出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

0 c& O* |6 ^$ X: b则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% G" e3 o2 Y' D3 T1 k" D, e两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 `/ R, m* B) G' F4 K! i
, g6 O! q; ?' j1 Ya(a-b)=(a+b)(a-b)
- e9 `- E" f2 X; ?4 Q" Pa=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

; ^, q( H1 {& E6 l6 u% S/ ?! P1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% D0 M$ D8 M" P2 x' ^2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ Y0 N7 Z2 v+ w0 [1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 d, J! ~" T2 W5 n7 M+ V0 g8 A& }看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 R1 D: m- ]  Z/ P: o! Z

# x' {# {9 ?0 T1 t1 p5 o为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
# Z) F. n8 y/ y+ k9 C: b8 w  E1 _Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

, E: v. t& D0 `7 ~) ^* HNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ c  ^( L. @/ u8 Z* y$ j. y; _                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: |7 [7 S+ L" y8 g5 nby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ d7 Z. W8 R$ C                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, t1 i5 C9 X4 f6 x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

. P3 N! J3 }4 q3 `5 u' L[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* k* o" R+ |# F' \: d8 t
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- T9 z0 w+ J+ B: ^Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ N* |/ W% T. \; I% W* L6 A
. w2 {. K9 s- c9 \  }/ E% R# CSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.