出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
6 j4 i9 Q8 @' h, d# |2 Y
6 W  u! S/ h. m1 m- H2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
( V/ k! a0 O8 P
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! n. Z. }2 J5 h  N2 a4 |两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" {, [3 b' O3 E' @
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
0 M0 N( h' ?0 J8 ua=2a
- a  m" z9 ]2 w' s1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. r9 \  B4 v4 A
. h: ~9 ~6 f( [/ d  X3 G# _1）不能。比如1
0 l9 ~' ]2 h9 |8 j1 o8 v2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' a4 a% J: s9 v1 V  `2 n+ L看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  Y0 K* U/ O. B5 C" @/ c为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ W; a* m; O1 e* s
% a  G" f- s! O3 KProof:
& j* b  @% S( J) r- Y4 D* LLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
( g+ p' g7 y: V7 q1 ?# ]$ [         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 ~; K* L9 _. o( F% [& Tsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( T4 M) d0 ~. k3 E4 h# |( `' xSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
- {0 }! Q, ]+ \7 M+ `# n* u
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 V! U' W/ j0 J% r/ U: Z- e9 U$ F
$ F! ]- Z, i) N. B  ~5 c* {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.