出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! b  y" D6 `: k2 w' }8 X, k" f
) O, C: [! `; L1 J+ N2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
7 s5 H$ Q" ?  {! B7 C/ _
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- l$ }  R4 u/ j" ^( j! M
0 h4 v( V8 _+ y# _* Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
* ?8 U. A* M4 o$ z. u2 `" Z# f/ }a=a+b
a=2a
1=2
1 u) n/ e5 y# f! x
# P7 T+ w- l% [" [证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) a% s) V" O5 x' a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ w5 `, W: B- v# t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 T+ _% t9 [  j$ ^1 \2 @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

+ F$ Z+ w' q* H0 n; E为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 h) Y( Y8 K5 p; f6 E7 n1 b
6 T$ o+ @4 `) o* T# f$ [7 i0 mProof:
) `. _  B. ]8 c7 W1 c5 e6 z3 hLet n >1 be an integer
: H5 ]3 N) U9 g  Y4 |9 [Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ y% X: }8 i. P. `
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ x3 m- F/ q' Q  G                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 e6 q3 [* D" c
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
* Y) \" T; F) `6 I: g/ K* a& d                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; f" h# k$ w4 l- y* uby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# L2 C+ g. n* ?3 cSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* f8 H$ g9 F. ^) P                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
' b4 S+ P' O& K/ {
. X* R' z) j. }% dConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

! v) T) W  |  B8 t# M& \4 \[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 ]2 L4 K% J" E$ v3 ]' [" ~第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 p. V4 B  n2 ^0 n+ AShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.