出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 j( x3 d( r  Y5 J, N
( |  T5 i3 C6 s" z5 b: H7 O4 i- \- S2。下边证明有没有毛病？
) `$ O+ `5 q' ?
- N7 g5 Y: X- u7 q设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
  P! s. B# u& Q& A% Wa=a+b
a=2a
0 t- ^* x; W% b1 z3 ?1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- }( [2 h$ O3 j6 X! M6 Q7 Z6 Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ F, _& u" D/ H看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: n4 d6 U, p6 e6 V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' o# a7 Q" g" Y! _, V! x8 ]$ [. c: W" e

& N0 V- h; }0 Q; X4 G% Q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  z' R% e5 G9 T9 L/ L4 |+ t: Z2 q
Proof:
1 S: Y  I2 j& r/ |. ILet n >1 be an integer
, Y2 W4 {, X6 |  dBasis:   (n=2)
2 g4 e/ Z/ u5 R7 s0 ]4 h5 u         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- @* j' C9 j0 U& G5 s
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  f/ G4 |) N7 Q# j; ?                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 `( }+ \( t. Q( j/ w0 C( {
* Z9 h& ?! a6 M) _6 S# |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) [% E2 \1 s* F% a7 @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; `2 d2 {& z3 F6 YThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) B2 L; ~+ [9 }& X& L                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# @% B1 I1 n% H% z/ ^, x7 L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 p" r4 y7 A* J$ M2 mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ Q% z: w: \, j                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

* i  d; T9 x8 U& I/ A第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 C9 h  B6 A: d: h  VShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 P& c3 f. n' Z/ M/ q+ X
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.