出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; H6 t- t; U7 J2 r1 b
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

: B8 `1 i+ o! w& Z) t! N则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 Z/ C7 e; Y# C" x
# i3 ?) _  s; Y% F/ Ra(a-b)=(a+b)(a-b)
; I8 m0 k* P5 X! K- xa=a+b
# Y3 d% @; |1 q; |+ Na=2a
1 J6 p# C2 q0 M: j1=2
) C1 A6 M+ H5 ?' }* Z# I1 j
( r' I8 x0 Z4 w" P6 k6 m" K7 p: X! X证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

' ~. w# q) ?; E1）不能。比如1
" r/ Y, p$ O0 s2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) g6 y& v1 ?7 A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, @2 Q0 z/ o0 W看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 D! `$ |$ J: X# T- g$ w, Z% Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

% U& p% Y6 q* [* B8 i  Y; |为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  q7 g4 ~" a% Y- y
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 q, @4 ?; ]6 c( ^+ g" R
% W: k% O  l1 h- {- R0 @Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. ?* Z0 i" ^- V; L6 _* kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 h$ R$ Q0 G4 A, z; l$ l                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ x3 S6 W% a& h7 ^; Y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* x# G  V3 `7 t                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

; G2 E- s0 S6 T% yConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

3 ~; R- }- @/ P! R' K: h. e9 F[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

  p. I* _. Q. Q2 a3 g4 G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.