出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
3 z: g5 z( f& P# ^+ G6 j  ]
+ S7 {* z: g4 ^* c+ z" |2 o设  a=b
2 b' s% ?& p5 [' @0 ]7 G* G
3 [9 D: E6 Z& y- F5 w则有： a*a-a*b=a*a-b*b
5 U: V1 |9 x8 D4 T) C* c/ q  y- i$ X两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

7 L+ h1 e) n( k2 Ba(a-b)=(a+b)(a-b)
7 I, S/ d% z& \3 N; Y# ?9 ~( \( ta=a+b
+ P) c$ E* S9 z# k) Q1 Wa=2a
$ n7 ]% R  q: T1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
1 N: `/ u% ]/ w/ `2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 c' W, k3 a( O5 M; N" j  ^5 ?2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ c+ K+ `( P! E& M看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! J, r6 o7 t8 ~2 k# W4 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

! P& _6 O' ]* s: W  r9 @为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
' N; r$ O1 U, Y6 B7 \
0 M9 }1 \5 b$ pProof:
Let n >1 be an integer
  z1 i1 b+ M3 l8 F# S7 M. cBasis:   (n=2)
6 C1 C4 ^. `$ j         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- _9 `0 |7 p$ R8 f" }. T! K
' U( w9 }( ^6 J. M, }8 eInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 k& @; U( [0 {9 M& |0 b0 R. W                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
4 n* f' E' ]- n2 F# M# B1 Nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; t9 I, g: g: @: k% r                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
: t; [) U  v2 J                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 Z, F3 O3 T1 E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# A9 ^+ v3 Y3 x  |! Q& \9 d
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

( f) \; g; O9 M[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 b+ o$ ~* s4 w/ o
$ f, h) Q* H3 g" w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) ?* L' o( Z7 j
1 k0 k& ?+ D9 S+ USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.