出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

1 P# A1 h# N- t- W2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

! F. i# @& @, I则有： a*a-a*b=a*a-b*b
$ M& Y: D3 i* Z) b7 A. {8 B两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 A- M! N8 L: r
a(a-b)=(a+b)(a-b)
& F1 L( m6 u# G$ M. K, Q2 Z  Wa=a+b
a=2a
3 o4 {' @5 Q4 R( u6 E; q1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

- K( [" j0 ~, N4 ]) F! t3 h1）不能。比如1
- n: [; N0 m  n+ T4 m, p2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# D! W8 V% x. H( X% m) x4 e3 W9 i( p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 N2 `4 w8 P" R+ ~# w/ [2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 ~) w0 C+ F+ z/ g7 @; J看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ N8 u: @' l" L4 Q) w1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 M6 M& w. L5 U( n8 \' @$ u

- y9 d9 u$ \3 {# g" t为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
& m# ^+ O% s* N) f
3 ?3 a: B4 |  E4 p. M+ z' gProof:
0 }# n/ a  A% zLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
, m  D( U* f- I5 U% l         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

( U: f/ S, ~& ^0 QInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ a7 M$ Z' B6 e) p4 @- [; \                                     K^3 – K can by divided by 3.
! o8 d) x! J9 g# J0 O& v" C
  h9 a# I; B, q6 o5 LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 F" _# I! S$ ~  T2 q: }# b4 E: Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: t/ @9 U/ U2 N; m4 uThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ J( s5 X, v7 M& |% C                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 l' Q$ Q. p( a8 P                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# h& h* r. ?- P- T9 ]" V/ nby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 V; q) s2 X$ `8 }( W; o6 _" J9 P5 @So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" y+ f2 ?; k6 s- |                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

2 e3 T0 _: u2 y1 h$ Y  zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. ^, P% q, y1 _7 q# E7 D# Q
5 S; i$ y5 M2 K- t[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

* Q' P+ E0 H" }# _& o第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 H- Y% W# s9 pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.