出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ m0 `1 L9 T  }! D4 v
2。下边证明有没有毛病？
# b3 c3 d% i) Z6 L3 R; _* ]4 w
% ?/ T2 e3 a9 f+ ~设  a=b
4 p# m! a* s1 I
* a2 [. \+ Z8 w0 C$ X6 W& `则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. N' S4 \) m" `6 g9 v
! M( X1 \7 y/ q/ `- Ca(a-b)=(a+b)(a-b)
3 M5 h7 K% j3 a% E" f3 t6 Ja=a+b
/ Z! p, s  m( m2 j6 @a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! P3 q7 F, z: x1 _
1）不能。比如1
8 j9 a. ^. [( u  E/ q! X# ?) k2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ N) H; r& [& w0 v- Z. t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" O7 S1 O  j) k3 H% r& F- ?4 @3 {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  J+ [" @+ i3 p3 {  P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' d1 U0 z/ \5 i0 C  ~9 d; \6 j6 t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 I- Y) W0 |: B

8 R' P; Q4 W2 M5 _# K为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# \5 ]2 b* Y( cProof:
& L' U; Y' z6 z  B2 ?" JLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 X+ J* {/ K2 l         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 B; E) q0 Q. t, s( |
/ Y( t4 ~8 B  v) s* NInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 l1 a2 q* J5 O, y+ @' r                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. `1 I" N5 _* d$ |Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% {* O& [" Z0 g6 Z" b- k                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 y: r- G8 r- C' j                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- Z4 Z" q- {- X$ g  r! Gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( v* v  C" {: L& ?; Y                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 Q+ m+ k" b7 e" ]5 ~* r1 A
# b+ e# H4 U& M! y8 U$ v: y7 iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
5 k& R, l. k, F9 k
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! G2 Y0 E. ^0 ?1 t
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.