出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
$ X$ {1 C& z- {% ~1 J2 }! W& K
6 {3 R! M: c$ L; j; i2 w) _设  a=b
. F6 o# ]7 G! x( j1 f1 Y
, u. b# }, @0 E7 b2 X/ _" L则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! r! W+ ?6 |! U/ X. J9 |, b
a(a-b)=(a+b)(a-b)
7 o2 M6 a' D+ Q0 F7 n6 D9 sa=a+b
2 O* Y# _8 [! P* R2 Q! h! Ga=2a
1=2
5 T4 n, i9 h2 v
1 y3 L, n/ R5 h2 j( q  D证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. I4 d* [$ E" t) o; [' a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, G9 D( |$ U. u4 z( L2 h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# f) M5 k, @' X# ~; ]+ A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ ?, x: J, J; o0 B, F% M# ^看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ Q( y. y; O: e3 b1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' x% c$ u; n" ]$ i3 Q1 X) ^5 T

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 N6 w: u9 ?- y' {4 X& c1 t
2 Q  V* w/ _, sProof:
Let n >1 be an integer
4 G: B1 f0 Q0 o" Y4 uBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 J7 F$ C0 w. G. `  `
0 P0 S: a7 `! S" g4 FInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 F( X$ j2 ~. i2 K) k$ v                                     K^3 – K can by divided by 3.

: @+ \7 X& s# {- Y; ~! w3 yNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 T3 m; Q% u5 |4 C- zThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
/ q9 |8 g1 a/ S0 Z0 g  x, P3 L6 d                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. R1 t* k  v5 d9 U4 s$ v                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% M6 K" i+ S0 w& O+ D! c' D* F; O7 `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 V% j" X7 C) w) }                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 s( g1 |* Z% ?' k$ ?                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

. F. w( T4 r2 T1 R8 \3 R[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# ?9 ?7 o" ?* n5 z: f
( E7 K+ I% \$ }/ V第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 n) D! z$ g- ?% d% ?SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.