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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
3 O$ j3 K- H7 Q5 E9 `9 X6 p  p$ E3 C, d' i8 D: V) j
2。下边证明有没有毛病?
8 Y% i  n: ]; f6 }$ V
5 {. O/ L; t8 u1 i8 m$ {. t" b! Y设  a=b  U- Y2 e; Q# H" s7 `# U+ D0 S

+ q5 b5 {+ c" ~% j- h则有: a*a-a*b=a*a-b*b& l# |+ ]8 V+ m/ ~9 c
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):4 P; V8 m  q1 o2 C( d- k3 Q6 ^
, k* f& F( I# b0 G( ~* }
a(a-b)=(a+b)(a-b)5 h! p5 `: N7 R6 f
a=a+b
: v2 b7 K+ P8 K7 l6 ja=2a6 O% V1 ~$ W  B3 A- \1 }+ @5 b( @
1=2
$ F% V8 @/ o% a
/ [1 w' L9 l$ w$ d) `/ Z证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
# G; o  j  o% c8 I
1 [# D1 S) T8 d! S) W1)不能。比如11 J5 w/ c9 ?" `  `4 ]1 [/ h
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% q& L% G  _7 T. B4 ~
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:+ ?$ k- x8 T2 }. C$ {
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 c3 z! }3 ?4 I) K% ?" q6 w6 W
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
. G: X$ c- Y# p, Z
看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ ]4 U8 J( L2 Y
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" L( y  h" \- l( H: k8 R

" V% X$ ?1 \( G5 f- o8 a. @6 @为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)% N+ I# \8 G. ^, U

- M3 j5 s2 s- ^: X. lProof: 0 h; \( R4 S' ~
Let n >1 be an integer
2 l( ~1 }, c6 [+ wBasis:   (n=2)1 r! T; q) Q' s" a4 b( E
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) N. o' Z) Q- _2 c. Z+ L& c
8 j* s5 q* Z4 c/ D- n+ AInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that. B# f/ a" T0 G# g
                                     K^3 – K can by divided by 3.. o0 Z( c5 X3 A: p

+ n" t3 ^& d$ JNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 30 a% u9 ~  z4 Q. [7 E7 L- W
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 f( ?0 d& j; g2 U7 u: VThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)' C2 m  v6 k+ @% l
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* H) a& j: b# j) R4 v+ h                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)+ @% Z5 h" x3 ?% A6 \
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 P: f1 C0 e  R8 U5 J! |
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ k/ A( |5 g4 V4 _4 A7 y. [So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. i# d$ n- ^! d9 G; J: @                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" T# o- V4 ]* ^+ M) H$ N                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3: B9 E! f% i1 r4 m2 k

8 l6 Z& e5 \+ B/ R  \: C( @( k1 F! zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.4 L1 T0 [6 _% }
& k; p" |' p8 {' w4 r
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 _5 t- J5 l7 @8 C& s2 G" M' Y" w: N0 `# W; b  P, Z) q( m
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:3 F8 q; m  U8 W- z9 ^& a! h4 b$ W
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
3 \2 q  h9 }) I: H
  s( z: J# e8 T. m. Y& D( O* ~
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
理袁律师事务所
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