出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

  _7 J' H8 d3 F' q: k5 V2 I6 x2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

3 H; |2 B% f% V$ N! o* F则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  |8 S0 a' Z7 y+ ]0 t5 ], E两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# }# ^& }7 p8 }6 d  l0 ?
# L/ w1 m! K8 Ca(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
( s2 \& G" C$ `! O% ~1=2

6 d& J6 g& [" H3 Y7 x) f0 x$ e0 Y- R证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* K  T* I9 g5 n4 c2 {" a, v7 q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& B/ X2 B: O, E+ S  i1 I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

: c( _1 k$ S  ^3 a+ M3 \! q; a+ A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
* e; V3 e7 J7 b) TLet n >1 be an integer
3 @2 x/ P" x  a, oBasis:   (n=2)
1 Z  M9 [3 L5 o1 ?  R         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 T  M6 w: v- y4 w; g) Q
1 `: Y+ p. B& Q( ^0 aInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 d6 @" o; J: z( z7 a) u5 j
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ l- j; R4 q5 y* g/ H8 NThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ T# R2 B# _' }3 [% P6 t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# H7 w) y) J8 S( f! r6 Pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ j/ N" p3 z0 h  V% L* i0 f0 o! WSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) g0 S1 ~; s) B7 p' P, N, z2 w+ r
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
7 E5 L' z) A; F* D: \- k
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 S7 U2 ~# v- e/ t+ @' [5 t9 XSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.