出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 P6 K4 o" r/ q/ f1 w: c2 P
) ?: B5 E4 G6 }6 s* M2。下边证明有没有毛病？
# |8 c% J3 b) e8 x" n" o7 Q
设  a=b
/ Z; G$ k* J1 {  T. j, z
. w) a' c: Z# K  @则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: n% q+ o# S7 @  W两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 {  v& _4 H) C1 S
; g$ ]. t! u) D. K  ?a(a-b)=(a+b)(a-b)
  e  |1 [- R9 g, S$ S+ H' J0 \6 u5 J" va=a+b
) `5 d0 r* w8 ma=2a
$ l0 j5 t6 N) h1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

! i* G- |  |, B& W5 C3 _+ P1）不能。比如1
: W4 l3 L9 T; f$ g& r, Y- E+ a2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 |4 [9 J% I' x5 u( f0 P2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 j: i+ O( r7 b0 C$ X) S7 L! U看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# D+ [7 c5 p& V' C6 N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

) n+ N/ l3 b( V! _; f7 R9 O为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
& B. |! X8 K; ILet n >1 be an integer
2 u  e  {9 N1 `; uBasis:   (n=2)
( ]: U+ ?9 K6 {         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
; q1 j6 N* T- }1 q                                     K^3 – K can by divided by 3.
* X$ u$ s: i* \# M% G9 e+ V
" u" I5 E/ _( D4 o% z: GNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
2 g7 L3 p4 K) D- JThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* b# t; }/ V' z" PSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 K5 |3 L, X/ L% W* K                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

" `" T# g: T- f: z5 x: {/ k# p[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  {, s. D. [* Q  Z* Z# w
' G( O/ H/ |  w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: g% f% S- N. O5 y4 r1 jSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.