出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 T$ ^! j" M  x/ R  F
/ m9 q/ J0 d& E2。下边证明有没有毛病？
1 s* D: M: w. f  C3 K) l. [
& ~/ i+ H9 q1 a: L  B$ V设  a=b

! N/ j2 ~2 }( T: W8 _; j则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
, M4 w- Q& \( c" fa=a+b
# g1 o4 j' Q1 Ga=2a
1=2
* }0 f1 s5 h( ^, r, N
2 v! o" O3 @; ~9 z3 {7 |+ \% R3 q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 ^+ }$ z: a, ~- _- W, {7 ^2 l
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 E" w# l1 M8 Z0 S看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

' `, u) r1 p: M- s为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, b" t( u7 d: n
Proof:
Let n >1 be an integer
  \$ V) a' B& B3 f# t" n" yBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 A! {) w/ e& r! H
' I$ }5 e' J. T" }" T5 @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
: F2 n2 P$ O6 ^9 o
4 p* Q) z% u% X& l8 {! fNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ c2 r' k0 h% ^( W7 e, e/ ksince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# G+ P0 i3 ?$ G' {5 q2 o/ tThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; ?$ E" a  g( A                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 Q6 c0 `. m7 O: {  t* U) R( p' w+ e                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 q4 n2 j) F. `0 x2 `# \by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.