出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
6 T0 v( Z; h8 a" S/ ~% r" Y9 Y
  U8 u" Z9 o* u: s2 M2。下边证明有没有毛病？
8 D6 C5 {$ F* S; M4 @& g. s4 V7 b
设  a=b

& i9 }; C  o# I则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) u2 k& h  f3 z- R+ M# ~9 N% Q
9 v# M3 @' s. a2 e) c, ja(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
0 a  t7 L  ]1 k; b2 c" @, a" ga=2a
1=2

4 n$ l& y9 k8 |; G+ H  H% I2 J9 Z" d证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
( ~8 T8 D+ P6 f, [- a+ h
1）不能。比如1
1 _# X$ Q+ B, w) M$ _* V8 u2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ Y' D5 E" }6 l" D  J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, U4 s- a3 j" k) n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ d9 j0 B# L; a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. w/ q, y4 `7 f) C. n; Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ F4 t1 ~3 A8 L: a3 w

; J$ S) i' }5 Z2 u; H$ S% v8 T为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
$ h, W% q. W" P; K
, Y* r4 ?7 V% h! O: V) c( x0 e) IProof:
Let n >1 be an integer
9 m) h1 H+ d5 \* F$ ]! v# T1 ~Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
! M5 Y% p. C/ m" |2 J                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, B; _% J3 I- O' e  b2 Aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 U/ c: y3 Z) h2 D& m9 ~4 MSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
' a+ t9 R, ]# J+ C2 S# `                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

. r9 G0 p3 n$ P: q& h[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ a1 l# y- d! j: Y
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 N9 A* S9 R+ V* z2 @, [) ASORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.