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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?3 c3 }" t8 r, ^  M  G. z

+ w& E* `4 u% U9 c2。下边证明有没有毛病?
5 E3 H3 y" U! g. q* i
- z9 {& U3 k, c7 S设  a=b- L8 _: W' f1 r2 Y( W
2 n; H: S0 l* ]6 t1 o
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
. p, _) y: R1 a& x两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):& f' [4 S0 V" @9 C2 v8 m

+ ^$ L: c. b2 x& C. O0 ]" X, Da(a-b)=(a+b)(a-b); P! ~' S6 B0 _# G. A
a=a+b! m0 E* }7 [& `3 u! }9 K
a=2a
& o$ ^- k+ Q8 u6 E1 M& B1=2+ N, \0 @6 \2 l" k" s3 {) S+ l

' R: Z: z9 {) k+ e6 x" u( C$ S) }证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
) {5 O: C3 ~( E- @3 {  `1 j, X3 b! }5 B9 N" P- w$ Y6 @
1)不能。比如1
/ {5 l! q- y. D2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; i# J$ R- q5 E3 b  W( T( G2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ l) {4 f. X0 j6 A) r1 a
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。5 [6 p" w; ]8 Q5 a- o; `
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

7 p/ x) |, H! g9 v5 Y& B2 Q看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:  t; p0 Y- U* S# o: ~  X, g
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。/ [: i$ {  N6 _  F, h; ?( ~$ ]

$ {8 Q; T$ E! S5 m0 m$ b4 L为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, r+ K4 ^  ]3 W# U1 _8 b4 e% H
# a& s9 V, b1 c, Q+ X0 s7 U3 WProof: # ~- w/ l8 [$ J3 Q6 k
Let n >1 be an integer
; e; n1 b$ ?( aBasis:   (n=2)
4 u! h2 w7 T( c' @5 N         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3% v& |; J/ Q* g" Y) J$ G/ [
" C" t( h1 Z2 h3 }. P0 d
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that7 k5 p& c* R+ t* a6 b, v. i8 j
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  g5 q5 c9 p) L3 P3 ]) n% V, P  n/ N1 g) \' R7 K. R5 \" @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' f2 R! v- n3 E4 f5 Qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem" z! `$ W0 ]. m
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; ?" y& v( l% R/ z: K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K& L  C2 _2 P) k: S/ g1 f
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 Z/ V5 C; p$ l  V* K; H3 O2 y8 `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 T$ c) w6 C4 Z2 {by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0# q! ?# d6 t: A: i
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)$ j* V+ a# c! y1 \5 m' C
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)* s+ o' \" v' J) b8 C
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ j& V& g# r1 t8 Q1 a6 b! H; _7 m! z. Q# {$ h7 D
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1./ R5 _' a6 a) ?

$ x9 A6 A2 f& @# `1 `5 C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  A4 L1 L. n$ o% B: D
$ C8 F  z7 l$ e3 D第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 |  R. s( U1 oShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" T; L" B6 l1 ]! x7 w
, l" Z9 o- L" w4 ^- aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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