出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

3 G" k6 Z, O) V/ R4 q, v2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  ?: q- C3 R0 y6 h两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

5 h$ t% }& ~' ^1 Xa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
& b" N/ o4 v% v6 N- e" B1=2

" R: `, c. t  z2 `/ y2 w, H证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

3 _$ R* k% U( X8 g; ^8 H3 d1）不能。比如1
' M' A6 \$ y- `) k9 o* S' a2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 g6 x& U( N/ _2 }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& i; J  Z' ~7 Y9 L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 y3 [% Q' ^- A' ^: N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 G1 ?: }$ a* m6 h* e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

1 p1 l$ i, Q# [$ {- P为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 p6 ?% s& O/ d1 r- l* N& R" Y) v
6 I7 P. k1 |* k8 DProof:
; b' o0 v0 h/ a+ p) C) ELet n >1 be an integer
3 S  ^3 @' `3 s/ L3 MBasis:   (n=2)
* i- @' B* l+ H; h* h% `         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
1 R) p2 ~' G& N$ |8 B                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 d2 G: q% N7 @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* I$ S  P8 H6 [1 e; W$ T. g" T1 gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) g" b% h- A: x$ S                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ A$ d9 k2 F1 q2 C2 l- o                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* `) J& @  L5 _8 hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 F/ L5 N' D& Q: YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# B$ g, T* X3 }  }" K( ^$ j5 j                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 ?1 o' }( W5 Y1 N! Q3 N
' k; u+ R0 S' o. p[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) f( M) |, z& ^8 R/ \; a4 CShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- S- q1 N) O7 }. b
8 o6 Q/ J/ A, ]5 {# vSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.