出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

$ V; S! M, j( w* L; a2。下边证明有没有毛病？

! A* ]9 ]. m! q设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
5 P7 k* u5 E- s; e  r两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

' Z. K; c! j( z. m# O/ f0 p6 _, r% Ha(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
. z8 `1 q" m& T, f1=2

! [; N- J0 E$ O2 ~: X- j; P1 Z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! k' b1 Z4 p8 E/ {- x: X" B3 W
1）不能。比如1
5 ]- a6 q# m2 H  j2 K% D! V2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 u( J/ g+ O* s0 |9 l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* a: S( b3 v# Q
Proof:
2 w+ q: c" ~2 y5 i; QLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
5 F# x, A7 d% |7 |' s, ]         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; R( C: ~) }" U8 I; i# L/ l( u                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( E: X% c1 ]' s  x+ X  }4 Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 D& g# A, j* K% y$ xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 l, g( b+ P! V- ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- ]& p$ T" V, iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; S* D! W4 x# ?) h8 O4 e( x8 xSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; Z# D- ]: J! i4 D+ I! \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( U$ u) x* B/ R9 C
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) h* C0 A: t+ I% x1 \
* x* e+ D2 B: k2 J$ n7 J[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ J" _6 [' {  C, Z+ V" q% v( I
: h/ e% T/ E, b7 |第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 ?1 ^1 f3 U: j: I* SShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& g! b; `  Y; J- dSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.