出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- a4 b( I; B  K* j& ~
2。下边证明有没有毛病？
* U* L* J6 D1 ]
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: f5 g) \0 C6 H( m/ @# B' p* ^8 U9 e两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
# h$ R; w0 s1 S  i$ [. na=2a
1=2
# F. M/ k8 M* q# v: a
8 m6 {* v9 Q+ b证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
8 c1 k( g+ g) x9 k2 a0 B2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- S- {) U2 A0 k$ R+ }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ \6 A& H5 J5 Z- [8 j- F; E$ g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ s" ^8 Z0 a- B3 I1 ~看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 F0 g0 V1 V+ }0 A$ N8 m/ v1 I
4 m, S2 Z8 s6 ?Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
) R! R! b& w4 X7 |         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: B$ W$ {9 |8 v% L% L% u8 ]) }
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 v7 t; S7 M: D# z5 A% }
# ~: R; x: X5 u" t1 j% D" s2 K% RNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 I: Z; m5 m& q2 G3 [) r+ J' Qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* _% F- P* k- |                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 \# G, I9 `! m6 z7 d+ M! h  F6 a                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 a- S; C3 g2 t5 @* o( G& j                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

. |$ a! t4 ?, H  C[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. Z9 f/ q  |- E! l4 a: G
. z4 k8 F6 F' F% _5 T第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

% t2 b# l) G* c1 D2 [3 D
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.