出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

( h; E# K/ j' E2。下边证明有没有毛病？

% U- _; h3 W# w' o5 H8 N& u设  a=b
! e5 V3 b% t5 o0 h% I0 L
; Z/ [1 U5 N6 }: O则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. U  Q% X: X& M7 q- }4 r$ A
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
6 [" H* P2 g/ v+ O! |
; I# ]# U3 }/ J证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ [) i& A" j) G/ S% E, K
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" i: \5 p. F8 l4 J. m3 T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, s4 L0 H- b  ?/ y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( e* T, b3 `8 Z- a% l  o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

! b- ?* V3 Y8 ]2 k为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
; u8 Y' Q2 ^' x+ C         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

1 z# \$ j8 |0 d7 K' @' M: ^Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 b: a) [7 z) l! P
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% {) W$ ~4 M- l6 A  h                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( w2 ~. L" C! ]1 M. [& E4 i4 cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 X) v& T7 Z! cSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 ~5 E; o% a( J! t5 |  @
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

" h8 A4 e6 Y/ O5 `[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 B) F) O, P* N' s# D
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& X7 e+ x' V/ @% o! T+ s; v% ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.