出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

$ G7 N1 k% q4 r3 v& Y2。下边证明有没有毛病？
) H) A" b4 a. x& t: c, f0 q& ~2 a
4 J7 F4 n* i/ V设  a=b

" S, Z1 y) c( r4 T# p0 f2 m* H8 T5 D# u1 J则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

$ p4 u3 I/ u, u( o7 y1 X, i0 c( M' Ka(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
, F2 u4 c6 _+ O" a% Sa=2a
/ `2 z$ L" N9 i9 [2 B1=2
# \% a5 K, e" F6 v8 F
* {7 b, M! F, i, u证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) L! C, q" u) n4 T7 C" ^2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& m& U. A) N; l% Y) S5 o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
! {* t& m' `  s, J. r
; a0 z0 E0 U1 U+ U9 @6 ~  ZProof:
! M5 ~& K# c! P8 OLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ Z- s; _7 y' `( g         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- B' K) ]5 C8 _" b1 H
0 n! E# ?! P* jInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 _1 K" `$ J# U1 A2 yNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 d! z6 c, e) p/ b9 h                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 X* Q2 ~& K7 X3 E6 h9 [+ q7 H
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 L, w- j  [: k; a7 c" b
; |; y/ z2 U# U/ L+ o( r' E; KSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.