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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?0 M6 n7 m+ E3 r- }3 v

$ n6 y0 c# L4 H  I2。下边证明有没有毛病?
& b. F7 o) c4 f5 M+ |7 x8 h( V2 ^% g0 u5 Z$ J% z
设  a=b- d3 P6 a/ y0 u# [6 i

+ a% C  {3 F. a  X则有: a*a-a*b=a*a-b*b- [" X' x. {' p8 j$ E- |; f
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
3 W. A+ @  Z9 o% N
/ n; S8 h$ h$ W* J) Aa(a-b)=(a+b)(a-b)" u$ p" U+ q% M/ f: Q
a=a+b' A: U' U. g. U8 \8 p8 \( m
a=2a* v0 W2 R+ I% n# k. \9 ^" _
1=2$ x" O3 t- w+ _; `% X$ y3 ]
" H2 u7 t5 }: ~. v
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试5 P0 r% O, V4 P& Y& j- w1 I
: E+ \: s) ^" e2 k! ^; ?
1)不能。比如1: e0 j2 Q  H3 ^# D" i$ r
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
9 l7 {2 q( M9 J: l& m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 K6 t3 m  ?0 J% {4 i# n* Q$ a/ ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, b" ~! r# e+ f* _. @- a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
' e' D; w# ]% W& K" P) ?) ^
看!有高中毕业的!
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:  F6 }* G7 y7 l" @% w
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。/ Y: }% g0 j+ Z; @, }. x7 b
; C( `8 r! x; r; r: q- x
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 d7 \1 j) H6 ]# V2 f9 t, p7 d4 h, X" ~( \
Proof: 6 X( ~" [  `" L- B3 x) g* f+ s. i
Let n >1 be an integer # V& A0 p; ]) [
Basis:   (n=2)
1 n9 D" [) B# S+ y1 n1 Y, c' a         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3# ^: V$ A% y$ Q* }" f

; K" ]6 K8 i. {Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that3 l% Y& D: y6 u( d2 H1 l
                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 Z+ t5 J, l. h+ O& D% [0 _6 I4 Q0 J0 \: q; z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 A" c' G' q7 F! ?& ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem. {8 y$ u; N) J& Z0 i
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)% [; H" t3 s3 O/ k% c& @+ s
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K, m# X/ P7 W" Q/ g3 A) Y
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- p) ?0 E1 m- @3 Q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 B: |( x: @% U! V6 Y9 Kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. |9 ~4 k: r) v3 i/ J5 m5 {/ I& d. aSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)6 W8 u( d( t2 ^1 I% S4 I* B
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)% U% t+ l+ n" K
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 X8 o" L  G% G6 A7 j% [
0 i: y( N5 }! }4 A; _9 X! \/ EConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.' R6 }, q* U& x" ^- Z: R+ }
! M0 M# C) |- {; s
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。) B$ k( V! a( l8 H: J6 o1 Q

7 N. @" T/ e7 B* @第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:! Q/ p8 M  ?* J1 u0 W0 t2 E+ ^
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  l2 Z% ?# p/ P7 M, Y
( x* |3 a* k  @/ _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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