出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, r3 y: a8 V; `3 m" s
$ W; \8 ]3 B/ J) C2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

, h+ j9 C4 @% P' \  L! R6 K, S则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 G) S8 X0 V1 ?两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

1 u& ?. t# c- O- ]) k9 j% p) ha(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
- ^. j4 w! L4 K% n2 Da=2a
$ g. s9 h# J0 j8 ]7 ~1=2

% v. p# I) l* d% H; q4 b& P证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ p& F& L  B' `
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, z; q- @0 L" Y& F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 m- u, p( z; K$ U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 |* `: P9 ^' ~' f! ^+ `  G% O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: f4 N& m2 j( {3 H

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 T4 d* a$ U) R- }
! b3 g4 s) ^8 JProof:
5 q' m7 Y! E) Y4 {# n1 |2 HLet n >1 be an integer
9 G/ k  n+ ~# [9 u$ Z' K6 b/ eBasis:   (n=2)
1 Q" |2 z9 l% x. f+ {+ t9 g         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 t+ W! I/ I0 B& U" j9 Z$ }" q/ N
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 d. Q" W" B& M1 H& f- f+ _
6 \3 g2 v6 T$ YNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) `2 v; I7 V* Y2 HThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' C$ `4 k$ ?" U& e# r                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- Y$ Y' `0 I* Q0 {0 Z0 z. U; {                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: }4 z4 w$ n7 g: d9 q+ }5 ^by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 X/ P: ]+ I8 @/ m) RSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( {: s" j% B" I1 R                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  T# C) d$ \$ |8 z
$ Q$ G  A- i- s7 rConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

$ D; V: s3 j- Q4 L+ q# _) @[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% ]- {, L. _! C, B0 c* @4 n7 V
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, m: Q) Y9 C3 P& q9 o$ F3 _Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& \9 H- G$ C$ x$ d. ]7 |4 F0 E9 l
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.