出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 P0 F# J. m, A; n2 Z+ @3 V* |$ M
2。下边证明有没有毛病？
: S+ G( R  K6 T; r. \$ a9 {6 c* G7 ^& h
3 \, V1 q- C8 N9 _( F设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% X1 G+ F1 L: L! ]
; E6 p9 o" d: ]" ]  X) _a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

/ i& u2 e, n" s! n. m证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 {. x: v  f  I. F6 M
! _  P, c; O$ y1）不能。比如1
) B4 ]5 H: g) ^1 [+ L. v$ I2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" E( w/ L: _! }% g' }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 @" o4 ?4 L. b1 {" O, F9 L; `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 _3 E) S+ q" N2 g

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
0 c3 y5 x% x% z# z: X  zBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

& ~4 }6 R6 g3 MInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 Y* W) h2 E3 _                                     K^3 – K can by divided by 3.

' _! b' A8 [1 C, pNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* E' n/ Q0 u- L9 N6 x# H- g& X6 ^Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) Y$ T+ Z+ h& G9 t/ [1 e. j                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 ?1 Z4 W0 `- B1 J$ w. j$ p                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, F4 C  l  F+ E2 aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 H0 N; Y% a8 Q4 w; o: dSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 t. {6 E" M7 i' v: ^9 `3 U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
- Z. R' C  T" o
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% s3 z  h( U: X% R4 @0 @6 _
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 q4 R# \* ?; @Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 k, M" |; x: RSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.