出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ z' E( Z) f- N8 ]) _2 y, O4 _- L
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
; y1 ~9 x1 ]+ X  Q6 e
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' H: O( Z+ h5 d3 L
# L8 a7 l6 W8 T+ I' a  l1 j2 Ga(a-b)=(a+b)(a-b)
& Q0 B2 [( h* h5 Ga=a+b
a=2a
: i3 U/ S8 T" a+ J+ U' b* z1=2
: V' h* g1 R! l! |+ J7 ?& S3 l' J' b
7 H) M6 c5 R" g& n& T  R+ `证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( {, R# H+ V. l" t
6 ^: w$ b/ y; i* S3 W# m: {1）不能。比如1
: M: E7 x  w% Q. Q+ W6 o: A2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. _3 X9 Z4 G3 e* ^# q  c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( U5 s- Y+ e) ], R% `' E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

4 \0 b6 q$ V3 m& \为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# w- u" E" p# A6 m; W3 t
0 R  G  P9 Y0 u* \9 r- @Proof:
Let n >1 be an integer
- x# p) b6 [6 b+ H" e/ _Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

! f" Q9 ]; f* G2 m! f! |2 B; hInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; v4 C! E' ]/ A* E- y3 B
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- f: v, b- h( P0 u- LSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* T5 o# n7 v  L6 ?9 V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* d& T) i5 A' A/ M# s5 H                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

: W$ x) S* l3 MConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

6 T; w+ A/ P  d9 i( J第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 l+ j  Q  \  m5 o* UShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 M$ ^. f+ v) G; ^* W8 ]* y) cSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.