出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

# v2 N$ M. ?# l) G+ F5 R. M# l2。下边证明有没有毛病？
; T  q- u0 {. V" S+ b
, Y0 C# X9 {1 E, ]' ?. |设  a=b
: p5 ^7 e" \' O, W0 j
# X! @+ A* h0 ]% }4 x* N0 m# K则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
3 b- ~4 B. J, T% K; U# n3 P4 I9 y1 a& La=2a
6 A0 |& ~* L; ^1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. D* M9 [* [& K$ Y
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 C1 w# U6 H$ ], ~" l7 ]4 B1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 ~6 g0 B# k7 O& ?* R. p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! N1 M4 m( b! K* ?" I' u看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. ?" C4 c* i( n( H' x2 z% y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

1 g8 D5 U8 s2 Z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% W' y# S( C$ L1 M) E' S
4 S. n1 D4 @, F# U/ MProof:
) }! o( b8 }0 n. i4 L8 d# K/ sLet n >1 be an integer
3 [# {7 S- I1 P$ F8 B. fBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" c  f9 O9 m! O6 j; M. K                                     K^3 – K can by divided by 3.
- T' J: S( G  a, x4 X
' e( e  G: V, _/ [# M* h) BNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& f* R- ^( l  Hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 i6 j5 V! j/ \1 C/ V" n                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 j1 g/ r- c; {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

* q0 I- N( n( C  Q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

9 J* I/ s/ X1 F& q* R4 V# I第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& }' r' M. w2 RShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 ?) K& y# F( ?. W) F$ r" WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.