出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 w/ S  X, L( o  o, Q& \0 ?
* ?' |6 B3 M+ C, b2。下边证明有没有毛病？

/ o) V! G8 P0 v0 M4 Y5 a) c- i6 B6 P+ g设  a=b
, P; P% N$ c0 k% H
. ?7 n* A& Z% ^+ h- _5 i' M9 M则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

8 n# {! t* H7 }# U: J. @) x/ j. la(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
* t- M$ ^5 a% c- V% l( h, N/ v1=2
1 ~/ I2 ?9 r* q) J
5 v& k! y' {8 h& c: Q2 ]6 }证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 q  j: e9 A: q2 d
. u- d1 i6 A% N4 r* E1）不能。比如1
+ _: F- `' E  e+ Y6 ?& e2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) ^8 `( `6 M' ?; r& ~看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

3 n- W% `1 Z+ }2 \5 {1 o# C& S4 e为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, v( `; b$ w  i% u5 `4 D% b
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
( Q- q0 v+ Q' M6 q* n- j7 P7 [         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ O7 a# ^0 z  ^( J% v9 V. q
8 a' b/ {6 V. ^$ ~! vInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 Z& J4 e; q$ y/ B                                     K^3 – K can by divided by 3.
2 d: ^1 a5 R0 z' v" |
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ b$ }6 }' `& ]3 M. W6 l                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 w! H0 q4 P# m' Q/ u0 n# f                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 O- h9 \8 H/ W& dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. z& M4 C' l( J# g                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ U) R/ w( x) ]# n* H: d" v
2 |3 M" ?( A4 GConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 g( x/ b6 O8 ~$ t( b
- |, N; D& @/ ]7 o7 L8 y: {4 jSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.