出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
3 X( B" W. O, i, P$ g3 g& U3 p
2。下边证明有没有毛病？

! q2 U' O3 J0 B# ?, X设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; F# ^1 e# p' }" x两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 D9 l3 s6 I5 |3 u  U" P" Z. F8 r  G' L
a(a-b)=(a+b)(a-b)
  B/ }! N( y$ Da=a+b
a=2a
1=2

& ^' `" s3 {  B5 K证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  A6 M$ c% c  d6 `% r" ?' o, x& z) w
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* ]* u3 E: {* Y5 Q) q! |9 R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, [# h, ~# G! \0 z' l6 U4 d/ Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' R5 |4 T. G4 i1 H/ d" y

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
3 ^5 ^- w! H- ?1 ^8 ?0 iBasis:   (n=2)
0 f8 @! j# \' W. y9 O         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 E/ o# u' [5 ]' q3 d- Y, P
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 q/ j  R( u: O' k                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" T; X% ^! Z) t* @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 G4 x" X% O. y4 b; pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 p3 B, `" q' `! F+ D& M                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 [/ j& x6 O" k) Y6 T+ z+ ^                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! M2 M9 Q& y6 S+ g- F
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: V' m* K6 `8 d1 P, N+ ^% m
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.