出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

, Z& S) t8 Z; r: Q设  a=b

5 `2 p0 A  @+ m& c2 J6 g" s则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
, o# d3 Y% [- a) I( r, E+ m5 B% ?  ka=a+b
( c3 S5 A( G1 ^! a$ p! j& t5 va=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
. X7 ^  R4 x, w+ @8 _! u7 y0 e9 f
5 e, e. B; x# }8 n; l* v1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 W- F1 O- o5 W$ n3 `- {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
/ P( d$ B; {* E3 Y( v5 |1 M1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- ^' r' O3 I9 k9 d) a
' J9 B0 x: U1 o1 AProof:
, h0 A5 K; ?  A1 s& m& QLet n >1 be an integer
1 v+ @, b2 t5 e  [. ?; V: QBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& V5 B! t- U2 G+ Y* z2 w
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- t: X3 `1 `' k1 {                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 o, f1 N+ y' C# e7 g
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
+ e& }6 ~3 q# Y" o8 F4 GThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% I4 M! P: {- E5 |5 l                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 C8 x0 V! L; O: ~% f8 O, ^& C                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 ^$ K: }2 `8 ^% q5 n
& f1 _! m4 S0 ?% J# kConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
7 w7 s+ f. M6 }) X
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% R7 T, ^% w2 u4 }
1 K0 h. u9 h7 F5 H+ a第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! R6 E, z. f5 n4 v8 y+ _+ N/ gSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.