出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: q6 M2 Z* e; M* C' f: g
( R6 J7 A% d& G2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 l: v: Q( X1 S( D$ Y* e5 a两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; l0 ]( t: X4 v- g6 Z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
! @9 X0 X& P8 sa=2a
1=2
+ t3 U& ]8 ~. M6 W# G
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' V3 i+ |" C; S9 [7 i. P' S
6 n6 x& ?0 Y$ B% G$ r, R1）不能。比如1
3 b2 C- s) [% k2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( |: b- @$ n$ C  M  D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( H& I4 i- I. Z' [/ ^3 L看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 [4 T: U/ v& _$ v* |6 q& c% k

$ a/ ~+ F, U  u, \0 g( P$ h7 D为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

7 t- E, Q; ?0 f! ~5 KProof:
Let n >1 be an integer
( b' S+ a7 K' BBasis:   (n=2)
* I$ [% P% I  a6 r+ o2 H3 q2 J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. v- n* U6 g! O. ^5 l& b' W$ {  a3 \
0 J- o) q& K  @0 f5 EInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 q+ A! Y5 e  L6 msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 R4 g4 r. c+ _7 o$ xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 ]$ |& h* V1 z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& r4 d. h$ M+ ^5 {! M+ c5 u; L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ j& g3 M/ U% D9 s8 f3 u9 D& `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- Z  D1 X+ m/ C: U8 Q  b4 @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 t0 t7 @% ?6 ^& e1 }
+ _% U" h" G* u# u8 IConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% V7 ~- C% U8 Y' a# I
" I4 b: R% R3 P/ H! e: C第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# {8 I& O- f4 u/ e& wShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.