埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2038|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?7 L+ z2 @4 V1 o! }
2 g, ]# q! H* W7 P3 _2 h$ W
2。下边证明有没有毛病?
0 M) Y) [9 B% T8 X8 q! Z; B7 K) O# c/ G& m3 U- B
设  a=b7 L$ o  A: p3 X+ r0 L: z
2 [7 q. N) B; |5 z! j
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
9 K  O3 N# c1 D* S* @两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
0 F3 |2 i* A, i. D1 G  i+ g
8 d/ [4 X1 w7 g# Ra(a-b)=(a+b)(a-b)
  S: R' t$ Z1 Pa=a+b
' R1 {# u4 Y; ?; n7 wa=2a
0 D) f) L6 s2 n! `' o1=2
5 ^5 ?& N8 I0 b+ M: F  T
0 {+ Q/ L1 ]" F# ^; g5 z- y证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试9 Q! O. F" D: }# c/ y: }

, H1 R3 h( q' S: L0 D  a1)不能。比如1
+ K  {$ s( H2 M9 |2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. M7 O4 }  y/ b& W8 r. {, u
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 X5 y" @. N0 V6 s% H
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! e8 s, S+ i: t5 n! O! i. r
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
+ C& A3 s- n$ K
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 u6 ]$ _, o8 \( k7 _# x& k, g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& V2 r* u- K4 |8 g, e, [5 p
9 t( {. n8 O# C3 ?
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)5 @" ^0 K% M' d( @  P5 L# k% }6 ]
3 R: a7 J7 ~1 }( H$ {2 \# g1 g5 I
Proof: % |; e, ]# E+ _  U* C" `3 Y
Let n >1 be an integer
& n4 z" z. D( v) gBasis:   (n=2)+ M1 W7 c) S) L8 g; |2 \# Z
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) U; r$ d1 J; C% [) f: r5 z4 h: ?- R; t2 Z6 T( g+ f
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! a; |! k$ r& p9 Y* r" e                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ a& U: T$ Y/ L/ Y2 \# u" g+ u* f! `) _7 }3 T0 Q) k* h; N
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ r* \, ?9 W! _3 C, {since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
: W! S5 }2 L* T; G; xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ b# x: u  x- k4 k( l4 K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K0 o6 q' X. D0 t5 }/ D2 W# y
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K): k6 R. k; h9 K8 X* R9 X: P
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)3 s  `' v7 c) a2 E; ~9 l
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0) P. ]  y$ s: P
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( D1 ^2 ^& G8 Y0 s3 g& z  e1 K
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)7 o( C- [% x! S) W/ j  N
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" I8 N- p2 X- i$ z9 n# I2 p' b% s! l
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.: N: t+ D& b/ i# c, Z- g% w

8 ~4 L5 P8 ~) ^( H) h[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。& W% i- C) S1 X4 c) G' k# g
! G  e3 e) J8 ]+ m, a! J
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:2 Y! w: ~# v. D1 n5 ~# I' G
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
5 G. Y6 ~2 R5 \# g% r
- F+ z* ?2 l( ]/ E
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2025-11-20 10:09 , Processed in 0.145710 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表