出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

" A) Q2 Z4 h/ d. ~3 v2。下边证明有没有毛病？
( @$ I+ ]9 ]  u" w# Y: u
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
. c1 P1 ]# n( d* r) \6 i2 q# M: l两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

9 R- @. Y9 L' p; W6 Z4 Z. P7 Za(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

) w" f* K& A; Y) _, T9 F" X1）不能。比如1
( k( i( ~9 t" [8 h9 Z* ^2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) B; a: Z) E! P- ~8 V2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* v" P0 ]4 ^' x) j" R1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ z! v' j1 h$ Q' c) k

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
& Y: V6 m0 M, @- Z9 }Basis:   (n=2)
# d9 J' f% \0 ~. D* x4 W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) E2 _3 e, Y( x" W2 B
! Y( }1 u2 g/ G0 x0 O2 EInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. X' d. K' I5 g6 s0 i9 a% P6 l
  A0 E3 d% l8 K8 G- VNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 V5 i( C- [% C4 D; i* e+ ?So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  F  G( L: M- E% U* }& [) I: v8 ~
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, n& Q' x* o0 V9 Z8 |' }, I
; |7 e  I7 i" e4 b4 E- X第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  J: T2 N$ i; H  r1 Q5 n  `, [+ yShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.