出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
6 s, A* W% g9 ^% s
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
& E; v5 F( L4 a/ _( e) b1 {! K; y
: c) `, J$ [* ?2 J7 `/ f& T则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( @7 N) B3 j  _7 t9 B# [* e7 k两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

% f; M1 ?+ Y* f* l' Q4 R' S/ ^a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
; \0 F# ^8 F, h7 G
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 P  [& S# E& A$ l" K% T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  Z! q. b6 y5 {3 A+ d) b4 e  S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 R2 @- X: r& s' _' D8 x7 {看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& X- V! L0 h+ [# e4 R1 y- X5 o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 m$ Y4 z. A- j2 L0 i& x& M+ \

3 k+ c: r  h& K( ]$ n为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ ], G, e+ n- U% c3 T* ~- d
, l2 K! i; S% P+ X0 D! p( GProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! B& H5 ~4 ?" a% ~/ J1 v
6 W% j) `6 l* Y% gInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ N# y+ N( P% N0 R0 F" X) D  C                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, `7 w, v/ ?& x+ q+ L1 ?since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 E1 ^7 J9 j: l8 W/ b( w( aThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* }: p- _3 \) m; f, ~- S$ wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- A. U: }, X' M# P0 J; f, f+ J                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' \! G, N6 j# x& |8 c% m0 P8 HShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* W# V1 K: V6 s3 E+ r
9 [+ O5 Z) m/ L6 d/ _7 P. @SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.