出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

8 ~+ r2 ^: ?& x+ N: i2。下边证明有没有毛病？
6 P% ~' i% ]# g/ o, i" _8 M1 B
5 ~% D0 \! X0 M" A7 @: s  L  K7 J设  a=b
- j. R! R" B3 d, L5 @2 h' P# ^
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

% y% a5 z" m: j' Sa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1 J$ q  }' i  j- `! |1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 D) Z0 K7 E5 U/ V% y* n
/ [( h6 W  |( \* E; b1）不能。比如1
3 |; a8 T, o8 U4 `3 Q1 X2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; t) T" a% G8 `' R7 [. r1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 b. M8 y, |( F  F# H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

6 _0 y' J# l% q! u5 ]0 ]为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 {' m6 P& x" Q$ u
Proof:
0 o/ w/ m1 o3 ~% @; _Let n >1 be an integer
! E0 p9 X4 i' wBasis:   (n=2)
$ A6 L$ ?; q% q, B2 k" J1 m         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

& S5 k* ], I( x; U( lInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) q2 M4 v8 Z1 V2 }                                     K^3 – K can by divided by 3.

- s6 \, x' P% PNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 z/ q) o6 ~) C2 N+ w  l$ R# IThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 w  l3 s4 q5 J, v, J4 w" ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 a% o* A' v8 @2 a# yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ K( N1 u1 o- y3 D5 j                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* x8 l' p  A' O3 l9 q% w. Y& R, s! K3 r                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 h) }3 C3 K) S' Y8 |& B+ d$ m
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; f- y. y9 X( a1 R+ B- H; s. p
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

/ k$ E6 {5 \  H; w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" T8 d7 O0 N; a8 DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ C/ P  j4 i$ O2 C# nSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.