出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

5 z( @4 ^$ e/ \/ t- L5 |5 Y2。下边证明有没有毛病？

$ j7 A0 m! X% A/ p设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 l/ f2 `7 R& g6 b. C# D; X% t
a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ r4 @6 v1 x  v) sa=a+b
a=2a
3 _9 Z: J; M# q+ C( @1=2
" T3 n7 u& B) x- B4 G1 j
: Q9 H0 v- _9 h" X: s证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ o% p2 f  u3 M$ a) T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 j8 j1 d9 D. w! R, Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ y! `: {4 N, D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

( p& ]) B% B; eProof:
Let n >1 be an integer
" D  ?0 ^5 B+ Z6 R% m9 VBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" M) Q* x' g9 H* J4 R# P
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

% T( ]9 w, H* u' eNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 A6 R  K: N3 u' z# l+ S                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! m% A: R2 U+ R- \2 y' x9 m& T                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, v9 n2 Y4 h# v+ v3 ~! Qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( y2 I# X! t  W8 Z5 L+ mSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ c! g4 r; z- R                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" d( w5 K, ?$ Z3 {# E7 w
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ k  w  D. {7 I% |
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# W+ B- v9 L6 r4 e+ v% AShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 C/ |: r1 l$ Y/ o8 g. ~
0 v9 O8 }2 c+ I. K& Y- z( T7 Z. hSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.