出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; x1 @9 o) a$ i+ Y6 F" C. Z: K
  i5 g0 p. [# @% y$ C! i/ f$ C2。下边证明有没有毛病？
2 c6 o" G% m( j9 h( `' H4 [
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( q3 Y$ a* \- V- z
2 m7 n$ d+ }5 Ra(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
1 ]& B9 U7 F* j! Pa=2a
% {0 Z& e! A+ h: ^1 }1 _1=2

/ U* l) S5 G: p$ S! Z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  |7 D1 u/ v& n3 }
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% v) J/ l1 X( |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 h! u5 W  A- G- E) i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; i0 |# X' ?7 j! I5 m- c9 p8 ?

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% Z- F% w: G* @/ {* E; e
( Z% F6 H1 R3 N/ H6 g* SProof:
Let n >1 be an integer
$ f* n% R- U$ V; `: OBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 o2 X$ }" q4 O& S6 a, _2 q                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 ?& Q/ [7 N2 F0 _7 }* {, d7 c
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 Y1 P% e5 J+ b+ C: rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 _' r/ i0 m- f7 Y) z& y& pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 U% F5 F9 t0 [% `: G                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( K* b) U' P5 t+ k: b( @. xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# t, u8 e' e/ XSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' T8 }+ A( N; Y7 w3 j7 u                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ f* v6 M) ?- f0 v- ]$ M* o                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: ^- G/ \' g! l! H! K! G
" w9 f; q. ^$ ]; e第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% M8 c: C5 Q! i9 A9 U8 [% P
7 ^1 v1 t* x' C" D+ z4 v" C+ cSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.