出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

7 I. [/ h* Q3 A+ U  {- b设  a=b
. g, `9 d7 g# ]0 `
$ F# }- a. Y4 R则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 o. f2 t( z& T6 x$ \9 _
0 P+ @4 Q8 V3 G0 ta(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- c* v+ @' s6 T* d$ k( V
1）不能。比如1
$ G. Z+ F- O! ~) B+ C2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) l. v6 w! F! O7 w6 \. U/ u. c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. V6 y, c; g  |5 ^# C看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" c( S9 D4 a. R# S& |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

. C- `; f1 G9 \- H  _. ~1 b为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ O. r$ B! ~- k+ S
' M) \6 Y  w! D, Y* CProof:
Let n >1 be an integer
# S+ i) W8 z" _Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ Z0 s; f$ c7 P4 I  ?1 n5 w) L
5 `( V  W4 _6 W$ i: ^Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) z* c! C) G/ _* c- M                                     K^3 – K can by divided by 3.

3 V: n- x  s! X; U- Y( YNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, _1 B0 R" ?' R7 `1 r5 h" S, usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" M" K: L  L' j  a' C                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& J1 J# R* T  a, s0 b4 N                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" H( Y8 h$ r- X: _. N                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ |& e  |, W. ESo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- Q. R, {0 w7 S6 i3 {                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( v& \2 C- d. U) H
$ O) \3 r$ M: w6 @[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( `5 G( E& @7 @6 i  B) B
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.