出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
; S# C1 k* I! G# A7 I- Y0 y$ |
6 [5 I7 z2 W: N设  a=b
* N% f. J7 r7 O+ n4 J
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( n8 Q5 a, _' D, t两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
' ?- h; C* i0 g9 G+ U: {a=2a
! I2 U- A" Z' I" A" e8 a1=2
. s" q' s' u* {! {# S2 t7 \9 D
4 G: [; ]+ |7 x证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
# [. I9 T5 e6 r6 {: ~3 k5 o9 D2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 a3 s" `$ o- L! v" d! a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) b% A& t, F; g1 V8 e0 {  a看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

$ m& P+ k2 b/ T' M9 u为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 M, A( t. P( z- t: {
Proof:
Let n >1 be an integer
* d; L5 J& l" i0 |- a1 ^. {Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: p' z2 ]6 I6 Q: k
. V) m4 k0 B8 l# \" e) RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 x* d* y9 B5 l' \% g8 asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( o4 P. d; o8 I2 C& B# c/ d% X% |0 J' P                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 |, z( I! S0 i                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 \( w4 k# L. o. ~! x* O5 N" N) _. T) q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" m- C$ G7 N. V! G+ [( w  V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 M+ Q) E2 z# F7 L9 x+ gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 y) f! ~; r* T+ T
# n/ r$ G1 G9 w  ?[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

, h3 Q, W2 n3 r" c第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 b( o5 C. W% n. Z  B& P6 QShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. d! V& ~% G  c$ x$ x
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.