出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- ^2 w  Z2 A( u- q: Z3 ]6 \/ i2。下边证明有没有毛病？
, v) \' ?- Z4 Z9 l0 C
设  a=b
8 L$ O  T; S4 ~) n( u
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
/ {  `% u7 |& o" B8 t, ^两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
' z9 Q) I* `2 g& p
- Q! T( K1 o6 N; Ca(a-b)=(a+b)(a-b)
: R+ f7 @! Z+ @) j/ F# t) ka=a+b
, z: s& x) w9 b" l1 [a=2a
# g6 M& F) W/ E6 i  I$ p1=2
. t) X% C" K5 y4 |# v
5 Z5 d6 A* ~% p, t证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

7 K! m9 A5 k! S. h3 {8 M( e1）不能。比如1
- ]% B2 O% f3 P/ @" V% F9 \2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: P% y' t" M  q  T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
0 M2 f4 K  c0 m5 ULet n >1 be an integer
9 F$ h( j6 F; ABasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# Q; W" G' F: Q' |0 Y/ q                                     K^3 – K can by divided by 3.
. K' E5 U7 b) n5 R
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 R, J$ s8 J! ?6 f: [since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- O2 S  s7 ^# u$ NThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. B% C  C# ~4 D" j                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! r3 S) n: ~  |. T2 w; g6 o/ s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" l2 s4 @! @/ K2 q% e- J0 _+ r                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

! K& U0 i5 u) C+ h. IConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

7 T9 F3 S+ [' @+ P" u; ?. a: n# S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- y: X: x# K+ V. m# f9 h4 e* R! X
. B% Z5 S: j  Z  @6 ]! N4 [* E; Y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 H% Z! Q, `, c9 K! g" sShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  Z- O# L, {  Q* c1 J2 W$ v! F& M
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.