出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
* ?3 o4 M, `4 C* o, Z6 ^( U
2。下边证明有没有毛病？

" G  N! ^' r! i7 _' a) Q: v  ~设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
5 R+ z6 o$ ~+ F: c两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 n+ P9 D' C6 L  m2 {; Ha=a+b
- o2 q; @- ^( u' x1 X3 _0 P4 W' ?; Ja=2a
1=2
: D9 q( h1 L* I& s" X+ T, q" p" J0 h
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
* }6 Z. |# z5 o3 y
8 m' p6 U* q4 x8 y; m, W7 k( Y7 @1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ O9 C9 }- t1 x- ?$ C

. p( m; F5 M2 z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

9 O" ^' s( F, c; o2 IProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 N0 \+ j0 k  S* R; `         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" N" I- p4 E+ T/ u
" x* @, C: @; w& I& YInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 \+ n2 P+ h5 C
9 J& \* B) N! Q9 l7 hNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* n) C5 `1 U8 `. a4 j- I6 XThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) @/ R0 p" T8 n" J6 z3 ^0 Y9 `                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) w. G  n( v% C; g& V" w3 DSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 {3 q2 i1 e( y, Y, r) t                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

# R4 I3 N0 t- h- D2 r2 x[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ T6 Y! E1 Z9 r: C
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 a" v, w* J4 W8 m
1 [3 L0 ?+ M2 q+ X5 ^1 [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.