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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
; {" d/ ], W7 T* ~
6 ^/ I( {3 w/ M8 u7 I' z2。下边证明有没有毛病?& n' V, J4 a4 J% V
8 a, t7 H% C* g* b' w2 V4 a
设  a=b
# C5 n7 M- y# W* i9 t
- p$ v5 [6 [% u- h& \5 e则有: a*a-a*b=a*a-b*b' @, g+ S* ^) y/ r+ Y1 D! O
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):5 b9 t* v' E% q+ u
3 n; v6 @+ v/ E( r
a(a-b)=(a+b)(a-b): v# u: k% q1 V7 S
a=a+b
3 V; k! [% o* q' y+ _a=2a
- x7 Z6 v9 y6 h- B) `1=2& W6 w( j) m+ v6 Y/ |3 W8 S

, S( E/ F+ c; f& h& M+ L" R8 Y证毕 ,结论,1=2
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试0 a' f6 w7 G; w1 S( {, l

: E+ u7 S( }* x9 ]) @! V/ L/ W1)不能。比如1/ q1 @& T+ H7 I$ H/ w. t/ T% q
2)a,b不能是0
大型搬家
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' V2 |0 n* y  I# }9 i3 X: s+ Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:* [! d' U% B* z2 n$ M
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; [; i1 x8 ?3 P& `9 z7 J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 B) F) C$ w8 s7 p! F( X$ Q看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:  v$ u6 J% w# ]$ a6 s0 n8 p
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! j: |: E, n$ Q9 f7 d  L3 v

" Z9 }' `* q/ O; i4 ^为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: A8 P7 x- w* o: [5 _# g$ @+ x2 v  x" ], x& \# r
Proof:
1 R7 k, h3 |9 _Let n >1 be an integer
- L# r0 [7 Z  w# r$ t5 @Basis:   (n=2)
" N6 u7 W& M3 w$ N* F         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 P+ y, ?1 d& S0 ~5 I6 R, j1 A6 i6 h8 {
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that: y# d: i7 b. ?$ n# L# D
                                     K^3 – K can by divided by 3.1 T, m, a2 [: @  B: j7 ]! k
' Y! H! l- t. [% W: |
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3  z$ W" F0 ~* _/ X
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# [7 q, y# t# i7 j2 G# m4 b( b% B7 A4 ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)! I: b5 Y& k$ ~  I4 V) }$ r  b
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K, E/ Y7 l& a! w+ r& L/ o. F
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- y6 U+ d5 S' H( r5 o                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ C) e' C6 W" v# B
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0( q. l; Z6 \" b8 B  _  y. D" f8 S8 s
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ T9 K2 P4 E4 p) v6 C7 e% d
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ N: X1 h2 j" V: }                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3' x) _7 H6 E7 H' i0 A& @/ Q  {
# R* k( S1 \3 }3 U7 R3 h4 S
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  ?2 Z# J. V1 i9 E$ ^- d6 Q6 e1 z% B
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 y9 R6 t1 l, }$ t6 C8 D" Y7 H. F! x: ]' _) U8 f# A5 G
第二题应该很简单
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:4 s" h5 G" a4 h/ i6 U: p0 }/ H( _
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
) A! W% i0 \# j
0 o! {0 Z$ T9 W
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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