埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2521|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?3 h4 `' }2 M; L+ ~9 K# w

8 ~+ x: T2 }2 `- k% k; F2。下边证明有没有毛病?
, X* R! Q: |' y* f1 d+ E& n7 S& |
6 v+ d- @; M8 j设  a=b3 G% q/ K: o8 S/ y7 O

7 D5 O$ a' x* N$ K' ~则有: a*a-a*b=a*a-b*b
% }! L, ]! M& _1 V& o两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
) K# Q2 F( H9 I7 u4 h  C
6 x; P7 ^9 Q' l$ i& W1 O# ^4 U' h8 @a(a-b)=(a+b)(a-b)
7 X8 z" i( @- W3 \9 t$ H% Y7 y) |( Xa=a+b
$ D& {( \( r; D; c# }1 C0 fa=2a, F: Y8 n, f6 M6 i3 ?& v
1=2
# I) ^) i; @( b: J  h9 G# u# {$ i6 E2 G; `9 B# M3 T
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
' v1 Q" O! S( r% y7 V# f4 _7 E; A) n  J- N, K- m
1)不能。比如1
2 L; B, a. j! A8 I2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% e% v5 o# ?1 s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- R# O  s+ l; I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, p6 j4 g/ i, D% r8 p/ X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
3 U2 T7 v% g; l1 f
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:) S" P- f) u5 u) e5 V& f$ k# ?
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. K- S0 L1 P, e

/ Y  i$ |1 n' v2 U6 O% _  u* C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)0 e. k' k8 y$ V4 s4 }' F+ f# z

( M+ D7 l$ v* L( `. ~7 HProof:
; U- Y' w( _- c, {" R& l" ^* z( PLet n >1 be an integer . ~0 l& j" H! F8 X- U+ R  Y/ Z" {
Basis:   (n=2)
7 M% V' {1 L' u2 e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 X- H% c  V! M0 f6 @( m8 }2 i6 A& B/ _( b1 l2 b$ a
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 ]% ^% R# \& U* x) H+ k4 {7 |                                     K^3 – K can by divided by 3.
- y. j2 E' W; ^* Z& b% s6 _# y8 X9 \  i) F# `
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, T. M4 W1 D% U9 o1 C/ X6 r- Psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& c7 s( Z7 S% K. SThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)* O6 K# x+ Q3 J6 G( N0 d+ o
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K$ X' t4 u1 K/ _; `* ~  m( |
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)& W0 q1 V- \9 t6 A, C( w6 @! y1 Q
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ ?  a. w# ~! bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0' l7 e7 b1 ~5 }5 s  l& z
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ g) }$ u1 o' r5 T9 d% ^
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)& n2 ]% J7 q. M
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* q+ k6 X6 a& l7 d. R: @
; Q9 B$ y2 k" o# T$ j1 Q# zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.+ E4 o- D$ o" U1 \5 G; O

, E6 I+ m1 b7 D* \[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ O: r& N0 m) S& n7 F( u5 p, E0 J4 r/ h# a
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ a  E, y2 d5 U; `5 V6 G, pShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
6 [$ r' t2 v' ]

+ \4 R7 x, E6 ?& T1 O' WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-4-19 16:40 , Processed in 0.090552 second(s), 19 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表