出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
5 r$ v, Z4 O2 [% q8 G
设  a=b
/ k1 `5 P1 j% d
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, }  ]" ^8 c# ?0 ]" @
; G4 d# o  G1 ^3 u+ A2 t3 x- P3 I* ha(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
7 C- }$ Q9 J" @( ?9 d5 s% f* F+ g1=2
% l# w# L) [2 i/ v2 Y, z
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
8 u6 W8 R6 G- p* P1 h2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 l) T6 n$ D8 y" G. Q( o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 x$ n  ^9 Y" t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 n6 ^! s1 k4 r% l/ u4 H6 d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' h  f+ Z+ y) n7 X0 G  u看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" J; B* E# d- j& G$ t/ Z

) |) Z5 f7 V' G) `9 A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
) A" |) |3 _8 g, f% D! E. L
9 g- u, Z9 u* n5 x6 qProof:
Let n >1 be an integer
5 i" Q& |) _: Z% Z( m' ~Basis:   (n=2)
8 T: G4 W5 z! y8 Q5 z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& p9 W* R; {. F) S0 h' q! G# ]# {                                     K^3 – K can by divided by 3.
: A. \$ K! \* c$ l6 W1 R; Q3 X
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 `3 F( W* B6 }since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ ]( h# J! G0 ^9 ~& k# B9 jThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 G3 _' A/ _6 X) Gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 D* @+ v8 o' C                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 U% o( ?- U: J                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

- ~6 E3 ?2 h# Q3 Z2 aConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 M( i: A2 q) t: y$ [/ g% R* nShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 W: E& r" [8 N6 l" f) |
9 a$ H+ u) C2 vSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.