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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
, `% E  \( A! C; _# Z# t* J3 F6 p1 L) K% P! \* W8 s
2。下边证明有没有毛病?) s9 i; \/ Q. w9 I% A0 @$ I3 U
/ A- H- |  z/ ?& X* h8 |
设  a=b4 |  X& ^; ]& l0 a6 k, q- V7 D5 T
- g2 z9 D& ]* D0 W: e8 S- T
则有: a*a-a*b=a*a-b*b1 }6 w: m$ k7 W+ w
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):% [3 b3 p3 K7 G) y
( s+ T# J9 B0 s# Y: x8 z
a(a-b)=(a+b)(a-b)  E: y) e4 p$ y- S) E& r4 h
a=a+b1 V5 e$ d9 F. _* d& i2 k
a=2a
1 \& C1 E9 ?  [  k) ~, v1=2% V" q2 s7 u2 x. X& w8 R+ a4 A
  q" k5 h- H' O5 N7 Y  x
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试4 H: T# Q! a% i, b

! ?" K0 R' \2 u2 ?9 N0 }1)不能。比如18 {& A4 n. A! `' I8 P; H
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
0 s/ n& Z: j; y4 j0 B0 I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:8 z# P: d( c4 Q2 B# {7 j* [
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' X9 _! H: d7 D9 n
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  B: m4 Z3 M, O: Z6 Z看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, X9 Y+ \5 y8 d& X2 l8 o9 w6 g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; O1 t, _0 ]" o; P

8 g) K3 Z" t9 |7 d" [为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( t. p2 p" I! h1 v3 k8 ~
  s  P: O1 l1 Q  i6 aProof:
. {9 m5 M& A4 t* S9 ]Let n >1 be an integer
* ]; O. Z% f% r. y0 d9 C9 KBasis:   (n=2)8 V! c4 c2 m2 k. W
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 38 S) T8 w+ W4 O9 C4 O

. @% w% v" J/ ]2 Y- ~+ fInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that5 x' H3 P6 W  z& \. ~( F& J) w# U: j
                                     K^3 – K can by divided by 3.# ~* n* d  @% c3 f" P/ O9 k" U5 B( v
8 v; k$ V4 k# Z: ~+ M
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3! m* q7 f8 ]& v( M) P& l
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem0 ~2 t/ ]; Y% G' J, n
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: F2 z3 Q: a( U                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
2 @5 P8 v9 l" L6 j; O* f6 P                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K); V2 d6 N1 J# F0 ^
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) G7 I( I  a7 p. K+ \' l+ y8 Iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* y' s6 R, N) \6 b0 _$ R3 vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; J/ o3 q9 D4 R6 H7 s6 g1 b: h                                = 3X + 3 ( K^2 + K)7 h) I% X" ]# `; E1 g
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; E0 b; K0 [6 V! B, q+ U, [  h
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. u/ r2 n! b) Y. g/ m# N. b
0 v7 e) E7 o, o. a' ^9 O[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! v8 K- a# `1 T' w( N, l
' y3 a! W; L6 i  S. C. ]第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. y% s, \) S4 K- c6 W: U, p. TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
, \0 E/ w$ i* I# e; n( a
* O, o( J2 i. M7 R$ Q
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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