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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
- i! p, m/ j4 E! j5 @$ p0 ^
9 R7 @( ?4 V  G* e8 W7 h+ q2。下边证明有没有毛病?) U9 S% R5 ]0 }9 _6 G( H4 P+ i
" Q' t0 q: j  n" X
设  a=b* T, A& Z4 T5 C7 Q" \
& n# f* d, P! L; S% Q& _, O* A
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
1 X+ g( q' y, n2 H& k6 c两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
+ E2 b2 q; Y( v- D2 O% C8 W9 p  A& S. F% n# \
a(a-b)=(a+b)(a-b)
8 L  L& c+ E1 K  F  R+ xa=a+b
) q1 r# K; ~7 X" Oa=2a0 z" L; M) s0 I2 K/ b
1=2( b" m4 E! J; n% S: k

$ W: {' N( R, A证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
3 g7 W; m, O6 z& U; H2 |. v; a: {; H5 s6 \, D- K/ p, A# w* I
1)不能。比如1
6 F% u4 ]+ T" Y+ M; Z2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* {& S; E9 C$ q3 X6 e- t0 ^
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 R& X; O6 t) z' p1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。( r! z+ J3 d( ?( X0 }
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 C" t$ C8 P: m0 w看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:( N% v% j) C/ F+ r
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。/ @& U: |4 U1 V* u& F, t
3 z- s- n% w8 C8 m
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 E9 h. ]( j7 R( h- Q
3 h$ p$ J: S# S8 C- C' OProof:   O  ~. K. `& D
Let n >1 be an integer
% ]6 m3 U. [7 @. m! |" x! W" ]Basis:   (n=2)
9 V  z7 q0 q/ g# z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 35 W& _1 f8 V5 l/ j1 T4 _# V$ _5 ^
1 o* h1 B2 U1 [; ^/ \! k
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' B2 h; k6 M# e, \' O                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ k9 j/ o) `, j4 e7 F9 m% W, T
& C: A+ k3 ~* w7 @- ?Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3/ ~  O: t9 Y7 t3 Y: C
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ G/ X3 Q; B0 {. J) UThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)% J$ v) t( S+ O$ P
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
( e: O5 o9 P! Q+ h8 X3 @3 v5 L                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)) {1 q! ]0 i/ w5 q3 U! [' S- B
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)6 E3 P+ O, L  @: a* w* i
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0- M5 Q& }' ~) r) t+ ?0 m
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. W* u6 X; w" V6 _7 `/ I                                = 3X + 3 ( K^2 + K)( e7 f5 O) a+ ~1 u8 d7 ]( q
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 ]; n! v, [- Y4 q- B2 u- @( T" ?2 W; W4 _; T
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.+ D8 L0 L8 ~' ~$ D6 F- S  J
1 j* g! B) s+ i9 x, o5 s& H1 y3 L  w
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, A0 D8 y( W1 I5 p$ }# P  M: P9 P
  `' X. a, }0 D第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( v' f' D1 C5 O9 WShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
: W. X/ Z5 h3 L% |& T' A4 H

' X' ~& h* d( o1 f( o' ^SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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