出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

  C' x( ]  K# o; W. S& z6 d设  a=b
/ I, y' N, p" d0 @. e. q4 M# C
8 a# S; C- g9 L! r) @: q2 C3 F则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. j. }! N7 L6 H5 v6 R/ Z. e* b两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# {* M% C0 e% E. L: L
6 p, b  T3 e/ r8 m" `" m2 a2 Wa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
5 j) o. n* ?6 O+ y8 d- u! u+ ^a=2a
1=2

; [3 g5 m7 _+ U( m( W: B) R证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
# p0 |0 I- t# F# _" P% R+ m" r! [2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* V4 I$ _7 c1 f' g+ B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: ?+ s4 f# S7 p5 d5 C5 E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 r& K8 h+ R; h: g看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& X4 Y, h1 J, S" @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

4 T( ]2 n0 y$ h为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- b: p5 J+ _7 {  `  z/ d. C
$ G+ S0 r. R% Y1 n+ Y$ p' T+ O! ^Proof:
" Z$ s& l0 s4 Z8 S0 ^% WLet n >1 be an integer
; T4 \7 F) s6 s7 t: {Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ v7 I6 `3 \: D. u) N
- }! r& O& N( F2 k6 xInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
" e$ [* A( a8 r
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: [5 m4 }5 n( m  v5 A0 E8 I& J- gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  D2 {" N+ i# ]) V2 oThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. E: ?- a" j5 j- u) Q! j" K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 p# Z. t5 q- B/ M( }                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 |1 b. U/ Y% [& [0 y, a+ T/ {                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 C$ F) C; ~# V, v, U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

* K) G% Q) M# P" _; W( ~第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 @. A8 C  ?, _. v5 C9 `- u
$ B1 D! b6 l1 T, O2 f" L8 m9 oSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.