出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

; ^( i% p. E, D$ Y% I) i2。下边证明有没有毛病？
4 X2 H+ @2 ?3 R% E$ ^/ W* h# G
设  a=b

- s* A" @$ k9 m. h; A3 x% q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# @5 d, T% ?7 ]
6 e% [* G) d5 i6 R1 X3 Qa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
7 C3 G" A4 |- V- P9 ia=2a
1=2
2 j. m+ f" v) K$ F' K7 @
) \' {+ S# K1 k% ?, V证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
( U5 g/ a# z( X! r2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% U# v0 H8 a& {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; S9 G$ y* T8 L! a3 i& v看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 M# j% O  y* p* M- q7 ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

1 n* \' v/ o& h2 o为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( O0 {8 [0 h1 u5 n
, h! b2 m; X3 j0 _Proof:
& @. U- f+ a+ y6 S0 V0 A5 DLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. I- i5 W: i7 F
" g2 T' [; z' c+ BInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; ]1 a. y. f7 m( ]+ Y8 e
5 o) y3 S4 V* G7 UNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# Y( q5 D. q  z; C2 w7 G( c+ ?5 `4 Q0 jThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% ^3 K" |; G4 n5 Q( J1 E                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 X) ?; [6 }( ~$ i. pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
/ j8 s$ q. [( b$ sSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
! B4 D: W, H/ l3 g2 H
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

) V7 n  y9 p$ c4 ^第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ L" Q- a6 G" Q
1 v: e9 w7 {' Q+ K$ Y% @6 zSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.