出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

$ d/ E' X6 q+ a* I% o; k则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 j4 v3 b0 y7 I5 q2 f% c
+ W8 u, v7 F* {7 {+ Sa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( l: J: E+ f2 p& B0 r
1）不能。比如1
# [/ _* V9 w8 `7 Q2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& c2 ]: E; G3 l9 L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* a+ F$ [, x; G: P/ q$ i+ z1 f7 G

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
# ]% R, a2 B+ }6 S( }; _
Proof:
$ a8 v; _3 @5 A, J+ l- FLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" ^* U7 U: H7 W. W6 {8 C/ A
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 _4 P( x3 U/ @+ Y                                     K^3 – K can by divided by 3.
$ g( U6 U: T1 R; j! b1 j3 ]9 k" W
/ U3 ?' P7 a- z$ d. c3 c8 j8 P4 [8 ]Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: D2 H2 d) O6 j4 e* e- sThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 I) D: o- Y9 F; z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& w5 L5 O$ _5 I! T- K+ c- S% xSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 J. ^0 \! o- s4 \2 @1 J% _. R# M                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 V* t; {7 y: @/ i) Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
' |% e6 v$ x, }( V2 m: q
: A- t' T5 E# y# `; |" j' sConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

) |+ [4 e4 d8 C% N+ E+ k! @) s[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  `. J5 u: n8 P% {- M
; `' E# B8 r0 @) l* _5 N" n( Y% o第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# L& F' ^6 y. h; ]" c2 N# u- V& I! |Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) V$ K3 @0 h8 M) s  {SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.