出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ I! R( U/ C. W
2。下边证明有没有毛病？

  Z, [3 B# H8 J设  a=b
$ J$ e+ v1 w, W8 {; I: l
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
( Z+ B' \  ]/ R: Z7 Y+ z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
' Y% L8 E% B  F/ x; Ja=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
) Q! u+ F5 A$ T3 I* N
1）不能。比如1
. B) e$ o1 Y0 A2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: W3 u8 e8 p' k" I5 o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& i$ K: y. x. f8 `' Q8 r; }2 L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; [  L1 b- E" B) G/ q+ C4 b看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

9 ~: [7 O( P+ ]! P( B为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

: y5 d9 V7 T! aProof:
! W8 E8 A* l8 p5 p( ^Let n >1 be an integer
8 g& ?2 o: x" W) a6 W: Z+ n6 jBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

5 M+ s! g2 Y6 a2 T/ \) ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! y' Z3 W# m! D( v8 M                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, ~3 ]3 Z3 v: v* q9 tSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  t7 g. j4 h' B5 B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! U. ^9 J7 X+ c* w2 x6 t* [                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  Q# ?; @4 J& }' Q+ x
  F) I. g+ s; A* vConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

" k5 h* |6 g8 U9 ^" d第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' u3 f1 q' l5 V9 VShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ N! d/ {" R" p- l. o
- S! E. b) h7 f- p/ i, W; BSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.