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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?6 B* b- n" C! B) @6 O* b  ~

1 L: D+ ^7 A: e! Q2。下边证明有没有毛病?
4 u% K! t4 `# v7 g. j. C% f1 @( E+ l5 r1 F0 S3 |  D4 l
设  a=b& X* A8 p7 L! Z
9 e5 c0 y4 m4 b) G0 I- S5 X
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
7 B2 r" `  R  S! W2 h& V& I$ x两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):5 K+ N5 U4 X5 V7 I

! w5 L) u% E5 Y4 W) l7 a! `a(a-b)=(a+b)(a-b)
+ T( O* m8 V) x' ka=a+b
* i" b# M* U1 j5 X' i, Y7 g8 Q) Qa=2a
0 A& \* x& q7 n: w1=22 L; Y2 g/ b. Z7 e9 B

) A4 g2 N9 Y- x4 e2 g2 N- \证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
  a$ \1 A! B( f' {9 l
# B% \( o& r0 j. ^6 y! r1)不能。比如12 Q. h' V" p  U! h; Q& Z3 i/ R% X5 A
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ }) S7 p6 \+ [1 \- D
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:4 k6 L. Y( Q) o4 {
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。8 Q( V% u0 B2 n. T; E  i+ K
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: P+ d5 K5 q; k看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' v& C( h# `+ N1 `5 O5 U, _9 r1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
/ a" q! _% a' P; ^; x  V2 P! h
. x, o" A5 p( G4 I; l
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
. b7 b+ v' |0 L; K! j. J
+ |. m: _$ c6 K; p8 d1 QProof: " E7 \. Z) ]+ i" j' J1 k- M
Let n >1 be an integer
' ]8 z! P; e  \3 L0 k* pBasis:   (n=2)
  c! K# `& W* `" K         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3# ^6 ^: f) V5 J

; n& ~! R6 m& [9 F8 ]Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! ^6 j: O+ x+ p7 T# U; U                                     K^3 – K can by divided by 3.% a- ^7 f  |% g, g$ X; @
* a8 ^$ |, x, p8 \( ]7 _4 T* k
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- h$ x4 @* p; Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem7 D0 {% n( d) v
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ A" o' |/ v* I9 {5 ~                                     = K^3 + 3K^2 + 2K  q- s" F( Q% i, y8 n
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& k" \- i+ F3 c& {                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, `/ C' Y; ?3 M8 D# d0 k9 Rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  ]" |* ?5 _, j( ZSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 S& u/ ?1 c% v0 x3 C& [) w                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: }' S! a$ l( C7 Y                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& G; o; Z) M6 w2 W5 [- B; F/ _8 ]! l5 i  \
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.6 X4 Z3 v- T; L8 e. ^
/ P* g1 l  d* y$ F1 _
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) N6 C3 G# J$ h! I  [+ B* U4 k& W' P7 k" S1 y& c" a6 c" Q
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( r3 D0 Y, }1 p& O: u' g, n' dShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. w6 s  k; p% C+ Q- r; v% z- |* W9 u: K9 I, r& X4 g; ^5 X
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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