出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
) y) l" [* }$ ^; K0 P8 W
$ ]7 B2 b" ^6 t9 F设  a=b

* u7 F5 o6 G* W2 i0 u则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

$ ]4 W6 ^# |/ i1 P2 ia(a-b)=(a+b)(a-b)
' l6 s  W" t% i6 ua=a+b
' N% x# t/ u. n* Z4 ^, ?+ I9 ea=2a
1=2
& f" v" t  }# O7 R% b+ _+ c
3 {2 Y( @, z; k3 Z/ e8 V" d* n/ |证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

  i) Z, ]0 `( y1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 B+ D! H& B+ x0 ?% f( l1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: k  l+ Q" N4 W1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

! G0 [) I) z; [2 F& u) {为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

  t$ d) q: u& i8 B5 tProof:
$ j8 C* _* s$ Z% o* c7 Z% g! cLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' `; R$ v+ S! y3 E" B. q% @
3 q; L4 B* E8 w6 t8 I% u- UInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 A) M8 H1 H- U8 K                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 C5 t4 S' d' c. c: E* j- Y) H4 tby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- x1 C5 [+ V' |( l- `1 I5 B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
4 y3 g! E) a. Y  G* ~2 h& T
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ y/ T8 t2 P" {" R1 A5 z& f
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. `. v0 C: e- T: ]! c& wShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 m) ]: ~! Y- h4 l. X
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.