出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

1 N: S2 n) M4 _: S- G6 d2。下边证明有没有毛病？

& m/ Z( ^. V2 y3 e# e* L) j设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 z; _1 }7 K) \& [+ n两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

9 e6 Z& u) }$ C  F; V证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
1 y2 X6 ~" q4 ?& K1 ^2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 b+ p0 ?4 K1 }' L: Q' d) _. E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: H9 g& I: Y$ r8 ?( j: X1 E6 G6 J

4 B2 u  ]) R; W0 Z* u为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
2 L; V4 R. q. H3 F; U; ~9 ~Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 F# a! c. L* Y% V. d0 d
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! R  [* |9 T9 d5 m% m                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 _6 Z' a) }3 Q* M  C
; \1 h! ^" ^5 B& {Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# ?- v( l$ {, ~, Y3 @1 ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) c8 g, @$ q: R3 y6 s2 l9 v                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 c. V- I1 Y2 X9 A' H/ a5 a3 mSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; B2 ]* B# @! y" m! m1 R                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 G% l$ [2 A! a
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 ^) E; j$ }8 g& L: x; G+ T
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.