出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
- h! s+ U) \- P5 V" d
设  a=b

  S! W! q6 k% U! }  b则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
4 n9 V& p% U& Y( a
7 p7 F8 ^  Y: @) Y% h- Ca(a-b)=(a+b)(a-b)
7 k/ Q! Q3 ?6 a9 qa=a+b
a=2a
1=2
2 C0 M0 J1 U$ r# H9 k( _7 k
) Z$ r7 Y1 o7 u2 D证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 R9 C* J) g3 d+ `+ W1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  e0 \% V1 D$ q! ]7 G% Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. v; X% T4 J; ]" x4 }- @

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

1 |: \5 K2 j* R# c/ {! wProof:
4 o* Z; a, ^) w: w7 s( e  \3 X! TLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

% {/ D* S0 _& F; D9 cInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( k8 G0 p2 K8 n4 r                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: D- J+ @, |* E$ i; A2 Z: {since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 [# [6 q/ a% M: F1 `Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: J+ T! Z6 U/ F- g( J8 I; d& H, J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 n; [! a7 i' K; t" Eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ x# I5 k# e  }; S0 [So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: L% D; E) m+ B; j; K! U
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" l: {4 S8 |, A/ U% a4 q' U  ]8 q4 ^
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; _/ c+ n' X6 i" ~# R  p! f# @/ [5 `Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.