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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?3 V! P- t+ `# d1 X

# f3 @2 u. Q1 Y$ m# s: F# ~2。下边证明有没有毛病?
4 Q1 q2 N: @- n, V4 L3 C8 v- ~5 ^5 U; `
1 d, [; L0 I* ]* m2 y设  a=b6 }) e* }8 N% T3 w. ?# X

, p5 }2 v! M0 C; H+ U则有: a*a-a*b=a*a-b*b; {9 _) X( o1 w
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):; b& B/ @2 i# W& T/ j% Q) d1 ]3 `+ o
  K3 o6 I- }. r
a(a-b)=(a+b)(a-b)
' H# M4 ]/ r, g' H4 d7 }a=a+b8 D* X0 Y! }! A
a=2a
5 f" ~& F1 u' \! @1=2( B5 n  D2 ?/ z) r! U
$ e3 Q; b0 H9 z  B2 a$ }
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
9 A* K% F) J9 V& g/ x% Q  p
0 A" c8 [. s9 K  v9 @% r1)不能。比如11 \- \! o- Z: U+ N9 {- v1 p" s- H
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, u- {1 T9 E( B* q- k! j
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:2 x8 A1 D4 Y' M( B. ^% |5 W) |
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! t# n' K: a; d' M5 F5 m3 {' q7 j
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 h/ a2 E; T7 V4 D看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:* K; G( y& u) E
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ o* v3 p* P) V4 e
7 r; k! W$ i! h( X) V
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)" e% B/ g) ?3 ~: e  S

, R6 D! t: b) }% Q, @, M7 y- _( L& sProof:
: C. b0 Z; X) w) ~2 W* \Let n >1 be an integer / Q. W" p& H5 B& b/ [' m9 Y
Basis:   (n=2)3 m) t( N4 i; f3 ]" ]. S
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 k! P7 }! E2 {6 i9 {9 ~5 e2 D9 v6 @/ f$ b9 N, Y
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that* \$ t! B3 F& Q! g3 n" K. _( S
                                     K^3 – K can by divided by 3.& w$ [1 \& B. }8 H5 S( w; W9 d
. U* C2 @5 z8 q5 D% Q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 Q% P  ~( q9 v7 i- vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' Q1 d$ T, d: J/ J0 eThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) d9 b( C6 \8 T* @- @                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; s" |5 q" M; U  c9 C( ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
' m7 C( m" f! F) C) F7 R                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) f$ p1 R1 F& l8 yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 `: T& |# M3 y# \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 _1 X2 L' W6 j8 b) L* F                                = 3X + 3 ( K^2 + K)( a3 A+ r2 ^% ~. B. n
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 r1 u* N& n" h& c$ k! `! Q8 X1 S# E4 T
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  Q$ @9 L6 f# m5 j/ O3 \- i' m& S+ j
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。  x7 K, n8 j5 i. h( U4 g
) X5 E4 F' b% @+ v
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:6 p6 e: o8 c! ~6 @4 ]9 S  |  c
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
6 F! S6 V5 K* T* {6 e  o

# p8 X) g. a5 sSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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