出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 D7 D4 z% k+ a) d* U
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
. D/ P  U" i  r. J
1 ~- K& A$ Q9 X! V: e则有： a*a-a*b=a*a-b*b
( R/ M9 u) |# }两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% u7 ~  ?) M* I. g4 x
! N) e! m, x0 i0 F9 La(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
8 V. e# v0 x, ta=2a
' `+ ]( _1 D/ f) r6 r9 K( z0 o9 c2 E1=2

; h$ E1 Q6 C- I% X! i1 {  N证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- {; m9 @8 o9 N# O- n( h9 W
1）不能。比如1
, b8 [# S8 F/ [( H2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

& [2 r) z: V' R. P2 iProof:
Let n >1 be an integer
! D% q3 D! X! R* SBasis:   (n=2)
: D2 ~; {) r, Y% m         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

0 [6 j/ t2 H( q) f1 mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: z! \. M8 O* {3 g7 a% t- a                                     K^3 – K can by divided by 3.
% r% |5 q8 y3 H7 q* f
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- w, _" s% A: X/ T% F2 f$ F                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* }7 {( G- w- j* M% }, kSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 D- T2 P" t) F/ X0 ^4 _0 ^# l                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

- C$ G+ v2 N" q8 m+ hConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 `( r/ l3 V$ @1 E0 f( V9 @
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

' u% x/ x1 `7 F$ [" ^% P7 Y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.