出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 H' ?& b0 o( v" W8 m5 t* _) p0 I
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

' o; p$ j$ Y2 f8 z* T则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ y+ e+ T, p, U7 c% U# X两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
# s2 n4 o9 k% j4 T3 ma=a+b
/ d- ?6 F" ?4 U$ ba=2a
' |. A$ U5 x: O0 i3 z3 r$ Q* ]1=2
1 Z. S6 i% i# w7 |: ]# G0 }
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 z$ w2 Y! u) D% A1 @2 m9 K$ {
  k  t5 i( q9 J9 b) D1 D1）不能。比如1
! y. d% i1 h2 \1 n/ [8 F2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& I, W0 N# N) J& [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; ?# b$ G% p2 V' J( ?5 \8 i; o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  {- w7 o5 \) W& d, S. [4 R1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, n7 J, h; ?9 U  f2 mProof:
: w: S6 X4 ~! c9 F  [8 u5 kLet n >1 be an integer
) I4 G5 ^+ b$ H/ z1 l( BBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

7 {. f$ ~( |. }0 J1 _6 K; V3 eInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

  W' `; q" O$ v7 ]3 {. tNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: m- `5 b* ?5 z; b% L9 n/ }                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' ?$ l" a' i" v9 f' _: `; z) |                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- m  q. I& a" {2 C, D# c                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

' ^( [: ^- p0 Y5 D! }Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% f! L/ h, I8 K$ x+ n
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ ~6 a# ~5 t: t2 s1 U4 u0 r1 Q9 X
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) w( k! [/ a! L  ]( ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ [% d/ Z1 }. Q$ l
  F! F# A( |# Z3 P1 j# eSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.