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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
9 i+ s) a/ M+ S
3 e; u# p& V, U+ m$ |2。下边证明有没有毛病?
3 u3 _1 B8 o7 ?9 `* a) [" e
% X9 k. @/ v( ~" V设  a=b7 }$ E* o9 Z$ ]/ R$ p; C2 d9 a

1 `  u4 l7 l) Q! O4 t则有: a*a-a*b=a*a-b*b
, Q6 h) @8 H0 D! E0 y两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
6 y) [7 j& g1 t- ^9 a' ]2 q5 P
  Y6 L$ i' {4 ?+ sa(a-b)=(a+b)(a-b)
" Q4 T4 {2 M; Fa=a+b( p% z2 F% S% _" ~7 {
a=2a2 f3 r- F% t; a& t3 B
1=2
& t. H5 `) W2 s0 {4 Y( K0 T' m+ D' W$ N7 U  n, [! U
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试4 F! c0 \8 k  i% {0 a

8 E* ]- n6 C9 f1)不能。比如1$ L2 y% l8 T( p$ w0 ?: t
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; h" G" C: T2 k8 y! j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 U+ ^+ p9 \' N9 _1 o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 {$ R; y0 E9 i; k
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 p: `7 Q1 S2 D" P; i看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: A$ w  e9 V( R/ U
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  U/ w$ \0 [# w. \

1 t8 w* p4 j; x2 \/ V; ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)! Z3 U) l. q# z8 _% G: p8 B
0 e+ Q" m# F3 Q7 r/ Y) B
Proof: 3 Q3 j2 f% R; I$ K1 d+ s. l
Let n >1 be an integer ( z% Q: q4 n$ x+ m/ z
Basis:   (n=2); g  f; U1 h# }6 Z  J( T. C
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3% R' ~9 Q: Q* v  o: N
' Z1 p2 \7 O* M2 G! n
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that9 a, ~8 Q9 T9 p3 ~2 r
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. i( Z- q, L2 @1 Z  o
' e5 y* Z( r2 ^* z5 B. ]+ GNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- l# Z/ t# z- P2 s; P) Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: t5 n/ e$ N& z: w9 Z7 {8 kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 {" R3 m" ^  Z7 G! E" E; [  n2 @8 m. P* c                                     = K^3 + 3K^2 + 2K  \1 r8 w- A, Y0 J1 h1 w
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)5 L6 c8 p9 g* ?6 F8 F8 f
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, E( ^7 X; }* @) xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>09 p2 P& M" J/ \7 z) K
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# K( F6 L  o+ k' ]8 G                                = 3X + 3 ( K^2 + K)# q  ^, d2 M; q& m/ O
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 b# H7 }& v6 \- }; L+ a# ?
5 u% ^% t4 w' J" g  d" s& Y# FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- t+ A8 x& {+ w5 r' Z; U3 j0 Z  V& c" Y7 T9 y2 M7 R
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。1 P- p3 Y  t$ C* |( {

3 o9 y: d# N; b" N( w1 @6 n第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:7 [$ u( X; ]9 v  |
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
+ X6 |+ J& s' r, C

# y2 M3 P& R7 a: C- hSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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