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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
4 f+ B! n. e- a* z1 B# r0 T5 f
% {. g) l, Z. x& g# d7 x! S; M$ O2。下边证明有没有毛病?
- M+ p; Z4 x: I- y) @* {
4 A! F! c! A8 s( h设  a=b6 g9 l2 y5 i/ w
7 d! U7 L' R6 g; g- z
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
; s' [0 J4 n3 @- n: Q两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
6 e: l* H: \% H& k: k, r9 e0 T/ L& g" I; [. F' x
a(a-b)=(a+b)(a-b)
' k9 _$ I* D6 W7 Ua=a+b. \' n% u8 f/ y; U
a=2a
0 f4 i) t" f: h1 z! B- T1=22 K0 S" [5 E$ n
. O5 m9 I: x0 e! Z
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试, z6 [# n6 V4 ]5 Z5 q

, Z/ A% E1 l& U( @, z! v1)不能。比如1* y' T* U8 Z6 O0 F
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
$ z1 h0 c9 _' e9 I+ S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 x2 R" N2 I; W; i8 A- q$ ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 ?5 o! ~% _% s$ H
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
& S7 N- v2 O& t0 `# ]' _$ \- D
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, L$ @4 N. l9 U5 @5 y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; V1 T2 @7 [8 U/ y- W2 D

/ p0 s+ S, o$ @1 I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
$ }# y9 i% F( o# n) Z
9 }& @: G) h- V; y) {0 [Proof: 5 N5 D7 r5 Q; |  O$ y
Let n >1 be an integer 5 c: V9 L$ H$ E; s
Basis:   (n=2)
7 r% u) s/ R) j8 e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 A5 t3 K  O1 y8 E2 F1 F  _- x
* X5 j1 u: K# y4 EInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. n7 v; ^3 c+ }; x0 ?& K7 |' ]) ]                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 k' D6 r$ a, Y( {
- D2 D9 U& o& T' [9 O  nNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; @0 D6 h' f# a+ |2 H3 zsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  L5 ]0 r' V% b. p7 GThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 V- {2 i4 i2 a# a) `9 `# k+ \# o8 m                                     = K^3 + 3K^2 + 2K2 b' p, s8 t5 |/ T
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)* @- M/ I+ ~$ B2 ]1 T
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 ^* S6 v' u+ ~by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: N& D" ~& a- ^2 p3 H( R7 ISo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# F! m" a4 N: u4 K2 O+ H5 U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)& p2 g. H" U7 S, z7 [( A
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
$ F# @% q$ k: a' D$ I3 b6 x
6 O% t2 Z, H  U6 x& f' k; xConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.. G; L, v6 d9 U7 w9 E4 ^& Y+ O
' T$ l# j7 j5 k$ X" b( G
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 ]! l* e3 S; G) ~, I# N" y7 j0 N. r7 C
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 }( q) B6 A+ I+ O# LShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ o# H9 I" m( R, W; `  g1 G5 J! f( x2 R& Q+ j
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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