出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, U+ }! ~$ r8 b$ v; g5 p7 c, P8 P
& f, o2 v- E/ j: @2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
; @8 r; K8 _, i  e
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 u8 a8 D0 N, B
7 ^/ W& T. ?4 X! J4 p" _/ A8 la(a-b)=(a+b)(a-b)
+ P% K+ {' K( r/ ~4 D  {& |8 d  Ia=a+b
a=2a
3 D' _# l9 |& K/ Y, Z8 }1=2
# N- j, A/ t0 q* v
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# [' H( F' ~8 Z
& ^. x' b: \+ J7 ], Q1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 Y# E5 i* F' L: F: D, g: g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; ?# z* G8 f9 R4 f/ \0 \看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
- d2 Z- A3 q$ {Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ Q1 Z5 w9 l2 X3 b9 P; H4 L! j
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

2 J' K# z- d" o7 d# hNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ g; F6 W6 j# D4 d' }/ z! n- rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 _) r1 m% }% t                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, b, L& H* q# ]; d/ E) h/ K1 |* B% V6 gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  L# t2 k; j  I( RSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" @0 _: F- z0 _; f2 l) B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
- V* N3 P; P. [. Y" T* A
* y( S, b5 k: q, [& F/ {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- d( G& c4 }% B
; v/ c2 o# J  Y6 W, L[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* w7 U: b0 Z# O) K2 T% X) n9 K5 j1 G" j2 f3 [
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ U& d; \% N- VShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.