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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
: O4 B1 c% Z6 B8 z0 l% V
8 r9 z; o" G: T/ w- M. L$ w/ y2。下边证明有没有毛病?
7 j& C" Z" s3 z. |1 a' h. X" I* y, p: u. ]
设  a=b
' J/ q1 m! z6 N, s  c. G( c# O! o
( F* ^( X9 y* b6 X/ i' |则有: a*a-a*b=a*a-b*b
9 N% u0 ^! o% H! r" |# X; f两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
2 q5 o! y" [5 E7 ^0 G& E" t
# W; w1 [/ J, B& S4 a, Ka(a-b)=(a+b)(a-b)
5 t$ a; W0 g: x! da=a+b: Y2 m: l& N$ V" v: d! p& X
a=2a: f, Y7 N# t+ ~: z
1=2
5 h1 Z7 A6 i- q6 U1 A' S- Q
* E* o9 `/ t! f4 V- o! }- R证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
2 \/ c6 v, r( G9 p9 d  A- g
* |$ Z4 w3 p% ~$ B7 R! {% v* _1)不能。比如1% v% J8 L, q/ R
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' E# _: b- p$ r
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:) B$ s/ @" o; c, T7 t3 I6 y' Z' c
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。/ C+ B9 V1 ?, ]; P
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
6 r1 ]: _- Y/ r0 A/ z( t7 S8 M
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:' \4 v9 v) J+ q+ w/ A  }7 ?
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( r% Y0 Q' U$ c9 S, T1 i

/ P" [. N8 ]/ G0 J4 Z* P9 {为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)9 n6 J$ s9 W) X6 n7 d1 x$ Z+ Y
( Y* V2 u/ ]4 m/ B+ _
Proof: ) N9 O' l0 Z- D+ e
Let n >1 be an integer
' a; v. F8 _' P; \7 J7 B6 E6 }Basis:   (n=2)3 b5 a1 d: N* h3 [
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3' I$ l2 {/ \# }* s9 u
) ^5 M* _- U9 q! T0 D
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that+ ~) x; A3 v3 p9 p( ?* z
                                     K^3 – K can by divided by 3.0 q/ P+ p5 u! b# r: q4 D

4 I0 ?/ Z$ J3 _% eNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3# r1 h2 s' ~1 t0 D# b
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem& |- N$ E/ Q% m# H% C# R1 C
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 g+ ]) A0 E% ]+ T6 \' H6 B: S# \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. d, L( o6 D) Z6 N+ R                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)6 T- Q" t( U* g- B  s9 [: w$ t7 K8 H
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 ^7 d0 z' U0 R. c6 @# r# o% F4 h) a3 dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0- P2 [2 }& ~/ w9 W. W
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. C" M  d+ e' `9 a  ?                                = 3X + 3 ( K^2 + K)/ v  v6 N8 `: D7 _$ i  R+ |% D
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 w4 ]" ^- U0 D) g1 Y% ?7 U' N; E3 ?
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.3 ]4 T3 G6 M( K9 T, e) d* A, l

8 o& z# A8 Z2 Q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
: S, d* T! T2 E  r5 l' ~/ }2 I* Q* T( X) U
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:- N8 h: w# b3 r, C- e
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) a# R8 I* C  D. D% t/ g' d$ K8 y, |! t+ m4 h5 \0 f
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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