出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
$ D5 f& M6 f: t! i
8 \( J# J( l% j2 f: H, \; s设  a=b
7 D7 T' z8 ?) r# [+ w3 P
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 y; U& p3 m. A1 H9 F
6 _" ?+ P+ A" K6 u, Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
8 F( d- F2 D2 T3 \% [" p9 ia=2a
7 f1 N" o& @0 O; K3 Z' U% H1=2
, m: ~7 I- d$ X4 F6 P" ]" c+ O
8 t$ I' Q1 ?% U1 f" r  _7 @$ o证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
& o4 |$ J* U9 ]- ^$ R
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! W! f# G+ \' N) A7 h: R* ^% V0 `2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  k; c- t) @. `& _# {- p2 H# _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 U2 c/ R% a3 D* Q8 k

/ m) E: o& A0 r( C为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 w% S5 O/ y; x  b0 N, ^- ^
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 G2 p2 _/ V1 @                                     K^3 – K can by divided by 3.

( D( e- l- A: x  d" u" M; JNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( b3 i0 b9 e* r+ [/ LThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 _' y) {6 m2 {8 [! H2 k                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! p# o6 t+ Z/ }. T& s; {2 S                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 l; S9 l. }' i  S) V7 mSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- p3 j: h* y, D$ j                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

8 B3 b: b6 n" b  |# ~Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

2 ?. k+ ~  X# V$ _. ~+ w( s[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 v2 j$ Y8 [9 _/ z1 o) ~Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- }& _) ^+ j& u7 h% ISORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.