出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
6 R: t0 Q. v# }: f1 t, v, {) p
2。下边证明有没有毛病？
9 J- f$ C3 w7 }: I
9 }9 j) c; Q0 ]. k8 S8 V设  a=b

, _1 U7 H" @9 H$ O# |/ @& t3 ~则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

4 l/ _' w! _& E% x) V: |a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 L* O3 N" ]& {! Q, h" {- F+ T; ra=a+b
a=2a
+ Z/ e: N6 H6 W( t% W1=2
8 y! q% W! Z" q  |" \$ x2 u+ R2 h
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# A  j) J# T" I7 r3 B# B& x# c5 K7 ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ h0 l% T0 _5 K4 I; ?0 ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 w' ~5 u& W* v+ r4 \& y4 D& M看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- C7 z8 p: o7 G# {; z

9 e) u) b5 J$ z. \- R0 n为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

" w& m9 @7 g2 o1 ^) z. LProof:
0 x8 a5 l: U  J( e* l$ T& H3 g' v4 |5 eLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
  k- N# Z/ i5 c+ l, A7 D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 W7 Z* i5 I0 s9 R& Y( v
* \2 v2 D$ r6 X' Q' bInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- R5 v. G  D% Esince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" l, }5 z( e+ `& B. E# `2 F                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 Y$ l: W- a8 [9 a! p; @* p                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% x9 m  {3 ~' {3 L4 M: cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) `% }3 l! i. S1 ?6 O                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% ~3 q2 G5 C% K6 H& A
! `( z% c* l  h+ {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 J( U7 b- j' X
7 j0 U: _  J4 d) F[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 Q6 h% n" I1 _6 t第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 K0 g4 ^, Y- M3 f( A8 eShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 A5 @7 q, s4 H1 r3 g+ eSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.