出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  J& s$ E3 J) g% M1 y3 u" ^
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
: ^& O( l; b- E+ ^7 \" [
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- Y0 _* y- ]" T+ s: F2 }
6 Q+ c5 `2 {  X4 g; D4 Ba(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
0 Q% H& i, H0 O0 d/ `. F2 ha=2a
0 U$ }5 o2 H& V& {, ~5 ~- h1=2

- O) e1 `% Z3 ^4 N证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

# A+ h9 U- w, B1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ b- M5 v4 F% N$ P7 J6 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" d2 c1 b- G: ^4 `+ g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
) w" I* [! q' x' TBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

; r3 c& a- m* V: T1 p( AInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- h8 p  h; q+ V7 x( I3 P) B6 R                                     K^3 – K can by divided by 3.

+ k6 d8 s+ r  V" ^, F" @+ k, Z5 Q2 b% eNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& z; A! T' _- ~) s+ w8 @# D$ f- Lsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 t8 {: Y- p! O                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' f% X9 M& `3 J& ~                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! T# P" c9 C" n- ]# R                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ u* S0 }& a0 o# s" C' V6 s4 y5 z* tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# z! w& T( E2 n% z* E5 ZSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 U, S+ e0 @/ P* o& O( T3 L4 S                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" D+ ?9 L& w( _8 k  N# C                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: D! c" B8 k# T
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! E: u" o' Q) ^, Y& |. I# u. V
! P9 P  ^# Z2 e[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 |4 R! k# W) [- R7 N& j2 O
& E! p* l5 V( k( I- S# H第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ X5 _5 V- k3 ~, i3 R* qShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% w2 w' _7 |% ^
& z, B! B' @/ pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.