出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 m, a3 T7 E: J: G( o, u, A
* l! {8 o4 ^  U4 j2。下边证明有没有毛病？
8 }1 E% P0 s# [7 V7 L
设  a=b
. d5 J' z5 b8 d7 d5 Q
1 J8 Y# F/ S5 q( ~则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

6 a  h- r! {2 L& @* {, _) h9 @a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
+ J, ]4 X* t3 k% s: R9 {- o+ }. d2 f1=2

& N9 O9 F8 D9 y* @4 B证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

% K5 v, N  P/ ], I1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 D* M& p2 c. X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) W: d% R) Y; a看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 }, @& \$ z. I

& t) u' V: R' q0 ^$ _为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, r" Z" Q" k2 x7 r5 E, JProof:
Let n >1 be an integer
' D! p! n1 K+ `( ~! p0 K) LBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

- V" a/ W7 a. A. kInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 m' N: J) p3 m  ~                                     K^3 – K can by divided by 3.
' T' h& y9 T1 Q' e
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 L7 ~/ x1 U# U5 i0 V                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 k  e# z" F2 {  M                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! o  `& s0 A$ q* hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 r. ~6 U# S, e$ T                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 t% d$ A# t+ p5 I                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. K  j' I$ A0 ^
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% Q1 h/ R5 W; a
8 ]  D6 M4 h5 p3 t4 w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ N7 \7 ~$ x  p. [- @) ~Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.