出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
' T, z8 Y2 |" u- [
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 q) l9 S8 ^; b) ?  H* I& T两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
8 \- n) Y/ \5 N) Z0 t4 T# x; F) ga=a+b
a=2a
1=2

5 J! y7 t$ u- _* S* v, ^证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ _) _6 L3 }9 f; X+ h2 V& T! Q" W
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- s$ A4 p7 [! d4 F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- l! H8 D" L+ ~6 z, \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; u' v4 ]- F* i+ T看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 f5 t, u5 U. c! G* u8 h" s1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  i7 l' f1 s, H$ H: L6 z9 C% |4 n

3 f3 y! {0 I7 @7 {, T* c为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

3 R* J8 L' u$ KProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- k5 \% h% {! z
7 h% T2 u! H7 m3 MInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 b: r, a- U5 M8 B7 @. p9 M, N' T3 W                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 w' K8 x" ^- Z0 h4 j2 H6 H; l# @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. G! s# F. z% o9 o: _since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 i! n: Q. W* ?5 \- `2 BThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 k" o' a1 R9 D# D: J5 T4 n3 o2 o9 d                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# l) F% l) d; M$ ^- T2 V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; }0 @: t) w& \# K3 G/ |
; F( A" J7 x  Y$ o# v' w3 @0 oConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

1 E3 F, |( }, D, d[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

$ n) d4 e7 s, @' A' o9 X$ P第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! ?& n, k9 H$ b% w: z/ NShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 ~' T$ H& L  i  F; l- u! R) Z
; z; y# \0 n, a, S' j, U1 n: s7 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.