出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 Z3 S4 [, f/ j" \: n  O4 w/ w, Q
2。下边证明有没有毛病？

& ?7 L3 x5 o9 r- t设  a=b
  {5 i" u. p2 _7 M6 f8 o" _  h! E! k* C
& V! N  c' m: m0 m1 C) t; u% E则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

# V. {, m# v- W- }8 |8 {a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
! M7 O3 Q% {2 D; Z
* {2 i2 [! n5 l) A/ m3 B8 z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

* s4 P: q0 E' t7 ]3 F2 V, Y8 z1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 r0 r+ J& |/ y0 g; L) w5 v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! j. _/ `7 c6 r! y5 @. p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 z" z! ~' y- Q, f看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 z1 K( t- G5 |: o( L' B- ]

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& H5 |5 r9 x+ c7 R
1 `' ~4 s/ z5 v5 C4 ?, t. eInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

. Z4 o' v% K2 e" qNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( v& i: w& n$ R" a0 @3 E                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 w* O+ q5 B! P  s/ fSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

7 m' j: V9 B  y- N  P& `Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* h0 T) w1 U4 A0 a, {3 F3 W! _
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' B7 r+ N1 g7 u5 m6 V& b) P
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 W* p, j& g4 C' E0 vShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ b. p2 O+ ]$ o5 nSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.