出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 b# d# @) \# ?2 _  w" S: o4 S% t
6 P  s4 f+ d/ G- z6 J. o2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

* C: a, M' y! D$ X* R' j) ?则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

8 Y& m0 d. C7 {& I2 oa(a-b)=(a+b)(a-b)
) M9 `; U5 K4 T7 J9 m0 A$ F! ya=a+b
3 H8 {; _5 B% a& W7 p" K6 m/ Ta=2a
7 Q$ p: ?; f6 M/ F1=2
% \$ v2 a2 O. ~; D
0 d( [0 p4 f* x证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 v3 k! P- Y9 P9 x! z. k% `
* H8 L0 U6 o& |+ g5 N. H, i- Y1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. |- d' s0 W, k8 q/ I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 R5 n/ J4 F0 @6 M" ]看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

9 d# d! y% C5 _+ k" T6 P) G为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
) V  H+ J, D5 y
Proof:
) ]5 @4 {3 V4 y' S  @! VLet n >1 be an integer
- ]3 a* C) W$ A  C4 uBasis:   (n=2)
" Y- Y; E- k5 d7 c% v         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 n% F, ], I! _& m9 V                                     K^3 – K can by divided by 3.
) T; I. C! M% A0 l
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 F6 G. y1 l) {6 usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 }3 }  ]$ E$ V7 I- [3 O1 Q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! A0 y6 L! }- [: ]                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 i4 C5 A: o: z: h
/ y* f* u% f/ w' E3 D* t1 s" dConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

  s) X: s' `: s4 e' Z2 c[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

( B0 i) e* f# W% O2 w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 `5 v* x, ^7 U' m6 `SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.