出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

# C" ]' O: f1 o5 x& A- O3 i2。下边证明有没有毛病？

" M' m3 Y5 _( I2 H0 T' c) t; R设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ i) ]6 U. |' W# z8 S两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
& J/ A4 c# d0 e0 B# i! [+ [; O1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 X; i- k/ E$ h. C* C1 ]
4 K# x  p) l, x" j; u1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: W9 C2 N/ ~) f' D7 \6 n) d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 W7 H3 @5 m2 L& O+ R# S7 F, u看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ X* P- l5 L6 j2 K0 X5 O

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* ?. b4 q6 X7 ^+ }8 |
( ~+ ?: z7 R2 v" q  cProof:
7 ]4 c" m' q& D4 o+ A: ILet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, i, @3 R, Y& l  g/ |
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( G+ t) c; W8 u! G+ g+ e                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ l% z, H* ^4 g: q. J0 u' l5 fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 j7 D% ~& [1 ?5 Y1 iThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, O/ {' f" P; _' L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" R5 _- E3 [0 Q% j/ oby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 K7 ?- u; {4 c: x' zSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! O) {( U" P0 Y2 q                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ ]3 K0 x) y" u4 S6 w
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ z! o/ a5 \; Q: V
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, V& m( _7 G' r. Q7 j3 V. ]
2 M( i) B- k* x3 G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: d2 b' p2 }8 x& {& D/ I1 l$ hShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  n. [. y3 n  Q" Q. D: l0 u
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.