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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
- P" u0 J5 ]% }$ i
1 _( n" M4 Q; Q) i8 [& E/ s1 X1 r8 `2。下边证明有没有毛病?! _+ u% `. c& j5 }4 {
! I; U: p: U- ]0 T# ?* e7 L
设  a=b5 L% G+ x5 m0 C9 n3 f5 W3 o: z. ~

7 f! k' U5 O' i则有: a*a-a*b=a*a-b*b
5 h, V9 p$ t9 E0 ~' q& o/ `& k两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):) ^$ {& t  E# a: t
! P# r- G- a3 g8 i
a(a-b)=(a+b)(a-b)2 O* K+ E) k7 ^* g5 A/ I
a=a+b7 t3 A; ^/ s) C' B$ J& p
a=2a5 K$ V  H2 i; s) p0 n+ v
1=2+ S1 t# i; V9 \8 X' L

1 {' o# |0 u. _) Y) W' J证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
: Z/ o2 \" M$ }9 G- M7 n: c# q) I, X9 j
1)不能。比如1
: o6 S3 s3 V8 Q/ j) j2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  }$ `/ I, G* \7 ]! h' I, F& e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:! ^7 L3 J& b& G% J1 b' r$ Q
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! i8 P" t' P2 i0 i; [& K0 y' J
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; q& f- a& b9 P& K; Q看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:! X1 H8 }5 _# a( n( _
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。5 K, {7 S) h) k

; V. N% Y9 h/ I: A$ P) Z; ]1 L为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)- o( s# d: S9 m7 s

9 ]! R$ T6 ]3 Z/ @2 m  HProof:
3 ^! \: H7 n" w* K- N) \! BLet n >1 be an integer
2 S7 Y4 _% P, ?  J/ D; m9 h! HBasis:   (n=2)
5 s* A& G+ C3 s1 L         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 30 M3 M9 h# K1 X: z

) p& S4 p# |6 \" `* RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
1 D. i9 U( W4 w4 c                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 Q# g" g# A: _1 j% f3 W0 G/ b$ T- J/ T; O) h; x6 N
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 38 K4 x) I+ |0 s6 z, I. K) M3 o# p$ A
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 u0 c; F& f! x( PThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)3 z9 e; i! o% A: ^8 B
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K  Q; {$ O- P% E$ F
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)' T+ w2 l) U4 \, A; T: \6 L
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( x9 C% t) N7 e( T" bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 S: ]. o( c* hSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)& ~5 h2 F8 o5 I. Y" g/ }
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)1 B) j$ p3 a4 @' @5 ]
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3: x: _5 _9 i8 T
" Z, \3 z3 X: l. q  t: ^
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ s8 j  e7 V% J: Y& ?
. e, s  W* N0 G! F- ][ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 s7 @% ]# z% D, d0 O! y! t6 O) X. F& E: C2 g- Z3 F" P5 d
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:& @+ ?. h# s, w: B; H- d
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 i. D3 m" O; T% x
" o% ]2 u2 z- n, E- D  Y  W+ tSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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