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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?1 o* ?; c$ B) `0 @2 S( D2 f! s

, G9 A) ~# n* [3 F- g* p2。下边证明有没有毛病?2 ?9 P5 z" U1 c* _
( G' @) q5 l- L" W1 W- p# Z
设  a=b
$ i9 ^; T) g( _* V9 l9 T: l5 t; x1 `7 H* D1 {2 n
则有: a*a-a*b=a*a-b*b; Z) Q# E/ Y3 _( V9 v# i4 |# }1 t# A& _
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
% ?- j0 U4 C# s
4 F" r* Y) o4 I& i0 {( ba(a-b)=(a+b)(a-b)7 O+ R$ E* q" d
a=a+b# F4 w) f% l. S3 o: N) v( J
a=2a
7 G+ z$ t' Q* f: O8 ^! o) ^3 k1=25 j9 Z0 m+ \. P0 N5 M- V/ K

% g! v4 w4 }* z/ o# j4 z/ N; n: Z证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试5 d. u& H* p) ]; A6 a

$ t" O3 x" v" U  K4 h1)不能。比如1
: N. d) s2 p# Z5 J2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! K% i1 C0 v- u) [+ P6 H# `7 H9 }
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 e) Z. {% Z! U) C3 A1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。# H6 ?5 u* k: i9 N7 b2 p
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
7 |. ^0 K# ^  @1 \2 f6 L
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:' F, J* R2 I  Y7 v7 u
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- I4 f9 X: r7 M  j& ^5 m
. |+ c1 y& ?8 e8 g
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)$ K' P# N8 g* e( P# Y- v" G
" D% W/ s) w; O! v
Proof: / T1 t) [& _8 ?3 \3 j6 U
Let n >1 be an integer
: V3 W$ Z* v& k5 y9 sBasis:   (n=2)
! g( J9 i3 V3 \         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( P6 k! u, Q. Q* q* \  X$ F8 Q+ d5 l" n; ]1 f9 L; _4 G$ q4 }
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that' |: r7 Y& u+ C' C5 N
                                     K^3 – K can by divided by 3.7 n8 j( L7 o7 j+ m

* n% ]# V5 h- MNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 V- x8 ^/ k* X) _( I; U9 Isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- N+ A* q9 V9 S- f  ~8 NThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 b- s: E% q* {                                     = K^3 + 3K^2 + 2K+ s- ^5 H' s2 B8 c) b( T; [. p7 X
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K): V* G4 R' q. `- f/ _* M6 O
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)# P  J4 {% _$ X
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; {! k; D6 a9 _* PSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 h8 K2 L; s' _/ M% ?: |( g                                = 3X + 3 ( K^2 + K), _& V1 `5 f2 G0 Z
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 33 ]3 a+ }3 _7 H: F9 t2 S
  G0 _! g( i/ A7 t7 A# ^- F
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.5 j  B+ T  L0 a

# F) s2 F8 K( w8 [/ z3 h4 i[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。+ n1 W! m3 ?, J/ _
/ A# A2 E) u) s0 f$ |! F
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: t4 D  j$ U! L- p1 w- p. r0 |) iShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 r! a4 d  t2 p9 h2 M% ^0 [8 d& a
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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