出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

, K8 J5 D6 z. V4 d7 o设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
2 O! E+ v& ?  X' P) X4 l1=2
/ _& }$ T3 g! ]1 r) y: o' ~' j
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. C4 r* G: z0 f+ h; h
1）不能。比如1
  X. Y/ J! W0 @; v5 K; w- F8 H2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 B: e! D# @* C- R看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' x, o2 z3 A" J2 _7 x
Proof:
Let n >1 be an integer
. U$ R0 a2 H# i; ~5 DBasis:   (n=2)
/ x# a8 a/ u# ?, i. b. }" x% l5 X2 H         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

7 V- z9 u/ ?% W. r# TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# a+ t. `" m$ X* Q3 ]. _1 q                                     K^3 – K can by divided by 3.
: n) @8 H8 u. B3 d+ s6 K
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ }! L" t. u; }; W3 s* ?since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 i! _1 j' \1 J- sThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' D) B' }  D8 D3 M5 W2 f# T8 b4 F/ ?                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; c3 V% {& g. D! `4 o, b                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* i5 L: u) |/ m4 ]8 eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; J" E9 o+ h. m+ }  s/ A9 \7 x/ aSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
' K9 w) {* @  P9 y
% f7 i- X( p' ^Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 ?" v  W: |0 g$ @7 B
% l/ f/ i6 K1 v7 C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ `& _0 Q; S7 O( M0 f
5 c+ o! _+ \& V+ m第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' @9 B: ?$ c" c0 O- S* WShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 Z7 u' i; _# ?0 Y6 K4 F: C2 p6 fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.