出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

9 v& i& K  \( [: f2。下边证明有没有毛病？

5 ?; U# s9 r' K/ \# ]8 |设  a=b
: H2 M+ A' _: X6 d" q1 d: A
- V% N2 ?7 p* _$ @8 a4 T  l则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ w; a) K6 M: E* W! ~6 F4 T- l两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ ]2 I+ a' {3 G9 Qa=a+b
9 D0 S& e/ L4 sa=2a
1=2
4 C' k4 b& C% x0 w
- j. z+ |7 G9 L9 x* M3 _证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

- j$ j. B6 n/ B- R$ Y; d1）不能。比如1
1 m# b1 M0 z7 T7 f+ F6 ^3 s- D2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) i; `9 N2 M' y$ x* R$ T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" P" e! |, i) n0 i看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 d# |4 u' C- \* S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  T; _- i# [' `5 O8 t) A! Z

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
/ |* Y- M2 e# D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 `+ D( p* V3 A- L5 N
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 o) W5 _2 }! P( D, v/ B) Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* i* h5 C% f1 d* h9 h                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! c/ q" S. u9 ?# [- ^                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' ?( F1 ]6 ]. d$ U                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ U3 o( u6 e) C  H$ _' \" W- `# E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
7 P7 s/ e: w# F( U& n
# N4 _* i7 \7 F8 {& a[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, Y- k% k; O5 ^/ H/ E9 H8 M8 ?) I
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& H+ m1 \! ~6 n  }2 MSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.