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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
: L* S$ }9 w, {1 s8 d- J
7 p) L& A+ @( ~8 m& R2。下边证明有没有毛病?
# c$ z) V; f4 A- v) e
4 V2 {# }4 J% R% J设  a=b
$ B! g4 ^. i% R' I. F" _, |  q! K' K5 S
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
0 h. x9 Q7 j8 }0 Z2 a1 o, t7 y两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):7 Y# t% N( V6 c6 m

, ?& N; G, ~: W, Wa(a-b)=(a+b)(a-b); g2 K! k& S2 J7 P. O
a=a+b5 J5 K3 B. R  L. S
a=2a+ A9 V' M' ^( e6 ?- a
1=2* j  C8 D4 J1 o, ?8 K
, k( C( i, h# `% L9 a$ a4 E
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试' u  a1 x2 M, h% u
  }+ h) B1 ?, B" L
1)不能。比如1
" m! z* r: y2 l* _, o2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
% ]: R1 U% _9 F% b2 G& @3 `: b2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ g) W& q) T# F5 K
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 w1 ]5 A4 B7 p/ q5 N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
( a8 {9 A# w% U5 C; p3 [
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 p6 Y" L7 n- v) Q. k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% {8 P2 X: R* B% j# F
1 B7 ~& O( ]- z: ~5 Y* Y
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)3 m" r( j% I3 [9 p% [% ~" |

1 `, ]2 m  Q% e; r5 RProof: 9 V9 ]& U' P1 p% K
Let n >1 be an integer
# R1 v) ^. V$ j1 v4 k( @Basis:   (n=2)/ U! U  I$ T; l0 U% N; h' ]
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 w  h) [! E* E0 z. R9 Q
9 T7 i$ a% G8 u& [- r* N% I* D- V7 mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* _% x9 r- q1 `* b+ y0 f, S                                     K^3 – K can by divided by 3.4 V. B# |& c/ l( f7 e
( g) `  s  i; E. r! ~7 R7 f' |
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 38 r0 O) \- u. n
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem) a4 `  `* b9 y7 x( l
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)8 \6 _+ y) E% O% R
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K( r1 b- t0 G# k2 N1 R
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)0 a7 t5 n3 B; K. C9 g  F& k4 q- X  S1 l
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. {8 M7 B+ x" x% F1 Y# Fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0$ q) H: f" @' }1 v$ k
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)8 m# E' [- I! ?7 o
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)! [. A, G8 u7 Q' q3 F. W. ^
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 `; l3 I. x3 }1 Z- A* r
0 r, Z. M7 v8 B+ T+ a+ g; z2 j6 N, ^5 lConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.% |& }4 i, Y* A5 u: i

# H( T0 \* X! h/ Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' `/ E6 w5 q/ P% m8 F* d3 H: Z
* G8 i: Z# \" k第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:7 @( q0 {* K, z' Y% `
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
. F* z0 ]: O0 b, Y: r
1 M9 m: c" o: h  _+ z0 F8 h+ J$ J" n
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
理袁律师事务所
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