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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?4 r2 V; a0 s" E3 b. \- D$ r) C
1 w5 w8 z4 {- H  |& W& p
2。下边证明有没有毛病?+ V3 `" |: Q4 x! P# W

3 W( B2 R; d9 g0 H- U" t. p设  a=b/ M# u6 p7 v+ }. a

& u) h7 E) S# @0 I/ x+ p( d: d% ^则有: a*a-a*b=a*a-b*b# S& _) h9 d3 ^
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
' q2 ]5 e0 X" ?, O
/ u$ a5 C8 J) W- \" Z* k, `a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 p; I5 n) G4 Z7 g& g# S! Ra=a+b
' {! ], W/ y* Za=2a
" C; V5 b4 }4 C2 n0 H1=24 `, F. d3 T& Q  L3 `/ N
. @* ?! L. x) L" P9 ?1 L/ M- p
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
9 W( e/ k# p2 g& X& \1 h
% m7 C5 [8 Z, l% l+ Y. R1)不能。比如10 n& V. F; K5 m: l
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" ?, B. J4 w: k1 _! B& l# o( @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 Z- ]9 G2 I3 R$ ]- h. o
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% R! a( ]6 E6 t) A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
( k% ]: j0 m/ b1 N
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, i, b# r; {1 K* X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% F& |8 b7 h5 P+ b0 @. L

( B) h8 p5 e# a7 Z* |6 {& |  H; k为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% e# g* m3 u+ x% O3 [, N( B  i  l' {3 _; [+ w+ ~' G
Proof:
8 e. N9 q" Y% Y1 ^. c' ELet n >1 be an integer
/ s: p' ~9 C- c5 vBasis:   (n=2)
2 A$ A* ^' ?  n0 N) A. q' V$ S         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 A. X9 \) `0 H. c
- S$ s# d4 i4 L  h5 Y* K$ hInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 ?- q$ Z3 ~" t8 P) \" O& P/ [0 W                                     K^3 – K can by divided by 3.$ b# i. @/ o- [9 W/ l% f
0 o0 K% F2 K3 @% P3 Q( q7 n, @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3# c. |. y; y1 K
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem2 b! R3 a; H! a
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)8 f+ w/ T6 e% Q/ k6 _# J- V# ~+ ?
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ D) C7 E! T8 F6 i5 v                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)" @6 W6 z/ o  B3 k  v% B
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( J6 J8 k' `7 P$ E+ g4 eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0! l# B3 P& C' C
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K), c) A' v& Y! B  W$ B8 z
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)2 g/ B: U0 s, }) J" a* d
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 39 I1 t- H  U) m( h4 h
, \) V7 B: w4 r( ?* H
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 X% e1 P( g% F, S! _; [! B6 r" h. y2 x$ V; y( D" w
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。  E- @5 n, g  C" O4 z6 O7 z: G6 P

& z# X" c3 Z$ ~' r第二题应该很简单
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:9 d; f, ]  B9 `( H0 ]8 k4 z/ g
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
6 s1 y8 T& Q  O8 o8 R- q# ?
( Y: O( y' X' P- {/ m
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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