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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
+ k5 @4 ]' S3 `" k8 w6 n4 x$ |6 I; t1 b) Y
2。下边证明有没有毛病?
7 s% P- X" j1 g: @" `. b) e
6 Q6 n( N# @+ p, [3 j设  a=b* P# P8 b/ a0 z" @- N+ d

1 L$ @% h! g" h8 q; n则有: a*a-a*b=a*a-b*b5 f- G  C2 J! \- B; b
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
1 F  A4 y8 |. G& W, E: u8 H: ^% [2 Y
a(a-b)=(a+b)(a-b)
( e0 f) s% F5 g% z8 V6 D) ea=a+b
  Y7 i& r2 `. X% Ia=2a
% @4 f& g! q2 ~$ X  q1=23 \) a% P8 x7 w9 `( m: n

; I. K: B, |8 [; y: c( a: n( r) Q证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
9 l- L( o# H6 j: S  s: W% [7 C& g+ ?- F
1)不能。比如13 o, R# |- Z5 d* q/ y
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
) v/ j( x- m3 |2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:0 W6 d1 a1 |8 S0 h4 ^7 N5 ~$ d
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" H6 Q. G1 n& P9 z" K* P4 g/ @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 [: p2 [$ J* r) z/ E  ?$ b& {" T看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 ^6 E0 a$ M( G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; V; x4 k: {1 k& L
- }" g5 c* x/ ~8 a: e, |
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- f& X  {/ d8 l- x7 j+ s& i* P/ G
( ~+ Z9 Q( P. N- R$ v6 q) z+ q! EProof: ! C+ C' r; y) I. u3 F
Let n >1 be an integer 1 N' C; N- V# u/ \* V
Basis:   (n=2)
4 a. _- W8 m+ @( p% o0 X* u         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 B: n0 Y$ J- |4 ^3 L
3 `" K- h9 A7 a9 |8 e5 PInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that3 V) j7 Y  r1 U
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  y) d9 {' `2 S0 m
/ B* u% {' p+ Z+ {Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3+ _4 w) w- k0 A4 q5 J
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem3 W  q# ]) X0 u4 c8 y3 b( v
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)- h  Z  a4 t2 T* p( A# y! d
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K% Z+ d; B( Y  |8 Q1 J1 z; u
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ U3 Y1 k0 C2 h, s  D* I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)  y7 s6 T. Z9 @1 ~, ?1 ^
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% }# y+ r/ A, b3 z5 S; r# Z7 N; C6 ZSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)7 n2 }2 M( R. h% u
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)( `! a+ H$ x3 g" L. a
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 J+ X" |  K4 Q7 d5 P
; r% i8 z; {! l$ d- S1 M. gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 m5 ?3 a4 Y7 ]9 ]* H* R5 s+ O/ J- [5 I
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。0 [* F' i0 k5 i' |: M
  s7 U. H8 K4 J8 t, i1 f2 u
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:+ y0 {4 K2 F/ n. Y! z/ D7 V; M
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 a- B  h& v0 `  I  e
7 h4 I- I6 M; c; n. E: z  {% w( USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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