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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
# g% X7 c! [9 |; n$ s& [- U  T3 K+ ~2 _% ?9 }1 a; ^
2。下边证明有没有毛病?
4 c& F4 L3 o$ K/ r9 K* _3 D+ ]: _
设  a=b& z; Q! [; Q. D! ~" f3 ?
9 W# X# M0 K/ N- Y1 ^
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
$ v# i. r& K$ M6 f9 |- Y/ c4 t两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):" P$ o$ f; ^! _$ j) ]
/ g( J2 Q8 j! y. V: I' g
a(a-b)=(a+b)(a-b)* o& V  m! S5 i2 x. ^* w5 l4 b
a=a+b  f' H' g& c; i6 _
a=2a; i  [" e/ p* c8 ?7 T8 r1 I' U
1=2, t# }2 L. R4 W( ]& y
/ Y/ A  ?1 S6 s6 v% q4 l: ?  S. J' A- S
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
, y' }' ^# a" k
& S  c3 D/ i2 [1)不能。比如1
- C  B- D" ^3 X9 u2 b# j. Y& `2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 G' j# c1 k# [* A' \- B& i
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:* v1 m$ H3 {2 U& k
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
$ g# }% N7 S8 p+ Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
  u3 @! |/ l. S3 k4 E% O
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, p' Q( S' D3 d7 r- b: ?7 `9 g  ]' o
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% `3 A9 M8 \, p' Z( r( b
! j& D5 |- ?% |2 ~2 q* A& C
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n): A$ N7 y! u, U! B
4 S/ N& s+ ~3 ]% X. S. r, C' I
Proof:
, q! P* r& ]8 W& N* ^# N" NLet n >1 be an integer
, b8 H+ v0 y/ _) w3 P4 O0 J8 dBasis:   (n=2)2 \! ^; ?5 e- [
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3) N# `3 Y4 }1 E

! }$ e% R* g& O- e- {7 c' ^# pInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 L- o- |1 _8 o) c9 I2 N                                     K^3 – K can by divided by 3.7 ?2 z1 y5 g/ f( q3 g6 Y+ c0 Y

7 ?% k, E& W& mNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# o- ]4 R; ?1 qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem1 S* Z4 ?6 }- o1 n# u8 `8 ~% t2 F6 K
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, m0 h; O. j, d' g                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 R& o' D! V$ g# u. ?% v                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% \; T; R7 s. U2 {3 L- {% l                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* @' o6 N7 k/ G- f4 V# S% {% |by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( w3 J$ z  |2 c1 i5 ^( H6 ASo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ G0 D' \  D) l+ B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)) ]% e5 h) @% n+ B4 I
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) m& V- a  a, e- O1 X
1 J; I+ [+ u% ~. X  F& E! Z; b& D1 zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 x5 h  G/ \% v; g7 Q+ X- ]( O+ b9 a* U" p/ m
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。* P% {$ r# W% V; v; w

; H& I- N# q, i第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% P, H1 M5 W! X: rShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! y) ^% y4 E2 O3 ]0 T
9 I; K* a  ~6 `2 I% s& cSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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