出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: O9 F. c2 h5 a; H; e5 w1 h0 v
2。下边证明有没有毛病？

6 v. s' P8 \, o* q1 L设  a=b
/ [% _- c2 Q  v" T' g" Y, i; k/ E
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
" t1 Q( t( c) t两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: h7 U4 V7 K1 }( S  M( _5 `
- B5 V/ u! o' C5 v7 b/ xa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
* c; W7 p3 s9 h5 |& p, ]$ ?a=2a
7 g* j7 [3 l2 `$ Q& I4 R9 s1=2
6 q* Y9 i0 k# [# u' p& Z
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 a8 ^) A# m7 [* y" s$ ?' n( x2 ^  }
( P& B! {* `6 k! ~  p5 z1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 e% p9 W' i8 Z" T: }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 d3 Q# x4 W2 S7 ]2 g' B' ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) O! f8 K$ k# S' Z$ `; [/ T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 v, A& V3 @0 T9 L

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
0 x$ w, }9 o# s; q. iLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
8 t# u- ]1 c" A/ d5 F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 V8 [: {& y9 B! H7 H
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 \7 {( g5 l, b4 M% nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ W* T& p9 T& [  u. I: ~                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 }* l; T/ b1 C2 V! U5 |So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' j$ P* r: ^, B, k, Y' w& M% L/ J6 R                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ r# K  A4 D! O, Z! r                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; J+ W7 U1 Y2 y0 t
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ v2 D5 R7 f9 x& V* I) [% Q' m& u# B
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: }  k5 i1 j, ~; _
4 ^! q5 O- `# X6 l! o. o/ h/ K8 h5 I. Z1 w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  B- F, F3 z. b. n. u1 ]: d, _" NShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- x8 s- d4 P3 ^" |" N$ x, USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.