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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
3 E" a# k8 w3 d  D+ V, o5 f3 p" Q) Q! P+ B  m! ^; Z
2。下边证明有没有毛病?
, N# n+ V- O: r% q! H9 b* x! ?+ x" H$ x+ p
设  a=b
8 T+ e  _, q8 d
8 n2 E* }- B: {5 k则有: a*a-a*b=a*a-b*b/ t9 P' h( W/ b/ G
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):' _8 L& {. r6 U- }* t* x3 [- z0 h
' ]! `) ?7 K% J" L: J
a(a-b)=(a+b)(a-b)
3 B& F! y0 ^6 ?a=a+b' S2 v- f, e" _2 H
a=2a* m% H' V  P7 l, v( |
1=2& k7 M4 x( m  e' C; U& y6 [8 o, ?
: t9 F$ X  o/ x  J
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试3 |% b$ [& {6 Z( Y- j: K7 l: N
  J) H* m5 S' u* A6 ]6 l1 [
1)不能。比如1
9 `5 S# v4 b, S9 [, c$ C9 Z: L1 l3 i: i2)a,b不能是0
理袁律师事务所
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; a/ v: W8 f9 z9 F
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:) S6 E. q" L& w$ D: T
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( l% I! P. o7 [: Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
# F% m3 u& a9 @& s, |9 D( z
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" i& {$ k4 x6 n2 c. @' `3 }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* c- c! T/ F7 ~7 J1 r, O

" d8 L& \- ?2 \) x: l0 }0 Q, L为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 C7 ]5 t8 z6 O( O! @" P5 }. e0 @1 v! m  b. `' h! ^; O
Proof:
! `- u2 A) n; D/ t( w  yLet n >1 be an integer / [0 q$ n7 b% J
Basis:   (n=2)
( N& L% O& M4 n; R1 c* h         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! O- D% m4 E" e- ~
4 Q5 x0 N' y% p8 \& V" d9 l8 `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 b: g) G0 G# |( [                                     K^3 – K can by divided by 3.6 k8 N6 K3 o& ?6 ^* R5 u9 Q0 H
( J  g0 v& S# ?
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ G6 u7 K/ }( v* C2 q' l$ jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 f+ N; O8 q: H- X. w& SThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)! o4 d5 J! t5 O( T7 c0 Z- `
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K5 w5 Y' I& n0 F  W4 V2 a) w
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K); l$ ~& C; Z6 \4 D
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K). P5 F* }8 l6 D- q( k
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>04 o: h# b8 j( H- ]
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)) e( v+ `. p/ w  a( B( m0 B' o
                                = 3X + 3 ( K^2 + K); `" b4 c1 f5 }; W6 |  Z
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 38 d+ z* b1 O7 m6 N+ a0 I

2 `) r/ ^, s. l# Y, kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.2 D, t2 x: ?" Q  E" r7 B
- K0 x0 d( s8 p8 L. W& I- _
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。! P" M! u8 J: J* S  D" L9 Z

5 {0 Z, {3 [% b- l, I  I- b第二题应该很简单
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:9 P9 o! w3 s8 e$ i% i& K0 X
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
7 H% ~$ t6 q+ a' X% w, d  I# l
+ c+ ]: A. A0 W7 _) I2 U! o: a' t
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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