出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) q7 o9 a$ {! T- o! t
. I7 m3 y" O! r- W& t9 a2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
* F9 s! d5 J* x* S
% z& a/ @" I* _则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

8 z. N+ e0 Y# y9 h' i0 [a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 s) ~* X! N, ]7 g7 Ga=a+b
' M: ?1 ^% H- A$ fa=2a
1=2
  g) n5 ?; B* ^4 ^
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ C; q, [. e3 N1）不能。比如1
& J# a- I1 X1 C9 a2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# Q' J  R- K/ B5 m) M- y$ J2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ l4 c3 _( Q3 t2 z3 B1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ |' p' p* C% \, f4 Q8 F  p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 }, V  i0 m" X/ Q' y7 A1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& E" g% [9 ~: y+ y. i

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
% |1 x* x* r5 @, D* |/ N/ TLet n >1 be an integer
$ q% X  X3 R  |8 T  H: {* dBasis:   (n=2)
! N* i& ]& W( i: ~" b" }         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 P. o( Z& g  U1 p; F" O                                     K^3 – K can by divided by 3.

& g* @2 M6 U$ N1 ^Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 }. n5 L7 F2 J9 P$ HThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
, m) _$ k' g$ m# |) s- [8 F                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* [" c/ Z7 x+ O; T% Q( L$ k1 t/ C4 L                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 P+ f( S9 i* E" pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
$ x- [% |( a8 v' ~; a) P- \+ m
* _9 T& x8 o4 t3 _0 }3 `) b[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

3 W/ P# B* Q( G7 M, i( X' @7 y第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 O2 b7 l3 o$ I) ^- SSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.