出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% t+ B' A+ z: X" G两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* C/ f  `# e, |* |7 J2 |) u2 h3 ~7 [
3 K  K% g+ O% i' Q8 ^a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
0 u9 T  L, v4 X" _0 f; ta=2a
1=2

7 S) Q/ V$ b8 k7 G证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

5 a! L' U( |- B$ G' V1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ E! R5 `% v0 ~$ V1 c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 L" w5 c' F1 J) ]9 E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% H7 }7 A& e1 f看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, p. n' `' X' W- ?' X3 D' R; S7 y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

4 c4 c! x* K+ S为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  H' b1 f4 Z  ~: c2 ?
Proof:
* `5 U  [. h  _! m; R; Y2 d+ ULet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 e. H% _6 I3 a0 i, \         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# N- [' k1 C6 E% @
0 |( l4 ~9 e# ^Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: R) H( `1 B5 m+ l9 G$ LThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; j% Q7 s: k6 C- W. G: \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 Z* C4 j8 [0 _/ ^2 ]: p                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) t# v: G" ^5 y, V! g6 ^
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

* N4 b. r: T& Y; i; }7 W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

; J' {; K) o# e* h$ A; Q% c+ u第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 S8 K) O3 F7 R3 z
7 g0 X  L, o6 pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.