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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
' i& F) f- V+ |4 m) A9 [+ E: K
0 l$ j% N! c( g8 t2。下边证明有没有毛病?
9 O% ~7 t$ [( H5 K/ G! Z$ v' _3 r  H% K" f3 o! r8 t: c
设  a=b# d: A; ?" D9 n7 G# J5 d
- `/ y+ R9 s# T' n
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
  S1 M4 r6 K/ h/ e' R5 v两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
- K8 W. V6 n/ f+ X, d! q# j( j8 h/ Q0 |5 T$ G" c  J; x8 Z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 @% R% ^0 X- va=a+b8 U& I  V" w3 T1 @: ]+ r
a=2a
2 R9 X: y! s+ c* _: {4 z1=2
$ B6 _7 y9 V$ Z
4 z& {; k% t( F1 H. j7 e7 G证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
4 ^' _0 @* Q: A# T; _# b
) c4 [( B# c, S1 Z7 S; A6 n# g1)不能。比如1% ]7 q  A4 o2 _* r
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 _0 k- s" r( p, c* ]  A2 E8 V& x
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( S9 U; S% }) A+ ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% J9 ^* L  C# Q
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 x, W8 A* x7 z0 t7 d2 a8 s9 i看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 j* y6 H/ ^: K; {: K3 b* T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
$ Y8 p+ E2 E7 a. ~

. i# v9 j; ~8 J! V& B为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n); s. A7 z$ F' i9 }$ }) G! N' X
" x4 x2 e7 t, @% l9 R' Q' t: Y
Proof: 8 W7 H) |+ z, L8 s4 Q0 O
Let n >1 be an integer 6 R4 l0 A5 p- \. ^
Basis:   (n=2)4 J1 z: Q5 l$ ]# t. Q
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3! n0 D9 M( S/ B# I! u+ V3 D" P
: I9 n. u) [$ ~! Z, ]% J9 D' x
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that8 ^, U, i2 M3 g) I" D
                                     K^3 – K can by divided by 3.; `3 C; e; E" a1 u/ {. C

1 @. n( J8 l( W# eNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 j& _) O  o% ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem3 k% h& r- r. I% r8 T4 I
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)3 K" O* j) {3 q
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K7 E# ]3 {% j, Q, C9 k2 y
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)  o7 W) c9 W. O( d5 {/ b3 P
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K); @: K" P5 s& k+ [1 {/ ^
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0* k. S7 t* K( n& q6 h0 h) r
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 v. L2 e* r& A( z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
' ?' Y' ^0 f) ]4 Z+ u& F                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
( [  }  `# T8 f1 O  k- H1 r
" z$ f! V( ~6 A$ T' j3 ~. rConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.- i6 |1 `% g+ d9 }6 a/ C9 m3 t4 T9 ~) ?. T
  @+ k4 r! O8 G, ~- v4 q$ v
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。# f* d2 u; c5 s3 W; X
. E' S1 v( ~* p$ A
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:) k/ b# G. Q" n0 U
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 @5 ^. k! H4 F% I: e* D/ A8 I+ `& a3 w, G0 l7 B$ |+ I& [0 W
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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