出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- l! B  Q5 F3 N+ Q. `( F; I2 d& k
2。下边证明有没有毛病？
' i; I# n' d; V
1 g  }/ N0 I: I6 ?$ r设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; B* M2 }- e; l' {2 Y; V两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) i) D- H0 v  x7 }2 O, \$ F
( ?$ a# `( s& p( c$ Da(a-b)=(a+b)(a-b)
9 y1 z* ?, g/ ^5 \8 I# ea=a+b
a=2a
7 V* L+ y3 Q2 |+ [' c5 S1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" N0 s1 B1 E. `- g! d0 O' X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# _; m/ p5 x" Y( `看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 T4 [# ?9 p# E$ h/ f+ l% [& w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ O: q: A( _+ U# d5 P$ d+ F9 m" W

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# r! d2 h) ~& V* mProof:
. s1 R/ r  u3 ZLet n >1 be an integer
" J5 V) u7 K9 ]1 f$ j( Z- }  GBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" _2 ~2 ~, ~* e0 _. H                                     K^3 – K can by divided by 3.
& r6 _2 B2 [3 w+ ?5 C& g: Z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ B8 a* @9 p5 L+ t9 [& R$ ^Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* g8 y2 Z$ r* Y! A% ~& e- n4 X! R                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ @+ i- t3 R; \1 r4 Nby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& C+ e* E  F# k7 }* P! x
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

1 W( l% E# `. V, w7 Q6 l% L% [第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
7 P' S& H; Z& Y0 SShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' z7 f8 n+ W' F
; _7 W+ S* Y( ?3 e  |SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.