出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- J4 p) L9 ?8 }7 {; q/ @" Z
4 h5 y  R: H8 M3 U) T+ Y2。下边证明有没有毛病？
& ?" u  B$ }' C9 y
设  a=b
/ @5 S: E3 {2 U, [, b& C3 t
& [3 j9 D$ O: p/ B' E则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

3 G9 p! z  }3 [2 c' i8 ya(a-b)=(a+b)(a-b)
0 _& R7 s! E+ F0 Y; |a=a+b
a=2a
1=2
" R1 y5 M) Z( ^6 f
! A5 R0 F9 ]7 w& N, I* k) c/ r证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
- l3 o+ ?8 u# r; \0 Y2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ d: E9 j. t5 ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% ?$ N0 F$ M+ R# J" p" M5 x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( j+ p( O7 f; G  q" f. o( t" H

5 ]. z1 g$ R! B/ }+ V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
7 O6 u) I0 o+ k& \1 r; a- _Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

) z! a/ _( [3 O' a9 Z9 @! X8 xInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

( U4 {: H$ L+ q2 G& w- BNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. ~8 W) y, D0 S8 ?, U  E! }                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 e7 \5 R! x% l- L* `                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% D) Q" N7 T, y: H6 R) f0 ^by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 \0 \- {9 }5 P: ~
" Z8 L/ t3 \; T5 T2 C! A# C; gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

/ D( U/ `8 M/ h
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.