出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
  C! q0 c' d# y6 i/ x% E) @$ K* u$ {
3 {( t9 v7 Y5 {设  a=b
4 [/ i. o4 s& `8 i8 @$ _7 s$ m7 W
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ G3 f" A3 Q+ F. s5 G# R  X
, R6 d) J5 W- a9 k* T  J! oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
5 o7 `6 t! p/ c: y9 Q1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! k3 `1 h1 p, g" b0 Z0 V7 }
7 B3 U- h  T" G" q" F% M. g" o# a1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 t  a( F. R( }. R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. Z1 E, i1 ~" @, n" R看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

+ @, x# u- O; p8 O" C& ~8 I: A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% E$ {1 d; L4 u: c+ P
Proof:
) N0 M( X, V: Q2 z" uLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

5 T) e) D' }7 v. t) O9 JInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  ~/ I6 [6 y" W& r4 D                                     K^3 – K can by divided by 3.
) o) P7 ^- m; \- v- \$ `; y
( d+ b2 {; m, o3 D7 D- P0 T+ h6 x) B4 fNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 h* c2 s/ i; [( y" P                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  d7 G  x; u9 Z8 }2 O( K                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 a+ Q& E2 j" r# h& H
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 }1 Y) ?6 y- A# i1 m
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* }' ?/ v6 M2 v' @0 W4 Q0 `
4 X$ X2 z0 o, V+ _( I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ ~& ^2 `: [, M+ ]  mShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) _5 S% t6 [8 t3 ?, o* ]SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.