出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

/ e. ]7 q2 N: S* ]& ^4 z2。下边证明有没有毛病？

" Q: {; `" R5 E$ z, Z. o设  a=b
0 w$ \. _, g9 ?% d9 e
' d% D8 H  G' p* G2 x: M则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- }1 n; N! L4 J, x3 G
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
  B7 X( Q) z2 }% N3 h. M1=2
6 C/ W/ f) h3 R6 n" L, u$ `0 b2 S
! T: F; P1 {- B* f* F; x证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

8 _6 {( I, v) [, Q7 c1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' O3 L& V! j& c8 _) l3 N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% M" s2 C) T" X# }3 w! z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 v6 T& G! Q# ~- L, m! e  r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% E! Y8 F) `+ U: X看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 }& W) g$ o0 y1 B$ w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( \) x* c% u7 H# z

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
2 l) T) o* `  d2 K+ F+ T( P7 WBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

! j. p7 H  r0 s; H5 E% rInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  p* G* q* C" @; P5 ]1 |" ^- ]since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 i- i% Y- z- q/ zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
  e: i/ r1 D- \% k1 {2 @                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 z3 l4 L: ?1 n. x                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ h  W0 D0 E, n& _( G: `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 |# @+ ^$ ~. Z2 e% cSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 x4 f. l$ F  {" e5 a; S                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. j+ Y. U, D$ Y2 o5 f
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; C9 u1 R, p) |9 m
! r% y$ t0 `' Z" T* E' e2 m第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 B) d0 L% C8 u4 P2 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.