出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 C+ v* P! P; P+ _* A2 Q6 t3 ^$ l& W
2。下边证明有没有毛病？

5 \' e$ h0 y6 n6 N设  a=b
; |: {  d+ {4 w7 W
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; S9 u1 a6 O# Z( H两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ t$ Z, M& E6 Q, a8 \, pa=a+b
a=2a
# K3 K' |  O1 s/ o9 t3 l1=2

9 S1 V! j* l, Q  l证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. W( B, k% G" p' s$ l) N5 d# N' l9 y
1）不能。比如1
: A$ C/ K# {4 ?$ ~) G0 m2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 G$ Q( H+ h( v7 p( R% D% ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, e. e# R8 _' O0 G$ e$ Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. R  n8 f* Y' y5 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- \& p  ], D! x! v9 B0 d- g$ C3 B看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ z8 I) f% b0 L: k8 Y! A3 s1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# o& t$ m; H6 [; U5 Q( o; J

1 Q' D2 {; L) C9 a3 E  Q2 r为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
1 A5 a, `$ ~9 B/ t8 f2 YBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 ]- t* N$ G4 F8 {% W9 n
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% c' M! _4 b- l                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ r7 `. F5 N, G2 j5 t
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 V+ t4 i0 V' `$ r8 U
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 p7 y: I! e0 P/ GSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.