出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

4 J# |% j5 s+ p( y$ c) P2。下边证明有没有毛病？

- B6 t' H2 p0 \# z# d: `8 D! r设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! _) J* G+ r6 O9 o* r两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! b, F- y) V! N: r( U$ \8 D9 ?4 D1 m
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
# ]" M& m5 u3 j+ p6 y! P( S, |a=2a
) ?* k0 k0 k7 @# D1=2
4 X0 |& P& {0 E. D( W
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

* z5 s* n+ Q$ V% |1）不能。比如1
$ T: R9 e- C, L2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; N# P) L$ N8 F) D2 [/ h2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 F8 Q$ _" a# B- B/ q5 t2 z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) `9 f! i4 F" Y. R% |/ T# r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ D  q0 i" B8 \看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

/ [9 P' E/ I" d为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  j' w* h7 H  a7 |5 h$ A
1 d2 q& i! N1 M+ Q: x- i) oProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
& ?& G* ~5 J, g3 q  h% C# ]         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  h2 g/ l' [7 Y$ _' r
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) c/ l7 s- s& p) L1 k$ Y! x( D  }                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' Z8 n6 O' `+ n( z) ]9 o                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 G1 C7 P4 w" Q; \; Q/ r4 [                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; z* f$ B8 ^% W1 B9 [5 z1 x. o3 V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% v  K1 f: W; S; X: Q( F* _1 L                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
- p% G/ g3 @' }6 C, W
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

) e6 K! A  Q" l' ?1 B, l[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
2 F2 V' H0 h. U1 a2 j+ m5 u+ \" N
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& T2 K5 g+ [$ I4 e4 l$ dSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.