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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?3 |+ I# X% c9 d' `0 s& j

- L1 W1 b% ]" c8 G' ?3 }2。下边证明有没有毛病?
/ c0 P. i) C! b: S! N
3 R% i3 \8 w0 ~设  a=b
3 c7 r( U+ A9 x# U/ Y' l. Q6 W. d$ I; G! I( B# s" B
则有: a*a-a*b=a*a-b*b2 V, L) j) |  E8 k) ^8 a+ K+ k8 e7 o
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):9 {* Y" O, o% H: O0 E4 d; V

& L5 U4 i' S. ?- j  da(a-b)=(a+b)(a-b); k$ \: v2 B, D
a=a+b6 Q: u! m* t: w8 t6 ]
a=2a
: ?9 a: b3 G. o' J0 r3 o1=2
& N5 ?* ]0 C% {( H! y
. ?" R2 f/ s( J- S7 x; G证毕 ,结论,1=2
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
, G" `: o0 e7 N+ Q1 a- L2 I
0 @9 k& v+ P$ O' o- [1)不能。比如19 I& O! p2 r; n+ A+ S% D: T
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  z- l2 ^0 x5 e. `0 X/ B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:& U% j) C9 h- C* ]
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; T: P" J5 W9 d4 x8 S9 ~2 Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! ]% \' S/ T9 T4 S5 B" F, O; y看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ Q8 n" b! d" T! L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ N) H8 v6 I$ s8 H, H

4 G; m8 E" F8 t- C& i6 {为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)3 _0 e" V. k, g5 P: C
! y0 n( `" v3 z+ k
Proof:
8 t. F- k$ B6 r7 VLet n >1 be an integer 5 x! B  e: t) z$ Q! C. S
Basis:   (n=2)- `* O9 Z6 R* ]7 B& G
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) i3 }& q# ^% R8 E, F  Q1 N$ t. N- u1 M
! G' V$ d3 m  U) i, N* I* mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that+ v1 p$ m' X3 e) R9 o& P5 t
                                     K^3 – K can by divided by 3.$ @# C! q9 R3 K/ a$ B4 B5 Q
6 C* C: |* O1 P7 P( k+ [  h
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 39 y+ O+ {, Z& ]6 o, X
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem# h4 i  i+ }0 f$ O8 g
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% @& P/ B& J3 p$ q# B                                     = K^3 + 3K^2 + 2K: c; z; X+ z5 `" m8 `/ k; B1 X0 ~
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)  L3 u8 P1 f9 Y/ B4 \5 E  x4 `
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 z2 Q6 p. T" x7 V+ F
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0" u- G6 b2 W+ i' e9 R6 `( W) e
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& _$ L1 V) q9 g                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: }' M1 S7 P7 f! ]+ {% u2 \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3' L+ L  P! B; X2 P) ^( d
7 w- S/ ^* |% k6 v3 A* A% V
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) `8 W* \7 s" R
% ~/ s% \" g% ~1 ^7 i2 C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: h8 n( }% U" d% a7 y: B. x) F2 n3 u1 r: T! K  [1 q0 ~) J
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:1 |8 X" a4 m# O& s
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ r- b3 I0 `+ a
: S# o5 Z4 k/ dSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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