出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

8 m# b* @- M. n( n# ?2 ^则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
! W* M4 G2 C3 u5 g8 Aa=a+b
a=2a
1=2
3 `+ y! f  a! R: N4 ~
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 b( v' o+ b+ r' Y) T, {3 w
1）不能。比如1
. y  |' {0 R+ g, f2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( ~4 G; a9 i" F1 c% y+ r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& q+ Z+ {; F4 [$ C5 Q" H" K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" s+ k$ d6 L; J. u* \看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ {9 T8 Q' ?% U' g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) m, M  c1 s" A# P' E5 I

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

* w4 |& I4 S! D3 U$ q4 {7 C7 lProof:
6 C2 x. N/ R7 u8 h& ZLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! L3 D! u6 R" n7 j) J& T
+ m8 Y6 r$ S2 v( F- I( _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 i/ F. W9 |# c6 J  B# d: k                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 s1 s3 j+ _9 S' V  R7 Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: y; m8 F4 ^$ @Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 T" ^3 ]3 @9 B, `2 n$ G6 [: L& n                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 Z1 {2 J( D) {5 ?) \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 A; }0 v- w% I3 `
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 _/ ~7 d5 d  U. C
: c. g* S% c9 m8 G0 q. d& b* K+ `[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ N0 c/ P/ D" y3 Q$ B1 l! RSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.