出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ Z+ @: _5 O4 I: O. v: V% E( O1 j0 O' ^
' I2 F  ^8 w9 H9 h# F2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 W3 D/ R/ b6 T2 J: P两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

1 E. p7 x+ U$ c% ]" ba(a-b)=(a+b)(a-b)
) A9 e/ v0 i1 C5 w# d' f6 Va=a+b
a=2a
1=2

  E8 C- ]$ c8 s- }证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ \/ X7 A7 X$ p% G
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ Z$ n  ^& V$ e, ]4 |* A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 v' D- W1 A# E1 M! V$ ^看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 [  Y- ]) T6 `. i6 J+ x

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

6 V+ \+ ^6 B  B6 S( xProof:
4 O7 s4 y4 q! g: P  I  A* @Let n >1 be an integer
/ I) @2 @2 d2 k  ~% h; G% gBasis:   (n=2)
' Y, u9 `# i1 P7 |3 l         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 |/ E7 R+ l) c# ]2 O                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 p& A+ e) N/ w1 j6 d& Q0 dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% O5 s4 `0 r7 z4 k' h; ~( |5 i                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 w) m2 C- t+ Q+ j! C. B                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% H% c% ^# C% a/ N
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; Z$ q1 {6 L7 E( s: ]
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( e# q9 U+ m# q. `* E. g
3 r0 Q2 c7 d) D' ]' w: P第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 W5 }' Z8 W& n2 i- r& LShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% _/ q; _9 w9 H& U- P# K
8 M" {* k! {# |  E# ?) u# KSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.