出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
6 n* v# k2 _: T1 L+ U, N# _  M: a
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
2 T8 V3 a3 K( R" \1 x0 q) k
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 z) X$ v: e2 D两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) ]9 c( R; g% a
4 n& @7 `& r) V/ |! P/ da(a-b)=(a+b)(a-b)
' b0 e6 ~9 |5 Y0 C. za=a+b
2 \1 h+ U( S4 S3 \! v1 C7 ja=2a
1=2
- R  v4 ^' ]/ f$ M# y$ ~5 r+ d
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 Q% b! P' g8 |- a8 U! T, I: t
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* L. Y3 M: C/ X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' f; T% l( r+ \- T/ {# q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 s  O+ P2 S9 z6 ]$ U看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
$ T, s+ H( ^8 @. y) X8 O6 m8 TLet n >1 be an integer
9 S4 y6 ^, @7 yBasis:   (n=2)
, r; r: ]' [- v' U3 l/ j         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ O7 O6 D, |0 I9 B
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" @& E. o) `2 n; {2 ^, ~                                     K^3 – K can by divided by 3.

8 M8 J4 `6 \) K1 bNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! G5 I; J) i9 K: F                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 H2 @+ E* K& ~  ^5 l                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' H1 b# A% c8 Uby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 Z$ E; g4 G0 J: USo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. p' d" L7 R3 R2 F                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ w+ r& g2 d$ I5 @6 ~8 T
& u- ^8 R+ J$ g( o1 Y- B6 kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; f3 }/ U  G3 f/ P+ B( j
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

; a! I9 Y: v+ y2 @- p0 R$ V5 G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ c* Q; L0 C& v1 u1 u2 cShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.