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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
; h' W/ o5 d0 f( @+ j( i+ \9 c% m$ i
0 Z6 S2 j/ t! Z' [2。下边证明有没有毛病?
8 J7 w  I6 S. r8 c' u) z
' t4 ]* S" s8 P4 Z! i$ `设  a=b3 u' A/ ?9 P: f. u( R& t
1 K1 z. ?8 |- Q
则有: a*a-a*b=a*a-b*b$ m9 X  S5 K1 I  V
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
! q8 M" s9 J4 V$ s% ?+ S# l' ]! ~0 u! Y3 _# w. J) d& u
a(a-b)=(a+b)(a-b); O1 z1 s/ E. h# }
a=a+b
! }1 e9 W# n8 ]3 T( d: z' G# s; Fa=2a. w7 \4 b* `/ h' ]# P
1=27 i1 }4 F* a# u% o4 v0 A9 p

. W- |9 |, @) \证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
% C) q+ S- F* r- O- D' B
( ]! Z+ k7 u! `: l. S1)不能。比如1
. F5 r/ Q+ a& y0 l. S- J/ n/ i. h6 E7 _2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 t# |' q% W' B# n5 G2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ u, g3 ^- Z1 S* A1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 }- V! N! p( D  ^1 Q
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
& A0 Q( w$ a! ^/ |5 L) v
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:2 N% m$ D0 Y1 Y- W0 `9 h
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 v6 N5 b/ T8 d$ T5 U
4 y) N+ i# K8 q) @! T2 }( d4 d
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n): ]" M7 S/ H& O
- H% j9 O9 Y8 `2 [) p
Proof: 5 {) g- Y" m; ?/ A  ^2 a! C, s7 ]  w
Let n >1 be an integer
! w1 `1 n! A% i, i) w. RBasis:   (n=2)
' j) m9 x( z2 i         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 37 ~) H8 H; K4 R4 N4 O* [( R* }5 u( i
, p) C8 ]4 g7 [3 x" A0 a
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
2 N7 ^9 {$ P8 n* Q9 t5 c( |                                     K^3 – K can by divided by 3.3 d- k1 q! `* |8 n# Q+ l. u+ y
$ H1 J$ b: p; j6 J
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; F2 W5 V/ X: Z( Q% q* U) G4 wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ V" w8 ~3 ]* R  j( A" cThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: q7 Z) R# x$ i                                     = K^3 + 3K^2 + 2K% y% z% M4 p) F) i1 p, S
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)  ~, Q! i6 l7 v7 a( c
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 m; V6 {+ \) h5 e" A& k$ eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  z8 {2 p  K  B8 ]7 jSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( \8 z2 z, Q% P2 i6 t
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)/ e3 G. R6 x& Y/ G7 I0 i: k
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 K0 G. r! E2 Y  \( R
9 t4 |2 P8 A7 r# P8 {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  y8 l  M- N) ~, @$ Y4 p+ F/ s, s. T9 l; F; m
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  y# r3 ]8 H3 S8 k' W) E
& I* I) }2 m7 J8 w第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:. E) o( t0 A, x" K: i+ }
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: V6 q1 M0 a) x; I* V  ]% G7 c) Q$ r+ t# Y' B
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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