出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- o' E5 n! |; c, {; L: q4 B" w% }
& r+ P7 c* ~8 u/ p! j% l2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% r- r9 F0 D, w* I0 a' a" ^# S
& a! }- f5 v& ?9 f$ V4 aa(a-b)=(a+b)(a-b)
# D6 o& {6 _7 S" Y0 ]$ }% O  h! oa=a+b
9 a3 n" e1 n2 B- d0 V$ f) Ja=2a
8 L* q# C9 \' Y# _1 Q1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

, z& _# x* p, V1）不能。比如1
* o- [3 U3 r/ J# t' e2 X2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, s, G. k' ~( B& M. V$ t2 a看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 J/ H; ^9 p! b- @" i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; `& J  L3 T! r5 C

& i0 S+ [5 B, e, @0 k/ ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 q8 v/ A* T  }# I' _
Proof:
. K; B" K2 W( R3 P0 ]$ _2 D- P& kLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
+ `8 n4 ]9 }2 }. e* P         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

6 Z( O$ l; ?1 k" h+ [/ @9 N; x. L0 [Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: U/ F' l/ x1 W5 a/ ]                                     K^3 – K can by divided by 3.
8 J$ s- K8 h1 \8 [4 {
2 f5 P" B" ~* {# i: j5 E% y* f: qNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 w( O; X& B2 H0 Z7 T/ aThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' s6 `: {. _3 k                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 P% N, m2 A7 X2 f% |# i# B* B! k; e# q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# }/ _- U; K0 Q/ \* n0 q& g                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- C: Z* k& i' h  g* j7 |. W                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: ]0 _' u8 t' I- E1 ~/ [
9 Z% M5 l3 z, j0 _$ c[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 O' v) @% T4 d6 F% z; A% V! {' A
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.