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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?! V6 H" j/ x% |# P
9 i% G1 f7 s$ j3 k  J
2。下边证明有没有毛病?+ E. ]0 |( }% X# B" b0 V. s0 o

$ v% O0 d' T6 f* k+ _, r+ ~- t设  a=b
& Y9 S2 {: V2 u& m% d" M8 T; o# Z3 `! P$ z0 u
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
: q) {% f+ G( C, G2 U# b6 B两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):1 D/ o, X2 P$ S3 p
% g, y/ n. M1 h7 I
a(a-b)=(a+b)(a-b)& U& {1 U1 d" S9 z; y2 K. Y
a=a+b4 O+ v: N0 u+ W* w/ a
a=2a) P  n& j: U1 x# b. F  ]
1=2
1 N% R: k5 L" B& q1 I+ W  W( b( A4 }0 B0 j, S
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
; a0 {. J$ U% `5 A
" y/ n  j" l  }) m9 Q' [1)不能。比如1; F  i/ |, q7 {9 e2 `$ w
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
! v8 t: _: V: k! {1 J+ f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:0 g4 R# m- l3 v6 b
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。8 I; L- r9 @3 I3 u  T, z& l
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
! l: ~% m; A# U9 T- w( Z! c+ W
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- ^) n' K1 ~9 l4 v! S" |4 z' m+ s' W2 @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。: z1 p' E2 e0 V6 M( y
6 E9 B) x$ M; z' i4 [( k6 [
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 ?( g- y+ C1 D( V1 q! V1 b  ], K  v2 A' [4 v9 C  r* |% o- `
Proof: 1 J) N6 T, S; a1 q
Let n >1 be an integer & z1 x" k$ V' x7 o0 w  p$ a% a
Basis:   (n=2)4 P! y) c) u5 ~, [5 |7 ?8 D4 I
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 38 z4 b0 U+ Y6 Y3 t1 b% [

% T5 x' Y: W0 |. g* KInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* L; U6 `8 C5 C* d                                     K^3 – K can by divided by 3.& \# ]/ m5 y+ f! M2 S
6 W7 j; F! w! U6 x! [) M8 u% }
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3% ?/ [. }9 G$ N) t( k% j# X
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem! I, R5 q; w2 u) {$ e
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)/ D. ^! n1 d4 h4 l, o% g  j
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, M: u+ J3 M' ?3 L+ _/ T, ~' r$ U                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 J) @/ r; r: G3 U# \% A7 R+ g4 M                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, C, m/ M, W' X% z/ e" |1 Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( k+ Z! Q: {* G1 ^2 y) bSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)& D! h$ c$ ^$ O- D/ {
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ R( j2 M- c; M  `, @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 32 j7 n* Z2 A. i& Y; g) f
/ N) ]3 M3 Z0 D# s
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; H- X' B' O: B, f: E1 t$ o) B% y! |/ w8 S3 ]3 I( {$ Y
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
; f5 b1 l; N8 n: |, M7 D! t
6 y9 z8 g- A7 i  x: o% z第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 y5 q/ ?# E- i9 }6 HShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
. w/ V+ m2 V8 g6 o  p

$ n( ?, b' Y) v3 i# Q. L1 ^% ~8 _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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