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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?% j! X0 F/ ^+ j% H# X
. K9 q# ?' ^' }* R* W* g
2。下边证明有没有毛病?
# Y5 \8 X( g7 U& K0 v2 m  T# r+ Z9 j3 _
设  a=b
- q" P  M+ b5 {& b/ d( l  j- m+ |1 a0 y. S/ P- d' R
则有: a*a-a*b=a*a-b*b" ~1 S7 D; P* ^* ?! a" ?  _1 F; `
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
6 K! Y) \5 d7 i/ m8 ]+ h: P3 M
; I; K5 P' ?% v5 na(a-b)=(a+b)(a-b)
4 G* s% G1 ?$ J4 J8 b$ ya=a+b
' b& t- ?$ j; V! ]' S, B% ya=2a
5 [* H! r+ c% b) P1=2% T! o; w( Q" ?, o2 e0 r' v, K2 ^
2 I4 k; ^/ |8 D# ~$ q; ^( \6 {
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试6 S( ^" Q) S% B9 B/ x' g0 w2 r

4 T, A- g$ a/ U- u0 L: I7 g. H1)不能。比如1/ ?/ j# o4 u1 p1 y9 R9 g4 h( o6 X  `) W8 b
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
/ ^* [' f; u. {# ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:& v  ~/ H7 |8 W* S
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 {) X3 S! y. @6 @9 n* H: u
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
: U5 e( M+ d. F6 k; V0 A
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:' a# S. O; I5 M5 {- X; k- O& i$ W
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, F# }  N! N% u* q
+ R4 S4 q- q7 n% U/ M
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)0 X0 {: v4 L! j3 y; m2 j

, ?+ d8 ~/ M; m% |% |# X% ]Proof: ( z9 j; E* `& F  o* X
Let n >1 be an integer
3 @# V8 N/ k: [& Z" K$ H6 ^; v. I& VBasis:   (n=2)
, f4 e# Z, D. G3 d% _: K         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) F7 G6 {( J/ O+ a' j- Z) O3 B. P' b+ O% t
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that7 d. H) t7 u4 y' d0 Q2 |4 O* J" n
                                     K^3 – K can by divided by 3.8 C. A, C# g- O& |7 ?

& k# H6 d) w$ U& ?1 A) ?/ l0 |9 WNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; V2 ~8 w# x7 ?5 ^4 E# Osince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 t# {  {: d. ?0 G$ S- l! yThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)2 i. y. d+ Y* z1 w7 P
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
6 z% d, ~# [- g8 m( Q) m( _                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)* @/ V. h) v+ Y% Z, w
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 J1 t: `; t& E. ~2 d6 G' }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 Q4 [  {1 {0 H( ASo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)6 L+ E* K( |" d
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 O- A$ \. O+ Y" g$ w8 N' t& X4 @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3  g, @: f! h' i1 d3 y( K7 s* Z
/ E. a' R0 w0 F, C* G( w
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.( v# h' ?0 g7 Z, y6 _  \; ?" ^

1 n* \- q/ W- z6 {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. P6 d: i" M. j0 ^
" i  I; q$ h0 K第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:' c2 ?% {# i$ a! D; b
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
! U5 d, |6 D% e  P, u
& b$ _. Y/ g4 w& T/ {/ o0 P" T1 e
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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