出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ A. b) k6 N+ v
2。下边证明有没有毛病？

4 \7 i* {) b) s% p: F# b4 ~设  a=b
, }4 x# y9 z% R# Z' N: N! w
( H* V( ~) d/ r9 a6 _则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) j. I1 i8 a% K1 H两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, ~, j8 i8 i$ d+ O3 ], R" x; X9 n
. \% R5 F* {9 N( U5 E$ ya(a-b)=(a+b)(a-b)
" k4 }( M+ j8 w9 e, p6 w, la=a+b
8 T: D8 L8 R6 ~  r% _a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ w6 |7 z2 `  T) Y' L# W0 W
4 o5 M" b' z! I) i: t3 i1）不能。比如1
+ w, ]/ K. M0 V9 F8 C7 _2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

6 _9 n3 Q" ?- P; T9 B看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
* e% j* L& R4 s/ V9 Y; K) f4 o" xLet n >1 be an integer
# n" k0 t2 y+ H; |$ \& O; BBasis:   (n=2)
5 P: ]4 R) v2 T8 ?' G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: C6 s/ }% s! A3 W" R
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

, K1 ]9 O* M- R: JNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 i" a+ g  n" p/ l" psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' `- Q0 f! z6 Y) c' L( OThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 N* d. v- Z0 @; {* R- T                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( Z+ L3 p- j$ \9 sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 N8 V. ^( y( k1 L: B7 Y& ISo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 Y/ @+ Z& }  q3 X* ^2 {. d2 Y                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 N3 J" ~4 h5 ]. X
9 r/ v4 [  g( A& C: j3 @Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 y5 Q1 L8 {" v; s
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* N, T  m& U1 s9 Q# \; e! a, s  b, FShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.