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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?0 _8 i5 D$ k- w1 R7 V6 X' D

# u+ p  A' N- r- X2。下边证明有没有毛病?
8 m; p. e: ?% m7 d, O2 ]
- t" n! m6 r( C( ?设  a=b/ V5 m! h+ E; C$ w) g3 R' A3 E
" A6 u  F7 g& E& ^/ V' D2 g
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
3 t; l8 _8 o) A. \9 w% P7 k( b两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
$ F7 S6 e0 P# r' |$ ]- R
. h- _% B0 Y6 n4 Ia(a-b)=(a+b)(a-b)
3 S5 k9 N1 D" m. q$ e5 u0 S7 va=a+b
" n) x/ a9 s0 x4 sa=2a
$ A5 a: _. }. i' f2 u. k2 S; {" z2 l1=2
$ A5 G' h/ C5 ?; t7 o* [
( F5 N3 ~) l8 z8 P4 Q证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试, ?% [0 ]6 b1 a  [
3 y( b: n. T; P& `1 o* ^: P! u
1)不能。比如16 X# }( f0 j: Z+ k7 _: l: \* i
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ [& B2 d$ L7 j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:3 x# {2 i7 B3 i/ d& i( H3 ^' U
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 _3 M4 Z1 p7 h6 p
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
" G- m$ }5 R$ r: ~, ^
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ l! X$ L3 X* _# g: B
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% h5 W1 s' ^. N$ b
: w6 b: R; L! _" z8 T
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ a9 Y3 e6 B9 E& \1 g2 }  i' F5 O& `
Proof:
4 m% R$ T4 v: b2 M6 S3 g  I* |5 f4 fLet n >1 be an integer
( \" g/ `6 \5 Z1 H' w0 r9 E  l0 LBasis:   (n=2)
! x7 I2 F" |) S6 H* C; @7 v# G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( H7 m7 M# x8 k; u+ t, h& I2 v$ G2 y/ L: S+ @" n% u
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that3 z" t) a+ }% o; s" k1 N: V* H' l+ z
                                     K^3 – K can by divided by 3.+ w  P9 _/ \" T5 E  `- c
% j, t0 S" R* A0 o' ^: a9 F
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ a/ ^2 d" {, G7 H. i' psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 s7 n2 F; n4 N+ d5 E( l6 jThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)7 _9 ?/ X# y& g. _
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 V" s- |; M- Q  P/ M. p, ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! C' \2 t* R$ j, _* }                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 ^" {2 ?( t3 f7 {! d$ xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>04 o8 F5 U6 V5 L8 P) S6 Y& p! \& j, Q
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* k3 d7 j  ]& ^/ h, \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; g) Q9 o4 p/ c- Y* M                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 b/ ~# p) k' z$ n7 {$ F% U; J! y" ]1 ]% B
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.+ w( X5 j7 i' P- O5 {) E' ]

0 d. j2 T; U/ P# B+ u[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。' `) P" ~3 X( q) V+ K
8 t+ b/ U5 F- ~( `, D/ O* v
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:: a$ x  j" j1 l' ?
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
  N0 M6 q# N6 ?
  c' V1 U8 P, q4 _. t  a
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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