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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
2 R( Y' J" p. L( ?5 ^* y9 S1 i2 T$ R% Z* x
2。下边证明有没有毛病?
2 x  C* ^- l8 F% p/ O7 _" ~- w3 x/ W/ w+ z7 |8 f+ E
设  a=b
5 ]4 _7 s" B* g* q$ Z  k5 j$ f9 i: N' G9 s2 J% H9 E9 s2 w( |# T( v
则有: a*a-a*b=a*a-b*b1 Y) ^. T: N' J
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):) Y. H7 N% @  o5 p  [$ [& d
( w( R. C3 j' d2 ~$ y* ^
a(a-b)=(a+b)(a-b)9 @- q2 K! X, E. A* s; u" g
a=a+b
" M% n0 d7 p1 G5 ^: va=2a
; l$ I2 f# J; @  L5 }1=2' x6 i7 p: B: {( n" n$ a/ p

9 K1 O6 ?4 A# }1 g! L5 X, ^  {证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试2 w1 t" O% \% z! I7 u! n' O
8 p( `& g; W1 [& A
1)不能。比如19 z* k8 h+ Y, E
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# k. F! P3 X* ]7 }6 n7 q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: C4 p2 J, C2 t8 [6 f1 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。6 ]1 y$ c$ ?% Q2 x3 l0 `: S
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
# f8 K5 w" N! x8 h# z! z
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 b, O" L) V2 O  H3 e! k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。7 v) t" N! C. B. w6 r. C
. `9 k5 b( j! _6 [" N+ [
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n); }/ i( v* M4 ], P) c/ D

2 J0 u: e- f1 C4 o4 |$ fProof:
$ O) V$ g0 A4 O0 A0 i4 B( VLet n >1 be an integer & c" S9 N( G/ D% t% U1 d4 |
Basis:   (n=2)
" q8 D, |+ Q; B- r0 u7 r1 H  C         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 32 E" u  {' A& M) n3 z

: v* ~2 \* A' r9 {Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ C" j$ s; k4 E3 u* R                                     K^3 – K can by divided by 3.- D; }2 N1 l9 I) m

5 J7 ^& {7 L5 Q; o3 P% ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 x% C6 R; O) H. Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: X! A6 Z9 K" H: v& X' w* jThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)$ U. n# t! ~* f* q' A0 c: E
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K2 {$ ]+ j& W/ h
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)  G2 f' t( _3 r# X
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 Y. j# X& a1 }; _" mby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 m( `+ T0 l. K4 N! HSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( S9 v$ L0 p$ b* T
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. l- p( Q% |6 N# N" J' N                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 C/ o- S# ~( g. U  o8 `- Q& W; Z( W
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 C, [% \9 b8 a" R$ [8 H* M) M
7 \1 ?3 Z0 x; R/ @[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。; F6 \1 P9 a, q7 w* q
/ I4 F7 v0 f" b! l7 G% Z. D5 ]" n* O0 i$ r
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:/ Z/ q6 }# y: H, N: D
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
4 E$ k9 V. M- \% ^3 D8 k
# f1 e3 C6 K, P" ]+ L! ]
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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