出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

& J4 N; y* J8 W1 A1 X6 o设  a=b
/ t+ Y- a+ Y+ z: n6 U
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 L9 W. f. g. I两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
* ]( b8 H/ y1 S+ |1 J! la=2a
& c$ y+ w: Z8 u1 _& T) ~1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ {4 U( [, J2 u9 F5 S( z0 T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 D( D8 _& @6 k+ {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) M6 I7 ?$ I; `! C+ ?2 j/ q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 L' g" A$ T% ~  o

! ?" M. f# x7 R8 x7 h% G为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

& j5 w3 b* a. Z7 PProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
& r; z8 K  H2 P) b& F$ N9 c; v         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 i( Z, P& f, A# G' T
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 x" `/ q( W0 |6 y                                     K^3 – K can by divided by 3.
" a" e& x7 x: ~3 V: P
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 ]0 e. e8 g$ K5 \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" b/ m4 K' ^+ t" F1 b/ M                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ G* M; X+ j$ e( A" m                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 w" d5 W- e0 _# ^2 M: rSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! B" X/ {" P) p2 a) j                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 R7 U# C- O7 Z4 Z9 r* i5 H" }! m
9 {1 p7 @3 G( P2 w! H. u, jConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

7 D- u4 f( n( K5 S  q) t5 `[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* {: Q' w1 ~7 C1 H; U$ j) Z7 R7 iShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.