出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 a8 u* _( C2 s! @" ^( P
* q  ], R2 a, e4 M2。下边证明有没有毛病？
  F6 a& D; i& `: \/ \3 g
! C" o& |' d6 x$ J设  a=b
' z1 }5 [6 `$ F  z# k2 K. d; p
% M* L# x4 J! K) R- U8 Z( J, y0 z7 ^则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

7 g6 U: A$ Q: ?/ S9 R0 V9 {$ Ka(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
+ k7 h1 ~! U# k  l2 \# G- m, Za=2a
' ^) O7 ^0 I9 v9 _1=2

. [, g2 G9 [/ p' z0 j1 ?证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' J0 }$ |5 f' L# h
% F% \9 F! _6 N1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- D; O$ O/ P  E6 w! a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( F8 M1 E' C, o5 C8 ]看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% j6 \- }! p- |4 n* Z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  n- V& M4 O3 f' c/ v) |9 X

* m# k) R0 W# ?! w: C5 U2 u为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

5 a8 t5 {4 q6 J2 ^' z6 N% W) T6 a. OProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
) r- A+ I8 ?; @; g6 n2 e9 @, d( a         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" d  z% C7 [; P) f' \$ I% H
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
( W) Y, e2 D* e9 h7 l9 W9 D4 o! z8 {9 }  j
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 s  F; y8 m7 Csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! M3 Y9 J  ?7 \/ |( B- ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  v% z/ ]1 B$ |. \% N3 o5 k                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& Z$ F7 t; M/ d9 T- R. L4 |                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ `# d6 d- o/ p! X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 r8 _' ~; S! j8 [2 f1 E# A
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

4 B9 Z+ f! j+ z7 G. P: T第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.