出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
+ j; I; l0 r( ?7 h/ l4 }  l* s
设  a=b

5 h# J2 B# T% W" L  E则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# m' P! M5 H* n" ~: n( s两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 v) j0 l) j# b! ^7 V" a3 Q. ]
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
6 Q$ E; @, Y+ E2 k. D$ sa=2a
1=2

: x0 |$ z! W. X( f( m证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

' ^3 g2 e+ O0 o. H/ a$ r- ~1）不能。比如1
1 a- a* I% D& N& [) E& c. u) k* v2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) H$ {# R; V+ v# y" j8 j! }# ?3 x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: Z  Z( ^4 o% r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 u) c" t& _3 ]& |& D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

6 g0 m% |) J; q# t4 |. @- z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

4 E. T! e2 Q1 P9 LProof:
3 s0 t6 S( v' E4 g+ HLet n >1 be an integer
4 K& F* K$ g) \, K$ ]0 [1 Q) \) bBasis:   (n=2)
+ f/ @5 D/ ?. w         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( x; L( U" ^2 ]8 |% l* v
3 B  P, c, _9 k* l# wInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 l; {$ `4 E) Y) u7 b$ ?- K                                     K^3 – K can by divided by 3.

1 ^% I* t: W  N9 M6 V  u* `: G4 t4 q% MNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" V( @7 w2 L* ]) r/ J5 HThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 q, v: e; z/ h$ w! j( \1 v, ~                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 J5 x% g) X( `; O                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 `' \/ S( R# D* K# C8 N  Dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 p+ T3 g# w% o* w& ~! t# h( A5 HSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 U1 d- r0 [% i* V, y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ `& p( P$ M/ [# s/ e% a3 l/ i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 M7 ^1 W: T( t% c
+ C5 X% v% j/ U6 `9 VConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  t0 U! K' |$ Q( L4 e& u# ^
* J* }  @2 `5 F( }2 n. o; C, e$ [[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, R& r4 U: m2 W/ ]7 s; T
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) E; \/ `1 M5 c# [) `: w
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.