出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ g+ w# a9 t3 q3 y  K; G0 f
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

) K0 y+ |- k7 h则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 a" c4 g( T3 f两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 y( m+ q3 p3 v, a
4 I4 K7 J6 |4 q% S; oa(a-b)=(a+b)(a-b)
  \0 b: m+ n0 W; V- H1 z3 la=a+b
a=2a
1=2
3 ]; i: Q; |. {: G$ Q! W$ R4 A% y
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. |; Y) _( D% p5 f
1）不能。比如1
, L! a  V3 e5 C( U7 @/ Q2 ^: @2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 S' i  L7 l; o9 q6 S) a2 H. R1 f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ C! p& ^: o; _2 P- W  _4 g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! W5 D" V% Z7 _5 z. B2 R看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( T" w" \: R3 @& F% o& n! N  @

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
5 m- Q) X8 f/ m9 m8 r) [Basis:   (n=2)
% k  x; P/ I- \$ _0 e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 j" J- G' c* W4 c                                     K^3 – K can by divided by 3.
, s! a, e  }  J% Z
8 I, E* j# ?9 _3 I8 y2 D! yNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- O0 B! F% {2 r7 l& Hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# M3 [1 v+ P  V' S7 b  f1 W: vThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. P9 @3 V3 v+ N% _5 M3 S                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ D2 c  b' B! T" m: Tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. ]( y: M; u4 Z3 Y4 X                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 N* h. V$ v+ h4 y                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* B- K: I9 t5 r/ ^
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 D$ ~* J0 [+ r- t
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; W- r$ P. \+ [; I) q3 P7 c
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) F( g  w; ?6 k! \Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.