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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?& b  K. X, h" _4 W
' n* s+ x3 E; [: M4 m- e% x
2。下边证明有没有毛病?
5 |. l  ^' V* N, ~0 c: ?' V# g0 k( z1 U# v2 B+ I  d$ H
设  a=b/ q4 A; g2 }7 C! M/ n$ M

& k2 O7 t; r$ E) f则有: a*a-a*b=a*a-b*b
4 b% X% k3 r# ~两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):7 a6 S! b# M8 `# m

( w; ~% k  E/ n: {6 A, o$ y; da(a-b)=(a+b)(a-b), \7 i! ^1 e; c$ u2 q7 M& Q
a=a+b
  E8 w! o% ~6 X1 pa=2a% z4 E" V( u: Z5 ^/ H% T9 H/ c: f
1=2
+ {/ ^6 E4 d3 k& L2 a
7 F) f; a* y. V3 h+ l) D证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
  ?% B: l7 l0 r3 e# I# o8 j7 f# ~! j2 a9 ~* S: m  N
1)不能。比如1
9 h4 L0 q1 ]* }" Z2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 s6 W: o; W. y/ Y0 r% F( ?& \' U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 @7 t4 y& e0 A* q
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& {& d5 P* X; j4 x2 N
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; Z9 |4 q6 q: G  Z1 z0 f: b4 p看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:7 a7 e0 @1 I; K# S" V6 Y
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( s4 \. T$ b, R/ {& L8 y3 _
  V7 e# J2 ^8 l
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)2 i, j' L& D) N: ~

- Z3 N4 |; m, o+ RProof: & C; p# k2 e# w1 f" d
Let n >1 be an integer ! H8 v# o2 E& y) a6 A
Basis:   (n=2)4 _5 C" Y# |/ J* ?
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 C7 S* d, y2 n3 D- d4 N* v5 |$ Q) j( O" D$ h
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that3 }' A9 l8 k+ G" s
                                     K^3 – K can by divided by 3.
+ Z6 w$ ?9 U  J% Z% T
- k$ s4 |+ c8 |6 ]0 @; }; ~Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- J; K" L! Z/ A  Rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& x- V# b# N0 G3 z& ~/ nThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" `! `, L" Q" q! _- f0 a                                     = K^3 + 3K^2 + 2K/ n! [: R" w5 K; A2 B# i
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K). x1 ^4 v0 j* O2 C9 v! c: b0 }
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 N+ r) c( X# D. ~2 B3 \& }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, Z8 \: }2 O+ b* [* ^8 uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K). {, r. B3 m7 N- ?# P4 V
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)% [: h3 D1 h$ o: t. d* {8 l
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3% N# R4 K+ v5 {

- r: e1 [# d# e- V2 ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.9 v& l! t+ w0 ^- J; i
9 }  L( [0 N6 L  p% k4 q+ C/ t
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。( ~! ?# P9 [; [& ~* Z
( E* D8 g  P5 W3 s
第二题应该很简单
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:4 J4 o3 k0 X0 P8 v3 H
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ I. Y/ B, X, i, x
* l- q5 b, b% z9 d' v3 vSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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