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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
6 e9 W, m% }. T5 Z6 d  h7 i2 I; _$ A
2。下边证明有没有毛病?# M, w7 Q% c4 c9 j1 R- C: b
- _+ V* U- K' ], ]$ k
设  a=b
: {$ J9 M# G1 D6 e* r# o" C) Q2 h' o. P/ I  c  Z) W
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
$ B* D8 r$ b3 C- N两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
/ @  J- V3 q) c2 E  F% Q4 H$ Q7 T8 n
a(a-b)=(a+b)(a-b)
3 a/ j0 b6 |& Sa=a+b9 |! |. x; m3 j$ L
a=2a" U! i, ^, _8 c" F# ~
1=2: {+ M( x# x2 j- c9 T- N
3 H, P, B: H( f4 h2 I, g4 Q
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试7 O* t* ~' Q9 t6 q; N/ A

! f# A& b3 s9 e; M1 n1)不能。比如1; ], r- l$ m- ~/ B, v% h
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 z+ O5 y1 ]% R0 O2 E
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. N  k* v5 ?2 y' w; k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% m# r4 P( C7 W! M% d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
% D7 E( w  {  ]9 J$ ~" B. V, C
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:8 ^/ H* R) A1 P( G
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, y2 F: q  t8 V
9 N3 p7 k* W1 [, x
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
& i5 j% u' g, o& N9 k
4 f4 h, Z4 ~7 N* WProof:
  \) \( Q2 T0 ]( e  _1 `Let n >1 be an integer   |+ k! U/ u" s( h* F) \7 A' u3 l
Basis:   (n=2)( a- [! B+ |9 X  D6 `$ E4 u' u
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3( m1 L% h& [! o5 M( \
2 |# J+ F! k0 @9 [3 r8 T+ `
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; ?- b8 b) B& v6 S2 g2 F* a+ o/ r                                     K^3 – K can by divided by 3.4 _# j8 H' P5 @* L

# q  Y. U+ m" m% YNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 s8 l8 B: {! d. a, M! ]2 ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem6 W% w0 D' J. x8 W0 {% J
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& F( y! _7 L% J" o' ?. X" F                                     = K^3 + 3K^2 + 2K9 S  B1 B/ E* u# y7 I
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)3 [& t9 N2 i# w8 b
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ G3 A) m, k" d9 l1 z, y4 Z
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& [9 t; r+ H( E% @, fSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( j5 t1 Q; K( O                                = 3X + 3 ( K^2 + K)& I6 k9 l! b8 Y2 o: Q8 J
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 39 N0 Q' [8 V; s/ x3 G6 a. N
, I" a4 z9 N! f" b7 U1 |
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 N( o" C8 [6 A4 |% ]: \, j, B' U3 c. y" s
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。) p5 W3 {. K, v- p$ x; j
4 Z/ `1 R- m+ R8 `8 t
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:% `  E* A, J' y9 A" ]' J
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 C+ o/ a. l  I# i4 \/ V- N- ~/ G/ p3 p, z9 B
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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