出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" J4 _  ^/ `2 f: {4 m: _. `6 q, b
/ a% C2 w5 Q* M1 H2。下边证明有没有毛病？

; ?2 w: `' i# w- O  L4 q设  a=b
; [" _5 b* w, e: Y7 j* C- {9 Z
3 x1 {5 c+ E7 m则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) z& N9 s  j/ b9 c1 f, Z1 A  U两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 T0 J4 G3 B( V7 t2 ]) Q
7 Q7 v1 I, M1 G+ }3 Y3 na(a-b)=(a+b)(a-b)
1 E! [3 r: P" [( }a=a+b
a=2a
1=2
4 p* d' p$ e, [8 r$ S2 y
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 M" [* b/ e# u& v" F) }
( b) Q+ _$ Z0 c* ^% w9 ~! h  P1）不能。比如1
2 i. k8 p5 d1 T3 ~  V9 U2 I2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 u1 x7 n8 r: u% n) {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
" p) q% o$ g7 t; P+ ]6 n- |
! z( J$ D6 B1 v: G: g; b. {Proof:
0 ?! L( H$ Z5 T6 HLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 L! h/ Z, T" n: l         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) x7 R! q/ E% _" t/ U+ [
- k& U7 b% w6 `% T# w% FNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! s( Y- t+ J' o& g: i: w9 q  nThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( n" x2 ?  b3 D  [7 B1 v                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  r9 S# d* K( b& D. n                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' s/ @* a0 `" k  b                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( d' ]$ f# ~+ u- E; q/ B0 wSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 J8 U+ @8 t4 T/ p0 W/ I9 w                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* B9 i6 _+ x0 ^9 y/ G
2 j9 D0 P( t; `* `4 F% PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 J. m0 F6 g) O# q7 R
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 }' f7 r3 j3 S3 X7 t) @$ x8 T2 X! |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.