出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

% ~% T0 e  z/ L( x) |% h设  a=b

5 h$ K4 s; w) Z7 _3 {则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; b' {- a# w/ G# f" J两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ T" Z% u5 R4 P0 j! Pa(a-b)=(a+b)(a-b)
; C# G( E/ |, K" j2 Ca=a+b
4 Y. s3 |( h3 f1 E9 ra=2a
1=2

5 A' I( I2 N0 n, Q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ ~$ R9 M5 G5 b) v; ^
1）不能。比如1
1 H2 P8 d3 e+ z0 |* r; U% f6 x2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 c2 ~$ o' m8 O2 }# [: v* n) R5 j+ K, _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" s% B6 k5 |8 S5 F; G: m/ W$ n/ R) P8 Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! P1 L, x- s* h- p2 p# u3 W. q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- E5 B, C3 _( c0 P: |$ I% F/ F1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ Y& d, o7 J4 t3 H& w
Proof:
/ @6 i2 I$ c" E# z9 X. b( ^( u% HLet n >1 be an integer
$ C8 R, x) T8 u9 V# [& CBasis:   (n=2)
, C3 G  F7 E2 Q; Q2 B8 s$ w, q         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

# x3 B. D% W0 V3 @8 \- Q. ZNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 O8 ]7 p2 {0 mThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. A; X  ^" B1 Z1 y. a                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ |6 t' q( |  Y. kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- a) v, n7 E1 }So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 x& b# f/ \: b8 E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 ?: M9 J% r! `; d$ K* i
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% _/ _! Z8 G. CSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.