出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& |3 w9 }4 F+ E4 G4 w
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
1 Q- K* Z) K2 c; J
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 B# [8 B4 z) z# T' La=a+b
a=2a
1=2
+ x+ j1 Q* P; n8 q' L' M$ [6 I
9 E8 x. V8 x. w1 s+ c证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: R) I. ~# E6 n, p* Y9 a# X
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( D  g. a' Y# S- b2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ `% i3 y( Z* V+ z# f% U; V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' I+ q  X9 P: H- j& |/ o% H7 A

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: b; P' L$ j4 Z/ ?: n
Proof:
" M* t3 }2 w) {' g2 HLet n >1 be an integer
) \  A5 s- y6 k: y/ CBasis:   (n=2)
7 N5 i- Y5 J# s& K/ U( t1 `         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

- \' d) T- i9 @Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, Y" p4 l/ Z: e8 ?6 ]5 N! s8 aThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* q  _9 Y. j2 t                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ s6 d- c6 }7 X! OSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 D- a: @4 ^- K                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ V; D7 t: G% e! ^; ~: A
" I  o( X/ L8 w% w: Y1 V+ M2 P8 ~Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* f% o: S: i( }, o/ `
! `* e: B/ H/ G- e[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

. n2 O: }$ J( I( n4 z) n- x第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( k4 F0 D$ M6 J$ L1 l8 ]Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  J3 K4 O$ h+ K6 }6 s. [, S% iSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.