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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
/ I! R( U/ C. W- t1 g- O1 @& b, {2 L. F
2。下边证明有没有毛病?- ]# I$ |/ E$ Y

  Z, [3 B# H8 J设  a=b
$ J$ e+ v1 w, W8 {; I: l& ]9 _" r. p" n: Z* _% [5 Y
则有: a*a-a*b=a*a-b*b/ N; `( @' ^: o, I+ w3 D
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
( Z+ B' \  ]/ R: Z7 Y+ z1 X5 X" c; Y0 v; ]: N2 Z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
' Y% L8 E% B  F/ x; Ja=a+b# `$ `3 t% F. \0 r: b
a=2a0 N/ h. M3 O+ H' w# l8 s9 T
1=2/ K$ |0 X9 G: I1 P5 T' R
! A1 Q# C5 b4 ]- x$ K
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
) Q! u+ F5 A$ T3 I* N4 v' X6 C# _$ a8 u
1)不能。比如1
. B) e$ o1 Y0 A2)a,b不能是0
理袁律师事务所
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: W3 u8 e8 p' k" I5 o2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& i$ K: y. x. f8 `' Q8 r; }2 L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' A9 z8 w) D  E! d
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

; [  L1 b- E" B) G/ q+ C4 b看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:+ Y6 [. {* v! D  {* i: s
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. ?8 R* d) Z, b5 f+ y/ W) V* K

9 ~: [7 O( P+ ]! P( B为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)0 o, n$ x* _9 R4 G6 }* C. s

: y5 d9 V7 T! aProof:
! W8 E8 A* l8 p5 p( ^Let n >1 be an integer
8 g& ?2 o: x" W) a6 W: Z+ n6 jBasis:   (n=2)) h* T& B: U* C: C0 @1 j
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 30 e- R+ j, }9 J
/ k+ Z+ @8 P0 E# h% h1 `' @
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that0 C( Z) ~  e+ h
                                     K^3 – K can by divided by 3.4 T2 x3 x6 b, O# X

5 M+ s! g2 Y6 a2 T/ \) ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 39 X& r# g* d! J& s
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem0 c- U6 X5 l, c  H
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)9 J, T) ^6 w( r* w0 e! Q* R; r* g9 [
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! y' Z3 W# m! D( v8 M                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K): q  w/ p$ ~, {
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)- b$ X+ w8 _9 O' M, n
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, ~3 ]3 Z3 v: v* q9 tSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  t7 g. j4 h' B5 B                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
! U. ^9 J7 X+ c* w2 x6 t* [                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  Q# ?; @4 J& }' Q+ x
  F) I. g+ s; A* vConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1., k& B3 E! a. h3 n( s
2 n& O& A4 v+ W; J) T$ K6 x) S( v, l
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。" r  @0 ]7 R! B6 z5 m5 V+ T' C. o, C

" k5 h* |6 g8 U9 ^" d第二题应该很简单
理袁律师事务所
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' u3 f1 q' l5 V9 VShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ N! d/ {" R" p- l. o
- S! E. b) h7 f- p/ i, W; BSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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