出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& k. o" B( I3 j
8 T7 `8 J% q) m) X2 T9 C- |! c& B2。下边证明有没有毛病？
* B) O  R. \8 b/ m# }: A# @
设  a=b
- T3 G3 z7 R7 f1 o9 X% X  U) q
' B% ?0 [# g; w; P" `4 Q7 t+ @则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

; _1 L: f: }1 V  K) O! qa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
( k  |  F5 d! g% y# Pa=2a
' Q& _  U8 \/ z4 Y! f  p7 s: d1=2
6 A2 H9 h0 d- w7 ?1 v
7 k' n& ~+ O4 |+ h- I" b证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 Z7 J8 {. A6 w9 p( `
1）不能。比如1
+ ?$ z  F9 j2 a$ W2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 r, c/ X4 Y# b' Q4 P- ?2 q6 l3 m- v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 Q2 m/ h' }2 H. }6 ]看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 h& X% e& W5 a' @  ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  L% \0 Q- l. [. W为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

1 p" U# r( Y# t- B) {) x* T9 H9 RProof:
Let n >1 be an integer
. E+ W# X( k! G& h( i, W! FBasis:   (n=2)
9 K/ L1 E- g- A5 ^         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 h6 n" A1 x1 ?5 ?
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ E( X4 B" @5 E  K  L, c. d& s' ]                                     K^3 – K can by divided by 3.
# ~$ e. J$ J; n' W) _
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ t2 R& d  ^8 @                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- H: ?  b. ~& T* ]' Q: I* v9 h                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- X" h4 g! o7 s7 bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) u+ v$ M% C( o. U4 e0 s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) R  a! `7 J+ r, c5 ~( F
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) q' m* N# s1 m8 {4 K* V/ B" P
7 F' B$ K$ v% R& T* M2 X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' R: U3 _0 d+ z& A9 A
, w# z2 P9 X& y: L6 ^& o1 Q& fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.