出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! Z. W  n& H4 |! Q$ l" I. w
2。下边证明有没有毛病？
$ K) o! T% G! \' ^) `) y+ Z
# @; M1 [' p# ^# v' D设  a=b

# p% v6 K  K' N- x0 t4 V则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% W. d% l  ~- l$ e两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

; R$ X1 p4 I) ]( m$ la(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
! o/ ]0 X7 K8 u" ^$ `- ?7 ^a=2a
. W8 p+ I; g4 U  Q: M' w8 V1 d( c  T' [1=2
: V6 {7 Z0 m, l4 [7 X  H1 b
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

' I! t1 Z4 Z# x5 ~. M1）不能。比如1
6 b  N" n) |% A' n2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 u7 q) K; c; ^, I7 u& P1 R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 q/ b; d  @% z% @) W2 q  K; J7 J看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 ~$ C6 b  s7 S# i6 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

, g- e8 h1 B4 k8 f为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- ?) V" j: }# {
; a' `* i7 O, O9 f/ ?6 tProof:
, a" A% J8 h8 p4 e' V3 o1 ZLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
5 A" v$ r& R! J) @$ B7 i3 m2 C         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

' F' `) n$ O$ M+ ^, U' V" bNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, v0 S0 h0 Y( @3 y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, |: F; @) O' `) Q- h                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& [3 F, H: T; r8 O! v( VSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% q, A7 y$ }: C/ Q* L                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* R6 h, Y  S( i0 o8 c0 W/ h                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; a+ e0 K$ @) T* p0 \# N. i9 d
+ R% G! Y/ b0 f3 d& Y6 a# z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 u/ J7 h/ f; B# Z6 b$ S. c) Q
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 j: C  w3 d5 q1 D7 l) u  R* }
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.