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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?( o# t2 G5 w) ^# P

% e& b# t3 z( z6 i2。下边证明有没有毛病?1 }% j5 U, Z# h$ @0 n( q
4 z- ]/ e/ L; Q- |& R. u
设  a=b6 ^, p7 h- j% [: l" G
3 k# l' K+ p8 \3 _+ m
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
/ w6 ]  J+ _8 @' w" V' O0 T两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):' ~& T, \. J: B5 }

5 x4 P5 v, G& r" l0 b- R. g" ^& ua(a-b)=(a+b)(a-b)6 f. L. G, f" C
a=a+b
- Y( P+ K& n! la=2a
$ D7 G% v  X# v. K2 g1=2' ^% U1 A" q* Q1 U3 y6 L" s8 }
  F! a- \: ?4 J9 W) q
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
5 @. G' H6 b- f# o
* M" r- N5 K, P- D3 q9 c7 s1)不能。比如10 B2 M9 w; \: r9 p# e
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 V$ D! S$ H$ v' ^6 W2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ D) l! F" A$ G6 C% e% `1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 k9 |6 h: I2 |# r% d+ Y
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
" u5 t2 Z" b: i* C( z; r
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: C) H8 P, W+ h$ c: k# ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* e0 I7 e9 i9 ]  x1 R" P

& [" V& ?' f; C+ ]为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)$ o( f- M  H) B$ k  h- G

) R* ]# h, J/ F9 XProof: 1 I/ _  K, X6 Q3 s4 [( V. Q8 `
Let n >1 be an integer
% f7 c& s1 u0 p% L3 ?5 K* TBasis:   (n=2)$ d5 @* {2 }9 }! E" }
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 34 q. b1 j7 p3 ?- P1 C1 b
- z2 O( @  `8 {2 Z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that' I: M. E1 C1 M  n8 b( Q
                                     K^3 – K can by divided by 3.
% J5 m: s  H& A% @  O' U
1 ~1 j# |# _0 o+ VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 k2 X) n+ b2 k1 N$ gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem6 M5 E; J1 K, b3 F: n1 l
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)9 C8 X. j$ P1 B
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 L" M0 ~+ q6 `. k1 P                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)- `1 S/ T$ F0 o& N( G2 P
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)5 ^& V% C; ]' I& Q
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0% b4 O4 L8 O6 }$ Y$ d
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 j+ ]6 a  q( T9 k1 V/ S# Z$ w) O                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 D  N: z, S+ t" t. Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 o, `, Q4 q/ P# T5 }9 ~, o: C( m
/ C" y; M! N6 V$ H, m% gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.8 c  v- Y+ h2 e" C  p

: l2 l  [7 b2 U: Q# A[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。7 U& L* l: F# q+ B$ i% {

9 b, E/ v$ C# ]- e1 [第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
: S8 h  u2 a8 I6 L" \) I% o5 bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
% [6 D1 s5 N1 A1 o. L8 `
5 Z# M0 N: _+ C3 o. Y# f6 X$ `
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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