出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

( M4 a7 n2 @2 A* s9 \2。下边证明有没有毛病？

  B" R2 B+ o* S' J4 M2 J设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ T2 ~. c8 {) `# T" j$ w
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
5 \) q. B  \8 K6 }0 R/ }, V
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# n- g) R, |. c6 K6 G
1）不能。比如1
5 D! h9 T# Z  T! H! [- r2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- D0 v" H, H* t  z% C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 G7 d. S7 g& z( \. ~1 D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, k8 n: j: ?- q) M% ^: [6 D

: s3 [" X: n. {为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

% U/ D3 m5 p# G+ UProof:
1 ]2 P/ s$ z; y' Q* C( ~+ l: WLet n >1 be an integer
5 [: m2 A7 n: Q, w8 U; H3 |Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

7 a. R6 h+ S# N  u! q% MInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 [4 ?. y5 O+ K7 w; e
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! U9 ~2 \1 U1 g# X# Q3 H0 Tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% b' z. z" G* O# uThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# g( v( K1 p# [+ v, m3 o* dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; P- ~6 g  g" B; m; o% TSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) T" L) n; W, n6 B& U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ S0 L# J6 @1 Y9 ?' K' A* B0 A2 Y                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ A7 V0 m5 s( `1 V* S
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

0 b/ X- T  U6 L9 J0 ?" D9 r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 [2 @$ H' w" g, V, R, {第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 o, J. l( W% i- XSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.