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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?- M4 S3 b* \0 H, |$ \

- ^2 w  Z2 A( u- q: Z3 ]6 \/ i2。下边证明有没有毛病?
, v) \' ?- Z4 Z9 l0 C" d" ^9 k  @6 N
设  a=b
8 L$ O  T; S4 ~) n( u4 }& U, t' e# b& R6 e
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
/ {  `% u7 |& o" B8 t, ^两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
' z9 Q) I* `2 g& p
- Q! T( K1 o6 N; Ca(a-b)=(a+b)(a-b)
: R+ f7 @! Z+ @) j/ F# t) ka=a+b
, z: s& x) w9 b" l1 [a=2a
# g6 M& F) W/ E6 i  I$ p1=2
. t) X% C" K5 y4 |# v
5 Z5 d6 A* ~% p, t证毕 ,结论,1=2
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试! z1 O9 y# t$ w( K% {- ?) x! r

7 K! m9 A5 k! S. h3 {8 M( e1)不能。比如1
- ]% B2 O% f3 P/ @" V% F9 \2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  ~% c+ k- t7 o7 L% g6 c' G
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: Y' ~. j, L4 l5 K/ i$ [' B6 y+ [
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: P% y' t" M  q  T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
8 l& Y$ p! H& D2 u+ |
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:4 H% C+ l# s. _/ J/ O. H# X
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* E/ Y9 u1 }5 c. P) d
. J+ _% S1 X1 `
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)& D4 j* \. a6 w  u
. O& ^' T, ]  y" S
Proof:
0 M2 f4 K  c0 m5 ULet n >1 be an integer
9 F$ h( j6 F; ABasis:   (n=2). a, p+ _8 g( K- N6 ]+ B. }
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 35 R' B. C& s* L' W0 @6 c, O8 d
- V1 W) m- X' |- J( P
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# Q; W" G' F: Q' |0 Y/ q                                     K^3 – K can by divided by 3.
. K' E5 U7 b) n5 R" o+ y9 M2 \* J
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 R, J$ s8 J! ?6 f: [since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- O2 S  s7 ^# u$ NThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)* J" R3 a0 c  _. }9 @
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K* a: s# y/ t6 N% A3 x
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. B% C  C# ~4 D" j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ C* i! l( r% s; P$ Y7 S1 U
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>08 H# w3 t' @0 q+ i3 E7 F
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! r3 S) n: ~  |. T2 w; g6 o/ s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" l2 s4 @! @/ K2 q% e- J0 _+ r                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3: Z' V+ ]( V0 k5 u7 F3 J

! K& U0 i5 u) C+ h. IConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.+ e/ T+ p* P5 M4 l

7 T9 F3 S+ [' @+ P" u; ?. a: n# S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- y: X: x# K+ V. m# f9 h4 e* R! X
. B% Z5 S: j  Z  @6 ]! N4 [* E; Y第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 H% Z! Q, `, c9 K! g" sShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  Z- O# L, {  Q* c1 J2 W$ v! F& M0 i% V9 u2 b( _3 @! `1 S! b
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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