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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?  X. e, @# E3 b  g  f. b
6 \$ D& S8 r) j4 z0 g. u* p
2。下边证明有没有毛病?' y1 L. h& o0 _" N# a% {

( j9 E! M$ Q  A) j# R( I0 L, R设  a=b6 t6 b6 z3 X( r) N8 _5 z+ @
! }6 L; i- k7 d' b4 w1 x
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
( P' V4 b) C" z; j8 \两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
: L1 z7 c9 |  W7 E4 f' k! P1 O$ _# O1 ^& f( X+ {8 k: n
a(a-b)=(a+b)(a-b)
' a) L  ]) r5 h; Ba=a+b+ }0 o! d$ i9 N, z' [
a=2a) a. S  x0 u" D7 |; `
1=2
9 n( h5 t3 U' w; p  j8 \( X/ n: @& O' t/ W2 X# z
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试0 ^; x" r% N8 \" l$ j/ Q8 {. l
! A) Y4 Z3 x& u; i
1)不能。比如1
* K+ _/ m2 K) j2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 r8 C. X! g6 k- Y: I. h
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:8 K+ P" c" n/ I2 L6 p8 ]6 u0 s
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 W: i6 M9 V: \* f( P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' O* f* o7 C- j9 i4 l  n# _  z7 V4 z. [看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:. B) W; {/ t- U9 g
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 C9 T! v+ {6 z* ^* Y

# M: E/ R) l3 r5 ]7 N; L' `为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)* P( v; W) {" h: q+ j# s- |8 T

, f  }2 V4 [( n  T1 yProof: . t' @6 n( }- l8 x! F
Let n >1 be an integer : Z2 s: h  ^: y+ ?: x" Q: T
Basis:   (n=2)
8 \6 E) \% n; d         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 30 k+ O* d% e$ h$ J: w

( V& W, V  y- @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 ?' H7 P- X) Y7 H                                     K^3 – K can by divided by 3.# R1 d- H, K, f
7 W1 j: t2 _( j* p1 q$ ^
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  A! l' g; \: ^4 L* b% h' `since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem; r2 m" a, [6 D2 s2 ?3 s% H5 q! A
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)6 C  x' H: v% X+ l( l6 r- y; _& v
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* f5 {3 v- l8 s+ x. [& f9 m8 p                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)4 M7 F& V6 M* W7 ^
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)2 U( ?$ L4 X. {, N! Q& v- X
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 n* F+ r% i6 w' ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)5 X+ S+ ~1 z7 ]$ Z" K" |2 M
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 d/ e! j4 l5 Y/ q* Q, }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 M( S$ X6 E% |; V- k3 @/ Q3 o5 a
" V& Y. v$ T. q, sConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. N/ c2 J8 B7 J; `' @8 |
. P7 R4 x# r& h6 E0 N[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 ^6 c, c/ z+ ?' N
0 i, l3 g! i! T5 W9 s/ D! O第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:0 V( L5 z* Y8 \4 Q: a( w6 I
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 S4 e5 @! E; v* d  {# o+ H) @8 F9 S* G5 f% ~$ |, Q. Y* j8 ?; _
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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