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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
3 P$ L. I. S# K
) Z# e* d) m! s! r2。下边证明有没有毛病?0 [2 v) z- n' s1 i1 _8 D

- ]  I1 I/ f" L  C& K$ x设  a=b+ F' U1 R) A' `! s* w0 \

  L+ B& Y+ p, B则有: a*a-a*b=a*a-b*b7 C& j" t# M: n6 Y3 b: e5 d! H3 k
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
, d0 ]- P% ?2 @. j! t' }& Z8 j- ^  u4 ]
a(a-b)=(a+b)(a-b)  T* _; _- G7 ~4 O: }
a=a+b
9 l# ?/ |! P  E; G* Pa=2a
) {$ L' r- V3 e1=2
; G% j% `! V& \( {, J# @
& ]9 I5 {. R# y  G9 O证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试' W. d% ^' k) _0 @; f! M

1 E. f, s/ W& K3 C. g( H" r+ I1)不能。比如16 f3 Q! j1 Q4 o9 k* B6 K# ]3 _
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
8 G5 \$ p$ `% `% }* t& e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 p$ o% i: T, H( h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! J5 s* S( I4 F, Q9 U3 H# E
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
. X" X, X9 U! u2 e, W2 D6 G  ]9 b+ F
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 T' J6 s3 X8 h; y4 w( V  V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 [) s' s5 J9 y& Q& p: Y2 R
7 G5 v( I; T+ Q( V. Z3 d
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- x" D$ p2 b5 k; f6 e4 N1 B; m' n- E7 d: O" c, A+ t
Proof:   h/ o% i7 V) G/ m' o: \
Let n >1 be an integer
' _% V6 n" z/ g- tBasis:   (n=2)2 O2 u4 F# _" C; \
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3# E2 Z5 z( D- q
0 J  O8 V) z) E
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& t8 b( h5 u( ?4 e                                     K^3 – K can by divided by 3.. I" T! T) d$ p, V
2 N, o5 [8 Z, n' W4 |- o! N& _9 q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3. |1 \# e1 t) e; h8 P& q  o
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ U& z  U  Z; u) E4 Z# UThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% A4 L. F% \9 {  J- L                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: I$ k/ X, r- D( r, X7 `' V/ A2 X- N                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- t$ P$ z, R6 G+ r$ o+ o2 S                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% G0 @3 I+ i- Z: m- n3 R3 pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ V8 L" _6 b* I; j, x: n0 z/ HSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 x0 Y* g' p! e8 N- P
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 r1 i+ x5 w  M2 t$ S  e. H* J                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 32 f9 f2 K3 g! c/ ?

0 I( q  G5 _/ r- f- p, u( IConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.* r( F  Y+ ^% i' L( H
+ {2 I2 @/ g% ~5 L6 n4 e9 Z
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% n, s! I# y5 _5 E2 g, }( H. a& ]: [5 g3 S& }. W
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 m5 H* Q/ ]$ B6 LShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
2 C& t. C. a: N) j8 x+ }/ \
2 Q+ i# b9 Q9 r" b5 p
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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