出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& L, E2 J6 E! p1 y2 |# X
' q& ^5 [* }$ J+ ]2。下边证明有没有毛病？
# |$ _+ ~& f. F, d
设  a=b

  g6 n$ T' G- h3 _则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) P8 L/ K9 g8 z) U! g两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 {$ I' \& Y/ D6 g' R  S
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
$ W) e( }. [1 g. h# Y1=2
3 \) ?. Y( u+ |" Z7 f. E
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 a0 Z8 V5 ~# R
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* p0 y+ w" A: n2 J, q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; m6 |4 b; F0 b看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; j4 H( v* m5 P) Z: ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  K7 d' h6 ^/ J

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 S3 x1 m9 s' c& }5 I: J
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' a8 N9 I) A; C
4 K+ D, ~8 B6 K0 E# H7 ^Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, W; q& @9 ]. @7 c) k& ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 P( s/ h2 W2 b; r' M* o                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 |& o- r% W1 d9 WConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

3 M$ M2 R* x* d# W. X) C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  ^8 G" P' E9 K: b$ \' V  ^SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.