出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

# f3 @2 u. Q1 Y$ m# s: F# ~2。下边证明有没有毛病？
4 Q1 q2 N: @- n, V4 L3 C8 v- ~5 ^5 U; `
1 d, [; L0 I* ]* m2 y设  a=b

, p5 }2 v! M0 C; H+ U则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
' H# M4 ]/ r, g' H4 d7 }a=a+b
a=2a
5 f" ~& F1 u' \! @1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 A* K% F) J9 V& g/ x% Q  p
0 A" c8 [. s9 K  v9 @% r1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 h/ a2 E; T7 V4 D看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ o* v3 p* P) V4 e

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, R6 D! t: b) }% Q, @, M7 y- _( L& sProof:
: C. b0 Z; X) w) ~2 W* \Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 k! P7 }! E2 {
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 Q% P  ~( q9 v7 i- vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' Q1 d$ T, d: J/ J0 eThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) d9 b( C6 \8 T* @- @                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; s" |5 q" M; U  c9 C( ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' m7 C( m" f! F) C) F7 R                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) f$ p1 R1 F& l8 yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 `: T& |# M3 y# \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 _1 X2 L' W6 j8 b) L* F                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 r1 u* N& n" h& c$ k! `
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  Q$ @9 L6 f# m
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# p8 X) g. a5 sSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.