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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?5 V2 C: P& W# \$ f5 E2 f0 b

+ F% z3 F- ~7 G0 l/ u2。下边证明有没有毛病?
6 t7 l" P1 m; \7 P" k1 m& q$ M$ _" m7 L( ^
设  a=b
3 m9 d3 J9 ^. I  f% Y
9 N( Q! `/ s: \1 S4 W% W, O则有: a*a-a*b=a*a-b*b
% _5 D" |" x1 d2 ]! @两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
* W' a/ b* K! N" M3 E+ z$ y. j2 H& d
5 }. ?: D0 C4 ma(a-b)=(a+b)(a-b)
% z  X% K' n5 n: p/ ^0 u% L7 h* ma=a+b
9 f$ [# W9 L) Ua=2a
: n, c7 o/ Y) X8 j% ^1=25 w% L  w) p6 T0 X9 t5 G# E

, s+ N9 \0 Z: \* G8 x! I证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
" e. {( Q) b8 I# R* P$ }
5 y- a8 D6 t0 J$ k& \1)不能。比如1
; f$ f- z5 X4 c: c) c; g2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。- f, l7 b! S4 T. F/ R0 I0 c0 l
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( D# ~' t4 n: n; R1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' x) e; V; m! ?5 Z" r# w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
2 N% E& r' b4 B( J
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 O% A+ A8 O6 t& x  l7 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。/ s; F  p+ G$ h9 f* {4 G

  w2 J8 ~7 |/ ]/ g; ]6 Y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' S5 V5 u& b7 Q
, a5 [7 @. A; v& b( IProof:
( d$ K: ?0 J- h2 w* K/ v2 ]Let n >1 be an integer ' q8 {$ Y: Z2 C4 Q
Basis:   (n=2)* \1 \; \3 @' T+ d3 f& f
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3) f1 Y' G* n& Y: {' l- b' e( j
4 J! A+ _/ P9 U; m6 g- {7 y
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 L) C/ H4 v% G- F5 }8 s$ T2 k) ^                                     K^3 – K can by divided by 3.
& v, f* c8 c- f* |+ h# l  s
! p  Y8 r2 Q  cNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 y, a" G7 n4 q! Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 p( @- P* b: Z( k# W# bThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)+ Y( V( r3 r( S* O: i) g' O
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K( g0 I2 _* i+ P3 G( @9 |% X
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- U6 g6 Z2 n5 a1 P8 i: S  k! u                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 _( M- w0 m. J% v, l& e. @by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 J) s  ^3 ^" ^( T0 ?( USo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)' E. i, Y3 i/ Q; {
                                = 3X + 3 ( K^2 + K). _. E( w$ Q  _, V3 _+ Q0 Y/ g
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 A/ g6 \9 h& I/ x( H8 o( ?, e% W" I
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ z- s0 }$ M3 `8 v8 Q
# H( i$ h' |: i, z! j[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。5 C: W' F& i' {& w2 Q& k, `
; k, O) ~1 e; i4 t! T3 N2 l. E
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:9 z: _- B  S  A- {4 b
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
, O. w- C1 r- B3 F
8 |9 J7 R! T) I4 }
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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