出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: z; T- H. R0 P/ x3 O% l. U, M( [
2。下边证明有没有毛病？
, k9 [/ y* ~! _, L7 g
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

8 f# T* d. Y8 g/ P0 C; @a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
( Y; k% R' v0 o  x) |
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. U% ~" k6 s7 _7 n* d
1）不能。比如1
! @4 Y  A/ B( I, s5 e. I2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ w! g6 V  o) {9 L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 W1 N( V3 {9 ]* h8 I. W+ a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. K. s& F9 f8 _+ R' \4 p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  j* j. X3 \8 [1 g  K4 t* V4 Z

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

. L* x8 Q0 d  f7 I' iProof:
' e7 ~+ O" s$ y4 JLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' n. u, ~( ^; u1 }0 Y. A7 e
; Q. Y* n! C5 V9 c9 L" q' `3 A) ^Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 q9 h2 I9 N& A0 c5 x7 d) h                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 k' b+ Y6 `- k1 ^
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. Y, j/ X9 z8 E+ j% @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) j8 ~/ |6 C- X4 _3 a' iThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 \/ x6 J- ^  ^/ m3 y' x  m% |' ~/ ?by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 N* n  ~' K/ S& n: H" V0 p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% [1 X9 N/ U0 o
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
5 Z' f3 w3 W# U0 w" K
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  M' K: Z- y/ i, Z$ l
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.