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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?4 H1 A$ T  y9 z- w. F1 P; P7 O4 D
1 k& n, F# {: B# ^6 }
2。下边证明有没有毛病?
/ u) _: C( w( `5 e
% [- |. c; t" x, Q; O( }设  a=b
, A' B. k/ k1 ?" e
* D% C6 B' K# W8 J9 d则有: a*a-a*b=a*a-b*b
* p% i4 D/ l6 W6 }, {: K" V两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):( v' A+ m4 T: T2 R7 I. Q
. U$ n$ u: a# d: Y) T
a(a-b)=(a+b)(a-b)" L8 |# `2 t, k9 I& |- w* |0 b
a=a+b
" W) m0 Q4 ?' r" O8 w  Va=2a
. D8 l" e) X2 P: ^- P3 h1=2( N9 P# N9 Q' ?. v

, [: C+ Q: M# U, Y证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
/ V" W7 e, h0 i& i( |, v1 H7 u$ C6 a/ y/ g, }. W
1)不能。比如1
# M- d, Z6 A8 y2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
* g( R" s& ^" H0 Q$ y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! ]- u) O' C, ~; b+ ?7 y" d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。8 L0 E# B8 O. s/ [9 c5 f% M  O, i
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 _2 R" M0 N& C( z看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ {0 N  J6 @9 K. f  d
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 f, i" Y, g- B3 K7 j1 y1 L

  k3 t& T1 U& K; O为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n): z6 r/ {! U/ E

2 Z! w* u0 y4 g8 J! U* ^Proof:
2 d- U7 j: d! YLet n >1 be an integer
# E- Q& x: [# g1 z6 k6 ?/ iBasis:   (n=2)
8 e& m0 d- S4 Z9 e& I) p6 {         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. k! C2 M  X4 U. k
, a" c( K* ~3 j2 XInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! Q" [' x8 ^' L0 H+ ?5 W0 l                                     K^3 – K can by divided by 3.4 F) i" \# ]8 r1 n% u) T
0 E) w# r+ b3 v4 D
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
* R6 W( h/ Y  X7 b6 Psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem4 W! F$ f+ U7 V
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)- J7 {  o  A  `6 o" k! P
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: c$ P/ I- O9 Q* y" \2 w) C                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)- B& E# R1 y+ n, B: T* t' I
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# T2 i  y* h5 R' S1 a% `4 Gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. f# n1 U, W( I8 `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 ^# [$ z8 f; G$ y* j  e                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
% x+ [5 h( @8 y7 x4 Y. O                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3' e& \+ {: ^5 M4 a$ `
* g- ?% r' V6 e6 W/ _
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
9 [$ J1 L5 P$ M( s6 V) B( `; q% G9 Y0 h: `0 D; A  G
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 I) t2 V" @; [2 u! K
7 {# N6 f2 {5 z  M) Z; c第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:, b3 `# r  w( b) Y5 k
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 N( h- W1 |! w4 r( D  k  `# [! p  J. M' ?7 T* I& R+ f- E
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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