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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?, `" F# Z* Y# A" f7 r, g& I% Y

8 R# m+ m- `1 n- I3 g& Z2。下边证明有没有毛病?+ V8 i$ W- N4 f. _& E) V
9 C( G% }4 n" V# }
设  a=b2 n. `& v1 @) j) t! K

6 V/ Y) G$ C! W. Q; H& _则有: a*a-a*b=a*a-b*b
* X' z$ ]0 Y' e两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):9 _1 @$ C; E# S  k1 a

' C7 j, f& L2 \2 M! Ha(a-b)=(a+b)(a-b)5 s( [3 Q4 O. Y3 \) F
a=a+b
( @; a+ }- s) v1 v$ j! V; S3 b( Ua=2a" E  Y6 k: C% o3 V6 e
1=21 c" Z# ~5 G; f  W

+ ?* `0 p' r. K证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
; Y: G+ J* c! g7 G
, W5 w  N6 o' N; S1)不能。比如1
: W" }' @8 M- r' E; w% K1 n2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& G: |% S( V& w( F6 K& i" o  |
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:8 U& u4 s5 F: N2 U) B
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ a6 z( d4 o* I
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ V& r  g9 z  U7 G+ I  {0 [6 K* `看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ T; G$ |; V3 N& O3 L0 F# c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 R3 G: e8 j6 o% ^/ s2 ?) Q; h( r
- k4 z, p( N' W- W
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)% p* y# K4 p/ K+ A( |0 ~, [
8 W- g/ K9 X! W7 g. i/ ^5 @
Proof: ) q; E: ], t. s, d2 ?4 O& g: q
Let n >1 be an integer
' z8 c5 Q% P- |' i% L5 @; J8 UBasis:   (n=2)
, u0 f! j4 d6 \( [) \; W1 B7 w         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& b# n0 @2 |6 e8 C# J# d) {! h
' P1 H0 D/ n' D3 v6 eInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that& m& R0 W+ O: G% L) h: |2 x7 Q
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# i6 K; s# R; u4 L
0 ^: g* f! l; H0 t6 K9 a2 QNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 30 c* G; a3 K* W- Z
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem2 p9 R' {& _  w& Y0 s% M7 E; ?
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)6 Q5 B' g+ r9 j& m
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% y! Q$ ^4 P& \- ~' N( m7 \  Q1 S% R                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 @- Z; _$ c+ ?8 O( ?2 I7 s) n                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)$ [/ n$ L' c( |- N# X$ H
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>02 Q$ l% G/ D$ N
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ `8 c9 c: E, s; ?* R- n                                = 3X + 3 ( K^2 + K)( {+ `# ^9 N  P9 Q6 ~
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: d2 T1 ]4 C* f' Q# \
/ {- S/ o% b- Q8 GConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.8 |1 P) N+ |1 W2 P& r
7 v$ p% l- l/ ?1 W# U
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。+ r$ X: K3 n/ V3 m  p7 V
2 [& G( d, Q( ^& |" k0 P% L5 R$ j
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 z5 ?/ @0 Q2 \) A2 dShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
& Z- V/ W( |5 E) f7 c* ?6 t1 [9 X

( w& F. g) S: \6 R+ I( ^6 P/ S( }SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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