出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, {/ q1 i" }  d
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
$ ?0 b8 F% S9 da=2a
0 {2 ?" k7 @& y# f, |1 }+ g  R1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
; `  C; R8 P' l" a6 E" _& O. t2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 W0 `# Z2 B& I, M8 f6 I% v0 ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" ^# P* s6 K: m+ A* Z) Q- _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 Y3 r1 |# ?9 G. h+ I看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

7 x$ B9 ?+ E4 j8 t为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
0 P! z  v. o: U* N1 ]. _9 K& W8 `Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
" ?( ~" f) ~3 @         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ D  p7 Q( Y/ a
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, n) j5 J% b: B# {- K& {4 ]
- K2 q' i$ w$ ]$ l. WNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 M9 F9 Z0 L# Z1 QThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 i6 X/ V" e! s; F0 x# @) k                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ [8 n* r0 D& r5 B- X8 y                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
! T7 j( m$ ~" s& ?9 |3 k, {+ p' c/ }
% M+ W+ [( Z- Y- _( l  _Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ U3 J0 r1 F* T第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  \* U; j* k  I/ {. [# N3 XShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.