出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  s8 Q1 }3 f) V' }7 z& U
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

. F. G1 R$ e' d9 u0 o. F' D+ f4 l( }则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' I, W! {4 e3 w' y( ]$ ?$ Y) n两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

& K/ Y: N: h# z, s7 |0 t- Ya(a-b)=(a+b)(a-b)
. e  _" A' J5 [) q" x6 X5 ja=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

' p5 H! X: V6 S0 [' ~5 U8 V. I1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% M. t0 Y& z$ g" [& f8 X0 O2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& j4 ~1 r! r( Y" q/ P- B" ^/ Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

3 n& A2 @8 ?! T  @- r为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 h* f% H1 N* ]0 Q; Z# R0 Y
Proof:
- [' S( c# X0 H6 h" iLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
) M9 M2 f% s7 @# U4 r6 J         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

% S1 _7 c/ ]2 _$ c6 i% }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 P8 L2 m! W! w                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 }' \: b1 C2 m& c5 R                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 v5 F3 F* N( R- P/ WSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 M! I) a4 n* M2 k% I8 L! m
9 C! P9 X0 G6 F! H" \[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 A) w, n. F/ _7 D/ X, J: q1 M
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  h) k6 |5 T7 V) eShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! a( d. z! t) e- N. y4 W0 t
% y% k3 |% j) n: _  ESORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.