出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) `5 H# r2 k- a% i. N) r3 Y
: ]- L! s* ^! p  ~" Y( Y% M2。下边证明有没有毛病？
2 i: ]1 m6 U; z$ b
设  a=b
. g" O2 U6 I# X, ]
; h4 d' T- F- i4 a: i5 b则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
: u7 M5 i2 [  ^: u- s( ?) c5 ea=a+b
8 ^* u7 M, Q: P" g; W) ?( S% Va=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ [3 b; \8 @2 s# K& l
$ H' Y7 m& c2 J; s+ j  z* X- j1）不能。比如1
% l1 Z* S! H( u$ [2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' P, ^; o7 u) `: Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
. R3 H0 S8 F, x- q
# [  N4 K8 X' n# E% NProof:
+ ?, F% B; W  [6 f. n1 \' QLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ z4 q0 X$ E) u, s; E7 m
( {& y" ]# U/ V# QInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 g- {# n1 J9 k8 w. |                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( k: }# L- |/ W" o/ {; ESo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 Z+ [: G$ C+ a, E
- i' q$ j0 H4 R- p; qConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 G- m) @9 _: [! O# U  S8 ?" n
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

' u% x& h1 h! P" u, Z& q9 g# l; w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 u; V8 S( f0 A* i; dShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 d' R: }* Y! d! m& J5 B) _
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.