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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?9 t, W7 Z4 ?- t) J
, t" x8 q! n9 X* _+ m9 ]: W
2。下边证明有没有毛病?
( d7 Y. d1 f6 C0 Q2 ~; }! h: E) @8 z
设  a=b7 \5 O# T" P% c0 Y6 O

/ z) c, }3 j( [/ i6 z* D" ?9 {6 L则有: a*a-a*b=a*a-b*b# Y0 [# V. H% x, x) P! j6 A
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):2 n# V* j4 v' i0 c4 _
5 n. i- Y- D( h( }3 U+ |/ b* G# N
a(a-b)=(a+b)(a-b)( |& M# Y7 i: B8 i
a=a+b
4 @8 ^) {' f: N( }, J0 ?! m7 Ua=2a  I4 E, Q1 b2 e8 U; R
1=24 y( V. ]3 ^1 T8 }2 t
' ^4 }# Y5 y" o8 {1 Q
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试8 H+ Q; r, i8 W2 z: D! m

3 T3 d' v6 G6 N( |% y3 u1)不能。比如10 j9 B1 @# {) X) R$ @
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& n* f, `: ^) h1 e
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: W) F. c9 S# D1 x( R1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 ^! x5 e, l, ?4 z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. W  J/ I1 Q* N9 e看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:5 c1 e) h! j) f/ V2 F% \
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
. Z3 A1 O, E8 R; G

: R- d& f- R$ C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* U# X  F4 g4 h  I4 }9 G6 J3 Q) [( S, A, I
Proof: ; E6 z- K; U- A, h7 U$ o0 v9 }
Let n >1 be an integer 2 N8 U3 l) y+ u! K. F
Basis:   (n=2), j+ ]$ w/ {# V* Z- S
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 A* R/ Y$ s7 ^" u- @8 E# E* U* k, s
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that" k+ r( C( a, T' a0 _
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 U- W% }3 `' R0 [  H
' n( h- ]- E- H! V* bNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# H) H5 X. c0 Q2 Z2 X+ asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' G) i: l, i/ [9 T1 nThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)0 {- t5 O- f: T* K) Z( }
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: o8 G3 h- n$ J! _                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ F" r, w/ @+ q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& K/ p/ c( F& f' M4 ^+ n! Z/ Wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0$ x' G, p. B5 X
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- U2 s! j9 V  O! f                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 a4 n3 ]/ W7 U                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* v% a, X$ o$ {0 A; x
+ a. o  b- N: nConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.3 V# U+ L  y+ ^# T4 W$ H7 x* T  N
+ @7 J# Z( K3 O8 w
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。6 y. e" H8 P2 v2 r; Q9 K& E8 m8 r
/ Z3 `5 b2 t# P: X% C7 u9 d# b
第二题应该很简单
理袁律师事务所
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
! X7 v& O4 j& [  OShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
& H% `) Y9 V! |
2 z, F% Q8 q3 B: A  g& m0 c: _2 m
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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