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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
4 T8 e0 c5 K/ X; y5 y4 m' j: r) z: L0 C( B; d3 Y8 A' C
2。下边证明有没有毛病?2 K) ]: z5 T8 ]- b0 [; A
$ b* d' q+ h2 G8 l& M
设  a=b
) q2 D# z) {9 g5 I1 f( |! ]3 G* o
& T& I; E( e' j则有: a*a-a*b=a*a-b*b
- ]+ z& E- k# k  ~& `6 P: F两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):4 y9 v5 r/ q. U  W" M2 Z
( g6 _- y2 ~! s6 |  o9 n+ C* F
a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 a4 T3 Y2 l/ L: i* Y2 S1 Z$ E8 Ra=a+b' b% B* ^, E$ d
a=2a  C8 M: R9 M5 ]# z! h8 T
1=2
" F4 Q% a! s' N. w! E( D; d- b+ f$ R9 M
证毕 ,结论,1=2
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
# `# ~: `, L! X& O7 K! W* V2 ?
# n2 }* h' u6 P0 r1 {( x) N1)不能。比如1
0 l. T- M# ]- T) C9 O$ _( k2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。# m$ s/ Y3 H. B
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 x0 R8 \. v9 _! E$ P5 ~+ i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- T* m. i$ C. r8 d9 {
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' q# e. S7 _) {, Z2 g" W- G6 \看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- m7 q0 X# ]% A; S4 {- L& C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  \( w& n( k9 L, P2 z7 O7 ^
  K4 c2 T3 i- b9 K$ f, `, L# h
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
$ T5 ~) q. W6 h2 {; D
! ~. E0 i4 h' T: R& |2 }Proof:
" @. R1 G/ V: t8 {Let n >1 be an integer
7 j- F; G( E+ A# X# e9 ]" cBasis:   (n=2)1 X5 ^5 v6 W  I& b/ a; r- Y8 J
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( d6 e" X) \  @+ Q6 d3 k- y) I# G/ K. D# {0 f5 u
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: ^4 ]- T0 K% z; W5 P                                     K^3 – K can by divided by 3.
# P8 x: W2 B$ w6 B6 y# g/ T3 p: ^
2 Q  G: n0 u9 h3 B; n2 {Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 36 n/ e- H4 Y. B
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, ~! }* X9 e+ [7 ?) N! }Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* f! d0 I" v5 j8 O                                     = K^3 + 3K^2 + 2K3 Y5 I: c. \3 E! a3 y$ l
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)* H7 z; A4 Z( V: y5 c+ P
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. V4 P9 l8 E( z& m5 V) f/ G" \by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0+ g4 p% ?, ^5 K, g+ |
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  d( q6 ~% M6 e. \$ {& y8 n4 U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ r* M( ^" [7 V& S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3# ], S) l8 ^- h0 O; [
2 _( q7 o$ s% U5 _& T0 n/ E
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. S$ U3 C. a: e1 t$ U
  ^- z4 B; K' _" a/ I[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* Q: g0 B7 c! N* |& z6 J! J+ f
- V5 z" C8 t* p- y+ ?2 `5 y' G第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 y; g% D1 ~& s% s9 h, Q4 M) bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! s" k' \' x+ H  G4 @
4 n/ A2 [( l" k" J( H, S" R+ B6 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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