出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 g1 ?* G% H8 a' T3 N9 A% }' }
2。下边证明有没有毛病？

3 d$ ^# n2 @4 O( u% ?/ p& Y7 b设  a=b

5 F% s5 U" F" u则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' X+ @9 e0 {9 ^# V$ Z两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

5 x4 Y# W) S( L( W- Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
; E+ ?: ~0 C2 d3 P6 a8 ia=a+b
8 b1 t2 P5 Q$ n+ n  h5 na=2a
( k) p4 x# P1 @, @, p) P1=2
( [6 X" h5 Q7 y  Y% z( J! l
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- ], r1 z& ?7 s: d) I4 \
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 b: H( H2 I4 [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, {2 V; g( l0 i5 L3 O1 m看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ r, C' M, N; |  ^+ j

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: T2 f& [$ E$ A+ w% ^% B1 }9 ^
6 v8 @4 d  z  v% g3 j! d6 g" B9 RProof:
Let n >1 be an integer
( \/ K- L. R) ?Basis:   (n=2)
$ {' l7 ?9 H# a1 |; j         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 v# M6 }8 p+ v5 D4 t
6 w8 g7 z- Q: m5 ^Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. k1 L6 T1 l6 T( V$ `& g
3 b+ A; {: e/ c6 KNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 o' F/ p, `$ o* x) H! U                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# }+ F! {( D& r- }# h1 t2 m* L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# J0 m4 j9 a; h5 [by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 X, _: V1 C" W% T6 I2 ISo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ y) Q$ a8 x* V" e9 i% l                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

( U* }* I( k2 ~' T8 v7 w2 }) zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) H! l! `% ]/ h/ Z% p
, }( ?8 H* A7 b+ V6 f[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

  ]7 C- Y' K: ?1 G5 z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.