出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

- U  S& m* n: D0 G5 L1 A- s* d) F则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 k9 q# T0 h# R" L+ o8 L
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
+ ]9 ^2 o( g" F& w
( o9 b0 W- _* i$ S证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
3 X0 }5 X4 D' S) O" i
7 @: d) O, }, Y4 P1）不能。比如1
6 u* v% o1 V' z% q2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 i2 s" a# `- X. \+ A1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 d$ c& {) K! _% D/ [1 C) t) i看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

* V$ T0 M! w( v1 r" a5 M# M为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
  h. N4 G8 |, a+ j3 S3 o2 f) M; [Let n >1 be an integer
" R* X" H9 N' S. k7 PBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

0 n1 ]& F! T, BNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 w3 k5 j& f" Z( u7 O/ N; @5 a# E7 v$ V                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  _  z2 U2 h( }0 E                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; }8 O: E+ W: H: s6 {8 ~8 O                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

+ E8 [9 D* \/ ^# ^# Z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% Z! m, e3 Q' g* TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ J6 @4 _1 s1 m. b; P( U9 }
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.