出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
, }; h8 m+ w6 K5 [$ x5 ]
  E; @& W& y+ O6 z) ~则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& k% X) {1 \5 m0 Y4 O( S* [两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ D6 N& P/ ^& E& w; \
a(a-b)=(a+b)(a-b)
" B/ s, [" P& l  P4 [, ?$ Sa=a+b
- [) i/ _3 `6 D' k5 Y  Ha=2a
1=2
( T. a- J6 z) a/ \% [1 y
' `3 a3 W7 t  c5 J  c0 v, `证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
% Y# p& ^) k' R0 [' m5 I2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 j  g: k4 E  I$ {; i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 F3 s! t7 {! N* A1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ p( i/ a4 H7 n

2 I+ o5 f' Q( Q9 _0 m& P为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
! z3 C' m3 _4 C9 O" e. i/ K
$ j- V: {' H* P7 l- y- d/ R7 RProof:
# D$ e) o: i  M" Z$ GLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
% i( ?: [/ o; p+ t. z* ~* w
/ i% _  M; U, S8 @4 x: f+ fInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 m# u5 W; K/ w5 V( d                                     K^3 – K can by divided by 3.
& _; M5 k. V; \/ P5 V6 t( _
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, U- C" p1 \& I- |2 P- `% R/ s, H! gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! y& b4 k+ T: I( m' j6 j                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 e6 a  N4 L" p& ]+ ~1 q4 J                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& O5 l* H+ O- ~3 A7 L, R                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

2 H. l% L: h) n! g# K# ?" l) DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

/ @9 B/ w* T$ a7 H$ h/ y' g2 D第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# l1 |2 `2 I. J! x0 PShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.