出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

7 W% n" T7 d5 `5 Q4 ?) }  F2。下边证明有没有毛病？
. A; F& I8 Y; D1 u! _
设  a=b
# Z" c: Z- q, p- ]
3 u, f& V8 x; r" A则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& S; ?" X" G5 l# t; R3 b两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! U- y, `! U* r6 B
1 P& L3 l; D7 w. Ka(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
0 g( U( _1 e+ L* m7 D' i2 [( Ua=2a
1=2
: q3 V# z' d9 W8 G; D3 d# h# }, _
# R' o( z! x+ t% K! b证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: G" b1 N' u% t& F/ D% A) U0 `8 B
1）不能。比如1
) v! {! o. b* {$ p7 r2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ G; A' u( i* }/ q" _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; X/ W  l0 y; ]% C# a' _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

* u0 E/ S( j: K3 lProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  m. j: D1 n: R9 V  B% y  r
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 x: ^& |) X7 l' r% s0 |8 n
+ ~, T7 {# C/ x8 [7 X7 INow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ [9 Q1 }( S$ q) x0 {$ W( j+ hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 M! M% h% b) K; c$ |2 x3 x                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 u, P; i" ^0 F* B9 D0 S  d5 `                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- O. m+ r. B" _1 v3 {6 w& l                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ O4 r, J& z6 c& ]3 f, ]                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: A8 ~$ l1 e- N9 k- w
+ I/ n5 r- G6 S; T* gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ G% t' ^) [" p$ o# f* u9 n+ G
9 X( ?9 x3 _9 M[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 r9 Y' U% P  h# f- `
- p+ ?+ R+ ~% H' |6 T第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
, _+ p* y: Z+ L- x  Z3 NShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ t9 l- b4 ]* \" t0 t5 o+ t2 s
: i  d1 z5 ~" n1 ]# w  [6 DSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.