出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
, i4 |" ]- ]) g# P7 b$ Y, ]  n
设  a=b
- a% T: N2 u5 B& E) t
" x9 f0 t6 x* q( X' ~. M4 q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 S: E9 r) Z+ K0 s1 l2 G+ W6 k
) P" T! f/ f* \# E1 z( ?. z8 r0 ra(a-b)=(a+b)(a-b)
* P) t4 E+ l3 T; t2 La=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

9 ]9 L4 E9 K5 Y, ~- ~( y2 n+ ]1）不能。比如1
& D4 H0 y; Q$ x: W* j. A) ?2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ [) ~! m9 @+ Q" `7 o. G0 O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 S$ o; {3 i  a% v( N& n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 \& w$ W; z* w2 _$ @+ x! q, S$ @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 |* O* d" v! c4 j

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' `' N/ h( e$ B' N% w
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
% r* ]) T& K$ r! J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  N3 C4 ?$ `. Y( v4 ]3 D/ e                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- r2 X' e! ^) a- ]* E/ v' J# c                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" D0 A3 T* r* h( t% Y2 o3 z% d, A; G                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) K4 B& W6 O. x/ `
* N+ H# z, k% B8 N( \[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  [" \7 |+ ?: u7 ?
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 w% d' O( ], d' u/ T$ k! @& EShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ q4 }1 l8 r) j. z8 q# D2 q
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.