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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?! n" s7 a8 i0 L) |8 s
1 p3 A9 e0 S8 p- A
2。下边证明有没有毛病?
1 R2 U' |4 J" F3 O# W
2 h. U9 ]% t7 B7 F! b$ H3 e设  a=b
! [* S$ D9 r6 P5 `
. e1 f* [* ]1 V  B则有: a*a-a*b=a*a-b*b
/ F' E1 X6 c. q: C! a两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
# n" ?9 M  s& G7 S5 P! k
* c8 ^$ l9 V/ A8 n1 ^% Q0 F8 ~a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 y. R* @; D- Q; [) \a=a+b
# }5 F6 T( |  I# m" v' _3 s6 wa=2a
1 W& K- Q& x5 _/ J1=23 P. w& ?, K5 w  E2 o

6 r1 a; D5 T# h! @; K1 |) k. w! `5 M证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
0 g! _- Y+ s- ]$ z7 q+ [: ?6 S
3 G7 I* B- J* B' S1)不能。比如19 L& K6 W! _2 v1 g' P' y9 s9 K, u6 _, H, D
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( O4 A' w" i" k8 x9 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  b: Q$ D1 u5 L9 C, Z3 A" x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: |8 w0 b) p. p, V6 i1 U' B0 a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% ?7 m& }4 q- J7 f看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" s! a- e; G+ ]7 i/ c8 q) a
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 y. ~# Q4 t+ G; A' C

, e  T: o8 x7 Z" [" S为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 A; n# L, j- U0 t4 }3 u+ h/ h$ m2 X) I0 k3 D5 n0 |/ J% V" J% O* C
Proof:   \, W5 v9 b. O6 ~. p
Let n >1 be an integer 7 g% O6 I: {6 o. }& u$ K4 M
Basis:   (n=2)! I/ T- @! C' q; H
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( `& R2 \4 {( U6 ]0 @, t: u( s) Y6 y0 ~
$ w* G* ]- i; y4 Y/ \Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 t, Y2 e6 C( `& T                                     K^3 – K can by divided by 3.
: Q8 l- s$ M- p: k: z! F. ~) |1 f5 L
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 33 Y; x5 l% A# w3 z) @
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 l' N2 i% v; u+ _2 {! M" ~Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)1 z9 F& B" `/ S% L' a
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K, \' o% p0 H& @
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)- F. l( H8 @. P; d
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& n! f: h, `6 F8 \  s' Z5 g6 \- qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0# y0 j; o8 L* S
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 k7 X+ i- V1 V& l) S                                = 3X + 3 ( K^2 + K)2 y% N) C- ^" L) W' n, R$ e0 C$ w
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3, e4 u: N9 h# s. U

3 H7 J5 h9 F" t* ^0 S: o, ^Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.5 ], j  H$ B! ~

2 _/ ]2 h8 W6 K) M. p1 H/ i[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。: c5 v1 V) @  ]) M% |
" G& n) P/ |) N: _" n/ C/ c
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 N. @5 `) ?7 p! I6 M. l; \2 LShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% ~# [  H1 _2 B/ m& e- t" Z3 E
( |8 V, a6 H# C. p% {; K5 B1 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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