出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
0 M) Y) [9 B% T
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 K  O3 N# c1 D* S* @两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 F3 |2 i* A, i. D1 G  i+ g
8 d/ [4 X1 w7 g# Ra(a-b)=(a+b)(a-b)
  S: R' t$ Z1 Pa=a+b
' R1 {# u4 Y; ?; n7 wa=2a
0 D) f) L6 s2 n! `' o1=2
5 ^5 ?& N8 I0 b+ M: F  T
0 {+ Q/ L1 ]" F# ^; g5 z- y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

, H1 R3 h( q' S: L0 D  a1）不能。比如1
+ K  {$ s( H2 M9 |2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 u6 ]$ _, o8 \( k7 _# x& k, g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
& n4 z" z. D( v) gBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) U; r$ d1 J; C% [) f: r
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! a; |! k$ r& p9 Y* r" e                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ a& U: T$ Y/ L/ Y2 \# u
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ r* \, ?9 W! _3 C, {since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: W! S5 }2 L* T; G; xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ b# x: u  x- k4 k( l4 K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" I8 N- p2 X- i$ z9 n
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

8 ~4 L5 P8 ~) ^( H) h[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.