出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
  }7 v1 l) g+ x5 I
- |' A) ^# A8 ^% m! f2 l# t# v设  a=b

& J4 a  [; F: B! W$ v则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 Q* ~3 @0 G1 J! \: {  S9 Z两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 i  ]- Y: X! p. m; S
a(a-b)=(a+b)(a-b)
: k8 C1 L# Q- k  A0 x% Z6 ka=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
8 G6 p$ Y2 n: F  u1 V
1）不能。比如1
# `0 X2 n* K# Q5 g2 k$ O2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# k/ d8 a& [. g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* ^. p5 ?2 r8 B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 R: S2 H& r0 N9 [2 u/ l看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 {$ X& \6 \- C# Q0 b9 d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

. T( b0 K' S! U. y: x为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

9 r/ Z1 F3 M8 y, [2 ~5 o, [0 t* PProof:
+ J$ `8 }  J) F" rLet n >1 be an integer
* |7 s" H  c" }6 _6 v; E# BBasis:   (n=2)
" r' L5 ]7 A' |8 D0 N0 }, O         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" a6 z5 c  ~( N/ D9 t5 s, P                                     K^3 – K can by divided by 3.
* T+ \* L+ @5 v9 \1 t
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 J& m5 L8 O5 e' V' {7 Z9 g+ k% c9 Zby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 A# `6 K# n8 ?( }" @So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

  p3 z8 w6 A! k  S& {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- O0 t9 X: {7 M& w6 ^) NShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; f9 S0 H. v  M8 P$ Q% ?0 L
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.