出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
2 M6 m+ _9 R& [7 P3 F5 ^
: J: E( A" b  {3 v( ~% b( f! ^; G2。下边证明有没有毛病？
! F' ^1 ]1 h" K6 ^- x
设  a=b
$ l- B3 M$ V; u6 ^2 t* P; Y( x1 E
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: }. d% Z2 b$ A+ G- T% W两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

6 Y) O6 a9 U3 M6 U: ~$ Ea(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
  E% y, @$ ]' q/ g9 ~; _9 M9 O5 I: H3 xa=2a
2 \( {& J" ]& O5 G" ]; D/ z8 |& R1=2

1 p0 p/ _/ K- N+ M- I7 j, A) X证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 t/ a& N- \( j: f' ~; P
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 K- G" ~  x" V8 I& K$ \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. Q. E; `3 z  n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 [+ }0 C# f  H# S2 E看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

& @3 i7 C/ a6 }为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% `% J% o) |5 F. l% d
. ^* N; _7 Z5 j1 {7 @8 f) RProof:
Let n >1 be an integer
. [0 }' X; l4 W3 Q: N+ a) h* C, `$ |Basis:   (n=2)
( e: k- d7 `2 q- d         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

! P. I8 ^5 ^% ]# k/ {# P. Y. J& bInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ Q: X. _% n" m0 z- o; r  Z8 KThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, l( Z$ v6 _* f) y: S, E; H. b                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) U8 p; i, _( k9 v( [by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( o# A& ~" T8 FSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, D+ Y  q% O8 w3 ]                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 q* S* G$ |( D+ w                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 ]6 a& x/ n  j, x5 w
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: X" `& W% f2 E9 _+ t* c+ c
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. J) J- J! \7 |3 H6 n- z& P6 `
" B8 q6 z, @5 n第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" y3 g/ d6 H5 J: y* f3 uShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 I5 E: B) c" M' w
: u2 n  b2 E, ?( u) u' L+ W( S" P2 hSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.