出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 \/ {( k  X8 y- k
2。下边证明有没有毛病？

; E1 ^# ?8 F+ _$ [设  a=b
8 H! z; ?( J9 q9 h2 h8 l. j" B- H# E
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

  u1 l9 C, D, W: t* La(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
- W7 V: c9 }+ d! o! ]
" ^* ]) V1 a) B+ ~7 E证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 k# n: V+ a- |& u5 c; M. k
! n6 l- p. j8 [7 z, F4 r. V1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ L' ], X8 }+ A* Q# b2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* i) g4 u! \  U( q, |2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* p$ F! k( U! p

/ i. s% Y6 Y! d3 R8 ~9 t( |为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

& d& K0 Q9 O) H1 K# ]Proof:
( q: `# W  t3 \( s% d' U4 {* G1 KLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 [) i; X. y+ G( g" l! R
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* O# F6 \) S6 h4 V  Q- H! K) L                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 y, k+ |' F5 h* k+ F4 Z) V
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 n) i. X# t$ X) usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' X4 I: W7 d; S/ K' A1 t) ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( [, ^- U+ H7 ]9 z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ S* h8 B+ x/ Q0 m/ K8 ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 H0 n, `0 e1 l; y8 b/ X  I0 z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, ^, p- W1 d6 b/ U& u, B0 H                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

/ j% T5 r* D6 J$ YConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
/ b8 F9 ?6 {1 b" F
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

- R' T- m5 Y5 H: r" n- r1 c第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
0 z( S' {' q2 M: M# _Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

8 k( T7 O0 ^7 v) t) [8 k" M
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.