出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
% q) V! O3 k3 S/ V2 t/ \) M2 F
! K8 C8 F4 c9 L3 ^6 y/ t$ X设  a=b
) B: |* I, p: h, l
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' X- F) _0 d  R两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( q' u& {$ `8 W+ w/ u( u+ p/ Q
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
8 O- r3 R5 q' c1=2

+ y7 D" R' d, ]' R+ V0 h证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2 ^1 s) r' m4 A2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 ?" h' u4 ?/ g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# P2 s8 C+ f+ I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: {5 e& h7 H8 ?  x, d8 e

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; [4 u5 b3 w  K& c! v
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
" T9 W( L) p, ^+ A5 d; ?  _6 ^. e
* q6 D, s1 E% z) z. I. VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 D- T& B2 y2 g2 p0 e, _7 L                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# I# n+ Q) b6 J. j; F                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) n; r+ G6 S4 b6 d7 E& V8 ?" Y0 e& Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& r' g5 X5 f6 i& hSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( ?6 m/ y, s1 i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 {1 ~( ?1 y7 I2 `: n
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

  K* }  l& d% _( C# [4 R" {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" F! f3 p( E2 m4 o
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" q, S. I3 |4 O& j( E5 E  I2 zShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 U- s4 t7 f! T
% U. U1 `8 c; h8 Q5 ZSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.