出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
/ X, b% ^& ~2 [9 ]3 `- l$ u0 A
& j* Y; t* e* v$ z0 `; ^9 H7 }# A设  a=b
" l+ Z5 t, Y( Q- Z
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 d1 e% E4 \& E8 W
* x0 ?& \* }9 ?+ Wa(a-b)=(a+b)(a-b)
4 Y) l4 Q( x  ?# B* q( va=a+b
2 S) r4 `  _" [" v) S7 c& ~$ Ga=2a
! [. H) F! f1 B1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: U% [( B" y9 f- k" B

# y! o+ ]: T# M6 D: E# W为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 Q, q8 w. V3 b& u: {
+ }4 c7 U- |0 p4 T3 x$ ~3 J) uProof:
Let n >1 be an integer
9 t" b. {; b4 s: I9 H9 \, c8 cBasis:   (n=2)
) p* A( K& K& J, C- d3 w         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* l0 u/ J  W# s- K+ t2 H
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 n5 d" P) z: _$ @4 osince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) a9 T% E" z  C: `6 r' E; l0 NThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- ?/ z" n; M% e: U7 w- k6 C: Z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 b9 a8 P) s8 B                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, L, L8 |- y, k% T/ t1 A                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& x( q1 [- r6 V% ]by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& m0 _) V1 `6 M( h3 ~So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- g' r6 }) E% r4 t2 K                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& s$ \7 g7 ?2 h9 i% {7 J
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 }4 C* D; L& C- y5 Q% f; H
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

9 A3 }0 m$ V. Y. B第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 s8 r& o8 b9 j' F
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.