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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
5 j( x3 d( r  Y5 J, N
( |  T5 i3 C6 s" z5 b: H7 O4 i- \- S2。下边证明有没有毛病?
) `$ O+ `5 q' ?
- N7 g5 Y: X- u7 q设  a=b" h% G0 }9 [( ?( U; K
6 _: P7 \; ?3 B5 ]  @
则有: a*a-a*b=a*a-b*b$ l7 i1 {+ y" o5 K. d+ t3 h' h0 G
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):4 Y3 u$ G5 ?/ c( Y( m- `
$ j( J! F4 \! A" p3 J$ K0 n
a(a-b)=(a+b)(a-b)
  P! s. B# u& Q& A% Wa=a+b3 T+ N, H/ z4 H) B9 A% i
a=2a
0 t- ^* x; W% b1 z3 ?1=2' U1 `3 F5 L% P/ @# W3 Z
) L) ~- }5 C7 x6 {8 j
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试4 T$ ^! X, R& {9 g' B
$ T& G; b9 u- V2 d( |* {% H
1)不能。比如18 S& N0 I9 L4 v$ D' k
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
- }( [2 h$ O3 j6 X! M6 Q7 Z6 Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:- J: ]( L7 g  }5 |, K% M4 ?0 g
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! `4 ^3 x0 O+ A+ {) @6 W% s
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ F, _& u" D/ H看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: n4 d6 U, p6 e6 V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' o# a7 Q" g" Y! _, V! x8 ]$ [. c: W" e

& N0 V- h; }0 Q; X4 G% Q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  z' R% e5 G9 T9 L/ L4 |+ t: Z2 q$ y: E6 b8 w! z* s7 n; U4 G+ D
Proof:
1 S: Y  I2 j& r/ |. ILet n >1 be an integer
, Y2 W4 {, X6 |  dBasis:   (n=2)
2 g4 e/ Z/ u5 R7 s0 ]4 h5 u         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- @* j' C9 j0 U& G5 s* x) R' o( ?0 O3 a
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  f/ G4 |) N7 Q# j; ?                                     K^3 – K can by divided by 3.
0 `( }+ \( t. Q( j/ w0 C( {
* Z9 h& ?! a6 M) _6 S# |Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) [% E2 \1 s* F% a7 @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
; `2 d2 {& z3 F6 YThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)/ p/ x1 N7 b+ F) y
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) B2 L; ~+ [9 }& X& L                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# @% B1 I1 n% H% z/ ^, x7 L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 p" r4 y7 A* J$ M2 mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0/ Y+ L) [! ]: j& j
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 i5 S- ]- _! {$ b6 t
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ Q% z: w: \, j                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3( M) ?7 _' W5 w2 Z
+ V* k2 e1 i* j5 z0 b& {2 H
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.* W) R0 |! T% z8 _& }2 Q# @
+ ?7 |* [  t6 \$ ~3 H
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。$ E( ]. v* m$ u6 G7 C& u( k" a

* i  d; T9 x8 U& I/ A第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 C9 h  B6 A: d: h  VShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 P& c3 f. n' Z/ M/ q+ X( m2 N! h+ z0 |6 U7 x
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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