出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

" _5 p% f  C: w9 b2。下边证明有没有毛病？
) W/ s( P8 U5 \) B5 s) B) _) _
设  a=b

8 ~: }, u" U; v4 I8 o3 F9 J) R则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

. Y3 w( E0 b4 _$ n  q: `a(a-b)=(a+b)(a-b)
# F* E9 V7 C2 a% I% a2 t) U5 K: Aa=a+b
a=2a
* U* O: S, ~2 R1=2

& d7 f% y0 N7 m2 ?证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

: j2 }6 |% R& r9 q7 e1）不能。比如1
: j8 C  ]* U, T- j- Q2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: j, m) `" D4 ~4 G7 e! ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) J6 \+ t4 V+ e% `7 W% z1 p% h看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 p' g8 X9 [( a- I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) ]. ?* ^0 h1 w! o

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
9 v7 H; \  \& fLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ p* [( n% l1 A+ A4 S7 C
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

  b, {5 e! t& N9 @/ qNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) K6 f! ~  _8 _8 g( q% a( g; B' k5 Rsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 |- D5 x, t2 a) {: I                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 H9 {5 M, O8 _5 ]( f& ?' i                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 y0 K5 S% f5 }So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 }, ]; ~8 q- w: I$ K; w/ I                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# S/ I) t" g" D3 c& n' U
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' K1 h6 ~, h# P8 G7 B7 q1 Z
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

2 u( n* U9 g' b第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 j( b  ^9 I9 Q: B( u& pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.