出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2 H9 E! g3 X5 y( k( E* F, \2。下边证明有没有毛病？
: T; }9 h: l( o
设  a=b

' @9 D: d5 Z" H9 h1 V: H则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- J9 M9 P+ H3 i' W5 H3 s两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

! N9 y* i2 r1 h  I2 I0 W! aa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
  |# w" w  W; k3 ]$ \$ @. ja=2a
2 s: V$ b' x5 }# `$ Z  F1=2
8 u% @1 K) e1 L7 P4 f) c, K
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 b. b' t& o# j
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, f' Z$ D& z- F) r& P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  h- L" c3 o, ?9 J$ O, i
Proof:
. ^$ d4 E6 H7 ^8 f) w0 iLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
" }* W2 L; Z4 V( a: w! D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 j% m' ^8 X+ R" B
; A/ e$ |5 }% q7 j; L6 oInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 Y& T8 ^8 P$ I. n+ I8 F5 \/ M
3 E6 [$ A) _9 F& ^Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 @! z* R  r  p: w% {since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* ^: T& c: `" W0 M                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; C. U" ~7 [" i# B1 \8 E                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, x6 r2 j" P0 m' g. i0 m                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; x& U6 S3 Y+ J+ Z+ A  L8 w" V
3 ~: w# }! H: t* A$ A% B4 zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! \( G2 ^* N' `+ ?
8 N" ~1 W7 c+ T/ A3 {0 V[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 c0 k/ M' m- S2 i, g3 p8 m
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ f$ B( U3 o/ n1 H  |& ISORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.