出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

+ F% z3 F- ~7 G0 l/ u2。下边证明有没有毛病？
6 t7 l" P1 m; \7 P
设  a=b
3 m9 d3 J9 ^. I  f% Y
9 N( Q! `/ s: \1 S4 W% W, O则有： a*a-a*b=a*a-b*b
% _5 D" |" x1 d2 ]! @两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* W' a/ b* K! N" M3 E+ z$ y. j2 H& d
5 }. ?: D0 C4 ma(a-b)=(a+b)(a-b)
% z  X% K' n5 n: p/ ^0 u% L7 h* ma=a+b
9 f$ [# W9 L) Ua=2a
: n, c7 o/ Y) X8 j% ^1=2

, s+ N9 \0 Z: \* G8 x! I证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" e. {( Q) b8 I# R* P$ }
5 y- a8 D6 t0 J$ k& \1）不能。比如1
; f$ f- z5 X4 c: c) c; g2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( D# ~' t4 n: n; R1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' x) e; V; m! ?5 Z" r# w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 O% A+ A8 O6 t& x  l7 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  w2 J8 ~7 |/ ]/ g; ]6 Y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' S5 V5 u& b7 Q
, a5 [7 @. A; v& b( IProof:
( d$ K: ?0 J- h2 w* K/ v2 ]Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 L) C/ H4 v% G- F5 }8 s$ T2 k) ^                                     K^3 – K can by divided by 3.
& v, f* c8 c- f* |+ h# l  s
! p  Y8 r2 Q  cNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 y, a" G7 n4 q! Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 p( @- P* b: Z( k# W# bThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- U6 g6 Z2 n5 a1 P8 i: S  k! u                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 _( M- w0 m. J% v, l& e. @by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 J) s  ^3 ^" ^( T0 ?( USo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 A/ g6 \9 h& I/ x( H
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ z- s0 }$ M3 `8 v8 Q
# H( i$ h' |: i, z! j[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.