出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 i+ s) a/ M+ S
3 e; u# p& V, U+ m$ |2。下边证明有没有毛病？
3 u3 _1 B8 o7 ?9 `* a) [" e
% X9 k. @/ v( ~" V设  a=b

1 `  u4 l7 l) Q! O4 t则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, Q6 h) @8 H0 D! E0 y两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 y) [7 j& g1 t- ^9 a' ]2 q5 P
  Y6 L$ i' {4 ?+ sa(a-b)=(a+b)(a-b)
" Q4 T4 {2 M; Fa=a+b
a=2a
1=2
& t. H5 `) W2 s0 {4 Y( K
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

8 E* ]- n6 C9 f1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; h" G" C: T2 k8 y! j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 U+ ^+ p9 \' N9 _1 o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 p: `7 Q1 S2 D" P; i看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

1 t8 w* p4 j; x2 \/ V; ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. i( Z- q, L2 @1 Z  o
' e5 y* Z( r2 ^* z5 B. ]+ GNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- l# Z/ t# z- P2 s; P) Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: t5 n/ e$ N& z: w9 Z7 {8 kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 {" R3 m" ^  Z7 G! E" E; [  n2 @8 m. P* c                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, E( ^7 X; }* @) xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# K( F6 L  o+ k' ]8 G                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 b# H7 }& v6 \- }; L+ a# ?
5 u% ^% t4 w' J" g  d" s& Y# FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- t+ A8 x& {+ w5 r' Z; U
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

3 o9 y: d# N; b" N( w1 @6 n第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# y2 M3 P& R7 a: C- hSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.