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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?; E, O9 k) r7 Z" I5 ~
4 w5 H6 }# n5 x* E+ B
2。下边证明有没有毛病?
3 q  \: l) p5 z" G! D) Y
; M. d+ j2 c1 w, }设  a=b% n6 J# y5 y$ b' F6 w+ L) B

/ l0 w: `6 _! x3 y4 L则有: a*a-a*b=a*a-b*b3 ^: u. ]& h3 a
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
2 M8 b3 G. A4 R/ L
; x' a7 R/ {/ T) X! |. \( r' E. {a(a-b)=(a+b)(a-b)/ s5 B! j. p, u" x9 x9 @
a=a+b& U( {& H" d7 i
a=2a
/ F# M( E, K% L1 B7 r; s1=2
- s9 T* J' {$ }& u% O$ _9 Q5 T1 i: i( v& _: b" ^3 K
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
5 ]* I8 w5 C. E5 {. \9 r3 g% q' x0 K5 L* f; c# U! F5 E5 M% j0 W
1)不能。比如1
$ s5 r- H0 F6 l* R$ E3 E, J' B: r. C4 l2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。8 {$ M, A5 n8 c; r& i2 \$ M
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ W+ ^# z  {4 `4 O
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 c5 S. C5 Q9 A
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
9 g+ A+ `, @) X, ]: o9 [3 {
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:# g. W/ }" z& L0 }
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  V: l3 f8 c/ d
. n  K! x2 Z; ]# s
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)+ ^7 \5 w& e7 L+ [5 E
2 n' v) t" j6 r6 v
Proof: 8 D5 r$ n" b6 P) n/ d) t" K
Let n >1 be an integer
, ~( ~8 n6 ^2 Z( a( A/ OBasis:   (n=2)
/ ~6 r- D, P3 s* u         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3$ |, ?3 x) j) g* f' C
% w. m3 O( `: d% A' [
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ M# e5 L2 A: j: d2 x* H8 z% E+ \" R6 R                                     K^3 – K can by divided by 3.# e: K+ a; T1 |) D% u& p0 x
. W7 r. z. |1 Z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. p; H* j0 {' l; Gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! Y& g6 D% t) D, }% Q7 zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 P# l/ v: p7 x& m, H' c# d. c                                     = K^3 + 3K^2 + 2K2 A7 @) q  ^6 l- v
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)  S2 {7 D3 p: _! ^+ I- l
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) P/ t8 P% J; k4 l: ~9 U( Wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0: H/ J: B9 ]6 {0 q: c
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% b5 m6 `7 U+ A: B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)9 Z4 I& l" L1 k& P3 U
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ F6 E' a- T: f% U7 i7 ~4 ]+ s6 ^0 V# ]/ g% x! W" O7 w/ l
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) ^1 v+ A! v9 H+ a9 _9 M9 w$ J/ q% l5 z! S; {% M
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
2 }: u  ^- D2 A' ^) E
! J% g( D% H/ x1 I1 O" Z/ p3 ]0 C$ [第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:9 P9 O2 E, Q! ^8 Z1 [/ i
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! K* {( M1 w* Q/ h' F
5 B- K+ M) {8 q7 v% OSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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