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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
" z" I* ^, m- v) v2 \$ X2 u$ z7 p2 q6 M4 d! d: J5 v
2。下边证明有没有毛病?
6 l0 @& I, R- V, g- [0 P1 P" _2 O5 A* R# W: w( O$ M" k
设  a=b
8 W6 ^" x  i8 X
* L& D0 ]; h2 W: a则有: a*a-a*b=a*a-b*b& R7 }5 ^8 i5 [7 b0 e6 y
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):5 j. a" J& T- s% d7 ^
5 R+ s; n( x; U* V6 x6 H" I. ?. N" Q
a(a-b)=(a+b)(a-b)7 x: H( w. u2 g' Q8 n2 w; @" @
a=a+b+ F: {  f. U) `! h* E. z. A  }4 Z
a=2a
# y- N- \+ X/ y7 b/ U1=2
1 L3 q, a* u9 Z' y; ^* O! Y4 C1 o8 |0 Z
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
1 G* f6 w4 S' A
% F) X) O7 o( l/ O, u+ V8 L1)不能。比如1
* }9 k0 D. K5 l2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
$ l: B3 u) }( n) L  P- }+ a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 w6 k! S4 u) g: |1 \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。$ c) D8 F- V2 G" f2 R( J5 r
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
) K3 t7 L) V, r2 q
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:4 s! y; Z8 m$ C8 T( D  D
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( ]8 u5 I# J  {' |

. D  l0 s( N2 ?- P* _6 F8 p为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)" T" `# z$ ?. I5 C

! K  c. G8 j* I' }, M( bProof:
1 O2 x- \3 \) ~# y& eLet n >1 be an integer 7 y$ a3 G. d& k3 K2 l
Basis:   (n=2), A9 S$ d9 C9 r8 X5 C1 C
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 v! V, H& z: }5 w$ Z- M. y+ H1 X! S5 u
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that5 M8 |" e9 ~- [5 w
                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 b1 `/ R0 Y* ?: g) h( z: M( l& b: q( B) G" H% S
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 35 O3 P2 G8 |9 m0 {: Z
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, q# @' r( m, i% K  \- k0 UThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)# W1 \4 E% I" @2 A7 k
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K. @- y4 h1 D4 H1 r& V
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)/ I6 S/ b  ]+ Q  f3 n
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( O9 \# k2 a6 y! h
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>04 \0 R, v. K- O- u/ v5 h
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)" Q" Z/ W2 G- U
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)$ q8 a# X8 e$ c6 F1 G6 Q. L8 i8 [
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3+ D2 s- G, t* `' s' I" @

& e5 w9 q5 P5 g. _1 PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.5 I# M. K# J3 ~/ F* G$ ]5 A

; f) L8 _; U; ]  w2 R* D$ a/ E[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 F7 c  o4 K; z& g8 {; n
9 D7 \- l( m* Z. }9 C( n第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  ]- W4 {; b8 DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  |) }3 f, d: l& V& ~  K. b" M7 }3 w# ^5 A! \+ o5 g
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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