出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
, t1 K/ J$ d  n  O
- M3 `' Z' B3 i设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 g" ^) u! ^& c& d3 l3 \, J
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
) s, r/ d% d0 L0 c! b* L( Qa=2a
1=2
- B9 Y2 s" r4 K) k$ _, y
. \7 B* i( q! f5 C8 O证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  e6 I: f7 p3 Q% c" u: W8 @  G" T
1）不能。比如1
; J/ n" f) m3 J4 w2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 `0 i9 M/ u9 P1 Q. A- g/ t. J+ t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# s. f8 z' A+ \7 }( @$ c! u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  s% O- G7 t+ D/ c9 \# M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

' l( p+ }4 i# Z" j4 T) O! DProof:
* W% [  `1 U0 @6 T# i* WLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
1 [) w+ G3 U- ~. m3 Z5 Q" y& Q, n/ d4 o         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 A- B4 }0 Q6 `6 T0 R
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 r, U$ S; |2 c8 s, C3 d! b; I  l
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- P8 o+ j  z8 ^# I) isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
7 l* L6 N# r4 U' v6 }/ w+ V0 p  s+ g# bThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# s" F' |! ~$ `  B7 `. c! \3 R                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 ?4 p/ e* O+ }* `0 z7 w6 e                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

8 @* C4 [6 B" l8 @0 c$ m1 W[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! j) n) P* R- H% o  l; O1 n
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 n& S: h3 P, v& JSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.