出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) N6 n' L" O# @9 f4 H
0 V5 e. i! |% y2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 D9 y5 P: S$ w两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 I: \- o8 C. Xa=a+b
a=2a
# d$ O* X; t% u  @1=2
3 O2 L- N+ e4 i4 j7 J9 C. n' T
4 j0 l: [- U# v证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

: }# ~/ q7 b0 w0 @7 k1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 [1 E. r1 _. x, V2 ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 v! X5 U" F" \1 x3 v9 J% _* o5 q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( ?' v2 r6 f3 Q* ?/ d* K6 C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 J( b0 X! f' r

8 V6 E* }) A" p* F为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

- P8 l) ?1 w2 R7 D) R/ f& ]" DProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

3 @- X1 v) H. T2 K* r8 }1 T1 ~! |Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) J; V4 n; D( G  ^! \
$ o2 u" G5 S' M  |; wNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 M6 G- g3 J0 p% r1 V+ `4 z6 R6 [# Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" I7 M! i9 L( T& z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- n+ Q  [; [3 P/ x' |7 W1 i                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 u' l9 Z1 O7 H" F# ISo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: M( z7 i$ S4 a, Q  f9 `2 S+ f
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* ~5 A, j4 i5 z) ]* w/ K
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! P4 B9 n8 T+ J: Q  K( S9 V7 o
# r6 M+ h0 @4 ]1 d' y0 @第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ M8 O) o. ~. Q0 H% RSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.