埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2688|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?* U. o. S2 L( T# s

8 Y4 N. Z1 L7 a" i, `. H! {$ ^. R2。下边证明有没有毛病?8 X7 P: S1 N% k
3 G  B4 P; K& B! ^* _5 Q
设  a=b
( w6 O+ i- H6 e' |5 L+ R
. a3 p3 _$ \7 u- D+ s+ I则有: a*a-a*b=a*a-b*b
0 P+ K& h( ]# w5 |9 e/ Z两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):/ b! j+ Z* d) ?2 r+ q, E( Z% R

" v$ }+ p: {7 C( b7 B! X0 Ma(a-b)=(a+b)(a-b)3 i0 l8 I. J) B4 E3 ^" \# c! w
a=a+b1 c+ H1 w" c  p5 m
a=2a
% D: Y+ R( e) ~3 U# u& l1=2
8 Q5 A& P$ O: E, ?% S3 M1 M+ `9 ?- X) d
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
7 \5 T1 K: ^- e# M% ^. o7 d% H2 ^& }( Z1 H( {: H# ^
1)不能。比如1
8 b! |# l  P) y2 L; |8 ~1 G2)a,b不能是0
理袁律师事务所
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ f8 K3 x7 p6 j5 V7 R" g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" t: n  e) b: J0 }$ p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' f* ^- }# K6 z
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% N/ K1 Y; e8 p$ {看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ w* q& X  u+ ~  X3 v1 U
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。) P! W* m" F( i$ H% b% I4 L0 ^$ @- @/ F
; Y( x9 q3 P# p4 a0 |
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
$ L8 O- s$ v" y1 v9 S
' t3 E4 D0 Z. I9 C6 n* G2 cProof:
  S) X9 \! Q% S- l4 Q; hLet n >1 be an integer
! F% ?. B# w  k! f4 pBasis:   (n=2)
$ y! p( H; o: [$ k         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3& Z0 ~: `7 H  V8 X6 m  ~
3 [0 }5 r, m! ~
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: F8 K/ ~9 V& l. v$ |                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 M& Z  _, p6 r$ O% t
8 o4 n0 j8 h2 F2 ~, h  H( kNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* }# s$ Q5 l: [3 t/ G* p7 I$ bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 o! \, ~  H7 }7 X6 GThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)% `6 C2 L- H0 q$ t4 _
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K/ N& H, n/ G& P3 J& _% l
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 }* q" g. v( s) M( @9 p5 C& _! |                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)  l* b  K$ @3 e( ?
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0# W# V5 c+ Q6 j- Z0 d& U4 }1 u  m: {
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 C3 S8 H9 Y. T9 ?! i                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 q1 o6 N; a9 Z6 w                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 n- r6 ?+ a. h/ R
( Z* Y: N7 s. z6 s6 JConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 ], Y+ ?1 S: ?. T7 m' ^# ~. c5 c4 c* t
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。, z9 P, ^" u8 `3 J! ~$ n5 M

% J0 R0 g( v/ A1 P: g  ~第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 m) u2 k' \- x: O# a; V0 c5 \Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
# @: A! k# j+ q1 ^

4 `5 l, \1 n8 w6 {SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-6-12 15:58 , Processed in 0.143939 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表