出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 i4 c4 s3 I( K  W9 S9 c# `
  L3 Q/ l5 k; s! t* _2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

; ^$ X0 u- B5 u则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

5 E& z9 r% Z0 E- s/ y: j0 Ka(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

/ p& g1 l  f* S- X( R9 V+ H+ P证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' i7 }' c5 e" ?' ]# d
1）不能。比如1
5 {1 z5 K5 ~& A: s3 i- p! }6 p2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 v2 q1 _" X) {7 ~9 _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% j) b" p0 P0 S
Proof:
Let n >1 be an integer
# I/ N2 {( n* x+ N/ m- w+ ?- HBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

) a% R8 o' q; O! U% O" b4 S" HInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 T/ P) d( P8 O( S                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ n- ?/ `) A) W0 J$ ]( [' b  i3 D                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 c* X& T! H3 G0 B( iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 j5 }5 N! V8 eSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 b4 @+ L1 ?2 s( b$ Q  o                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% B( A, N: s! ], B
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 S* o% u" W# p% g1 k) }3 U( H. e- hShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.