出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% R( I  C& Y) v- g' u! V( ]
2。下边证明有没有毛病？
+ I8 i. b( F7 W& C' s1 ~  ?- s
7 J$ e9 W+ h1 B6 j6 C! I8 S) I设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( `! w, k6 ~6 M# L2 s两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 g" k' h2 ]) W5 `0 [: ?8 L
a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 y) T) T6 ~/ M2 _a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* N& P0 F# |2 L% n1 R; f
1）不能。比如1
" \* @5 q+ a# _1 O0 r2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 Q! L' n9 z( M2 B, ~4 K/ d1 [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 _& n! P, Y7 J! _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

7 x0 V# A* p9 ^( I9 l6 n" x为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
$ G, ?$ }! T0 b, f3 G; c! `: j0 W1 P0 oLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
1 A# }6 r3 B# p+ q! G) r* V# q5 W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

% q8 Z- _6 j3 {& W" b/ J( rInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 I( h4 k* y* b; u                                     K^3 – K can by divided by 3.

6 K: ^' F: K- |- y  WNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) j/ Q" J& T+ y9 a, V: ~4 w1 \% I                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( k' u) j, m3 xSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" Q* ^! x" e7 @. F; P, z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  o0 N8 B1 U) d$ l) Q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ F4 C, I, t4 x) O
  b' A: p3 }7 k( F( Q0 B[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' q# S/ r/ _% X' ?5 r" c
0 |5 N; H1 W. g: G- s) nSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.