出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

) K. Q9 t) v8 t! Z) A- Y2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
) M/ ]$ p: K/ L  Q: Y, g$ A' ^
& i  Z1 ^3 h/ C9 J则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# d5 l4 [" |! `7 P6 Y9 Y2 _0 ~
1 X! d: _: E& ^3 P( V  ]a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
' ?- W0 h- W5 V* j! Xa=2a
6 P- W8 G% N9 b" t. l0 U1=2

) a9 T9 r! O6 S/ E. d证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. O. ]$ E( Z7 ^7 C+ T
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- \' f' ?4 [7 i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ ~5 {7 `; r, i! u- h9 o; {: ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

. d8 b1 [7 O$ P) d5 _+ Q; j  i9 V" `: p为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
) j2 Y( i5 g0 S% i' |Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
( `3 n' [2 z( x                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 F- U# D) O5 C7 F3 t
) i( b6 I& Z/ [Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, ~; a3 n- u& s& _  \, e) Rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- V, X- F6 o# T9 r) A" SThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 W5 V2 b; o7 [) J                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 ~" |3 ^. i+ z/ e- y
( }9 q3 b  a( o! |6 uConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.