出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
( P' [- F  g2 M+ i7 O
( W. a) i# }  F# _  t, L4 \0 A  u2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
  |, O" _! `0 K
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- A) @, w, E  O3 c, {
a(a-b)=(a+b)(a-b)
& y$ |8 h2 t" R$ }- d5 aa=a+b
8 ?  d  N! X- e" b' I9 ja=2a
1=2
# l) Q5 J6 {; {$ C* l  T) {8 E3 r
  K7 P. [7 F5 `4 F! s证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

" z& J1 y( a* R  g4 e1）不能。比如1
/ q2 @0 y5 D- k9 q& _2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- [! \4 ~3 s# A+ U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* l& L& S9 U' C# j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

' b: D" \+ o/ k* G9 k  H: `2 v看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

; A4 E: L" v% B2 o) P+ d为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
& v5 w7 ]) h: U$ G- ]: y' t& n
2 L  R! G& Y5 Q7 T8 s" VProof:
; i' X& M2 C; E! w8 p7 }Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
! p* E, c! o/ O* I         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

2 l2 [; s6 {6 v4 P) RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 R) V1 M6 g; l: X                                     K^3 – K can by divided by 3.
, y' W; P6 K: w# f7 }9 l, p
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. M! K, e% m5 R; ?0 n                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# f9 _0 u( j3 B% r$ M9 E5 D# B                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. R" s' x/ p3 v* Q3 n$ K                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# {$ c0 V- J8 n8 K6 m- n# p7 kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 x) u* q  y2 f* s& ?' YSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
, z+ M7 S% g! w- E5 A
: {" D% W: [7 @7 z5 pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 R# A7 b/ T. k, Q: N+ l& a7 g+ M
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' _1 w9 T0 Y; ]5 Y! j
% u! _% v, J+ P; l# i+ |第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- h# E, j" ^; C1 _; f% u
" `0 w! @: I# }SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.