出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
! _7 d9 M/ n; ]/ _3 G& A" N1 \
$ b+ A; a7 m9 V0 G( {) I2 A# X则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! d0 U  _5 t' b两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( a- S5 M  V5 }# i; P
  u! c% L3 g- j1 m' fa(a-b)=(a+b)(a-b)
1 V4 P, K! d4 ra=a+b
a=2a
" O5 o3 O/ i: o7 [. y; T1=2
/ i) Z, B; X$ G$ Y% R
& A2 d; G( {' o2 t. n证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% e, K- @0 J0 K( O! O8 o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 [$ o8 t) W5 V  h  ^: _: @& d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

4 I9 s# Q2 T" `# S( M# _! j  v2 ~为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 |+ Y3 R: _) z9 m; A7 {
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 u: o7 h" n- v. ]6 w+ ~                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# b% s9 o. O# x( t9 G                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. q- j/ p: y" O: N; @  p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 j# o' I5 e% B; e+ s6 ~4 T( t# b
4 f  j6 _4 m$ Z& b; Y8 IConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

+ d% ?9 f5 \4 j, x2 a% Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

( t3 @8 m8 R$ N% t0 A/ s; m0 t第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.