出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ P! L* s) b0 o
2。下边证明有没有毛病？

1 l8 K+ r: g7 c设  a=b
! O$ r/ q5 k/ H, O/ t5 g3 J
# y! i( {2 n# k, Q: h( T则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( o8 R) Y# o: p两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

* L. M' n1 ]( F# y! La(a-b)=(a+b)(a-b)
9 C5 Q* {0 \0 G0 l/ P- ma=a+b
a=2a
. s3 @! H; x& ?  `1 F2 w3 `  b4 B1=2
8 v1 ]$ v2 ?0 T( x, r+ v& }7 o
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  R# q: i1 h5 A3 a: B6 g$ Z
& [  y1 L  m0 b" U6 {  N5 E6 ~0 Y1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 c: L9 S" @5 N/ u: v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ ~6 q, s, G1 X  K5 L% M* l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

0 z% ^* a: A; f6 \( g' H0 z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 M& r) r9 _; K2 x
  h3 ?- A2 a1 U: _) kProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
5 D1 v! l% b6 y6 V( j         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

" v# B8 X) ^1 j) _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# N8 l) z3 S5 k# _                                     K^3 – K can by divided by 3.

8 J& E# f8 r7 x, b( CNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ Y/ i, ^# x0 a) hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 U4 T1 o0 X1 U# gThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* U. Z/ t/ J1 A' x  e/ o) e                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ a1 P1 a$ b/ h8 Z$ \$ T, W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% ^' g2 ~: K" y# T                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 Y0 t9 Z- |( h2 X" }: I, Sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 i, ?8 a4 q/ E* G" L6 o1 U( b  R# Q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

- }; j" U' S5 E$ D9 I, p[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 \" e, L1 H) `5 u3 w6 o1 I+ Q, `
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.