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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?, b( J- a0 C$ x
/ n% C# Q  e% G) [( o
2。下边证明有没有毛病?+ c. K- b* C0 d4 B; t$ c0 I

2 }- s9 K+ r& O+ s# O* y- r, f, U设  a=b
$ s- `# `* u8 {8 o- H# R4 P  P
4 u+ x) w! ]! s7 t* G则有: a*a-a*b=a*a-b*b: v  `* n* W+ [- z, P
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):" J& v7 a- b# m& t$ V: O

  w- D: Q, P) P; k1 U1 ]! I$ {  Aa(a-b)=(a+b)(a-b)
+ _# Y# G4 T3 Z* sa=a+b
3 c# l8 C& E0 s9 [a=2a: y* G1 d/ |5 R- l# D
1=2$ ]4 \2 V3 y7 f. o+ z
( V: e& f. W: j6 d8 s( k7 Y
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
, h7 g! n. ]! T/ i! h2 e( h2 u+ q7 T2 U) K( p; N/ M9 r, j) B
1)不能。比如1; A0 B6 _' y7 _5 V7 K7 ?: \
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( z3 c% j; ~2 j8 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ [' z" Q2 Q/ h( l& Y- U
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ G; e3 [( ?' D" G& H) p6 E
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 H5 U& S+ P$ B看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, Z0 o# ]0 q) W+ Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 Q! s* Z! ]: i- J
& b" p6 {) m  L: {1 e
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)  H* J+ w- v# Y2 s& o
2 z: B! v, y! u5 w9 }1 e0 A" p/ m  d
Proof: + }; C- |; O8 X8 I! b
Let n >1 be an integer 8 O8 }. {+ |/ Y0 o8 }
Basis:   (n=2). I9 j6 N/ z( P+ X' C) ^
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( g! P7 ?7 `% C9 g. z9 n
& m8 U# a* O' Z& v6 S4 L. Y8 SInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that6 q* E& G& @) p  a! T# y
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 B8 m! s) [4 d3 @
( D) I- W! O- x* j$ l5 K7 K6 P; ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 N# t1 u  z# }) r' ?3 j0 i% `/ fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem/ R, L! q$ M. _
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% v+ R+ L$ G2 g0 Z0 d' T0 K$ C                                     = K^3 + 3K^2 + 2K, ?* Z* H) k. i! U
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)" S: }; ~2 x# K0 c% D# C
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: b( n. @" X6 e. p" Kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) z- k) X- T+ ]# d- J" ^- LSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 V: x) A% j5 c& ^                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 a6 S! ?& J# _& b8 R# d4 x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 @5 @; O# A" I: z+ ]
# g2 H$ Z: O) f- O0 rConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.3 s7 ~: V8 K9 [: c. I
1 @- \- y7 Y1 j" Z
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# q1 w  \% O0 @7 u8 o, r3 Q% \+ [1 v, J! m3 F" q" Z
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! T& ?  g4 {! i" M1 UShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
4 n6 N) f) i" ^7 e& u3 x# U
* x& `9 \) c- X
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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