出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

+ n6 V5 U  s8 C# g4 {: w. F2 ~2。下边证明有没有毛病？

  E# w* j3 u, _设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ i/ u9 d0 `# l+ r% b4 ?
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
% O" E8 f: \1 Z7 v8 B! m/ B7 \a=2a
( ?- n: Q0 p7 X! C6 [$ o1=2
0 @9 p$ j, S, `/ h$ M
& i0 F6 p) G& B证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
3 w1 K$ g  Y, H( s0 y* p  d- q3 I2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ H/ L* t$ \% [8 c3 }) z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! y+ w/ }4 b  V4 ?+ I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& G' |: V. e: N9 i6 x; ^( @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' W1 }  N2 ^1 W% w! i0 ~

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 O: h# E$ d, L+ D" v/ J( E
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 K& ^4 m9 h$ m9 E; }2 s
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ A3 `# m2 X# q, z0 H% W                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" f, u( G, `4 L1 X/ s4 J) Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  R2 @# {! g( H6 ^4 |So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 w) h7 F* o9 j                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; }  q4 @: O! U, C% k+ p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

) A7 C$ ~. s& s0 f3 v: }[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
2 Q8 n: h$ C8 _/ m5 z. h
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 n& y- d# o+ Y1 D9 O+ j! CShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 `9 N  o+ z* ]
- J6 e( J$ R* i0 ?; K, S0 TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.