出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
$ k& w* F, Q# P
设  a=b

- S# W1 V( V& C& ?- H7 U# i3 w6 A! H则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
. [  @7 M5 L5 ?! |$ U8 j
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1 M$ T1 S  ?$ N, M; N. C! u1=2
3 M: D7 _# \# n
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ A; G- Z3 N# }* ]: _/ l
. ^3 K9 C2 q* S( \# e1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 F: g% V* N9 j9 U2 O; G( I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; v  n; W. V2 p- ^1 f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. D$ B% Y8 p6 ^2 S% F  O; A  F) F

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
$ W+ p6 u3 ]4 d+ x5 p0 k# g
Proof:
: }8 S3 o8 a' a8 D% t( R2 ^5 D6 `Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

# F! _" f1 A& z: p. ]  TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 }1 R9 |6 }% {' H" G+ S                                     K^3 – K can by divided by 3.
' j7 S# Z; x" S3 o! a+ B
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% d* X* u& ~" L/ ^  @; Y# r7 HThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) `- e, W& g/ |& F. F$ W3 g                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 N3 d- B/ k, F. {( Jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 A/ U; y6 @9 w5 kSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. |2 N7 t2 z) s% X
& b/ \& T$ g, l[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

! }1 h& [7 W% O; r  v  K9 g第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( m' x8 m& k- [9 u% T# ]
4 M. e9 b: Z. rSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.