出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; m( `! u% |  K- }$ r& C
" h" G' [* u9 N/ ?8 S2。下边证明有没有毛病？

+ W% ?' v9 f1 E8 N$ V$ }+ X6 E3 C设  a=b

4 ]% T& j- x: J! c% f则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 h0 V& r- ~: S; N# U6 `1 o两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
$ `' Y% |  n6 B  q7 [a=a+b
a=2a
1=2
: {) T6 G+ M. e
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: y6 P, F4 G! G9 k
: |  R7 S) Q# O" T' s+ O3 L& ^/ n1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# V3 d) n$ `, r* G4 \, e& s& N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( \, D! A" @; C5 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! ~2 t7 M9 X; v9 Z" G; f  p0 @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: k7 G+ D; J% V$ X1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

; {2 `' y$ V! y5 ~7 S# ^为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 O" w% {; j0 e8 ~3 O
Proof:
Let n >1 be an integer
1 F' x4 A! z  w1 G% n, wBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

, h. R  O1 v2 dInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 i; N  J& c0 `% F- oSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

6 {4 s% v+ }5 i$ N& A第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 C& `! ?; a: wShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' ?5 E. T: Z6 X$ n; k
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.