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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?; L0 y& {9 g4 ~2 O0 o$ z5 }+ e
. i6 z/ [1 @2 L/ [5 Z
2。下边证明有没有毛病?
+ a3 L4 q  |( Q2 V) {
( O3 ~2 D8 N3 r. w0 U3 U8 P设  a=b
& X8 X1 N- h" t- @$ \
7 k( q3 c6 x. X0 z5 H$ n则有: a*a-a*b=a*a-b*b  `: r$ y, I  u/ v: |
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
  x; \1 S5 U8 O: p6 T0 }5 K2 K$ X4 \4 p9 G
a(a-b)=(a+b)(a-b)
% K/ ?) g8 j+ Xa=a+b+ W6 T3 j5 b( `5 ]' g
a=2a  p1 T9 ^! f# R; d/ I
1=2% t* t3 E: B2 P: i+ J
5 S2 j" ^! E3 ~9 t
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
1 ^/ q2 F6 D1 K) j9 x+ u& z) C+ x9 i. f5 ]* X
1)不能。比如1( T8 z" s3 E- o2 Z
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 ^& \6 j4 J1 s5 H8 }  r; \+ R( ?
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 f! Q- ^0 j# K  {% v$ ^( ^
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; g3 X, R. s" C* q
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 R& [/ n$ X* N9 h& L! N1 {3 m5 P看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& S: q5 a% E$ _* X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。) w; g2 W' g% E+ j
& `- z' X4 F, U, Q% c
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n), K" U( g" h. `9 |
/ w& g3 D/ O  `8 b% u
Proof: # @$ I9 s) u  m. w3 U: K
Let n >1 be an integer 6 j' r5 d3 W1 g. P$ T. |3 p  p/ d
Basis:   (n=2)
' R, q) ^( T0 f6 B         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 V3 [6 b% k- o) T. a/ m; r# c+ T# a$ N
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that" D* M9 E) p0 T, H8 M+ s* d
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) y6 _% [& d' n) m2 \& b
4 x( D2 e8 P' O0 \Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3# L: }* ^& E  T
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem) @+ |7 K* T7 p* r
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)" t9 H: \, L1 N3 n
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K) Y5 [; t8 ?% @  h
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ ]" y( p2 G( S0 Q, H- u0 w1 q. n- l                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' O; U* ~" u; p( {by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>08 a' _* H* v$ B% \  Q2 D9 N  A; n
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" N- z0 ?6 q* e& a+ ]7 h                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, {; }( G, ?& w' p) o& b5 Z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; y2 Q. j$ ^# R0 c% F6 z0 X. D# |3 X" @: v
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.0 A, g( H! }7 r$ W/ J

7 v1 m6 w3 @9 R1 Z1 l[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ ^, ]$ \+ D3 s9 r7 s/ A! }: H" a+ l; N+ d0 ^
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:9 D4 i$ i4 I" t
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
1 F/ S" V  ~/ `2 m

- d6 G: S& Z& Z5 ~. p* ESORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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