出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

# u+ p  A' N- r- X2。下边证明有没有毛病？
8 m; p. e: ?% m7 d, O2 ]
- t" n! m6 r( C( ?设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 t; l8 _8 o) A. \9 w% P7 k( b两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ F7 S6 e0 P# r' |$ ]- R
. h- _% B0 Y6 n4 Ia(a-b)=(a+b)(a-b)
3 S5 k9 N1 D" m. q$ e5 u0 S7 va=a+b
" n) x/ a9 s0 x4 sa=2a
$ A5 a: _. }. i' f2 u. k2 S; {" z2 l1=2
$ A5 G' h/ C5 ?; t7 o* [
( F5 N3 ~) l8 z8 P4 Q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ [& B2 d$ L7 j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ a9 Y3 e6 B9 E& \
Proof:
4 m% R$ T4 v: b2 M6 S3 g  I* |5 f4 fLet n >1 be an integer
( \" g/ `6 \5 Z1 H' w0 r9 E  l0 LBasis:   (n=2)
! x7 I2 F" |) S6 H* C; @7 v# G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( H7 m7 M# x8 k; u+ t, h
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ a/ ^2 d" {, G7 H. i' psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 s7 n2 F; n4 N+ d5 E( l6 jThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 V" s- |; M- Q  P/ M. p, ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! C' \2 t* R$ j, _* }                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 ^" {2 ?( t3 f7 {! d$ xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* k3 d7 j  ]& ^/ h, \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; g) Q9 o4 p/ c- Y* M                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 b/ ~# p) k' z$ n7 {
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

0 d. j2 T; U/ P# B+ u[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.