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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
4 P0 F# J. m, A; n2 Z+ @3 V* |$ M6 @0 `  k2 D4 Q( B2 Y. J8 S
2。下边证明有没有毛病?
: S+ G( R  K6 T; r. \$ a9 {6 c* G7 ^& h
3 \, V1 q- C8 N9 _( F设  a=b' w* @& e* w9 Y& Q( z
/ R1 W& Q8 h6 ?5 l7 {  u
则有: a*a-a*b=a*a-b*b" l1 t, R+ }$ [/ d+ Z" l- O8 R; ]
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
% X1 G+ F1 L: L! ]
; E6 p9 o" d: ]" ]  X) _a(a-b)=(a+b)(a-b)" n. {3 |5 L8 {! r
a=a+b6 T3 `! _% {2 d+ Q8 }
a=2a! S% B( W5 j& q, `$ Y  y
1=2! q* J; g5 o' P# q# `

/ i& u2 e, n" s! n. m证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
2 {. x: v  f  I. F6 M
! _  P, c; O$ y1)不能。比如1
) B4 ]5 H: g) ^1 [+ L. v$ I2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" E( w/ L: _! }% g' }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 @" o4 ?4 L. b1 {" O, F9 L; `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。: `2 f9 _* O) m' _' ?
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
6 }4 s7 K( G$ ~3 T* \# x
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:- [! N2 }2 h* r1 A1 r8 H* ~. C
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
0 _3 E) S+ q" N2 g
3 @- u4 ^* E% }
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n). g# R7 ~% X4 R3 F, Y) M6 f
$ E' n8 G8 L) p7 b( o0 G0 E/ x
Proof: ' m& u7 D, [3 ^  ^
Let n >1 be an integer
0 c3 y5 x% x% z# z: X  zBasis:   (n=2)# ^" l) Y# H# R1 A$ a
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 34 r( }2 D6 V1 f1 n, |

& ~4 }6 R6 g3 MInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 Y* W) h2 E3 _                                     K^3 – K can by divided by 3.1 n3 [4 w, L1 e- J/ z

' _! b' A8 [1 C, pNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 32 w  W" S+ _( `3 A' c% u/ [7 t
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* E' n/ Q0 u- L9 N6 x# H- g& X6 ^Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) Y$ T+ Z+ h& G9 t/ [1 e. j                                     = K^3 + 3K^2 + 2K$ T8 ^0 l' m8 d: W
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 ?1 Z4 W0 `- B1 J$ w. j$ p                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, F4 C  l  F+ E2 aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 H0 N; Y% a8 Q4 w; o: dSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 t. {6 E" M7 i' v: ^9 `3 U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)7 \% K2 v! M; B
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
- Z. R' C  T" o" s; Y7 q! x3 z  u; Z# H
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% s3 z  h( U: X% R4 @0 @6 _6 @8 p9 T% X/ z. d# E- L
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。7 n/ T0 X+ L+ @/ J4 _9 B
. I9 y0 m9 V. Q3 s( j) D
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 q4 R# \* ?; @Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
! X9 Y7 z! D3 w$ S

9 k, M" |; x: RSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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