出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, n' R5 j9 R4 e: j
* d, p4 F8 h7 i, x+ r% `) k' |2。下边证明有没有毛病？
! R7 z# i, s  d1 ?! S
# p. X% W# D7 ^设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ \7 T# G: _* ?  ^a(a-b)=(a+b)(a-b)
7 f9 w  F+ l' w6 _% _a=a+b
a=2a
) J4 q# e; j' K+ a" z4 b8 C) u1=2
) D0 B# u1 O2 I
% }0 [7 y# b8 S0 K证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 H9 I# I6 V  H8 d9 I) Q
1 |( p* G1 R5 f! P1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# E" s. c- \* i& N5 ]9 ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- A! a4 C* R* `7 F1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; I+ j1 W8 P5 C( l

8 V2 K9 ?/ @  J$ m; p9 D为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

9 o: P: X7 C, m! V1 _( RProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
( O" ?! F0 C# ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" ]7 |; G  R3 u/ ]1 |% o' z
1 ~8 d) ?% E0 j6 H) }/ ~+ F7 ~Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  [+ n& g5 w$ w+ ]                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! c: R* y' A' Q1 nThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, j* Z4 f1 g8 C8 g1 ]: y, w2 v2 a( {                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) ]% J$ g7 Y5 L5 l  i4 J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* i5 s* ]) Q; u; l& R& ^6 S3 hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 }  _; X% z/ |6 d                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

! A8 w. Y. w3 h- PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

) h; B2 u4 i$ l2 N第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.