出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
9 L/ K$ u  B% L9 z$ w
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
$ g0 C6 ?0 \, G4 f+ N6 k4 ^+ L两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

% S, }( o- ?" \: g; b1 ha(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
1 f, z7 t9 B2 ^9 j! Ya=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 o9 x3 a  R/ O. o
8 |& F/ f. V/ q5 W/ I2 L2 J1）不能。比如1
+ z8 f  @  E  s2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 p" a7 {& ]' Y% I& h4 A2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& M* G1 |3 J4 _: V3 U4 e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 l4 Y' \( y' I7 c2 g
4 J, j4 B9 }6 e- \) G. h* k0 wProof:
( S% ~7 I  i0 kLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

+ M2 n' u4 Z( n6 \: eInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! B, c1 {6 e' q1 f                                     K^3 – K can by divided by 3.
2 a0 [6 j: X7 \/ E% X
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% q+ D3 ?5 u5 p3 RThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' ^- ^- L$ H' H; Y2 d6 }                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
- P/ L- ]$ q5 V; D9 ISo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! R5 r5 h: U/ B0 Q4 o1 O                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. j* Y7 m, I% F8 _( L
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- D9 v& m% R# }! a3 p6 Y, s
) w2 q- P. c& H[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 D5 l, c5 g: x8 C- G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.