出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
) ?6 Y/ M7 d5 }6 f8 C" b2 T( K1 o3 s
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 m# G7 F" J3 N9 M两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ ~8 h( _' U6 ]! Z6 J4 [& J
a(a-b)=(a+b)(a-b)
$ c) e) b1 `5 \7 g; g2 o! K. ia=a+b
a=2a
1=2
1 P! l' t& \  D. x3 O1 c. }
+ j4 C7 C5 g7 @: V" i2 G: J证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 ~9 z1 R# H( f2 t$ P4 p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 L$ D- e4 P4 i+ N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* d5 b8 Z  d. M% j8 U# D$ p看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 m' M. T- j! [- H

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
) o6 M2 v  ]1 ~4 Y1 d9 Z5 h
+ w% d, p0 T) H$ E: D  k8 Q0 d4 B; bProof:
. W; c% s5 w- a' x% T3 o: g" vLet n >1 be an integer
: }( A4 Z) A  S% e' ^8 A0 OBasis:   (n=2)
7 z& A5 e) v) u' z9 E4 x* C         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
" A0 P; E1 Q3 M
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) j9 Z+ c8 {5 k: i) o. r4 ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 t9 W+ ?1 Y5 o/ Q4 d! G                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 i, n, T" K8 `9 R+ _" r1 L+ T                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 _7 g! R9 Q. X, H2 f) B                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( i1 N/ D3 ~0 W4 l# j; E0 q
1 @# G- D) z7 VConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
7 P4 d2 g0 n- y3 {1 w
  Y- |$ B# a2 L1 u  Z. M' E[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.