出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! P4 w. A  b8 k/ l' f
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 B0 s$ H- V6 H! f  D
a(a-b)=(a+b)(a-b)
2 j: i' W% j& [  \a=a+b
a=2a
1=2

" q: {5 `. Q. w& A1 e  W证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; D7 n) k* y% L
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; K  `# |9 q4 w4 E+ Z+ H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! J1 }4 P& Q3 h& R3 a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 _$ J. z" W' i$ `2 c/ ]0 u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

- n" h2 z) ]! ]7 o( Q" |看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- I( r) w( v  x& u! }1 @

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 ?3 Y0 k! b4 L$ d7 L
Proof:
* l' s& W4 s5 ?8 Q# {$ Q+ \Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
. c1 Z6 e3 W4 B$ Y         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, S: U% N# C; Q1 f4 O0 ?0 _
4 ^& V% w, S2 \$ q- E3 I5 \7 P7 LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# f; P5 o7 T# \4 isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 W9 D$ F- H0 T1 L7 I, N; }5 |$ K- G                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
8 T5 e8 o' P, @; y7 s$ I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) Q, n) ?; T2 m3 v- Z7 Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 ^; r4 w2 W# \: [% n' G                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

$ u' l2 v# ?' C; \, d' Z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 Y/ g8 O* G( x
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) A6 A4 g8 r' k, Q9 ], A$ V! H1 yShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 I% s* Q( F/ c% P! }
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.