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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
7 w! j. O! O8 h2 G( c1 l6 c* y( |% @1 V) S
2。下边证明有没有毛病?
: v* U/ R) O- @; A0 M/ M7 F1 T2 C" ^! r# I$ H. X3 m/ I4 ?0 V
设  a=b' q* p4 D6 d1 y: Q8 H+ N, @
. }8 r4 l, M  K) P; i: L
则有: a*a-a*b=a*a-b*b9 M5 v1 Q2 F) a5 [" k
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):- @0 E) G1 \: @- }7 X

# \* S/ v- d7 A! M! x: M0 ja(a-b)=(a+b)(a-b)$ A; L7 F3 {$ Q4 ?8 `! g7 H7 Y  ?
a=a+b
" Y  n# \1 v; Q3 x7 x7 `a=2a
, h/ w, s7 \3 q( c1=2
' ?# q# W3 w6 C- n1 Y  J2 G3 A6 o* `$ w$ a) `' Y0 S
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试! d% s, ]/ `' P4 u  S( x5 V

; J# j& e- F6 p6 L9 \1)不能。比如1$ j- u. h# M- i- v0 Z1 [2 c& Z
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ L7 }; O9 a' J! c5 Q5 g, _( S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 {* p; m& H. `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: _9 B2 u; q- U$ i6 i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 |1 ~* o3 C% W9 S/ t2 a# u看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:2 g+ U5 W, C9 s( G4 l
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 B) q: O0 R% P

3 W7 b7 r: ^; }! l, C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 B  h9 m- ~% A/ S' K& }
# O: e4 K4 [& hProof: & {2 K6 u  D, p+ {# Z5 `3 h4 U
Let n >1 be an integer
, G. V* p- x+ \5 p4 C( L+ SBasis:   (n=2)4 P0 }% S3 c+ Q: t
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3) V! K* s0 S- H& z+ v! r
" ~) D: v9 H) O; E4 M
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, b) m% A% H! O1 t, D1 h5 @1 p7 _                                     K^3 – K can by divided by 3.% V: L+ [0 @; E7 ]  H0 x( N; u3 f0 a  T
' f# x+ b, {$ X; A
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3% w$ v* K( A4 {3 R9 C  f: b$ ?
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem0 M4 o5 ]# _$ r8 d
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 E& x- A3 N% ~4 L! n8 k                                     = K^3 + 3K^2 + 2K8 F9 k- _$ w8 S* d; W
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ @. a; q5 \: D. F% H7 ^                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 ^5 y8 w' y1 Mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0# \" F" C9 ^9 |- Y* h, s. Q, z# m
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 W/ D' J, c$ F5 f' \# }
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)" R- l6 ^6 S- o. Y5 p
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3. `8 U7 n) c: }. S

" x: Q: D5 f8 N! l# v2 g5 PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. @8 D3 Z# Z- z/ e
% U. R) C. Q+ _. r/ D5 O$ S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。$ {; ^* J# q7 B% u+ K7 ]
; D+ G9 @* @7 n/ f
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* G* Z" q: M( X! FShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
8 V' H* N$ W" }2 O2 v3 {$ e+ H: K

8 T" C+ ~* a3 K) g- fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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