出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 u4 E& a- Z) p) J  k
6 f4 b$ Z( I% [, J, I! i2。下边证明有没有毛病？

- p# n! ]  f/ G5 C6 ^. O0 k设  a=b
+ f  r! }, b3 L8 D3 A  K
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
" ?. l7 O, D( ^9 }/ I& |2 Ia=a+b
a=2a
" m7 x+ A* \8 p3 `1 ?8 Y/ t1=2
+ M% j/ x' _7 Z; }0 F
3 m# L9 j! ~/ g9 U; e: k- P% [! A证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
. h) p4 v; @* K2 R" U6 ?3 g2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 O% k3 B- \: s9 W- }! n; ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 S/ M8 O9 V) V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

8 q% o  R1 l4 n# x& u+ k  Z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
5 |" L' m: t0 I5 f0 D# Y4 n. FLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' u8 g8 x6 m0 X- o2 S+ q
( M0 f+ n3 ]& ~Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 K' C3 u! ?0 j( K, b$ t% C' f                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( i& Q4 K0 [" P/ B5 f4 F+ gsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, v6 n* }- z5 I  R" o9 IThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% L4 X1 G8 o. b/ o6 N8 t1 W# J; `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! z5 ?' p& j! Y, j  M4 J2 M5 T  fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 K6 D  h6 @3 c& Y/ \6 Q' ]
) G- e) T/ N7 ZConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

' ^' ^$ l; b3 o! a[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 ^/ e; j( j* o: G/ l0 t$ N  {
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 g; o1 }# J( K8 }: U5 k8 t0 jShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% [( X3 b0 f8 a) P$ |
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.