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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
! j. m5 o! I7 h! D' m9 O3 Q+ N; ^8 i7 t: k" x+ ^% U. V- G) c8 d
2。下边证明有没有毛病?, @  X. {8 ^( E1 r& R
7 p1 F, u3 L5 G4 I: M+ g4 O$ Y
设  a=b  W; N2 z) i$ R
2 s5 ?5 p$ B$ E9 a
则有: a*a-a*b=a*a-b*b$ c3 A2 M$ J1 P. b+ h1 {
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
8 x8 L# m2 y) I' z. t( Z8 ~
! O: H, h' k2 k/ _, e7 ra(a-b)=(a+b)(a-b)
1 h7 e' Z' |- P: T( na=a+b
8 k2 ]* {5 X/ j- D- Ma=2a
# y9 C$ f2 r$ Q1=2
5 F; X3 V# v+ W* r: b; k  O8 M1 ^% N  k9 a
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
, L8 `; b) R" E' l( _) s$ y
( [9 f# E+ A3 K# o1)不能。比如1
& L/ I& B0 j0 h. `# k2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  ]7 k0 l. h% E4 B& g$ V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 Z1 V! C$ o7 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% O. ?- e0 ^/ o  D" ~* P/ ~! C6 i9 M
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 X* j& i& ?, _1 b% D$ P/ ?看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" q& x; X, y  _/ x0 E) L
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% o4 D* ^5 ^$ B% J" Z

" D8 \5 W1 X8 ]$ Y8 _为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n); `7 l8 `5 ^8 }& m' y% ~/ H

, \6 q" Y# G9 d" a, _+ L, tProof: ' o6 X, {7 z3 z  U3 X: n; `
Let n >1 be an integer 5 ]- f) G! {  a2 ], L+ g
Basis:   (n=2)$ y) x4 ?; o( i0 |' \
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! T2 A" V  A& R* }1 O( T' V" m+ u7 G2 |) |, G
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that1 Q) q+ x7 ^% w8 j* d
                                     K^3 – K can by divided by 3., Y1 n- O- h! t8 `& C

' l3 ?- \) _. t* h9 t. d! M- P& \Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 33 k' O% |$ ?9 w5 N! Y% B
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem/ D0 p" m) \/ |* {. H& G$ \4 O$ k
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ D) s8 H$ @: x                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 n" H8 r8 u' C7 L' [+ J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) @  P8 y0 l" m1 c/ N                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 r9 k! N1 W9 I6 {6 b, Lby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; C9 f7 p' O2 y$ ASo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" y7 X' I# U0 ~1 j7 Q' \: _                                = 3X + 3 ( K^2 + K)5 Q  i8 t% \1 t3 m: F
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 H2 y* f1 U% B5 h+ a9 ~+ x2 A- t$ E
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 \  a( O; k7 @3 V. r1 ~5 [2 v5 P; W  k. }- e8 L* C6 o
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。8 J9 s2 I; Q7 J6 `/ ~; p7 @/ X+ n# j

% ]4 _) \5 O; v* d) T第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& e# L& p" n, @: {% t9 JShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- u6 f8 r3 s: S2 I, ]! w, m7 K: d/ g, \$ V$ }
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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