出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& p: S6 P: ]1 e6 W; i1 l" N
/ N+ H5 j& L, L: d' g: r2 x& v2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
) J" ]$ H+ ?& g7 E
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. ^0 k5 W& G$ C2 b& ]两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ Y* J$ I  ?; h. ^
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

  O; @0 A  T7 r  ]( v6 _5 D证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1 V# B9 }6 n* H* ]1）不能。比如1
3 C9 ]4 ?8 ~3 b; X' W2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- ~6 s6 h, d/ g* p2 `4 \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% A. s# w) l  `- X+ `+ G看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: m: r. Z- j5 o/ V+ r0 H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

+ Q3 P9 g) ~4 ^( M# u为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
) e3 ]7 _* A6 d9 B  ]& z; P
- Q3 |& a2 k- ~5 S# y- M8 FProof:
: T' C( Z7 M: h  q* B0 n# NLet n >1 be an integer
0 r0 q- S0 `0 I: K0 NBasis:   (n=2)
/ O: V) }7 E; m& E8 ]9 j. _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

1 ~; m/ x. |- w4 ]Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

) s- G# v; P6 ^& H4 ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( v& S% ?1 C/ C5 q6 S# pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 N2 ]' D5 y8 b9 b# L- J8 h1 I                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ p6 A" @" [" x) A) K- V. a! p                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: P# }: W" j& z  v. }  ]" n4 w                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

: o2 l% b; y% I! lConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

; W4 h: K+ @: X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

2 S. O" a1 v* h, r1 f* s第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( g1 R7 v" X6 t& r& k: H) J$ z. }
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.