出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" {: ^) U! D9 y; m5 d
* n8 q" t, D# p. f, t* J2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
$ W% _9 u0 r( u1 l' k
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

6 ^1 Y6 _  n8 Z/ E( }a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

) J- B# v6 S7 j  M& k1 r证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

, Y5 B9 L$ \3 J, R1）不能。比如1
8 `# E% D" V# g2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 N, O  O& [, Y  |8 Z8 e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

7 p% Q# ^* D0 d为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

4 m# {+ i" {# l5 bProof:
Let n >1 be an integer
5 W2 B/ _- O  R+ z0 z% y% s8 pBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 Y& H4 ~6 [1 e- i3 n3 O/ ]2 t& H
2 v$ M4 ^: Z4 f# I) MInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: f7 c/ |, l, a! S/ Y                                     K^3 – K can by divided by 3.

& P% c) v( k1 p: U( v1 `# o* D) LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ r/ I- l, G8 W  @# m- b* I4 Fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 M# s# p! O* F: D                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, E! m# M* F" t6 B                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 |" ]5 j! ]/ i' g                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# e6 B" ]/ {0 S6 y# O5 Z) ~                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ d8 z$ p  Z9 u0 @/ x% X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

: ~- R7 {; ^8 K! K" DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
5 z% O4 l2 p8 e3 u9 }9 k7 h: D
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 A2 e9 i/ H/ X% {* ^* {
; B3 \& c: c4 \0 \5 ]SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.