出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, Z7 u+ _5 W6 Z% I& \
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

, ^2 a9 A4 I7 s# x则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

+ p, Y  m. T( I1 x, M( |; A% Ua(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
$ h1 e5 `$ D. i  i6 w2 u2 j$ V/ C: I1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ o: f& S  r- i8 _0 r
1）不能。比如1
% M) u2 [2 s9 y8 A2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' e$ f9 t; F; U$ P  P3 n( r* i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* X0 Q  K! F3 P( ?, y$ }- i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  w; D% W* U* A& E看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 t/ f" G% g6 w5 A, ]9 W& |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

( i! @- k: \4 v为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: _1 v" F, \6 M/ ]; d1 X
# T( c  |$ r! y5 g( l. h" b$ UProof:
Let n >1 be an integer
2 d  y- o: s( A. |$ j4 R+ FBasis:   (n=2)
: _- B9 ^( a0 q         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 M+ M$ q( i+ B9 g8 R
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& o4 m8 W; c; G5 M4 a3 L                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% M+ R4 O8 [" v; y, C: ?since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! c6 }& r3 e6 l; a, AThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
' H1 f3 U& d' _. W/ _                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 i4 k9 d! Q- g& Q1 ^, H/ k9 e: l
7 S" i5 C. E, z% _: n! f[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 ~5 j' }( Z# p
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 [+ `5 ]# J! \' e% M/ mShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# G- f: d# k2 `7 P& G$ Q5 `: r, v+ F9 u
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.