出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
2 V6 k$ ?  O+ ]& Z5 A3 [# U" \+ \
* J, e. _3 F4 u5 P- m. A& U2。下边证明有没有毛病？
9 ~" \* \% E0 w
' P# X2 o/ u$ W9 \设  a=b
' V/ k. i1 C8 I# M
0 J) }( O( X2 o1 V( C则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' ~" c( c6 b8 |- ~" f; E: H
% A  F# g$ C: d; ~, [/ [9 u& T3 c$ {a(a-b)=(a+b)(a-b)
3 @! P7 F' R- P6 A4 G& ?" l" Za=a+b
7 I7 n- a/ J9 Y! Za=2a
1=2
( B! ^& ?" O9 {1 j! `, l
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ H4 S, ?7 f2 n" ]3 P1 B
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% k9 H1 b: a$ H( N' W2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ B' Q# `! {- s( m' v; @看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, q7 P. t; R% ^8 J
( f  J' L5 G" @# h. d3 K! ^Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

1 J& h6 `7 U" X" U& q+ D" |) F/ }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! }* V: G) B& ~+ s                                     K^3 – K can by divided by 3.

1 Y$ T* n  [. B: E" h5 o% ?/ tNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- C( F, C3 j/ V! l( I& Z" U. {                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" l4 H. W2 V2 y. F" }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 t! w1 Z9 ], j( w6 e6 e5 o2 M+ uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 J! P: u# d. E, {- R# w4 }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 l' O( T, [6 P! w5 C  g) A# d
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 O0 p% f) a* R( h2 p
+ Q4 ?9 |# M8 H- @5 O" p第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( p( B8 x# ^" L) H
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.