出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

/ b3 |7 Z# J( w5 z7 c' x6 p  }0 a2。下边证明有没有毛病？
1 \, [1 B) i% T6 L1 }
设  a=b
) \1 {/ {3 y  V) J5 M
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 S0 ^  T. D% U7 L% `9 D* M: ya=a+b
; S9 f3 M" |! C/ V& ua=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! p5 Y8 J$ E3 A: {( v1 F
4 C6 q  y0 ^& k/ m- L1）不能。比如1
; Q+ G3 ?5 ~) p  k7 W3 F2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; @$ f" I/ y1 G1 e2 Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

0 V" o# i9 E& N5 QProof:
* h- ?4 N2 O- J, F. y1 uLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' L/ X* G7 H5 r) a( G
: U/ N) ^; P' vInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ f- s% K. O5 `6 U                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 e7 @7 d& Z0 f; X3 c' h) Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# w0 n8 W* g) F7 E- B0 a2 KThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, P, _( ]  t5 y0 s0 c: B% u% [by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 K' Y, d2 X4 U                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 G0 ~! Z+ B5 b  d6 [/ z$ T- d
/ t" d  e0 g8 d- `Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

/ k! m, k* Y, u3 s- {! K[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 W" B2 I4 ?) `1 M4 `
! ^( z% W. e9 Q4 M9 \" G: A第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  o' |% P. b: B, V. IShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 }3 |2 g7 f  C8 K7 }6 G7 [* Z) C: |3 U
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.