出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

: D4 ]. {( [( O  c4 f* f2。下边证明有没有毛病？
. Y. p* f* o$ Q' _; b
设  a=b
- m+ G" Y' D( n1 M  C+ x5 H
/ r. L' t- W7 c* _4 I" b则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- j9 L  x# |' d4 T$ b
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
8 v# @* c2 F2 q1=2

' W, A! Y. G( }1 s证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
% Z) p6 h- L: M+ ^0 ~% W
1）不能。比如1
! M/ A4 e+ S/ n& I% s2 ^2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 U0 c1 p) q2 _$ |1 w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, }3 \/ |& x  j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 N1 l: O8 l' e- _0 k看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& j" b" R% f7 t9 K! \7 |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

- D$ {' l7 f( L& }- ~# R8 n/ t- @为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' J: L' Z# H0 j6 ^1 p5 P
  b% ^/ G3 S6 V% A: }& l. ^Proof:
$ n3 d  \) @& Q3 M* {  {& Q6 l# xLet n >1 be an integer
/ u: L% A  o1 O/ @! l* w9 PBasis:   (n=2)
  x9 T' N9 \* d  `8 O         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ G% t- P, y* f# ^1 Y                                     K^3 – K can by divided by 3.

1 l, J, q* S- V( A6 E: ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ j: Q$ n0 z: R8 ]5 x! ~, psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 a8 ?; o/ Y, A) C& m                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) x# e0 S2 |7 f- N2 |                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' Y  X% L8 {) x8 ~0 @4 _by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- }+ f% }. [  N* O                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; S- R6 e) d' J+ m
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 o* B, Z! W) E3 t$ I: K: L* i6 k
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

0 Z' @( F9 g2 \$ l/ o. h第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ {4 g) J& w0 @# IShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# B! X5 F" Z: i1 ]8 XSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.