出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) v: g/ {. ]' {
2。下边证明有没有毛病？

8 w3 _# E, t: ~1 n: r5 l4 c设  a=b
+ d* z1 m. U+ p: g) ?) f
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- E4 L. C; M# o! B2 ^' z" ]两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# R) N( w; N' m2 K: Q. F
: h. u. M: S% `* ~, Ca(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
0 r  }3 _+ [$ I* H7 x1=2
- u% r6 _: V$ R& J
8 y# r# r% G+ y1 ?$ u4 J/ ^8 @证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
  [' O- |1 P9 B% d  c2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ M+ B4 {+ X# e: k' h; P1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 ]4 U- A6 r, e( S* n- i( k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
" A5 L" r( s* ]7 j% {Let n >1 be an integer
3 X) O" L+ y. b. J3 q3 SBasis:   (n=2)
# E2 j' R: m' i9 F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. k. y. C+ }; |, q: O  \                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 d! D+ e* t7 k1 y: {
% D$ P1 M0 M* ]- X4 }4 A- ?Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ C9 v6 W1 ]4 D0 u' ]since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 Q: v/ T# Q/ v! ]! [# F9 `, u: o1 lThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& x: V& z/ N% ~8 t' \) n                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 }0 G; l& V+ a9 W1 yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' ?8 F7 Y' E/ P, c$ c; `                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& E2 Q5 U. b% `  Y6 M0 Z2 g                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

* A+ ]. U) t' \0 ^9 a1 x3 n" tConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ `# S! }- k' ?2 }5 i! ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.