出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

6 ~% J+ X) |# w9 x# G) }2。下边证明有没有毛病？

4 W# V* a3 Y% D( U8 u设  a=b

( V7 A" \& \+ p+ l3 c& T则有： a*a-a*b=a*a-b*b
3 a- h) W; M) {6 }0 C两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 j5 _1 O& \! A' ], r2 g. G
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
) q! X1 U/ ~; k# L4 T) wa=2a
8 I% A0 q: s! r* e' i1=2

% L, y. G8 Z9 j  w8 T) G证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 z( u  }4 J# F* v; g# X
5 n6 ~9 ?9 ^0 g9 ?6 z2 f- `4 N1）不能。比如1
6 L$ G. U" Z  E' F% H" u; G; f2 u2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 C2 _' J: O, {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% W; K+ v/ V. `4 X7 D6 ?看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

: f4 u! z, D- ^5 m+ d为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 P' l) x" r$ O, o
Proof:
2 C# }% W- P0 @0 Y: D9 [Let n >1 be an integer
4 o8 B$ h7 {6 wBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

/ @9 _, Y: c; d0 c' H% mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  ~# X% V6 }/ q
) v% g, x) v/ y  F* x' @* hNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 ]% m0 G0 D2 O$ O! l# @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 p, |0 P' U( Z: [+ l. L1 ^  b                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  O/ ]* V" ^& e" F/ j0 w$ ^by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' k1 @( L: x2 rSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: u: Q* V+ a$ K  x; e) P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 t9 L% p, }; y) W2 \0 [
. K- b  C! e  `1 f) r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

, k# V5 z5 S( L; j第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( |/ t# c$ g: @8 J
5 L/ p$ s2 Q& U. V" Z- [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.