出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
8 x5 ?3 n7 ]( `1 ^3 X' [0 U
/ V% t3 F4 S! |" D2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

" t+ n: ?5 m* _- ^2 c8 j则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 p% O( |" _- f/ z0 w1 a两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 b6 A6 U5 Z- Y
a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ n0 G# L. L3 T5 I5 Q6 x7 `a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
$ c* F1 ~: H6 [: B+ a) w2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- z# H' a3 {; l. {# _, S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ q* i( O# K( I# k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, e7 x) t! i+ N5 E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 G0 Z) z2 M$ D2 I( J看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ B1 Q1 ^! b$ [' T' R# a- Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
5 F( k2 s) v: b; m  ?Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

" ^' V* J4 p) y; C2 S1 O' \Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# |4 w6 b9 G$ W+ b. W! H                                     K^3 – K can by divided by 3.
  `/ y+ l! g, l3 x
1 q$ V) d! w0 D* e8 H( a" J3 xNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 f3 z  D+ f6 ^' `8 g3 ^Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 W, E! l. |9 Q$ x% d                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 \# z' ]' ~2 o; J* V. o7 M                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 {# K, _; a. T& b: k6 Y; [* }+ Eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  R; E0 [: q4 D- GSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, E- Q8 H* c0 W# X* n( p3 S                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

% B+ i" q1 U9 Q9 _# u' z& ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, e& U8 u! o9 \  Y; D0 o
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ g+ q' O7 V4 B7 g% K
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.