出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
# {& B$ m! R0 U; m% ~3 f7 w0 u
2。下边证明有没有毛病？

1 r" \9 w* W5 ?7 Q" Z$ i设  a=b

! x. q' R8 m; S! B! h则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

2 O9 I! ^% Z: R% H: L) R$ c4 B' K/ sa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
$ M- E9 k, I. p) B: f1=2
1 a4 j# }) S% }* \4 I+ m
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 w. K4 A4 O2 J. k& D. h
9 e/ O) I& _3 C: }0 ?5 }8 |1）不能。比如1
, ^/ \9 J, ]6 h2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 O" ]" k, ]; X1 O  w/ ]1 w7 |% h. s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  }! Q/ U) J6 T$ V- F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

) I' Z' `+ ?0 z$ ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
) ?) w5 {. Q* b- c9 W$ k! h) iBasis:   (n=2)
, g0 W  n6 r; S0 c0 r9 i2 U         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) b6 a% i- B2 x! _( N
) y* v1 n7 Z" V+ F5 OInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ h' n  s9 m; K/ [1 u                                     K^3 – K can by divided by 3.
, m) ^/ a3 v  b* H+ C
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) [1 Y/ P6 [1 b( r0 Z* l7 @7 V# hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 W) S8 f$ C2 X1 F& I1 U  A) tThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- w, _" k1 \) q7 u$ U                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, r5 b1 _5 [& p& r1 [. Iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) p. }1 C  R: z/ a  B& o                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

/ X. y6 T! M9 p8 S) ?2 lConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- H9 e7 Q! a3 y  E5 g4 R  q% u
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* C4 D7 [! J7 B" \% c) h
8 C2 Q& d5 p0 u9 h( V第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.