出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
/ U3 Q" B. ?) C  h( d' S$ d5 l  }
5 H# ?, X3 F! U& }: Q) g1 {& N  ^8 M2。下边证明有没有毛病？
6 E1 r* o3 i+ J/ @+ _/ w- o7 O
5 ]: E& Q5 _% z; Q1 s& O, _' ]! N" ^3 q设  a=b

1 t, N: p2 p1 y  O. o" [, r则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ m; ]3 B- S3 y1 |" x  k# j, @5 |: h两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
$ I3 R: M2 `5 |2 Q8 p, H4 }a=2a
2 ~  I- t' U0 m; d+ d1=2
# }% j2 [4 g, l" n- p
2 C6 o" \- V3 T; S证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ m6 o3 q6 Y1 u* \: v: q, v, N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% |( S* l6 w/ m6 |2 V. I9 c$ c7 q4 b

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 t5 h# }1 T" c  E9 _( m
! N; y+ B; G* C9 M" V! \Proof:
" M( t; n7 n6 @/ [5 ULet n >1 be an integer
3 N* J5 a" y+ F3 t0 X: z& h0 o) g, DBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

$ W* P5 W  c" ~% CInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ \0 Z+ [$ P1 }9 h                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' I  r; h) G$ Z, nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) C6 Z/ N9 J! w; o4 r! d3 J+ f, IThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' H! Z0 Y+ i: l  ~2 w7 h& C* q) y                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  |8 W9 U) _% V                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 e% s! G- a9 a" c! O5 a3 ESo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 \# s- Y# p$ w                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 d: A7 e5 v2 W. j! F$ U. S
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

4 c- n3 G5 c+ E: u1 i! c第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. U7 n, ]( @& B" W) ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 n$ l( n5 W5 K- Y. U6 ~5 i6 ASORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.