出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
2 K" W, I4 a+ X6 O6 U$ e
- E6 R2 d( T( g3 n$ x, a1 A则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. ~9 D  I3 b; s& U( J) `两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' J; e/ H* Q* b" [
a(a-b)=(a+b)(a-b)
5 @9 q% Z0 s, {& p, {) V7 Qa=a+b
: t. l+ s2 E3 r( b2 j6 S0 Za=2a
0 ^3 _! ?5 s. [, F$ i1=2
0 Z- {; y; i3 w" H0 e& O
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" r9 b6 X/ n8 _% e
1）不能。比如1
/ w' E3 ~" q& @. b5 @. B2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 l% \0 U, s8 m+ K; E/ V$ l: Y. n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& o; \: F+ [- P9 c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( }5 @9 V  D' F0 V4 h0 Q6 g

7 O' _% O3 x3 E6 G. C8 c( ^为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

; \! ~) V1 a9 |& z/ ^& Q. JProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
% G1 J, e9 I1 l! H. i         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; }. Z" e% r% E, v                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 R  k  C3 a" C2 r% O                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 H6 d) J8 w: \. `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 S8 l' r4 t3 O5 p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: L+ m1 f# h, g2 V* L
* F+ M3 z2 ~1 S; iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ L0 v5 n) e- C" e$ W: L4 f6 ~' r" g8 ]
& X7 T0 q2 W8 {7 Z7 w7 X: h7 I: Z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 W3 ~$ X" k; s+ lShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.