埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2996|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?& s3 D! R7 R9 ^1 V1 }. B
/ A( @1 ^/ s5 N9 J6 Y; F! J' T, ?
2。下边证明有没有毛病?
/ V" @5 T1 A3 L/ f/ U- a1 P& b4 k% N5 A( g# v
设  a=b
6 a# O& r2 |: Z' X- D; y; _/ ?/ t2 \* f7 A3 Z  O
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
& ?/ U+ K% T& ^. F; R两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
* S# [' F0 B4 c: r+ B$ S( K
/ B) H3 R) @# H& R* Ea(a-b)=(a+b)(a-b)
& D$ _4 d* Q5 g) O, b, r7 v  wa=a+b: A- T, W4 M+ ]3 v. G
a=2a
. @4 Q8 f0 F  T0 C1=2$ y& z. \/ e4 e

! ]7 d6 }1 N5 {5 l% s$ R证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
! M0 ?( D0 G" `3 }3 D8 z* `1 e# t2 z
1)不能。比如1
2 Q8 C0 ^: A9 }; V2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
5 t" h% w* \7 \7 x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:( ]- n  E& S' e4 U
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- W; ]* B* ?9 G$ v0 y3 i
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" }0 z% Z% u3 U9 O) s看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: M8 o8 n: k4 c. a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& v- P! u& D# F: d% t
' T  D4 J$ c9 `% k( O0 q
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)6 o2 z2 |) \5 a

; w: f9 ^2 u' F% |Proof: & C1 g* @( a; H( x) j
Let n >1 be an integer
: c( t' V: s0 l& F$ oBasis:   (n=2)
2 ]. V, [1 A% p: o2 m/ [         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3) C# r& w/ T% p* u$ U& s5 I; [

) X( W) v& W' O- B, Q2 K; ~Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that+ O2 k9 U/ f% y6 L  H% B
                                     K^3 – K can by divided by 3.2 M0 M6 Z% j; q; A' u; _2 v9 x

6 F+ L7 |. {) L. |# N$ r) rNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% U$ J- O2 W5 B1 u7 V' B1 fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 F4 d: ?3 A/ R  d4 |Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, Q7 P1 ?: k7 _7 c                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! E9 E8 A: E( J; W; f4 z. g                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ {9 C+ P# d5 j* M                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)" h1 C; l, [7 [8 [) m) K2 N: v3 c
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>02 r* L+ A6 s  b% E: H
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 {6 p% k. z+ n  G! [$ j0 p                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 W/ k% {( s$ ^                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 39 s3 {, l7 R4 `: ^

- M2 i% y7 z% c; _* J$ AConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
5 N1 @, q4 F; Z3 e' Z1 c- C3 r2 n$ Q. t' j% q/ E# g
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* q: K: g# m0 {6 \- Z' F: w. q! v' F" Y/ K7 `: K7 d
第二题应该很简单
理袁律师事务所
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# J3 b+ F( ^& o3 F8 h; xShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
' F, i( x* Y8 u- u( {
/ @# J: H, C9 [1 ^9 J
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
理袁律师事务所
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-9-7 14:11 , Processed in 1.148614 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表