出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" [# x$ s- m! J
2。下边证明有没有毛病？

5 K$ c6 H: N) I4 a, l设  a=b
9 @9 t+ N7 A& f; V1 g2 c6 h" z
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) r5 X$ P, j& j6 e* @$ p两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- u' x- V' Y6 a4 `+ c$ E$ V5 z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
$ I; C0 }- t" J2 ]  V5 e4 d* Pa=a+b
- h9 R8 c% O5 j* P% r( E9 Ra=2a
* o; B' K5 F5 k) E0 d0 Q- ]6 i1=2
3 E! Z  X9 p$ A9 ^, J  m
! B; u9 q; p; y3 W; X  J证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ \7 U2 K4 N$ d8 p& s4 B/ K
, Z; x( H8 Y5 v8 c1）不能。比如1
0 Z) W3 f# M' S) S, ]2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ ]2 k' R0 w; y3 H9 x! S$ m" {# K& w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 H: N( ^" V% {8 ~5 y3 u- z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 m6 R  d' l% C, q/ A0 d* ?看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' O2 S8 [$ i: D8 m! U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: Q; l( D- h% R) ^* p% ^2 ^' _

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
7 U! Q2 u9 _. M8 G+ sBasis:   (n=2)
8 \2 `( [3 k6 l# W4 r, d8 z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. c6 w* Q1 M7 z( {1 q
" K1 W$ y6 G1 RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 M" b9 t/ t6 o1 {                                     K^3 – K can by divided by 3.

5 c" q) K) W6 W7 E( w  A, S: BNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 \- l' _3 }" i4 L5 w, r/ x5 F                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. q, D3 R$ p/ y0 f$ E8 V                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" a" i" t# p4 F# s- u, V3 y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! n& u+ Q; ^4 F$ k% jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 T0 a& h, o: }! @! w: y9 `  i                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 |- R5 @' w( }. F) M0 e7 Q1 B                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

/ N5 g8 R! S. Z( d7 @5 p2 f9 Q' eConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

* Y5 N0 B3 j" S4 m8 o2 m[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 C6 U2 J' D% JShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.