出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

+ G( }. ~  ~" p  w+ a7 m' U3 j4 U) j2。下边证明有没有毛病？
& K: K& U3 i: q  Q' f5 q- h
设  a=b

  X* k; r) y4 }  i则有： a*a-a*b=a*a-b*b
7 u$ i8 m+ U# ]  i* }两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
2 @. K4 W/ e7 C1 n8 ia=2a
1=2
/ A: m" k* f7 Z
6 ]. c) l6 K# E5 V证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

+ m# w4 M7 w$ g- W9 k0 B1）不能。比如1
! j# R" d) A' Z; f& c& c" |2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* d; w  |' Z/ K+ x: [# F7 N看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& V1 P7 h& F' N+ A0 F' m. T& I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

' X$ l0 L9 K  w3 B- I" p为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 X3 X5 {: H+ Z) n& q' c
Proof:
* G2 Z' ?9 h! N8 TLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 a  i6 c' }( u" V
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) L2 h; i$ R+ w, d                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 Q2 t( u! w, P; `/ `' f
4 G" m" l: q$ E" o( a% oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
5 g0 Y( k7 m- @  L: g                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" }, ]+ k; Q5 y! P2 Y5 ?1 S                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' d* N9 D$ M4 t3 iby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 m7 y# a3 ^+ P2 u* q3 \
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

% }5 v) L$ A- \1 O8 W4 K9 A[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.