出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
' ], d1 m. Q. x
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
  S0 Z! t; M" Q1 q/ h$ [3 [
8 F% P4 ]2 A( E* A, L9 M则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- T2 f! H+ _& f/ q5 z2 S1 Q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" }& n! X. ~1 p2 @6 k' m4 u% g
. R* B1 H' E- _a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 M+ u; ]- I! K6 Aa=a+b
a=2a
5 v) S* w' V: E& Z# p; f: A1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 ~, a: K* j7 U, _
2 T- \- }0 C: r* b, q- R1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: w# W- ^& W7 I. x# K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% K8 O" N; D- W) g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 t6 s" _9 D  z: w# u- V. R2 l4 J5 x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

" S7 o( r4 q; ]) `9 N看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' l2 W1 @& f7 |( F* O' j1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

6 j5 z- J$ u/ a4 V+ EProof:
, W8 S" i* f7 }1 MLet n >1 be an integer
6 a' i7 @$ h$ R9 ]; }1 K6 XBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

) v( P" w' |2 A6 FNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 b& ^! o) n% a3 V* C  Esince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, Z8 [1 N+ c# D9 x0 N) t: v; l6 T! FThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; ?1 ~. G# [; ~  {: o2 e                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
* G0 N* B- }0 R                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 ]: P/ ]( K0 _* a% Q( H0 KSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% B! _: c. G; d
8 q( d* t0 }3 S: x0 HConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; @4 o+ S' V: ?  |/ p
! A* o) c' S% C( Y  |; P[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) `* T# s: a. v3 p) |* A3 j
. z$ Z* k+ N3 |; C1 w4 ]第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
( Z+ [; O2 @, ~4 M* [5 M2 {Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& N' [+ ]: h1 Y. E6 ^" M6 s4 m
' P  o& ~8 I* CSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.