出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
$ |: x: X/ H. t9 B3 @) H! l2 ^' i0 M; }
2。下边证明有没有毛病？
. `# i3 O* o' k' y( T# ?+ ~+ j
3 M* Z5 r) ~9 Z7 C2 J设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

8 W. E2 Q% d/ ?/ V* @$ f- Da(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
, Q+ a. M; i/ k$ c. {
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 b1 L5 p! [/ o: V# b/ q
! z  c* {! b' q( w2 r) A! h2 ~7 [1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( k, w7 ?" `1 c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 c. D: s, F( s7 _  q# @) u8 u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

; t/ V8 D! c4 @) \2 j为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# N) E$ [3 A" x; O" iProof:
Let n >1 be an integer
) L: W7 q0 U, h( Z9 x  N! BBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 T) i5 h  k  h8 ~& ]& N; i* @
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! k; X! U" S4 u$ ]since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 m; S/ ^' ~3 P- k: j8 i! z# ^                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 {9 ?# z8 i3 z5 V1 e                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, a! d5 L7 D) x& Zby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* _% ]- C& U# [! V. g$ zSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 z. D" {5 L5 u) [                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 |: H5 E# [/ {+ O4 Z
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 B2 f6 [' a& T0 s
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

8 H6 B1 P9 F$ p; P/ g9 P5 W第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: `+ \5 h. I0 S( Z; Q$ JShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' b1 e2 n- c. A' x' v
1 H  Y+ y7 ?$ s! N  b# @& m* C- ]SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.