出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  ~5 `1 }6 u; t. ~
6 `6 V: `+ _* @) o, x2。下边证明有没有毛病？
2 B0 J5 v' H) U0 \
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 `: B$ ?- w+ z2 N" D0 F( t- `
: z5 e% u, Y1 T6 {a(a-b)=(a+b)(a-b)
4 p) }; A# _( P. ca=a+b
a=2a
+ z" t6 t: E. ]8 \1=2
5 v( U- A2 S* u% F" W2 H) Q  U. y
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* A0 j" u0 `: I0 r3 K
" O9 r' z2 x$ m2 \9 T1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 n7 c3 @5 p) W8 P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' W' @/ \' W( g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" f+ i  a( A, }$ [+ h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% |; a2 k/ h8 c# l) l- \& T: U1 d

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
$ c2 t6 P% q8 o8 c8 y
9 Z7 r- w6 |) S1 g- C( s+ JProof:
Let n >1 be an integer
( E6 M, J- s' r- t# W2 p6 DBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& Q* k3 z6 j4 K) e
& `6 ]0 O, L0 b0 w# V7 @. KInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: w1 F# O; s6 V( ^$ Y3 V; L                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 U9 @; c1 [9 @- b- ^; J4 |since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) \2 G9 ~6 [7 Z3 xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- v7 q: a1 H5 M& p3 W9 E                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 z7 N! a! x/ c! P4 _by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  R- J% t) }- S+ q* {+ X. ]! t& XSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! U3 Q: m0 D! \: @
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  n$ L. p& G. Z& @( o
5 X4 Z& w8 Y4 y# |  u5 t( d第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 B/ c. ]$ Y8 bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& S$ M+ D! P, Y6 d
( A  ?7 k. y' \' k6 tSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.