出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
3 E" a# k8 w3 d  D+ V, o5 f3 p
2。下边证明有没有毛病？
, N# n+ V- O: r% q! H
设  a=b
8 T+ e  _, q8 d
8 n2 E* }- B: {5 k则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
3 B& F! y0 ^6 ?a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
9 `5 S# v4 b, S9 [, c$ C9 Z: L1 l3 i: i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( l% I! P. o7 [: Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" i& {$ k4 x6 n2 c. @' `3 }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* c- c! T/ F7 ~7 J1 r, O

" d8 L& \- ?2 \) x: l0 }0 Q, L为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 C7 ]5 t8 z6 O( O! @" P5 }. e
Proof:
! `- u2 A) n; D/ t( w  yLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
( N& L% O& M4 n; R1 c* h         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! O- D% m4 E" e- ~
4 Q5 x0 N' y% p8 \& V" d9 l8 `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 b: g) G0 G# |( [                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ G6 u7 K/ }( v* C2 q' l$ jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 f+ N; O8 q: H- X. w& SThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

2 `) r/ ^, s. l# Y, kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 {0 Z, {3 [% b- l, I  I- b第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.