出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
9 l# Z. E& }2 M! v0 y) ^# ?! Z
2。下边证明有没有毛病？
4 o  u, D( F8 N4 b4 z
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) a1 f6 r4 a4 c7 ]" i
1 N% G3 C6 Z9 b( n+ T# r. wa(a-b)=(a+b)(a-b)
0 b2 G6 U1 z1 j* U" Pa=a+b
a=2a
, i/ Y) v: Q+ L9 g1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ ~2 t% P# I1 d' B* y
8 G5 |; N* y2 w( B/ r) g1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  U. R0 T6 h" d. m" P' u看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 u# X2 A4 K5 p3 \0 q: J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, F* k7 K4 H7 _1 ~

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
! N7 V3 m1 V0 ]$ M0 T  VLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

$ f; t7 p' v; uInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 X+ N4 Q& F  G" v                                     K^3 – K can by divided by 3.
- ~! y! {, k$ K, \5 i% b3 H
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. y* u$ v) I2 y' {Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 P3 x5 l3 M. Z2 x& ]                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
- x, |' R+ d0 |4 O  r                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ c4 y$ x, ]$ L2 d7 M7 @                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* g- }$ P) ~; i4 Vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 B; I( A3 c" K( q7 T                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( ~7 F& K  y1 P8 J5 J' }5 s/ @9 R                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 r9 X: [% D) c
" J/ i) i' u8 \- H[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

( r- q' u3 T: \% s/ A: M第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% f  T' H- G* m) S$ }! `Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 p5 m4 H: y8 ^; w" w' Y: d& V
6 q* {: \$ t2 F- N. O( m  L0 vSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.