出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 d4 [1 n# t) o4 y; m
! v7 M) l  p7 ~2 ^+ e2。下边证明有没有毛病？

5 `" R' B* t- \8 e# Z- n, t设  a=b
0 N. h' u+ U& ?8 A2 `) {: A
* Q  T) i6 a! D2 {& v$ N* Y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
) {8 H8 f$ C5 t0 ^两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 _: \0 R1 c+ ^8 i3 V! ?' {
0 s; ]$ Z" [( Z$ Y  Oa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
9 R& x9 {- |* \1=2
" E" T0 Q1 }  }% X1 k
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
$ \  b0 c  C0 K% F- b  G/ J: l2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 r  B3 ?3 q; `( f1 J+ r7 i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 E8 l8 w$ P# l" K2 M; v$ D$ f/ u! N8 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& a; H: O8 n  L  r7 Z5 g: a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 J" _. s3 I+ ?1 w0 I看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- C6 D( r7 ?, p* T) y0 P0 D
- L, Z7 n) H- S6 H' T2 F5 z& NProof:
) J( C. N% c/ N/ p4 DLet n >1 be an integer
2 r! I; k5 g* O: ?" j1 l8 o! xBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 R6 N% r$ `; K1 B4 n1 P
# U* ]& T' P5 ANow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 c% x3 Z8 x7 B! `  D6 i0 R) JThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 ]6 u0 j  J+ M. f                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 I& j, ?. D$ r5 z* M' @                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# G* U3 t, |- z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ U! A( V  c4 Y4 jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% I/ `/ P: ^# P+ a, S
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

- V3 e/ I, w, Y3 d: S! g[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  O' O9 |7 ?- X
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' j, {+ D9 e# X: Z0 S' ~/ \6 TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 F6 Y$ y, i+ q8 _8 s$ m  aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.