出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

$ v% O0 d' T6 f* k+ _, r+ ~- t设  a=b
& Y9 S2 {: V2 u& m% d
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: q) {% f+ G( C, G2 U# b6 B两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
1 N% R: k5 L" B& q1 I
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; a0 {. J$ U% `5 A
" y/ n  j" l  }) m9 Q' [1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! v8 t: _: V: k! {1 J+ f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- ^) n' K1 ~9 l4 v! S" |4 z' m+ s' W2 @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 ?( g- y+ C1 D( V1 q! V1 b  ]
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

% T5 x' Y: W0 |. g* KInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* L; U6 `8 C5 C* d                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, M: u+ J3 M' ?3 L+ _/ T, ~' r$ U                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 J) @/ r; r: G3 U# \% A7 R+ g4 M                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, C, m/ M, W' X% z/ e" |1 Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( k+ Z! Q: {* G1 ^2 y) bSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ R( j2 M- c; M  `, @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; H- X' B' O: B, f: E1 t$ o) B
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; f5 b1 l; N8 n: |, M7 D! t
6 y9 z8 g- A7 i  x: o% z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 y5 q/ ?# E- i9 }6 HShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ n( ?, b' Y) v3 i# Q. L1 ^% ~8 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.