出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 j+ u- `% |' u0 a" L
$ R& Q; u* a. C2 |8 L0 m" G* I$ Q2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

8 J7 `1 }0 L# f6 F1 d& J$ j& @. s则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 ^: ?# r1 q: o6 Q% H
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
% ]5 M. ]! j: B& A) za=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
0 u4 c. Q0 [* \  U2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 L4 h# s# R& l$ j/ a, q9 j! Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  Y+ r/ j7 H. G/ @) Z1 \为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
$ R1 a! r0 i$ R/ Y* R
Proof:
Let n >1 be an integer
% A5 X2 N6 S1 Q) q1 iBasis:   (n=2)
3 m8 G) R' W- C2 J+ z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 f4 ^% v7 C( `- w
2 N) V2 b8 A, }( ?9 M9 @Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; _' ~! u6 F! c* K                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- Z2 r7 ?; o4 I; ^: H  YThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 B6 k, q/ s; Y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  v, F  t2 A# P- X. R$ |9 l9 t7 W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" c' R) ~# B9 U+ Q& S2 J                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 Y9 p0 Z4 H" ]+ Z/ ~by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ O9 E/ E( w& J: M) B* h; r                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 ~, a8 S* i9 z& |
  D3 d, x" D' c  C- t& R5 u, kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

5 J& }& s4 q- \0 ~7 B4 \0 e[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' O* ]5 X+ h6 l
' h. c6 ?& ^' i/ ?第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.