出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! v7 D# s: a8 Z/ v, R
0 [+ a/ K) W* n. U! x+ T" z2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
6 d" c& w  Y1 _4 k5 ?8 X8 K$ p
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( l/ c% G6 G3 h( i) D
5 }* h& u4 f4 A0 W0 Ya(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

/ i' m0 Z: S! i( r1）不能。比如1
( y- m; q; s# ~& H2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 U- D' E& f% X* L8 Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 _# r8 [& Y! S& Q" e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 L8 {8 T( L5 t2 l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 o% f0 u! A& H  z9 m
" q7 q2 v2 t3 i5 W* L/ W% t8 g+ ^3 |5 mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 @9 {) U- q; H, X* F
; `6 d3 C) d* r: O/ ~7 LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 D8 [0 q* ^, Z% f' S! w" W( O) t                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ z8 M7 R4 G5 x5 q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 t3 h  X0 m9 M9 d, O& s6 G3 c                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, k& m- V' ]4 X
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& i% Q- y3 a7 a( @% aShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  b" C1 k  G% Q- xSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.