出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
: [- _9 G) h$ t/ c, w# U
设  a=b
  n8 R6 G) D, |: G, X; a. \
1 o5 C% y# I( z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 a( h7 p, o  Y$ Z两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
" c0 o6 m# ~( ~3 n" l9 v& L- ?
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

7 _) X- o2 p* |- _9 Z  i8 L1）不能。比如1
6 a# H) s& h: ]1 h. Y5 Z# P2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ a, W" n4 s3 z, L5 T5 o' M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* q& f: @7 l" u0 L% k, N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% d& k& ~+ f* {  n3 u8 ?5 k' t+ ?

* Q. K" X3 {0 `9 H  R0 y9 d为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- p7 u8 @7 P) h  G$ k
: }  i4 u1 ]8 q" [7 j3 v" QProof:
* H7 Q) G* w" N3 \6 [Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
7 D: z# F, i( H9 U$ v" p0 o         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

; F9 W2 f) N- u7 P9 }- a5 ~: }Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" H& q# T( r( r' ^& a. M3 vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  Z$ x# d: u, h1 D' ~5 [                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 @$ N! K* S7 Vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 _- o/ N5 ?, ~4 P1 `& T                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 C6 O- j6 i1 A! F$ \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; c( x' z; q6 W( t' O
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

, x& S9 A/ g. Y% E( C4 n第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' t( i% r9 P: K  y$ C
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.