出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 j: o$ g, a6 K+ a$ C. x
2。下边证明有没有毛病？

  l" L( ~8 B) b& z; V  u1 w" s0 T4 Z- f设  a=b
6 {& k/ {6 K; T' ~
8 {4 }4 _" r7 B# g3 B  P- z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
/ n+ G! M* f0 a5 [4 p$ Wa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
% m/ i! b/ Y$ ?
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- W/ ^7 }' B$ Y) m( Y& X" q; n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& u- q2 W2 |1 f; c- O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. @. G5 M' Q* P* F. l/ {+ e9 Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 `) L. ^$ j/ d  `: R- J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: X" `  v! _3 K% I

1 u3 ^" C: l/ X2 l: m) G+ Y- v为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
! X" e' G+ \9 e; c  `+ c' D
Proof:
Let n >1 be an integer
2 N  X! ~5 x* @Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 v+ [. Y+ [+ H' ?! S. g9 G                                     K^3 – K can by divided by 3.
  u) U) V  c7 @  \; T; I5 G) G. M
0 O5 X& W9 x; D; ANow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ n4 L+ X. |  P2 E1 u$ j+ z# @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 L1 x- x: ]8 P. r8 w; ?( yThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ g$ Q" o. |8 [9 p* ]                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
0 x* Z+ P0 J8 Q: I9 f7 t1 y                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ c) i3 T1 C3 g* P% v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 S1 }, q, b2 m3 j                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ N% J$ e. A) d  r7 y; y
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* [4 F3 s4 e7 O
7 X& V9 N- N+ E& N) b: X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- s' k7 j% {2 X* l. a+ P+ E& @; u: t( ^
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.