出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: O  k6 i' C3 A5 p, p+ \
) g7 N4 a" E' f" n% V2。下边证明有没有毛病？

4 J% M/ H) b. _6 s6 k设  a=b

) `8 Y: I: c+ F8 t, N% i+ z* I& l则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

# S. h! p: g7 i  @, t9 ]8 [a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
8 b: k3 w  F) b1 Q& \0 ~* @" u: Ma=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' i' j0 R3 F" _' u' P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 `9 h, Y2 a$ R; f, M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) ^# b3 Y3 p2 u7 [7 s2 t看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: ]' Z2 H  ~1 R+ O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( y, Y( k$ k) L" `* ~8 p+ A

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' v$ H5 v+ ]" K" X  k; q. z4 x$ h$ J
Proof:
/ D  e2 b/ N+ |8 ^* H0 }& u2 FLet n >1 be an integer
9 M! P6 U7 o/ d& p! s9 S% yBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 t; m7 N/ `8 t' [/ r" K7 v0 b1 X
2 l' k3 n' P, t. n+ g2 |! o' FInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

6 b5 l) b' N9 \# @$ o+ UNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# Y  W+ D! N7 ^" C/ s& _Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  p6 k" W5 E4 b; \5 f  D# u                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ V$ r0 s- k, k4 R                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& D% \) I- ?' U8 F6 c! F% W6 u                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

( V4 B; p- t% vConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 R2 ~& ?+ J4 {! b3 c- I* W8 h
5 m8 p' R9 q5 V7 w2 {1 q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! d) S7 I& W+ ]) y. ?4 C8 a
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* y/ c* y& d6 v( h( ^Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.