出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
  f5 i5 D& {8 G7 g+ j
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- P4 Z- h5 ^# [' k8 N' S2 `1 c2 s两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% R5 U. m" b" V/ v
% f; {/ T/ l5 C! u) _a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

1 ^" f6 w' ~' C- Y- E$ N证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- v9 ^' i# I6 G2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ t0 v) `0 A) H9 H% v& x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& s; |" S# S  m7 Z; O0 N; R$ [: C看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ W' y8 W- h! G0 e- u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 N5 a& C& E* K$ e  U

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( M% n; W. X' E- G, n
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- ]' q! Y8 [; z( W2 K
% q: Q7 ^3 b, vInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- i5 ]) K1 {0 s2 V. R                                     K^3 – K can by divided by 3.

! J6 Z/ K0 r- v4 y6 S7 ZNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" M  r- n6 Q$ D" F/ S& y/ @! w/ @by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 ?. D0 Q( T2 B( f                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 `9 S, g" X5 s1 [+ A; ?                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  R8 x. J$ Y7 z
: b; C; ^* C# fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 t4 r( J- s6 k1 E
  l4 e( s5 p& i" W: |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

8 Q1 R3 B4 U9 W+ u2 v' h9 ~第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ s% H5 a7 V$ H: ]' _/ GShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" r8 ~, f6 s; n1 T" Y3 x' w
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.