出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

: c2 O0 Y( D; ?3 {2。下边证明有没有毛病？
; R, s; _/ E- B* |
1 o* m5 y+ C$ u% q3 R# e2 c& X设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
: X# c$ t/ Y6 @3 x
: e2 \8 L# J5 Z9 }2 |# Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

; e+ E1 S; @( E( @2 k8 \9 Q! L1 [% V证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ J. f3 C" L* ~+ @, L8 }1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ j5 ]: S" t3 z- ]! E  \

* k0 Q  p  @9 C2 x- t为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

. x& p- ]" I, D7 m3 J/ sProof:
' e- f! c6 A: O! ~( t8 L, C6 N* Z# lLet n >1 be an integer
/ N4 m% Y2 h* r: N* A  I3 B& sBasis:   (n=2)
3 G6 c+ y9 ^' z' }1 ?, e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 S; u# W7 j0 P2 H4 @7 x0 Q
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
% d/ T7 r+ ^# @: B+ o, D! w. _
$ t2 q9 O, B7 i' ]$ ]2 i' B6 |6 vNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& b/ F$ u* l) k3 `2 @" ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 y8 l+ z' E) D2 T! h                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' x3 S% r4 [7 `; s9 ~. @% |' D$ {& k; hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: `' q) n# Y: g5 {' l3 a+ QSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

$ e7 D. i# x/ U) b# OConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 i- o9 N/ U1 g
* @# X8 s) V$ G[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 u* f1 K1 x4 j* b" ?* z
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( g) r; R7 ~* \' @
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.