出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
. C3 n# L$ ^1 S6 M& B* }
2。下边证明有没有毛病？

% N/ R) p% ^1 ]* J7 s0 s% l设  a=b

7 s* D! B! ^  ^+ l则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
% y# x4 K: W- C+ p1 B& k1 }/ s. k# Y
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
$ o& ?& o+ F7 q# W8 R; [$ qa=2a
8 k  u& H$ ~4 z" m1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- K: I: d; c  a& m3 D# t/ R5 L2 ^
8 K- t0 @- c8 [* w1 _1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( v" N  ^0 r/ w! ~/ O/ |4 P看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 y& c0 ^; Z8 D! j/ j7 Z. Y" J1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 C  ]0 `& |! @- v

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

0 s% {/ G8 n1 o+ ?0 qProof:
1 H- I; v5 E2 n  E1 p; B6 d* LLet n >1 be an integer
7 i7 E- i! N& y2 ?# [! F+ kBasis:   (n=2)
" H+ m9 ^- N9 G9 d" H$ B2 G         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

3 g. W+ ]. U- `7 }- ?9 TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
* x; j- z: t8 P: M7 [4 v) o6 B1 \
4 o- S, [' |" @& t. ]8 f, ANow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- E9 G& D; c4 D* P! AThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- v, o5 b0 q8 w  ], o3 ^; l' m                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 q7 q$ s3 S4 F5 g3 i( |1 G                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 a6 T2 f/ N( m6 |                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

+ J1 Q3 H4 l; B# CConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- p3 f* H1 ~8 _- @% R" J  d9 A
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.