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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
& w% M6 D7 `- P% s
" \+ d5 E8 o& ~. K; ^8 v% ~# k2。下边证明有没有毛病?- ^, z& t$ i& \/ Q4 g

3 |* \3 [) J3 c设  a=b( M6 Y3 D7 ]% `% ~

, ~. Q& z2 z& `# @) F% I则有: a*a-a*b=a*a-b*b
0 ]2 P0 N# }1 a0 J两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
1 B9 e; \+ Z& s6 u8 P  c) p- c6 T1 a! w2 w! J5 @  j
a(a-b)=(a+b)(a-b)( z& }# F. @0 y" X  E- E
a=a+b2 }, v& ~3 d$ C5 k- Z/ @
a=2a
' \6 u0 x) P9 h8 ~2 t/ G1=25 X3 J1 O; }. Z0 _

, F$ y: f! m0 ^$ f! y4 D证毕 ,结论,1=2
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试+ J! j* [2 j2 s' H/ H- |

& O! N! l, m; G- n# `/ D- Q0 I1)不能。比如1" K, M% A) Z7 l
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
1 o9 ^% H; ~( P% w1 c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: E  _# P$ m! i! p0 r
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
9 i# l% F  q% ?8 n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 y- q- g( K/ j3 H& c0 P" C! K+ k看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:7 E9 ?4 I3 r: h' [& F, W
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# e- I  a: C3 c8 h6 R1 P
) D( k( P( t$ w4 a! t) J
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)7 f' O+ Z1 `6 t( v5 F% O. J

& f- ?4 T' W5 E3 S: F% pProof:
9 a# |* d' c+ h: w% b- \Let n >1 be an integer   t% D5 S: g5 Q4 q& L: D4 l: o8 j) _
Basis:   (n=2)
, v7 F/ M/ S' U3 d5 C4 b, v+ _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 31 s# [6 h8 K) a1 B# M7 Q
- Q8 X' j' x  _  l6 V
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) }' n8 P8 j1 {. a4 y                                     K^3 – K can by divided by 3.' a' d+ A% G4 s" n0 e2 [

: Q2 T; I6 I2 x0 K  T& jNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; X( R9 q6 X( @) ]9 ]7 esince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- Q# C# N- u6 M  F6 c/ OThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)$ J7 @3 z7 t* P
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K) ]9 J& d& `9 d  L7 L* Q; [% B
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 o5 x& S' O1 P  `* |                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)- y. ?& V' A# G1 o2 c* f% e
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% j$ j! _' @+ F; F2 V. {" bSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)  K+ t: \" V7 H$ ~, S$ E
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& T' i6 h8 j9 x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3  M& [1 n' a, m0 S! w
0 o/ y3 \5 R- b  }5 f: Q  T
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.; k4 S6 |9 r5 q3 z
& z0 e5 K- B& L2 d9 r; B
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ U; u' S2 K: F7 D. s+ S
& u6 F* f: F8 W; c" |9 Q" e第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:' g$ ]3 y+ o' b( z# m
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
% m# e9 w0 c" Z" m
+ e9 ?9 K( C* f  v% V* H- y- l
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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