出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
5 S; J5 W% D+ v4 a2 x
- D, z8 k8 o, k4 v( G设  a=b
: f' l( c. i; r
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 U# {  t" r. V) I6 }9 M5 |# G
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
) a2 A( {- I) e1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: i9 L5 V9 k* U" u& l; }1 @, K
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# I0 P# q  y6 ~  E2 ]( `4 B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! x  i. O  \0 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 @2 Q* i: E) D% _6 O5 @. V看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" K9 n+ S! s- i4 \8 T; |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 g! D5 H% @5 ^1 e# }

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! X# h  F* f" ^$ @# J2 l2 T2 D
+ _: ~+ k0 K+ @& ~- r& h5 a4 \" V* eInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 f9 t. W6 x7 ^* A3 j                                     K^3 – K can by divided by 3.
" U  l9 ^7 r3 x8 }  V! l+ l
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 E- i( {) \$ E9 N- V: k* K. Qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; n0 H5 ]7 ~7 o5 ?5 s. e, _6 T                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& \* G7 S" J$ B- u# ~. CSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: T& a2 I8 ]  B; {+ g* j$ I
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 `$ [8 _( q6 o( e' z& m
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! Z# b! M9 N5 J6 Z- A" Q9 R0 cShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, `1 E, P# |" B7 b. D. F2 x7 P# O/ MSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.