出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
- s2 s) j- M/ m9 D" M) G+ N# Q5 m) p2 ?. @
" M, [! Q7 z2 y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 f; e9 I1 @1 @+ e* R- I6 Ja=a+b
, m2 P# @8 k5 ia=2a
# ^& F/ s) i' B1 o1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
8 G3 a" ~. U1 \1 N3 o6 N
1）不能。比如1
* |  I* z& y4 l9 }4 J* S5 ~- g2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* B" X  E, x# d6 n- X+ p  {; ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- ~$ `' m; X: W! O6 d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, v% E$ C2 j3 u, b看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 G' k# ]4 I" z# C9 u5 e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 S( r6 V( G" i, j" b4 q2 Y6 r

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
; K" c1 V: a  ]4 Z9 o+ h
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) R! j2 k! ^. W5 Q- @5 O4 R                                     K^3 – K can by divided by 3.

9 [0 L) T+ X. @9 wNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 K2 ?' @( [( W3 u: psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& ?$ q" Z7 A; K' zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ |: g0 q; t2 Y) R3 W" q4 Gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 p5 Z- ]8 p1 ?. d( x4 ]0 JSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" K5 N4 U3 m+ f& J                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

/ m8 P  b6 _5 H3 N; E6 O6 I% H* U[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 t8 ]1 q+ F' g! R; {/ }4 j4 C$ D
5 `4 E- b" n( n, d* B# j5 S% Y# q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 ?  b* D8 ~+ l3 H+ l$ z5 pShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" z; a( p4 e% |+ z3 _6 }- f* a
0 d1 ^9 ?* P0 ZSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.