出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

, R# H- V' a4 N( r设  a=b
2 L' D" O* Q8 s
; E# g, W$ j, O! m* r则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 I5 N/ D; t, r' `% a& [两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. f5 c% y3 w+ m7 }2 P
, o- H5 x3 H9 x2 H0 i) t# za(a-b)=(a+b)(a-b)
/ Y9 p! Z. `1 xa=a+b
a=2a
7 h) X; _% S! T. E( X$ w1=2
: f) ], J0 ^8 @8 g& C
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( U: U0 ^. |# D: h0 Z4 q
3 X/ A. E3 D0 O$ ]+ E  I1 n/ A1）不能。比如1
6 N/ z& k7 ~; `2 D, h! J: L! \# o2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, Z4 W+ x5 L7 t" l1 F' y' I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 h( M6 S* }, L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ }7 t( p; l# J- F( F1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

3 N7 C1 v8 C' h2 p, r- y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 b2 s4 u$ q( y, A
Proof:
4 T5 G+ E1 `  }. F0 S/ V' F- dLet n >1 be an integer
/ j) W5 R* v& S4 e/ K+ YBasis:   (n=2)
: a9 L4 Q  x1 T& P         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

0 E( d5 U8 {7 t3 K, Y6 ]: QInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- M; R* o, `( V4 J                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ x8 w8 u; t: T$ g$ l, Tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, r( V. ^' C. z7 W$ v4 X, C                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% T1 H& E$ v5 m' Q7 a0 b& _
6 L# J3 ]2 h: |  ~& N, }4 J[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* v3 y1 a) F) ?! b. }3 bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 h# X: t9 h! I1 h  ?+ I
7 S. V/ K/ g9 sSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.