出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ ~- x2 V' r6 ~7 q/ e2 a
2。下边证明有没有毛病？
4 R0 e" V: _2 ?
  X# H+ ^1 n: U& O设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: |7 A" A" x) x+ r两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
% p. ~( {& d6 U1 P& Ea=2a
6 j6 e- b1 ]4 A2 U8 g  P$ T1=2
. o. z) }5 O" ~9 O' W- T
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 y4 g  O0 _; u) v+ P; `; C3 X0 H
1）不能。比如1
+ K, |1 G2 T1 R. b- O2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 d6 v* i8 `! d4 @+ o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, I2 [9 e' r) m, a6 {% ^, U  @) b; ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, [, u  E7 X# C. H, s% B) \7 A. T看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# `" w; J5 o7 L, H3 s, J" `+ K6 V7 S- p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 f/ G0 ~: ]  J8 P+ ?$ |

/ }2 T* R( p" Z7 D! i为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

  Z* g4 O2 ~* I$ s3 h9 r' SProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 k; a/ q& k1 s  g/ B/ Y
6 s) x; m/ F- A3 J9 x" u1 W- pNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) u0 X2 d, U; q" G( V. i3 M8 m  tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# G* e3 L7 V  I2 b( F, t$ g! q4 b" ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 ^( t$ u2 d7 q0 }' p                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) a( H$ @. l# _7 M3 @2 d# S1 Z$ L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 {! ~0 H2 K/ f4 m$ g                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
, T$ e: Z/ d% W% z5 n
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 N' _% X. A2 `7 t
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 T3 o/ T* n6 m$ I1 |5 F8 O* MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! j% j! E& i0 |: ?- U. S
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.