出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

4 b% X- j" M; p2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

5 f# M3 R" X( k: a/ U则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
  C' H! u) B8 n5 s, _6 b& `a=a+b
a=2a
1=2
1 u% ~/ i6 f( Q) ]
/ b' H  F/ N6 Y1 `, K证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 B+ ]2 e7 |7 s& L" G- c  p- ~
" ?( A5 @- n- p2 ?) m& Q1 I1）不能。比如1
, F3 \* q; E/ f$ |1 {2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: H- }6 I% k' `0 H9 z2 ^/ H

+ }4 |7 r5 b- B$ |3 D为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, S4 M8 S2 g( ^) ^
Proof:
3 L! S4 @1 \/ I$ x1 pLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, x- T" J# G7 M0 a                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 G' M. o, n7 V" Y
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! u: j3 |# V+ X8 sThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ Q* G( @1 }' S8 h  ZSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 a5 Z) p$ S% T2 n                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

& O/ |( O5 }2 \0 C6 ?! A, EConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, |  U- k! [/ H4 G! o- f7 L; x5 ~; o$ C
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  b" s: c7 r' |  F! @4 e! Z6 u7 c
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: ^5 e; V* G; D/ [& U9 L3 IShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ Q4 d9 {/ ]) F8 f! g: e
) S2 Z. g  F' @  ySORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.