出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 h4 {2 V( K9 E% |1 x2 I) q1 Z+ Y
# g$ H, f/ @+ k. ~) B0 K- {2。下边证明有没有毛病？

' [4 o9 p# Y/ W* e4 @- h/ V, A设  a=b
1 {) x9 f$ ]$ d, L
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 {4 q) D* |5 V* }( ^两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

8 [: p- m  N: n+ G+ fa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
9 Z5 B- m" L$ M) y8 B% d5 M# j
; O7 x: g4 Y- a2 ]3 ]) R! u! ~( a& m证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 X) }; c& V9 ?1 T5 G
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  [4 l3 d5 c; b5 o& T8 B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 {, z2 A7 W2 s; A1 v% Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 ?# h% h9 V8 G' k& b% c  V: [看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 w# C4 {9 W/ v% G' s

5 I% U# @) D. E1 Z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

: n4 {3 n* S6 F) Y" zProof:
Let n >1 be an integer
* {! W. j/ q$ T. j! j) ^Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* o& R, @- U- z8 @
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: s) f( F( G" b3 Q5 e* s- u9 b3 `/ D                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 h- Q6 |* Z1 K9 w& O, k( }$ p/ i$ ~Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" T7 J' X: n4 J1 V; y2 I0 I6 ~                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

9 o1 M9 l! H9 k( `; n$ F! dConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) ]- Q0 e. E, q& _
. Y- l5 Y# _* N" Q+ \9 r* X  Q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

4 k* |# u* ~2 S' |) F, [1 G3 A第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! F- _3 C2 d/ u; gShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) A$ ~% }4 R8 d
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.