出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

% d. O- S& S( F- x; K" p: d/ B2。下边证明有没有毛病？
# c' r; r# V. I8 a
  l) n& R- u, Q设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ t3 V. |$ B: y. a7 z1 ^6 q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
* N: W$ C, W: Q# f" k' ^a=a+b
4 K: H, X! {. K& H3 va=2a
+ n$ ^% N" |* S6 `! J' X. |1=2
0 K5 P2 A: g' k0 k. B; a
+ @4 H& I2 Z6 j! o证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
8 A3 d" D0 v# b$ U) |: L. C( [; L
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 Z: R# M; Z% p- ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 k7 ~2 l% V$ G% @  Y+ X看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' C6 ^- {( s! ]$ p9 m9 o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: o9 _7 B" I3 J6 a8 p$ n7 w  Y

& w8 y2 l/ e9 a, B为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 X# `5 t$ z8 y# q9 Q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

2 U% j6 F/ [1 g4 @+ sNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; c( A- T6 L; `& h+ O  N- x                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 H. B" I5 w3 ^$ z" J6 `/ p/ C) C                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ ^) `2 q# P: e) ^3 ^- zSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ z0 J4 E$ l( }# i( ]4 l                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, P8 q: w7 f- f" p( H
  h  G3 W; u. L: y7 t" {1 q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

/ g# j  E3 q8 q( a- m8 }第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. E; r! ^2 _5 `8 G$ ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) v! L5 V$ _; T) }2 T8 P  t) ESORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.