出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
2 R( Y' J" p. L( ?5 ^* y
2。下边证明有没有毛病？
2 x  C* ^- l8 F% p/ O
设  a=b
5 ]4 _7 s" B* g* q$ Z  k5 j
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
" M% n0 d7 p1 G5 ^: va=2a
; l$ I2 f# J; @  L5 }1=2

9 K1 O6 ?4 A# }1 g! L5 X, ^  {证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# k. F! P3 X* ]7 }6 n7 q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: C4 p2 J, C2 t8 [6 f1 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 b, O" L) V2 O  H3 e! k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

2 J0 u: e- f1 C4 o4 |$ fProof:
$ O) V$ g0 A4 O0 A0 i4 B( VLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
" q8 D, |+ Q; B- r0 u7 r1 H  C         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

: v* ~2 \* A' r9 {Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ C" j$ s; k4 E3 u* R                                     K^3 – K can by divided by 3.

5 J7 ^& {7 L5 Q; o3 P% ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 x% C6 R; O) H. Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: X! A6 Z9 K" H: v& X' w* jThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 Y. j# X& a1 }; _" mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 m( `+ T0 l. K4 N! HSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. l- p( Q% |6 N# N" J' N                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 C/ o- S# ~( g. U  o
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 C, [% \9 b8 a" R$ [8 H* M) M
7 \1 ?3 Z0 x; R/ @[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.