出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 k! f! `2 d6 X
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
: Y/ x, @# P) J" ~& y, z5 [/ T  k
! {" y- j7 M3 l/ f则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- S* }% Q0 ]: q  m两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
2 H' H2 w. Z  g  V" r0 b
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
+ G" k+ p1 N. J; k. A1=2

/ W  D' P# X, @2 E) a. W证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' h/ N' K7 f: Z4 c; t3 w# t+ O5 P7 S
7 I# f# b* a+ S1 g! u1）不能。比如1
" j6 J9 z2 ]) r; U& v; r2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' G; A* J' X8 e- Q. U# ~, k2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: ]: G6 J* |- e5 o/ ?& ~

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% B- \# Y( j0 w- m7 d
% b& V, f) ]! {: b! j- S5 l1 kProof:
Let n >1 be an integer
* t/ B, [, X8 j8 |+ XBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) C& y! o" u. j                                     K^3 – K can by divided by 3.
2 _4 i2 J# h! S- C
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* x7 e$ ~% s; v9 K& R4 x                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ v- y) V1 W+ i0 U: {% o' P. tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ R$ u! J$ R$ S+ p$ _So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& x! K% i. D/ h2 _, p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 F" q2 P2 c0 N1 F
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

& P. I& C. q3 j[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 I' ?1 k. U; K  y$ z3 q
# X5 P; V6 y+ n4 L7 D; u0 z* \" E4 X第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 W. q/ ?6 g" ~+ }* {/ OShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" A& }* L" g5 k; R* Q9 i
2 L7 P, ~% r6 |. Z: N) rSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.