出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

$ X! P) s4 G+ C4 d1 o2。下边证明有没有毛病？

) }9 q/ Z4 u9 ]( U  l设  a=b

" D$ V, }& x* b  L. j( z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

; a+ @/ [/ z6 H, o) w( Aa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
+ ?) Q6 e6 Z% f- Y7 x! r% K3 a1=2
! n$ C* ?5 @* o
5 t; {( l4 J! z( A证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  c& A* D/ a8 Q. p9 {" u% ?
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

" f6 ^2 @& _0 x  C) H: a为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
0 a1 E) @) ]( w& M5 L! R6 s& lBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

) U9 Y9 g: t: f, ?7 }2 T2 B' @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! L4 [$ y9 k# A. D  }; k1 L                                     K^3 – K can by divided by 3.

- b- _# J7 q  b4 y: {Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 X- p# w4 {; J. I; ?9 G3 d" gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% I! J! d/ ?. M; ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ e  y& a5 J) e+ B4 {3 O                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) a- ]# F5 c! Y& c" p7 Q
# D; G6 f7 j/ M- T1 [% @+ dConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ {0 U7 d# I, s6 x" b
# `* p' p) }' o4 V9 S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

1 p7 ^2 J1 C+ {2 @1 G  O第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, m. h8 }- g/ ?* c& \% d' Y9 XShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  ^: l! c6 i3 {8 Z% p) G
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.