出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
% H- M7 B; {1 ?' A, g5 [" m9 C: }
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- n( x8 T" d7 A( ^% Y9 \两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" Z7 ?$ g9 z+ S: j+ n( n
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
6 l4 n4 s! f+ a9 Z' M5 {a=2a
* d$ k$ y9 q) B5 H, R: o5 _1=2
* i. R" P/ g: u* ~5 B
3 z+ b+ C) P' c# M( X证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! }( }1 k) @6 R3 w
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- d" U% q# i* a% X) R3 ]9 k2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 H) R9 u) C' D# Z! U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ T# v! J3 j& j: F. D1 E, i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

6 ~2 o8 ?! |' \; s. P! UProof:
$ e7 A0 i4 S% ^4 b) bLet n >1 be an integer
) D) O# A2 o7 W, j% w; G  rBasis:   (n=2)
/ f8 ^2 X4 |& e) @2 ^         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

, A+ D( B( t& V8 r6 N  y: vInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

; }$ o( X! p" z4 Y7 B2 J9 M. V" K3 XNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% }0 F  o1 a) q" F* [1 t: {0 O6 aThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 `: ?$ J: y; L" t4 K- z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 b7 I) ^2 E2 N, |6 F4 u9 E: R8 jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
! f! K. j6 _* w% m7 z9 bSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# P: [: X: l9 |8 Y" E                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& x" y+ E: |# d3 P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

! R$ o- t3 [7 e3 ^Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& ?$ V4 Z2 B1 E/ j( q# y
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ ?. S" X" C1 |6 d% r6 y) A1 a
. ~8 p( ~9 h/ K7 }SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.