出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

2 E2 \; R0 x9 J: T( t$ J, Q设  a=b
4 Q6 I: n6 [5 r
( `$ M9 X. \; e8 D4 r9 y+ L则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 `8 [5 J' k* u4 q
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
( x8 v  `3 A% c8 n& }8 P1=2
% `% `# u. B" D# ]' P" _, [
$ Q1 D  }  c9 m, z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

& O" O0 G6 y9 Y  V1）不能。比如1
! i! ?6 M$ k/ Z" `, n2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 C7 R4 g3 T: k& k; e( ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) d! X& W' r. v0 z9 U- E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" |( p3 J$ n2 k. J  }3 a& Q0 N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 ^$ R1 q* \) i1 P# D- h( c% o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ p6 t" u& q* g& z0 n/ a; g* c

" }, ?- V8 }  p! M. c为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
' K; x5 ~, p3 R$ K! g8 {Basis:   (n=2)
2 L3 S  }& G3 j3 V; ?2 g         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 u- {( ^2 L- E" ?: z& n( u
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
1 e; @+ V/ I1 M6 h1 ?2 v                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 ~" Z0 |) `! g% @+ D' t% M
. y( K2 z8 Z3 }* n+ C6 w5 UNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 A, X# B( v' q% B9 v! S( T' wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" ]  M' c! s0 G% W; H$ V                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  P( K3 z& Y; o5 l3 z4 ~3 Dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( {, `( Y2 w7 m; J0 YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  ?% @9 C1 @4 C$ T7 i; {8 u                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; \: R# t- [7 _" F. j: Q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

9 a! P" P- l. w; d; p$ {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; i( ?7 z1 q( F0 M8 O$ `+ r
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 c7 c- s) `4 P1 d, w$ N, XShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  V' c  t0 f7 ]# G( D
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.