出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
: C7 L8 n9 _* e. G
设  a=b

& Z9 k! N. v) L1 c9 x则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  B* h7 `3 U  @7 M- p5 q; h两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! L2 Y, }; c+ ], G
% O" A( V" B5 F7 R3 z3 o) L; I2 B8 Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
4 k5 [0 I! k$ ?! J8 Xa=2a
% d. b: [( B$ {  J1 [1=2
7 X& J& V/ B) t3 Y; G6 C4 S: u
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" b5 U9 L: k# k, t5 L& _; A
8 B/ X; u. ^/ R  F% r1）不能。比如1
' ]1 k, Y( c. I1 a; F2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( S! l& }' J/ ^# V* F4 Y4 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

6 m( Q- r8 q4 c5 j! g6 |* M: [: g. ^为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

3 g* R9 a2 B) O/ H/ XProof:
5 Y: W. t8 d6 k3 S6 iLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
9 }! I8 N0 k$ A+ `. G/ ^! k; G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 a7 ^$ [; B9 C* b" s/ Q4 X
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 y+ Q8 d; i5 y$ f6 g! {! i( o
/ h5 I3 h# F) I. o$ U, LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ r4 M8 d0 s$ U7 P: vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ R7 r5 P+ H9 }  e                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 U# ]7 v# m% M& @1 m8 Q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( i; o( g  I' P5 i% `* y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 \/ T$ R. X$ Y' j% V5 V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 M5 B' d5 ?6 ~5 L
$ X1 j0 H& u. Z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

1 C0 Z: t" W. S第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ L# c0 a/ ^* T  `+ G- [- U' PShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.