出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
8 y5 U9 J& {! [% h8 z5 u
- C3 f4 b- O+ K: v* a2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ m* |" \# Q' L4 m% \
2 }7 y4 W0 }) O4 V* [1 R+ `9 za(a-b)=(a+b)(a-b)
) x2 t8 J/ d! x* _+ Pa=a+b
! A1 S' u. }2 N3 ga=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
0 C3 f. l* d6 `" T0 r- M2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 `& B) l* g) C0 S; i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 A  R5 h) r% z* E8 g看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 s- K" J! d, b- A/ t: @% f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
; P% G  e( F1 y* s         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! @: f. \/ n7 a) n6 W                                     K^3 – K can by divided by 3.
" m# A: r: K# W  ?6 L+ j# k5 X
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# g( M: X- x" g( e) `since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, i- ^. m4 Y+ _+ \9 y# X, B6 g                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ Q/ c: v7 A) l: s  Iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 s+ e9 c$ g. a/ e  o0 P. U$ oSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 r* g0 f  R1 L7 oConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( j0 x6 S( Q' Z. [
6 z$ o8 L/ b6 O. m- N0 ?% A[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- d+ U2 Z+ C% O# V6 n; }1 k/ Y
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.