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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
$ b! q1 i; v/ i4 N2 v* W' V# l( _3 ~# ]* O/ }: a1 y
2。下边证明有没有毛病?
" a% K6 O0 O+ i
  |& w3 k0 w3 D' v" I5 Q0 m设  a=b4 J' g9 b* t- t7 O4 _# g: `

1 X% y$ p' V  J则有: a*a-a*b=a*a-b*b' K5 ~8 P2 q2 x) |
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
# H$ |, @" v6 i  Y. }( Q: x" }: R8 L2 j) z  M( ~0 C* Z
a(a-b)=(a+b)(a-b)3 b+ U  ^* S9 R) P0 r( B; n
a=a+b0 u" e4 B$ n7 V  l
a=2a! I7 y$ F) v% Z! m: L
1=2* w( Y6 G$ x! Q2 W( d, E) x) ~

7 ^  m5 G* Y" p: Y+ A6 I' H证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
  x6 M% y( m' c& f
$ T: p* M5 Z2 B% o" b1)不能。比如12 ~1 F, n4 a/ l' K7 v
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& I% X" |1 H8 @& u6 U  ~
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:* Z- n& K, L3 p8 t: J4 h
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
5 ^; j8 s3 V# X. m# {$ y- Q) K  ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 `) L$ M% t, z2 D: ~看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:2 P6 P; t* E% `5 S  ~* n
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; A' b( d/ [& K
7 X" b0 _+ R* V# z% o
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n); U2 @5 g, w6 n; F% i5 ~- ]- b' g+ s% V: V
! P5 t/ k4 ]! X) Y" K
Proof:
: N7 ^; w- a$ ^+ D- ALet n >1 be an integer
8 Y; S$ X. a: h/ X3 i) a( tBasis:   (n=2)
( [6 [6 w+ E* C' J6 [, h7 x         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3& s/ c$ k8 K* J$ u' V

2 ^$ Q+ t( L, R) H- P5 v- E) mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that# I% w% N6 c# L3 B
                                     K^3 – K can by divided by 3.9 E% m! M7 A+ J9 d

0 H0 z3 M1 H6 sNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3$ N1 Y) |7 \6 g  `# h/ j) W
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 e( c0 {  J# P- ^6 |6 kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 T8 J2 t6 _/ a4 W% U                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! l- S9 q( r- ?3 _5 t$ B                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)& R6 y: ?* U) w5 m" [8 t( S
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)2 ]1 H2 l- U- d5 W4 l# L% V. I
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ x/ @% ]' c, MSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 y& \; E% G. T& g2 q3 X                                = 3X + 3 ( K^2 + K)3 n; a/ [  v% G  i" f; B: ~$ i' u8 o
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# ^" v  x( D# |9 e. v8 L: w0 L, {. P
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.- }. i, ~5 ~" x+ ~; R' @& N

7 y3 O& V; v! s3 }! P7 f[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ r* f+ ~2 V) H- ?4 ?
) ]; e3 |8 p* i$ h7 M. ]第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# G" [/ e: l6 z! \# ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 A5 {9 @! N$ y2 T# o9 j2 T
' c" V4 g1 [2 i- L" e4 lSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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