出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) g( U+ J( j, }; T8 {0 A
) x+ c' G3 B! z( S0 g; Q2。下边证明有没有毛病？
# c3 c( O7 s& Z
设  a=b

1 L* a1 ~8 c* o则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 _) ^1 I( M( e$ n  x  i8 F
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
6 S% y  N+ p% O1 U6 R5 _/ |8 F% k1=2
9 ]& H8 P5 I+ E# C
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

9 a" R2 u5 w( j- B1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 r, A" e$ R* C" a5 Z% W! I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 m5 S' ]* q. |: Z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! U0 r1 H* F4 T/ z" R1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

8 s+ B' s( q# O2 X2 r0 QProof:
' C. Z+ P" c1 wLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

  Z+ _3 x) I( v6 a+ Z/ F1 qInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

' I; o5 C, \& s- w" t. gNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( e) \( U' S, a8 ]7 A                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* u4 X" F& D+ |# R* Q                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

' [. @  `3 k) E9 sConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) M* I/ ?' _$ |
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

" _9 M: q& m* ~$ @3 I  n7 ]/ J第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- ^/ C6 i* U7 K3 s: C! l( G7 p" tSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.