出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

, W) M! A# w! h/ A! u8 f2。下边证明有没有毛病？
) K; L6 h0 F/ n
% y( |2 A# p- P设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 d2 ], ], _: G两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
  w( N: R7 M# ~, b" w  `a=2a
/ c1 v# G* Z( C7 B2 y1=2
8 b: P) I, S8 l
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ ^: m' f( f! @# M' R: H
+ G7 s6 ?$ e; e% z1）不能。比如1
0 F" s, M! g- \+ ^9 O( y- m2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! _+ X* x3 g* X$ m) X' D, \# _. X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

, y# U9 v; }5 c为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

; Z: @: N" ]! ^5 w3 e) F/ ~( V( zProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
6 Q0 s+ e: a% s) @1 i. v3 I; Q8 g' ^         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 W3 @: g: Z8 [3 e6 e8 I
" g3 C5 j  H8 v; {  NInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ ^$ h. P0 M2 _: W, X                                     K^3 – K can by divided by 3.
  @0 C% D5 j1 E" |
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; t; a# p2 C- f" s' Zsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ X  a, _6 ?# c' `Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 a# `2 L, j" a* Y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 H! u" G3 A5 U6 u- H, y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 F' t- ]/ a1 Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" l' ~% }; N# i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. r# Z* g# y' U0 B, @7 L7 s
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

3 \! X  A* [' q6 D0 N第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; M% n( A7 q; ~# h( D+ oShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, y9 ?: p" _2 ?& Q: D( ?
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.