出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
( h7 }! j% ]5 ?) q$ E$ W1 l
8 X+ R& _0 L' ^0 l6 X8 B2。下边证明有没有毛病？
2 t$ J, m/ L5 p" c  d$ j) r
! u% \6 N. M0 \( B3 ^) `- C设  a=b
* T4 I) P  f- p
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; [0 C2 a/ T6 G3 @" `2 B6 A. m两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: d3 H& M# _* o0 `6 s
a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 x# C; ^- n1 l" p2 ]& u! a/ la=a+b
$ [( R$ d- }2 V! va=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

" f' T! K% j$ b  t  v. ^8 i1）不能。比如1
9 w7 S) N  U5 M) i1 [* n6 q2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, x) E/ f. ^' J1 i' M/ n8 T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 U. t- ~6 B) y* K- V; _' ?看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 @, i: ~4 S8 ?+ D9 b" v5 ?& O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

' A3 [9 T+ [+ ?# G; A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 ^7 T+ G7 {# B$ E1 G
9 i/ U% p* r8 z# W- cProof:
Let n >1 be an integer
4 A8 L" R4 L! n) S4 M% o6 y) ]Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

( r% V& d- B  W: x/ _2 nInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, |$ C' x% s6 V# J
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. Q/ K* S0 N; b7 Dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. K, o1 \; e3 U: S; \' R                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 Y7 J( v5 z+ G" b: k/ y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
' m! J3 V( d$ v( \* n                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: V& z# {% X7 g; _# S  A
  ^2 f0 T0 j& R[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

, y7 |. d; X  l- A第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ g% H% z1 K$ a- @) ~) [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.