出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
- _3 W1 r& B1 K* S& n
设  a=b
/ x; C# I: a8 {4 d2 J
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* M" O  c2 \, H% a& j两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

, I& j. b: W9 e7 b# ]# @a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

" y2 r% w! E& }; D1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* _* n4 t1 c! n; N+ B' d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ ^: [3 O' n( a( V- w看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 K: ]% N0 M* h* \. p1 C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; ]8 z: |! v. I0 @  b8 H/ c) N

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
6 C( Y7 H/ C2 ~2 t
Proof:
) y+ W$ n9 R! e5 SLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 ?% r2 [: |6 E6 H# @                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ \* K; p2 c: u; {5 uby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ M. ~: g! ~& w2 n3 `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ k2 [. G3 Z$ _% M) K9 I  h3 h( r
3 X! L) ]+ w1 U3 W7 [& N[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% M2 A( X( ]5 P. |: w; @. q
/ \4 ?/ T  _& H# [第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 q: Q1 ~* z" D2 aShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 r: b7 ^9 b9 a
/ n4 F' ]2 I( @' E& ]5 y. s, h4 O% cSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.