出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
$ ^7 @/ W' L5 J' ^/ I, }; q
* K6 M9 Y; W. h设  a=b
5 Z8 I4 W# P# D
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) d4 w% `& G9 m( h0 {' u
9 k0 c6 H2 p) J. y4 Fa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
/ U9 W3 n" a& Q9 ?6 [/ }) {1=2
2 o, ?! v+ \/ m. G9 |/ q' o$ B2 p
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
6 j6 \! O! S4 N* ~* D  M2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; x- d4 w1 E3 f3 C) l! I  W( a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 p/ @9 E: u1 b: ]6 Y# r( H; d6 f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

2 R; i/ f% s( H1 c+ `为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
: @: w% J1 N) r+ q( P         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* ~4 z  ~. S/ v6 U/ o9 N
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 }. f) X3 q* M9 AThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) Z0 p+ }' g/ k& B0 Pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 X4 y1 C1 }, e# N                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

/ ?! k9 k9 a! ?( N( u2 C' AConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

& N! a. c& t5 R6 f  X3 C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

4 X* l0 S  u2 N第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# `' F" `. D* P% n$ h. R
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.