出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
8 T8 @4 K+ S- s0 e$ _  R
8 ], z" \/ A+ Y3 @4 W2。下边证明有没有毛病？

4 X1 I, S8 i& q设  a=b
2 q2 t- {. A) Q1 X8 n9 K
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 n" ^+ P( [5 ?  [% D, M. @" V* J两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
) B# O# }+ o8 Z5 N' Q& r* h' ?a=a+b
. N% o9 a2 `$ `+ {! q+ C. Q- J8 j2 H9 \a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
% v6 O, p3 Z$ z% p7 j# }" Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 c+ x. l2 K- b# I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% G7 @, k5 W, e3 A

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 H/ j2 i* D9 E' G- [! V
# v) [  L% _2 D, O$ B) K. vProof:
& x5 O  g5 F# ^' ]* z% J  tLet n >1 be an integer
6 T6 }+ ^: a8 A3 WBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

, j% D- P% ]7 HInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 r3 |3 v: e% T. M0 j8 p+ p                                     K^3 – K can by divided by 3.
! W" A8 \% D5 E3 {+ H3 t
# w: v0 R1 }- `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  P6 J; B0 k8 z2 Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 G4 l9 j5 _+ C& s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, z9 \1 \9 s$ V7 ^; Q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: Y! R: T5 D; F7 H% E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 e5 Z+ y; m( G0 T' @+ B  O
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

3 d$ J$ f2 K6 V( U$ t# S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, G: a. X4 T$ V& a  U1 j9 I0 F9 dSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.