出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

' U' b2 H6 u$ S$ \  M1 M2。下边证明有没有毛病？
$ H) R0 {! w1 F! X+ z
设  a=b

! h7 W* }5 O6 y! \2 I则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, `8 D: i$ W( l. ~; l两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 t0 N" [6 h- X& _2 ^
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
% v+ z) ^& ^6 Da=2a
1=2

# ~4 r2 p! O1 A( x证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# p- \  D- B% J: R8 \6 h/ Q1 {& D2 J2 k
1）不能。比如1
' y' @% E& V: ~  n4 g2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# l* k9 X; P" g  V$ n1 W% p9 w2 f5 {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( A- E, Y8 g8 M: ?
% x2 a2 R2 Q8 YProof:
. _7 m- |; [- B) L9 OLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
+ O' s. {+ Q8 L) u         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 x" g2 ?' U3 g) h3 ~
! V) O1 }% ]0 \8 I$ _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 V* w- Y* c: y# f; M* B                                     K^3 – K can by divided by 3.

  a% g  ]9 y$ t+ Y' fNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% [7 O. N( H$ ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 `, l) a* A0 x5 ?by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% y+ b* X& Z3 C0 G. {/ _2 V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 u( b. P& `- }7 S) G; W1 |
9 i) d7 r' Z8 s; u/ s: FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

* R' N8 e( e. j# s[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  {5 n4 d: m/ F- h8 U8 S
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* D* M- D0 K' ?( @Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% n; `4 \( r( z7 `' V  TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.