出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

2 }- s9 K+ r& O+ s# O* y- r, f, U设  a=b
$ s- `# `* u8 {8 o- H# R4 P  P
4 u+ x) w! ]! s7 t* G则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

  w- D: Q, P) P; k1 U1 ]! I$ {  Aa(a-b)=(a+b)(a-b)
+ _# Y# G4 T3 Z* sa=a+b
3 c# l8 C& E0 s9 [a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
, h7 g! n. ]! T/ i! h2 e( h2 u+ q7 T
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( z3 c% j; ~2 j8 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 H5 U& S+ P$ B看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, Z0 o# ]0 q) W+ Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 Q! s* Z! ]: i- J

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( g! P7 ?7 `% C9 g. z9 n
& m8 U# a* O' Z& v6 S4 L. Y8 SInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 B8 m! s) [4 d3 @
( D) I- W! O- x* j$ l5 K7 K6 P; ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 N# t1 u  z# }) r' ?3 j0 i% `/ fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% v+ R+ L$ G2 g0 Z0 d' T0 K$ C                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: b( n. @" X6 e. p" Kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) z- k) X- T+ ]# d- J" ^- LSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 V: x) A% j5 c& ^                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 a6 S! ?& J# _& b8 R# d4 x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 @5 @; O# A" I: z+ ]
# g2 H$ Z: O) f- O0 rConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# q1 w  \% O0 @7 u8 o, r3 Q
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! T& ?  g4 {! i" M1 UShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.