出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
2 |$ Z  E* O" k3 B
9 D0 [8 C3 o* Y! T' t4 z) |则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 ], S9 b9 b: Y8 K两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. V+ {! h6 |( ?/ i
" F0 K" q4 z4 s* o, a8 l$ [a(a-b)=(a+b)(a-b)
3 `' r! J/ }; N: ]5 La=a+b
, }, I# y; I) c# k' Da=2a
3 H# @0 E( P" f7 d0 n& N/ l  I1=2
4 Z8 q  t* b9 L
4 F  t# d6 V0 v0 r% V( J8 Y% A证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 U! ~6 Y4 ]" D1 W$ ?
# T: a" c6 V8 {: e1 l+ j1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ B, u; l3 o( ~. O3 [3 i2 ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  X1 ^: [$ k/ [& j& c) _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ z7 y. E2 Q; s7 |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 t5 O  n+ P: g, o+ @% |

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

7 K- H; _3 R, F, t1 D; dProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
. G1 p# `, `+ m0 ^. \$ p& r         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

; w9 L& H1 M9 L; pInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: b9 H8 q/ I) D                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 r. C* ]  H. e+ z7 z& o/ F5 ^                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 e; j2 k; f: {& [5 mSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 Y4 Y' _% N8 m+ A- d$ E  A) Q4 G                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

  H, X! N& U. w4 fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

* w, P% M& [6 Q% q- J: H4 A5 Z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& E8 g+ p# l  h+ B; ]$ TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.