出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
( e( @$ Y/ q* d
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
/ Y) h+ v$ W6 ia=a+b
a=2a
1=2

2 B9 G% Y8 Q: l, f1 v证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
8 _* r# l/ b- h8 }+ z
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 i5 B+ H% {3 b. T6 A' C! w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 Q* W# _; J' D4 S2 A5 |+ X+ o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' }* |; @% F: \5 f' n4 N5 U# r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% h9 J& p  _7 I" R5 u3 e0 k

1 [4 W- u4 \" I' L) z为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
, O8 F6 g6 ^6 Y5 W* B2 G2 ~: W
. }' F2 O9 H9 b8 K4 f3 F& MProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
& C7 C- M0 R" Y0 n9 `         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

4 G& g7 S' a1 [% n) v7 n; kNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* D2 z9 z- `+ j! z  U7 Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' E) s6 P2 o/ u4 _4 pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 ^& b1 P$ \( |7 }9 u2 @% W/ p                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 q. k' b& H' N/ `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
# n6 v2 b: N$ J! c3 m2 f) W' Q! uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ R1 j3 r6 b7 x! V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) \/ G  o) v" E" S* C$ O0 P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 Q3 n4 O  ?, D. X) w- A6 J
& V- L! u+ g$ R  i$ G, d: w+ j, J0 }[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- S5 u/ P( E5 K4 `9 I  z! U7 JShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ _5 C+ k4 X, I2 fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.