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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?. n, D9 K) \) S
& R$ `& b' \9 F: j
2。下边证明有没有毛病?8 p( s' B* x: _3 l& N" W" C6 w

& J4 N; y* J8 W1 A1 X6 o设  a=b
/ t+ Y- a+ Y+ z: n6 U2 e8 I* k* i: W
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
0 L9 W. f. g. I两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):  G2 y- k5 z5 X# Z% J2 z1 ^
9 F( r4 F  }* ]; v5 _
a(a-b)=(a+b)(a-b)* @. ~8 Q/ n4 d
a=a+b
* ]( b8 H/ y1 S+ |1 J! la=2a
& c$ y+ w: Z8 u1 _& T) ~1=2  B; m6 J/ ^* T5 l1 X) H
3 }& S( c: {$ y+ ]. s
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试) m8 I  u' h: n1 S' F
4 g: F" C7 r* P, ~* ~
1)不能。比如1" \$ G( A; W) s- t: R
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
/ {4 U( [, J2 u9 F5 S( z0 T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 D( D8 _& @6 k+ {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
) M6 I7 ?$ I; `! C+ ?2 j/ q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
" O8 t6 S; Q$ l. L' E& v. t
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:% e' p" n- h8 m/ r; A4 ~: E* Y. t( @' C
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 L' g" A$ T% ~  o

! ?" M. f# x7 R8 x7 h% G为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)  S" ^4 ~# y* j0 @& b0 o

& j5 w3 b* a. Z7 PProof: 2 M; O7 [* N+ G. e! ^
Let n >1 be an integer : E1 g4 T9 b/ I5 h5 N
Basis:   (n=2)
& r; z8 K  H2 P) b& F$ N9 c; v         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 i( Z, P& f, A# G' T$ J2 N& z: }+ d' |$ _1 t! b
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 x" `/ q( W0 |6 y                                     K^3 – K can by divided by 3.
" a" e& x7 x: ~3 V: P: v1 w! o( P1 K% ^3 S
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3; z, B( q# a& w
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem6 ^& a$ m  \. Z
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 ]0 e. e8 g$ K5 \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" b/ m4 K' ^+ t" F1 b/ M                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ G* M; X+ j$ e( A" m                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)# t) b, @- X. |
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 w" d5 W- e0 _# ^2 M: rSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)' i) X' Z- ]. l: A; S* d$ i: T
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! B" X/ {" P) p2 a) j                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 R7 U# C- O7 Z4 Z9 r* i5 H" }! m
9 {1 p7 @3 G( P2 w! H. u, jConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.. C/ a3 P! k5 H$ [

7 D- u4 f( n( K5 S  q) t5 `[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。1 U- A# ~5 O, g9 d2 G
, Z- x1 m" _6 u& P* b2 q
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* {: Q' w1 ~7 C1 H; U$ j) Z7 R7 iShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
- b& W  W2 B" A0 X, K& Z
) ~" x& u' C! Y
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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