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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?* i) u/ g, Q4 |
+ @$ p0 H, P+ D; ~
2。下边证明有没有毛病?
( {( ?& f9 R2 |) L. c8 W$ A% D6 z% t) A- h6 T' {5 q* ]  r6 C
设  a=b
( H* G1 O6 }3 j! L" d8 H8 R/ W! g
8 s7 k5 o; T! r$ u( l5 q则有: a*a-a*b=a*a-b*b
& W9 {" D5 S+ G- O6 K+ |两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):, L! f. e$ ~* }
/ }% t3 w$ {5 c& p% |# M
a(a-b)=(a+b)(a-b)
2 G+ F! r1 R/ Y( A$ j6 R! ka=a+b
& o+ U6 u9 X$ n! G9 xa=2a
8 @; i% J& U& J9 w1=26 F0 _% r. Z" i2 p# T6 o0 L; v1 d: h

: M# a, l; R. P- ~证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
0 \! i1 _1 a- x1 A( F* ]6 o- [4 P
( c( b3 {3 h0 r" k9 v1)不能。比如1
8 k* p" K% z- K7 U/ S5 n7 I2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
! t% a; h% A' D& x9 P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  e9 Y- y3 v, v: ~# C( h. c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
$ B3 f! [* g8 Q1 O$ k2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
. _3 A0 q( {7 w- m, b
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:9 c$ y. J6 Q2 m' `( P. d
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。5 ~* G+ q: P) r6 m6 Q3 ^

( g$ X3 l, n8 E7 b+ c. D为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)/ S/ ]8 o" r- H
, j% [$ M) Y3 @! g
Proof:
  x' E- a; r% {8 Z6 s. V7 |Let n >1 be an integer 1 q& A+ ~" K" ?+ F3 q7 q9 F, @
Basis:   (n=2)
( I" Q3 K' Q0 K         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ D! |0 q. s9 ^* L8 Z5 I# W
: \9 r+ Y! |; P3 h- a/ @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* \3 z+ z2 c7 ^5 ^$ Z0 [9 o# Z0 B5 B: ?                                     K^3 – K can by divided by 3.1 J$ _9 q* g+ z

6 O' r. j# _! C  V$ L4 g9 h* eNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3' v. T7 }# e. _0 T
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem3 A( ]7 ?0 l; m* W8 c' Z
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)5 J! w: Z% Q% V4 Z8 Z
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K( c0 Q( t8 q" [1 E4 o
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)# }7 \0 ?/ C. \3 s0 [; h
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ X4 U3 t( S1 G# u' q6 i1 Y
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0- M( @8 _$ \7 U! Q- M
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 @0 _& F4 j8 q: U- @- K# w                                = 3X + 3 ( K^2 + K)0 T) ]) Y" ~5 B; u/ u: w; J
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 37 A% S% d5 U0 S7 t
4 M* z# ?( l1 F- `: u! O  J4 J/ ]
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" l# l0 Z0 M* S: P& X" w( W: B5 L" b9 X$ I- m7 j
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
理袁律师事务所
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ S( {5 l) x, {% d5 }+ o! Y3 L3 o+ @5 Z6 X" w# J% @
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; K% U" _8 }# x  Y6 kShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
' z3 F1 w: {3 D1 X' ^5 F0 v- n  z
; F  f8 }) H3 l4 h  s; w% [4 V3 B
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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