出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
$ }( i3 a$ Q3 L
设  a=b
2 [% m! o  z1 n; ]
, q$ @4 S+ B( K8 [则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ r$ _' `- ~: K" w. ?" c两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' v2 C6 j$ O2 j# @: r+ i* M1 C
9 D5 j6 U# c: Ka(a-b)=(a+b)(a-b)
0 K7 M7 W0 \2 u. {* Oa=a+b
a=2a
/ h+ d% W  c0 k/ V/ Z% ^$ I# b1=2
( @( W: f8 I. O* |- g% [
& Q% G0 L! {; n2 m5 d) C证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ \5 z6 E. I! b
1）不能。比如1
% e3 H' K% s/ S2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( j" l& S4 h* V2 M3 N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 ?. C9 P$ Z$ G% `, v% R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 D; A3 b- K+ g# K看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" ^4 q: o+ z5 E) b; O6 w

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- ]' R. k: D+ V3 \
Proof:
. j/ @, z7 f$ K9 CLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! g: M: h) |4 {
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

, i0 |/ G' K. p' O( j  LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, v% @" @% l& L/ \; F% W# `/ @Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# d$ y, a. ^. s# j7 Q; U- }                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ t  Y2 w3 F( {5 r/ d                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) B6 A& f9 @0 B8 j
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 y5 ]0 E; l/ ^7 {4 j9 b; [7 n第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, b' G* ~% s* e5 D# k2 m4 T
9 e% Y4 O% M  r8 E" i! Z- M! JSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.