出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
1 ]/ B6 V7 E5 H& i2 n$ G$ Q
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ C- B4 @, Z) y  j( D: Q1 T
0 L4 `9 t! u0 |) ~' N4 @a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 I& T/ j/ ~& u  Q& Za=a+b
2 F( I( g5 h# C& @3 Ea=2a
, a9 p$ A" V) E$ T1=2
2 U/ Q, X" k& e( h% _# a) s
# T5 P. L- ~  b2 a) ]证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
6 a# l% z% h. S* R% _" h
9 |: u7 c# r8 e1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' S) |5 s! G! ~; e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( i7 t; s( m) [/ ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  j+ g2 M+ Q- o+ X, b& Z/ z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; @3 z  @0 f! u看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

5 {  l; `5 n/ l6 F" b+ [% g为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
. }$ k3 a. ^7 {% r/ k5 N
Proof:
Let n >1 be an integer
) f- ]8 c; h$ ]  [3 wBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& d  I* V& `' ~
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% r1 g+ m4 n+ q" f5 \- D                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
% {2 v8 w$ ?5 s* E& \' q                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 p9 h; Q" h8 Q$ N0 x) R- y  Y& Z& n3 D                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! o9 F6 |3 w/ M; iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, L' a; V5 X$ l  A- J; @% ?+ vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 b7 E& ~3 K4 C3 H) Q) V% s
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

: x" P2 ]" h- R第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  k2 X; {. U: u- ^6 p" ]SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.