出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" P' a9 J/ [4 W# W& k/ B( s$ k! e
. C$ N, Y- _, V5 `2。下边证明有没有毛病？

* p" r# S+ d% d% z0 \7 d+ m( n设  a=b

8 m1 u: G0 T" ]  u: V4 {则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 U. p2 j4 ^  T' f5 h0 S
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
) L: S% o$ J9 u- h, [- [# fa=2a
2 k' B' w- V! i& l4 o2 o1=2
  e* D! H1 a" {" M% L+ k3 J( R
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# y) R4 d2 K7 x  c; C; [2 Q! v
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  K. D$ M4 M! l( L( ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 r0 ^# _9 j) ?! {3 u3 a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 Z8 [8 K8 D5 U$ n# K+ F' k
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# C6 ]# a. Q4 c4 v
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, w( n# s" \+ x7 Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& X7 w; n: `: `, ?Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 p$ m  z, L7 H  T8 D8 B/ |4 R$ ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ X7 C' g" i, l$ H9 n" n& ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. V0 |; |. w1 g2 C) i. N6 I; X! Y$ `
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, E' R/ s  I. ?( e. |( N. f
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% y+ c$ [7 U7 F+ A
5 O6 q2 ]4 ~. ^9 e2 \第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' j2 C+ V. l* T- SShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.