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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?% }! A% _: K+ d

8 V$ L1 ~8 T8 G2。下边证明有没有毛病?* A  f. U/ c8 _; m( J5 c. \; K
! ^6 z6 t3 g, V+ K
设  a=b4 K6 Y  c  E6 t. f: q. h
) T0 R. S  |8 z1 L
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
& T! c7 l6 G. ^+ `4 ^4 c+ s3 S# [两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
8 J2 Q$ z9 [% A  l4 r
! T; Z  ^( z) U) ]( Q+ P5 _a(a-b)=(a+b)(a-b)
% [! G4 L5 M% X: _* Ja=a+b9 {- {- P9 M6 [' y& E6 a0 N
a=2a" e/ I. [/ s, {7 ]: s) |9 A. }0 E* O
1=2
7 j/ ~+ W' _3 J' o- J# a2 b3 E
# G, |- W8 M8 a2 ^9 F证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
% Z; R) n. s( |0 W+ \3 X, d- q. U, i. O+ x4 Q! G: O2 d
1)不能。比如13 X- ^* q7 Z: v- m+ g
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: h! p8 O! y9 c1 S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:+ F  ?( t! W# Y8 n
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
. @, _& K  c, p) {, H: x, c6 g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
5 n+ w, a' Z# j1 a7 i! x% }, w
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( z  o# ~) l' l1 k6 x5 h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' g4 Y  w% [( t* Z/ y

- j% E$ k- d* z5 n为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 n" @4 U, k  y7 |1 g+ x( U
" U1 L6 N$ O! t" @' OProof:
; k1 n/ b, ]) U: c+ oLet n >1 be an integer 7 m. Q+ m: E3 G& Q
Basis:   (n=2)& \9 V+ S7 F& H: Z& D5 J
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 37 a: [. y* {6 q: D7 G* _, Q
4 o2 n, [; J2 z7 A6 X
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that: c$ q3 \" [; [0 ^$ N
                                     K^3 – K can by divided by 3.$ H- k3 y- g. k7 p8 x$ c

8 U$ \7 F; Z) k- c: p6 [9 ZNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3& g" _4 @5 q& E$ Y# }/ |8 d7 X4 s9 B
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# u5 p+ Z4 x9 k7 L7 WThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* c' j; U5 n& ]# `" M! F                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. I1 ]) k2 L. d2 [- Q" g+ O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)& j2 A; K& d; J' V1 p/ ~1 z1 O
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 W; o+ c  x! u, pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 P4 d: J- @, m9 B( QSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)+ x) |/ i$ I  R7 e3 B+ p1 O; B
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)+ A2 `. Y3 Z5 W5 \
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" i4 }4 |0 v6 U/ ^) J
" e* H+ I* H. ~% vConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( S# G* M& k, j# I8 N$ n% Z
1 f  a) R7 Z" q3 l( C- V- K& r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。# S: e& Y* C! Q# i5 p

2 i  u1 k$ ^  |: v+ F第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 b7 f* K5 U% \& Q; X& A9 rShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 X+ c3 `: N* B5 y! K* F% @6 X2 y
- i5 \. R' c; }2 CSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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