! E7 J- ]2 U; G- FInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 _, J+ B' L( y! f/ R+ f                                     K^3 – K can by divided by 3.

$ Y) |0 j# `1 m2 ]) i3 M' f# l+ VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: c* M2 Q* }, i7 C' q% J/ L6 fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) ^' H" G) z1 `/ RThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 d; r( ~  i# i, l: k! j( X                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- }. Q" `4 ^0 s( y4 N* x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; m* ~  E( T' A  i
; f3 ~9 T$ b2 S+ X8 u/ K! t[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 [( h0 V% j& p3 Q
- K7 ~( _, [% `7 T3 x第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 g1 j4 m! U$ ^0 P2 @6 k  v, O
  O6 t- l5 m' K% y6 }) zSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.