出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- Z' N, p; E# W
' B1 Y: U2 l% {: d* g: s( @% F2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
0 n: `+ h* R/ ?9 g- H- K
) A0 V+ q8 R9 L, n+ V) k则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

9 M) g+ ^9 U' n/ M; m9 L+ fa(a-b)=(a+b)(a-b)
/ V: h6 i4 X6 ~  ^  Qa=a+b
9 r8 ~' k" e7 X8 _: Q9 Fa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
% e. x- ]' @+ W
1）不能。比如1
( b" p. S+ W  {3 x5 e, J' |2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& w3 o3 M7 g' o! v" i$ T3 z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" O& M, T" e+ B0 z& F7 \. h  G

$ u" e7 }" \3 M; r3 b* Z$ G/ {为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( O- m4 k+ ]  a( ?2 @2 d
- g7 {7 U& [2 D0 c+ y& yProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. `. N& m* Z- R; w6 I3 s/ v$ W' l- }
! h! i; X$ T+ ?$ SInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 @: n% {7 P. M                                     K^3 – K can by divided by 3.

3 r7 m; R/ Q+ f5 R2 [Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; C. a% b4 C/ d( G- D8 |% j2 Jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 i; l0 l# R2 b# N. ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# u& ^; t( t0 b                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
, l; A, d9 _; w
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
% N9 J, E5 S2 B. P
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ P0 B: b+ r) z; xShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; i" h) S0 Y% D3 ^2 Q
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.