埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2583|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
# F. f* g5 @- |! Y, {& b9 U+ W
7 t) Q2 Y+ X4 _* |2。下边证明有没有毛病?
' T( {6 ]! b% x2 v% Z8 g0 D, }( Y  p: V) W- D
设  a=b4 v8 j3 m. Q7 Z9 @# F

" }: e( ^; e# G$ s! M& ^: K则有: a*a-a*b=a*a-b*b. U  z; ^) X9 A& k$ n
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
1 y' n$ O7 N' R+ ?( ~; T$ S) \( s7 ?3 P6 X& K/ Y
a(a-b)=(a+b)(a-b)
2 J% I& M8 y) ba=a+b
+ J+ l. o4 o8 M" Ta=2a
; U) L. E- q4 o% \* ?- S! K1=2
/ Y2 I, Q, |9 m. b5 @
7 A1 B2 T- I  d" i/ w" l证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
9 k4 {* s+ `6 ~! Z, ]! Y. k& g) [" s- S$ F: B6 A+ E; b( a8 B: M
1)不能。比如1! g* c# K/ r% _% V
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' I; a; e, U: `* t* k
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, s& _- U8 ?& d5 u  Z$ G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ \! Y2 Y1 o) l2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
3 s* ?3 G. g8 c$ z( m
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! Q7 X8 p3 Q+ G& |' u2 m1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" M( e+ z; ^7 _  l% A& c5 ~0 h  k

) E- b4 ~1 x- m' H! ^+ R4 }4 N' y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)' X2 A" l6 @8 q& _0 |7 W5 P

% ^7 X2 x( w9 R2 GProof: $ c7 V) H5 q' v$ ?3 S
Let n >1 be an integer   k7 H5 d8 Y* x5 z; ?1 a3 C
Basis:   (n=2)
, Q5 g# y, h9 k* ^/ b% s7 E: b' W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' U3 `5 C$ S' d. W2 P  d7 `, Y( `+ |$ r  |
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that( O7 ~& ]% K. s
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; S) R4 O5 U* w, J
" U- `4 u4 h% [0 t# o' F$ oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3, l- _0 M8 i; V0 o6 l( X& @
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem9 T' D$ }9 T, c/ c; f  Z
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 ]; f* \) n3 ], e                                     = K^3 + 3K^2 + 2K7 u5 t% r2 l) [) _: u+ P3 `/ E
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)3 |; U3 |1 K9 G8 E7 b5 S6 n" N3 p
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 `+ h4 p2 R# f5 ~' K" L6 n
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0- y  L( }/ z; l" q0 t) Y
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ b( n# v1 [  e! ?) J# J
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; `$ K1 U! h8 J                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3; Q  }! y' o1 l/ S; F: `

3 u5 k( I9 s( ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ I) k- l- I; k& O2 A8 o
9 x2 R8 P. o% m2 f! R8 K& h[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% b6 t9 `2 D+ }
# j- q  R* H  A" D5 K& L第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:- z  F. k( c# ?( ^/ E
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
7 [' k' S4 e2 y* _- }, D
" F+ |  `! m: E+ I+ r0 ?, S/ k
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-5-2 15:04 , Processed in 0.209682 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表