出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
8 K4 C6 g9 q4 P. I
设  a=b

  K* o7 K4 ?) P9 T3 Z  ^3 e则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

6 b$ S4 C+ e) i& a, W; Za(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
  ^5 S( A7 x! z, p% h4 C9 ea=2a
! ?1 I3 `" U9 y) Y( a1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

! |5 Q" s7 D) C' k! t1 n& ?1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 T/ S/ X, H& f$ G+ Q4 G看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) A7 ]& Q9 F3 }5 Z/ {8 ?( b: W1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 b$ d, R4 f8 M- o0 Q) H, g

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 Z, ~  c$ f2 r! O' V
  L: e/ V6 I8 d5 W9 a" U' q- fProof:
Let n >1 be an integer
1 g0 U! V% c3 t2 Q4 DBasis:   (n=2)
# j, T1 m& n% w. I0 K         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 f# P% o, [  r                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ w* O9 Y  u( s0 Z* s" p+ u0 Q/ \since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* X; V+ C1 Q# S" `: u                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* [: p+ w" ^+ ^by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; k8 J/ r7 G# J7 B" C; {                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

8 t; |& s3 j) o, }/ LConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

/ B- b$ o9 O5 B. @# c[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 N) o) y# N* x
. e3 I4 ^2 T$ p# t+ o, Y0 I8 M第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. z6 W6 Z; c0 O. o/ i/ ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.