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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?# T. `1 T' O* q2 j- b

5 U1 J; Z7 F- u7 i, ]+ x8 D2。下边证明有没有毛病?
9 y3 {+ b/ s1 s& L) h/ C& ?" H9 X1 B2 ~% a- O
设  a=b. {3 \6 G  }  t1 i; h

" z: |) c4 r! Q2 B  {" a则有: a*a-a*b=a*a-b*b
3 L+ ~, l8 ~/ O  y; ~8 ?. H两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
# d5 m7 c+ E$ V( C" |6 p# I* m/ S7 O& v" m" o# r' ~
a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 C4 _4 }7 c/ h0 A- Qa=a+b
# m. D1 M+ |/ [4 A7 s* n. ia=2a
, O( F% \" k+ A8 r" O1=2. ^; B* L( ?7 ?: k8 u

4 q: O8 _" `  O8 B, n5 G0 [证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
4 \4 X4 ~. w6 \( a9 n. i) `
. d# J9 |- P/ a2 j/ ?: o7 p1)不能。比如1- y4 E0 \- }  T& Z# E2 q
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  g" n0 a( N+ y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:  {0 p5 U+ a' e8 a& g. D
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% W- w: E0 {/ a5 u- I+ E! E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) D/ y5 Z# x. y8 B, v: |7 Q# m看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ N8 N( }  Z0 b* }: M  w1 I! `" P8 _
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' k- {1 w) X- r

" E9 x$ L' Y' _5 _( v' c7 y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n); M3 w6 t; ]) W. @0 L4 T
# E) U# M9 E1 I# p5 M( h
Proof:
1 c' }6 n* J1 b8 H! ?! C6 ILet n >1 be an integer ) _8 Z3 k4 F7 k
Basis:   (n=2)7 X) V' \2 x( G" ]& {& u/ o8 k( G$ w
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, |3 _! w6 X3 S7 T2 j. ^( m+ W3 g
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that, L. L$ ^* j$ Z& ?
                                     K^3 – K can by divided by 3.) `: Q6 B+ a! v, Q8 b

( X+ F" [8 o8 H) E& ?# W) cNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3" k# L# |5 @: F9 W  }* L! W1 b: {
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem1 r0 S# C/ g# ]- E( r& o
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)$ Z6 q  O  L; [6 r; C
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ ?2 r2 b) _6 y1 {3 I- Q. _- r                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)  c* K; @0 ^) E" }4 U
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 i0 }! s& ~3 R% u$ _4 Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 R+ B" b" L+ J9 `. O5 n; V$ ?So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)- [0 P; p5 P. S  c0 T9 ?' }( m5 |
                                = 3X + 3 ( K^2 + K). c$ p* B0 U  H
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3) n# K( h. }2 k- n

$ T! k( b1 X/ T0 B/ \Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. Z6 W* b1 y) n' U1 ~+ Y/ k7 g: ?6 ^0 l4 K* v
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, x3 K4 Q' ?: }3 j$ c* o  R
* K/ B3 m' d, v5 \% N, ^6 d0 M第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 F8 W8 V# G/ U" V% XShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) T( S( s, h8 L: ^/ D$ \1 i* ?
" t* p9 l9 q' Y7 j# G9 E# `, lSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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