出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" w! I, F& Q& ~* l+ E
2。下边证明有没有毛病？
/ K/ E' I0 `( P7 ^. x1 A
设  a=b
6 P7 v' n+ }8 h; f2 ~9 a
" l/ d( u  o. U1 X- B; X  v4 y, u则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

* p# u' Z6 A/ y* G% ya(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
% l: f2 Z% s/ S, A1=2

( f6 U1 J( U/ e1 Y, m* U: R3 ?证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

! u, `: I9 d8 p  r- q$ ]1）不能。比如1
( q+ ]  l" F0 ^2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 C( o9 W$ Y3 B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- @5 D3 F% F/ S6 [1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 x' ^) n5 O. s9 F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 k. u, Z3 `& [: N& ~% `2 d3 P- R看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 h; k8 q+ j6 m% T' N) v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

# r1 M7 @0 U: Q: V8 u为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- t+ G/ D$ \0 R9 ]( @  R$ t+ G
2 ~2 K% V1 @) G# I$ `& @+ w, B5 a3 mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) Y. [+ t4 f6 }; E# K/ a7 A6 `                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ W4 {5 g# w8 Y: b- f3 Nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" e! h* D( B. C7 l* Y% lThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# `. N- U* I: h- e. a% S7 P                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" ]3 \7 X1 t4 P4 ]                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) k2 s3 `! w/ z; @1 n# z, n                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# P5 W- j+ V& g7 k# m) i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  U" R$ g+ g% U2 L! L6 G4 J
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 {- a: _, m, N8 z9 e- f5 i1 Z
% h2 S0 o( e1 d3 y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

/ i1 B  U( s' D* l3 E第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.