出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
# Y5 \8 X( g7 U& K
设  a=b
- q" P  M+ b5 {
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 K! Y) \5 d7 i/ m8 ]+ h: P3 M
; I; K5 P' ?% v5 na(a-b)=(a+b)(a-b)
4 G* s% G1 ?$ J4 J8 b$ ya=a+b
' b& t- ?$ j; V! ]' S, B% ya=2a
5 [* H! r+ c% b) P1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

4 T, A- g$ a/ U- u0 L: I7 g. H1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ ^* [' f; u. {# ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, ?+ d8 ~/ M; m% |% |# X% ]Proof:
Let n >1 be an integer
3 @# V8 N/ k: [& Z" K$ H6 ^; v. I& VBasis:   (n=2)
, f4 e# Z, D. G3 d% _: K         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) F7 G6 {( J/ O
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

& k# H6 d) w$ U& ?1 A) ?/ l0 |9 WNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; V2 ~8 w# x7 ?5 ^4 E# Osince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 t# {  {: d. ?0 G$ S- l! yThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 z% d, ~# [- g8 m( Q) m( _                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 J1 t: `; t& E. ~2 d6 G' }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 Q4 [  {1 {0 H( ASo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 O- A$ \. O+ Y" g$ w8 N' t& X4 @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

1 n* \- q/ W- z6 {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. P6 d: i" M. j0 ^
" i  I; q$ h0 K第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.