出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
0 Q# v; Q  f$ x3 Y' h! r
设  a=b
$ m$ j, ~$ M4 j' Y
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
4 H1 F5 e% u) v: m( L. P
1 z, q7 G# t7 R: g( ma(a-b)=(a+b)(a-b)
- v' i& f1 E+ S5 x. oa=a+b
a=2a
1=2
* ^# g5 P6 X4 g. p9 z: U9 Q
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
& |2 H1 W7 ^1 |, {
1）不能。比如1
5 t/ ?7 b4 T- g5 B" z+ b+ F2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- t% e2 s0 p- |, c& ^+ L/ y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 d. v' z3 c$ ]5 |1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& n. ]# h7 h3 J3 r看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- i0 b( i- k6 y6 s

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
- O( t7 c2 N# uLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 W0 D9 E; ~0 `2 Z9 j- a& ^& \; o                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* f2 X7 B) o/ t' g                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 s5 w9 `: Z/ l3 Iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& d; L4 b$ c3 u& k" HSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* h  Q& ?& ~3 g
! v5 O5 g, S4 }8 y1 nConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' S! U2 W; r3 h5 H; V+ p
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 q- O6 N/ q0 ]8 @: s! P7 u5 i
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; O* ?3 ^2 C8 Y9 t* k( ~( T, Z) i
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.