出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

, g5 ]: [$ h* b6 \" H! I5 W2。下边证明有没有毛病？
% E. v& s7 U# B$ }9 l
2 o6 \/ l2 B" a+ g设  a=b
) ]: a5 k+ _  t! ^+ v% Y
( V& o; t. y5 R则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
, P. X4 n; @% p1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

7 y" Q) Q6 i7 W" f- \, N- S+ P- h  G1）不能。比如1
) T# T! i4 `8 Y+ ^5 b% k) P# L2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 r, q: F1 q' G6 a5 |& ^3 L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 l) ?  h8 P# ~# [, k9 p  X' z8 h' Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 V) t! z! _! [+ |* Q, z& x看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

& ~6 c5 D  p* [& S# a- UProof:
3 G: U) [6 x& L# bLet n >1 be an integer
; ?) W! o6 T1 C6 u0 tBasis:   (n=2)
: D, b7 g  B$ ?. F4 \. o         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 s; x1 g! x. s  e( U0 J
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 V# g7 J3 t% D+ g; L3 N                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 H# J5 P: }6 ?/ c4 L9 Asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  M% ?, {; Y+ _) q" [+ lThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ z" }$ K0 d9 c$ a) S0 a. \                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ H% i9 y8 z3 v+ v- i" H1 Kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 @9 ?0 v7 }* W) s& r4 W* k7 \' {
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 r, y& V3 ^6 _. \
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.