出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
* ~* o2 D8 S! Y( U) G4 Q
4 L( ]* j' X% R3 T  I设  a=b
# v% u- P5 L9 \, B4 ^
2 o, W8 G" D8 t则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
& q3 t) z0 x3 S$ _6 P. T$ l: x& a1=2
2 M8 @: _, [% Z3 V& K) T% s
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- P' z: C# G5 X, H6 x- p7 G
1）不能。比如1
" p# _7 M3 i/ U' ]0 a2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 O" L' Q1 R! Q, X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' u2 j# d+ N" @9 ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( r& f2 T1 T0 j' T; K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% z6 U5 x, P* p( ]" x$ ]/ i2 R, t+ Z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 R( O' B& B& T6 \2 F1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 ?# h: h/ s8 K# k; G1 h! r" Z+ E

& c' v2 E! _% ~. A/ q( ?  h为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
' F/ Y) O# |; {! A9 c. ?) W' tBasis:   (n=2)
- ^! E9 }9 a( s$ ~. e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* H- l) c- H4 k: P
" i7 f5 T/ G7 d( \Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) u5 q, q# v* j4 G7 h) ksince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# r- u: `8 w  u9 F3 H. Z                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" a# [( ]0 N8 g% S4 m: d
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

5 n6 K6 F$ S# c9 U[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% G0 }/ r5 p7 ]" R4 }  ^
3 ^3 s/ K7 y, T0 J, Q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 @' Y: P4 Z  W+ S
2 h% F' f% z: k' t, CSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.