出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

1 P, V5 h* r& O  b" s设  a=b
2 ~) s1 h' s3 p9 G5 C% `" R+ I, f
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 Z$ R: }4 P5 b$ q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ _( Y' D3 @9 ^6 e& b: k
2 [2 c  z9 T2 E: L- ~a(a-b)=(a+b)(a-b)
5 ~3 B9 \3 H5 m/ u/ c" u9 p7 `, D5 l6 za=a+b
3 |. W& a: f$ v3 y6 f* R1 ya=2a
1=2
" m* W/ P+ I* h+ r
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* V  [( b9 y( E: d' e
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 s+ L8 h# Z- X" B+ A- G: E  ]* f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ C$ Q1 }( b5 a% o' {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
0 a' R; s5 h: x# IBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

6 Z) ?2 ^5 x( vNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ Q5 w) h( o4 n, N" Q) CThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 F" W: x/ Z; H$ W: c/ N; m                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) z( n2 q8 C" C; d  |2 J1 {by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 b7 n& u& u1 y+ S( ^, k% ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; q  b. g( C5 |1 S( B' m! p1 z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 L- X& e) y" t9 E, h                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

+ S1 @! t, O# N3 ]+ `Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! Z1 M4 f% i% y' o( M
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) n) p- G1 q( J* z
! o5 K6 w3 w; q( i+ U( j8 H( SSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.