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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?% c8 h2 e! t3 R( m* R! J
, W( x* c# t) |7 @7 G( [
2。下边证明有没有毛病?" ~, u. T4 Q3 K5 S; J1 {
* G! f; I1 u9 t( ]9 Q
设  a=b
( k3 C  X$ A1 \% N; A% |, I
# @% I1 T4 R/ [- i$ j则有: a*a-a*b=a*a-b*b
! G  J; Y$ W3 ^8 c  E) U两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
. Q2 t& @8 }+ O9 C% x& O
+ _+ ?4 r4 p% T% `6 M2 v0 la(a-b)=(a+b)(a-b)
1 A+ ?6 d* }/ G* \- a- la=a+b
  U% M! {6 h* D& xa=2a
/ N$ Z7 w* m, G  O/ z3 F; K) I1=2( N8 w, m- h) z4 F/ B  w3 {
+ v  _0 ~0 x9 D3 Y6 C6 T% q
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
3 B7 a7 i& _9 e$ w+ e
: R  ^9 z, H$ M" T1)不能。比如18 y/ x# P/ a" h2 u* K# M
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 B: d0 Z5 R$ l
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 ?/ P+ H6 }2 u% X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% g& M  ]6 W* c1 ^6 h4 K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
( a$ q; w# }  `; \; K9 B2 E- ]# N
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:8 v2 f4 F- k* g4 Q1 r
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& @* w8 ^. ]6 U% `

3 w' g7 h) }& @* \: f) N为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)4 p2 O: v# F" @$ y! P

. T2 k0 d3 N% d- b5 t! A" ZProof: 6 Z: {; K; ]1 j" w5 o
Let n >1 be an integer ' |9 o( [5 _" V' x) a# X
Basis:   (n=2)1 R0 J, A8 J) L/ Y9 j  w
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3: u& v) x" N7 P: @

( \) g1 t( D; q  K' bInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 t+ X$ U5 x9 P9 W                                     K^3 – K can by divided by 3.
# T2 k& S) |, p" j5 g) i( O( v7 ]9 e) z0 d8 }2 m
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3( F0 P$ j- E, t; |
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 \" B* ]" L8 gThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
! ?! A. I  l/ w' P                                     = K^3 + 3K^2 + 2K+ K& n$ r( C: i4 }9 T2 f' K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)% M* x5 |3 F% C# x" n
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)  u* d' h  A( k, o6 y7 r
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0! A! C1 C0 M& E8 A+ _
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K), K9 P1 z) v) S- P
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 U. ]5 @  N" v% F" s& @8 n                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% J0 R" f8 K( P' M% M8 D: P4 s5 P5 u+ a0 Q) M; @) a* D
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( c& t5 Q% k2 Z" |2 q8 M- H1 |4 x+ d& ^% G
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。5 w5 f' l9 k  l# W% _
: h- [8 x5 E/ z' N% `
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- h' O. o* K6 N# ]( H. {* VShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- F( C3 m+ r" ]% D* u  ?, _! I0 g. G! p0 U- a. D
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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