出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 m' Q* J3 f6 f" O$ D. ^2 I* F
3 R. I* v6 r9 a' F" c2。下边证明有没有毛病？
! X9 |, C; K  @9 Q6 f/ t  O( T
8 q  o! m4 b" Y& q% s设  a=b
' L* ?: |1 L6 }5 G3 Q! i& z+ \
1 B# h7 p' ]* M! c则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! l  H! F% j' o: h
a(a-b)=(a+b)(a-b)
' F2 u% z% a5 Y, P* a1 ka=a+b
  n# T1 u" j, V, T2 O6 G$ Za=2a
5 W! ~& K8 T. Q$ V. f1=2

, P: E% _5 I8 T$ O  N; v( Y. P证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" I# B# K" c2 F: B1 y
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' ]1 G: Z2 l! }" x看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 k' A( U9 }: s

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
$ H! C" j1 q1 ]( g" @8 NBasis:   (n=2)
! w/ [' b6 \0 H/ J  A         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& b) B& b- H( s! O. V& csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 U4 t9 N4 H& @7 a. x                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 y1 K4 r9 a" A$ j" w0 {4 Vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 d) v# e  l* h' S9 M, R, ?/ y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

% o( [1 t, [6 e1 v/ ~" VConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  I( h& W: E. u; b9 s( H) _1 H
7 D3 W: \/ l" ?" M1 z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  [/ [3 L- Z! d% o
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& I+ G/ j  r+ ^, U+ h0 vShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 ]' B& {4 Z3 x8 A/ v. N
6 V& ~* ~4 p( G6 }7 [3 C9 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.