出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
( d% A- }$ e9 w% T, G' W8 G& M: Q
! A5 O9 I* k' ]& f* d* [设  a=b
9 m" ~1 d+ ~0 G9 @  d4 p! J
7 y% O5 e  ~3 o- G. A3 }& K则有： a*a-a*b=a*a-b*b
$ J; f1 m; o% w2 h$ t5 x3 q1 i! G两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 A; G: V% ?. T2 ca=a+b
. P6 Q* j# Z* w7 l$ G6 \4 w  ha=2a
+ O; e, i: @1 b7 t, O+ {7 {5 W; b1=2
% O2 j1 X3 f3 K2 ?) P: y
2 L# z4 N5 C) Y" ^& Y! e证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ f7 Z' s, B. s- E
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, ]) z! ^8 [$ k' ]- [% l0 v  N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ w2 L: }  H0 x( |2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; \  O, V  c8 R) b. p6 {. g! t3 S看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; Y. U( z* _. ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

3 ^0 J3 \3 H0 n8 l1 X! fProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
- c8 Z2 ?  N; ?) |- n0 b         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

. y, }7 v4 {' s7 aInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; f2 u* c' {2 h1 b; \
% R7 H# y$ }, [; i7 cNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 B/ W" ~) [: V! B& X  Qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, U* |" D6 s- i( J                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- h' G7 Y. |' L% q/ ?1 t9 K1 {                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 u: i5 i' F" E+ V  A, _/ I) ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 k7 B3 _" t+ K3 e. V# {2 T1 ?                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) `( C3 p( J  u( V                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

! B: N$ e* o% r) J/ T; }' A1 {第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& \# z! H, u0 t  ?/ t
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.