出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- g  Z; \6 ^6 M" o
2。下边证明有没有毛病？

3 V* y) M8 \" b3 N4 l' o3 ~4 t设  a=b
6 |" D3 S) b) E4 y& X9 z' K/ U
2 v& W5 a! _7 j6 J/ F5 ~0 O5 U则有： a*a-a*b=a*a-b*b
7 f/ K& r5 ~' h6 O8 i& R两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* M0 |- R  ]! @1 }% {$ T/ i) c( l
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

8 _+ @! T8 V5 N1）不能。比如1
5 D: K+ T1 e2 B0 `5 L2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 e, U) c3 A4 m# E- `6 v4 }& X+ \) _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 j- P* ~4 M4 H1 V2 H$ D# k看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

/ b% x' g4 W7 `) _4 h% D为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
9 S! C( b) u3 D9 T  M" ~3 z
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

9 R1 @  `9 M0 w% g/ bInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ s1 K5 |* |$ p7 f7 b) b/ s                                     K^3 – K can by divided by 3.
6 P- W0 S3 }) N* f* K- P! O* e
. j) U" V% n' Y8 b' TNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" d3 x5 R( N" {by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% W' P% a$ q# g) u" t                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
7 @1 Z. j2 F3 G$ M                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

" Q) k, n' f; o第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 L! b2 l) J& tShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 `) O" R/ h+ h0 v$ h
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.