出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 ^" N' c6 r4 b. p1 X; ^5 y2 N
2。下边证明有没有毛病？
0 J5 @6 j4 m. r. A/ X/ N
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% t6 y8 o9 b8 O两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 c8 y% Z1 U- y5 ?
a(a-b)=(a+b)(a-b)
- X2 f. [& M- h$ j; M9 }a=a+b
a=2a
! S" e/ P, y& J1=2
- Q; `4 `7 [, {, l! v( J' t5 O/ ]
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( d5 Q: a3 a9 T
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; r* `; T6 o% ^2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 v5 D, u5 g* v+ G& s5 S7 H( z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 C9 L. u) _3 w$ L看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

9 L3 n6 W1 w: b/ b为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, o. p+ e2 }! O; \5 p; p
% C3 g5 u: \9 E/ D* R/ nProof:
Let n >1 be an integer
5 T# N) q8 y# o9 aBasis:   (n=2)
" |' Y) c! R+ @0 t7 |         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ m& |+ f9 y/ C# e% t! b
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- O# ^0 S& M' o; }. l                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ \4 T8 U0 E; ^% z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: f  l5 z3 q- @. J; l& d! @Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 c$ f/ |* K7 A2 Q1 a/ j  I! c                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# t1 Z0 n* Q  c6 }9 O* W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 H6 |. w4 H* r8 U; ^0 cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 ]6 w- K5 E$ a: o- A' k- K) ~So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

9 ?9 U% B, G$ H- U! U% AConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: I1 Y/ S/ Q- T
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ Y' I0 S% F0 K2 K% ]& b1 v3 |4 z
6 S0 d7 g" z6 k, c第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( v# W/ h9 E5 s
* K& D* d4 p; ], XSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.