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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?# H2 @: u+ b$ ?  `/ i/ ?( V
1 L6 P( G) K6 N8 o( N2 s/ l
2。下边证明有没有毛病?
  }7 v1 l) g+ x5 I
- |' A) ^# A8 ^% m! f2 l# t# v设  a=b: D+ K. Z/ T1 S- h

& J4 a  [; F: B! W$ v则有: a*a-a*b=a*a-b*b
2 Q* ~3 @0 G1 J! \: {  S9 Z两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
8 i  ]- Y: X! p. m; S7 T/ O' W. T" Y% {2 N
a(a-b)=(a+b)(a-b)
: k8 C1 L# Q- k  A0 x% Z6 ka=a+b* i- G1 b7 r+ D, v' p
a=2a9 }$ z2 s, ~! \, Z: I) S- E; q
1=2! R# l9 i/ b- E0 T: ?; b. {
8 C( d. ~$ N/ Q9 H6 F9 ]5 l: y% Z% _
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
8 G6 p$ Y2 n: F  u1 V9 Q7 X# w( J& Z( d8 b! L  m* D
1)不能。比如1
# `0 X2 n* K# Q5 g2 k$ O2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# k/ d8 a& [. g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:8 E$ g+ ?8 I' S8 y6 ~1 \1 O& C
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* ^. p5 ?2 r8 B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 R: S2 H& r0 N9 [2 u/ l看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 {$ X& \6 \- C# Q0 b9 d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。$ f2 @5 \( f! P/ W/ B: w

. T( b0 K' S! U. y: x为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n), L8 t  i; v) n4 q- a. T

9 r/ Z1 F3 M8 y, [2 ~5 o, [0 t* PProof:
+ J$ `8 }  J) F" rLet n >1 be an integer
* |7 s" H  c" }6 _6 v; E# BBasis:   (n=2)
" r' L5 ]7 A' |8 D0 N0 }, O         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3& _/ i% V$ q1 f7 F
1 ]2 R9 G9 n- G% M, u
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" a6 z5 c  ~( N/ D9 t5 s, P                                     K^3 – K can by divided by 3.
* T+ \* L+ @5 v9 \1 t5 d5 L# Z9 \3 O/ @7 x5 j
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 33 v+ Q% p# l* H/ o' o3 ]
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem) u1 i7 G7 D6 Z8 Y) z+ Z0 D* ^
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)! p. h) P2 t# g) V. E8 n( x2 _( x% a
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K( j( g9 s* I: R
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K): _$ @- V) ~, Q3 U1 y1 l
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 J& m5 L8 O5 e' V' {7 Z9 g+ k% c9 Zby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 A# `6 K# n8 ?( }" @So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K), j) x) h$ ~  S) m0 `$ v
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)& A6 Y: d  Q2 J2 K$ N2 F8 K8 I
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3" i- c1 i+ R1 O' ^7 N6 q6 R5 j. }

  p3 z8 w6 A! k  S& {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.8 p( P, l* ^/ @6 N# `
9 p/ f7 y! `& @2 N5 P
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。. ]6 t+ ^" D1 W; T% J
3 \/ J2 e  \$ W6 n8 J8 c$ c: H
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- O0 t9 X: {7 M& w6 ^) NShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; f9 S0 H. v  M8 P$ Q% ?0 L6 |6 |* }+ y. ?$ h1 C4 v
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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