出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
4 e& a5 {; ]! a3 A- I
* ~1 I/ `- R. t9 a  X# Q$ u9 y设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 d# B! E' I. T5 s/ P两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 {! k, r* V9 z; P3 a
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ g: c7 U% C$ |" ua=a+b
  b& w7 L% @% ]' N2 Wa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 u7 C2 ]0 y; k  J" O& p
1）不能。比如1
6 ~% `$ W% T5 o) Z8 M6 B  R6 h2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  E) g+ @- v) l" |/ ^7 j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
, F0 n/ k) E" d+ VLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

, ]0 O! q4 x) O5 J. GInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. i6 F( I8 U+ d1 J
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 @- I4 g6 g/ E/ N) g' i0 j& nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 d" S( J; f8 q0 |$ C, y( i+ l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  {- f3 t$ Y1 Y$ ?+ f                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 O) _1 S) v, i- g
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 t$ Q% M4 X, a, }: ?+ u第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( O) `- i4 O* i4 ~% X" q$ T- z# u
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.