出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
7 G4 T0 c: V: J- m! L; {5 X% e  u
, n+ M3 x/ ]% J" V- v设  a=b

1 Z3 {; N! a! d* R" f$ D$ }! d+ b则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 W+ d( K: o- F, ^7 N/ T两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

8 V8 V+ _6 ]' b( ka(a-b)=(a+b)(a-b)
8 j* ^& O5 N  P) k! e/ Oa=a+b
& V( _) |1 p+ z/ L% oa=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ I; g+ F- ]8 N! V6 W( ~
0 c, |1 l: W( K1）不能。比如1
+ @* E" Y+ ^2 ?+ P$ W2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 K; L6 {4 D" S, s( n8 a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ A: @! s& K: p7 x看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 N0 l7 R% ]) J5 A6 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 N! _( v( c- L5 t% B, ]0 s

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

2 I% n' M* ]6 |' PProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  z/ ~0 q3 s+ p6 i+ P: o
9 J/ t% i4 ^) [. y. p) v/ h- EInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) A; j  w% k! n$ Y; ?2 x7 c( U                                     K^3 – K can by divided by 3.
; H: S' z, q% `
' u. N. o2 A6 L+ F& w3 vNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 _7 j9 V9 Z0 P/ W9 Q) X# j+ Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 b% _1 g( o; m6 |* C8 o/ ^3 F# [1 ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 J* u5 F  F' J" r9 gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) m' O, T. p& k. I0 D                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ D* ^, P' p3 Q; k/ H! N0 P  |
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ \' x6 v- L* Q, {! D; \Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. u( t! d8 s) W; N  o( L
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.