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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
! P4 w. A  b8 k/ l' f8 @7 Q7 D5 [0 [; f8 O
2。下边证明有没有毛病?8 ?- n) H* g, N0 v3 b+ r
8 l7 B6 t. e+ M, m
设  a=b# }7 k  V7 }6 ]  y
8 K4 T! k1 W. k- I! @# q
则有: a*a-a*b=a*a-b*b# V8 b7 X# c8 p& A' S- M* m( f2 Q
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
7 B0 s$ H- V6 H! f  D% M' l# D3 M% J2 L
a(a-b)=(a+b)(a-b)
2 j: i' W% j& [  \a=a+b: f% c, @/ D. B5 @1 s+ B
a=2a/ c0 ?7 t0 H4 A) p% ^' |
1=2$ ]3 `5 ?9 D' g3 n

" q: {5 `. Q. w& A1 e  W证毕 ,结论,1=2
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
; D7 n) k* y% L$ t# V& H/ q4 L: Y" o; [
1)不能。比如1/ \1 y7 |. U( O) ~/ q
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; K  `# |9 q4 w4 E+ Z+ H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! J1 }4 P& Q3 h& R3 a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
5 _$ J. z" W' i$ `2 c/ ]0 u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- n" h2 z) ]! ]7 o( Q" |看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 [' Y! k( _5 u8 z4 c
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
- I( r) w( v  x& u! }1 @
( u+ k4 A3 A3 q, H, w0 k
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 ?3 Y0 k! b4 L$ d7 L- k3 |$ Y' U8 a& }. u' N# ~
Proof:
* l' s& W4 s5 ?8 Q# {$ Q+ \Let n >1 be an integer 9 Y  ]' y1 M5 [' T4 i* z
Basis:   (n=2)
. c1 Z6 e3 W4 B$ Y         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 30 g! A  Z" l% T4 o/ u( {9 h9 A& p; d
& k2 p; _# r" _/ a% s
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that& K/ H! h( q, @/ X
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, S: U% N# C; Q1 f4 O0 ?0 _
4 ^& V% w, S2 \$ q- E3 I5 \7 P7 LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# f; P5 o7 T# \4 isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem  S0 m' F4 K, }
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)# l* O' M2 x7 N( _
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 W9 D$ F- H0 T1 L7 I, N; }5 |$ K- G                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 T5 e8 o' P, @; y7 s$ I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) Q, n) ?; T2 m3 v- Z7 Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0- ?' B( [! `/ ]
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 ^; r4 w2 W# \: [% n' G                                = 3X + 3 ( K^2 + K)2 l: U1 L* {' S' w# h2 t8 G
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3! `8 I& }- G" F2 Z
0 s% T: h5 H  y2 l* D- H3 d1 Q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1." P% z' m4 o" ~' |9 S

$ u' l2 v# ?' C; \, d' Z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 Y/ g8 O* G( x! K" b3 A; z* M: G; s$ E* s1 q
第二题应该很简单
理袁律师事务所
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) A6 A4 g8 r' k, Q9 ], A$ V! H1 yShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 I% s* Q( F/ c% P! }7 Z4 W0 r; ~" S# V( Z  E
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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