出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

: |: x5 F8 |) K7 Z1 f/ w; j& O/ ?2。下边证明有没有毛病？

$ \0 E8 L; T; u" U3 `6 ]" G* q2 D设  a=b
0 m8 j- @- F7 x5 f. C. V' t1 q
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 t  M6 n) b* S8 U/ S6 t+ Z4 L7 S
1）不能。比如1
6 Y' l! S! b  V. y) _+ A7 C2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ `/ ~$ \9 x# j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 ?0 v' O4 e. m5 V看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

0 ?# O& Q  n) _+ p! H9 R7 S* ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
$ A, I1 j* v* C6 ^7 C# I" ^
7 N6 U2 O4 d% f2 t+ |0 KProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 |7 p# @2 h" X% C$ n% u+ l/ }                                     K^3 – K can by divided by 3.
+ m7 a3 V- p/ K) ?, W
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 F  n$ Y3 {3 S8 u. i& j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 T4 @% l/ W5 ~% S" r& @by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 {9 g: m2 P) K                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- c* c8 L2 S1 ^4 q4 P9 c                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. E* k( e$ `( v/ Y( T- N: e' U
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ D- K6 Z/ d& l4 _4 ]( R
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 t9 U! V7 L' N+ K6 }
& F# E% D4 q( m) h: T9 @第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& u% {2 R  l0 c; m- I
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.