出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& Z2 m8 g: J# v. U
- H) [9 B8 i7 S% Z4 u" _4 L2。下边证明有没有毛病？

4 b% Y2 M5 M  i6 Y2 O  U; F6 v7 {设  a=b

& L2 f! q  P5 J则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 C0 l# I3 w0 I, f
a(a-b)=(a+b)(a-b)
, w% [6 M- C. A- {; k8 m5 Sa=a+b
5 v( ]- w$ u6 s$ Oa=2a
1=2
0 F+ L7 I2 }  a8 Q" n
4 {% ]/ V; a; Z0 o" ?: F1 S4 u证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) b+ D# B8 a+ b! \7 V
! e, n4 O2 n0 D/ O6 R8 Q1）不能。比如1
" _+ B* ?7 a/ Y% ~' E+ \2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 N9 I! V% x' A! {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: q8 E" n  k$ ]2 v3 L9 H2 }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 c- O  ^/ i- \; d, u

- [0 z3 u  F4 G2 W* @为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 Y( e. @' g  |$ j/ G
Proof:
5 J2 a: Z8 y" H( h0 uLet n >1 be an integer
* A! ]% I3 ~6 U6 H4 b/ D) lBasis:   (n=2)
2 V+ C6 O2 h+ G7 G% g- U5 r         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' B1 R! H, ^. u% m) U: l  R! S
) c5 r' l5 y, J( ?Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, a# M; ]& t; g) a2 xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 L$ E8 a/ D' p/ Y4 ?" Q6 j                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 O# k/ U5 k( S+ s2 k                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% D  g: C$ Z' f# oby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& F& K5 r* f+ u4 k3 \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) g  v& @$ m0 }( t! F$ R
3 L5 Z. E& Z3 Y; R+ c. pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% d2 r( D- \9 V! Y1 [- C
/ n$ p2 M+ L3 p; ]9 W; l[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; X2 d8 |3 F  h
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 B5 |- \8 h: a4 W* E: G/ RShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.