出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

' N% q1 F! v5 _# t$ A2。下边证明有没有毛病？

" X) ~- w' d* p; t" P, D设  a=b
( A! d  [5 D) c- d/ t( X
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- @7 }: x6 o. F, V: H, Q- s) f两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

* b7 s; I' E% W& s) U5 \a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
3 V' m* _0 W+ ?* S0 C1=2
! O$ h* j& v3 j; m2 I% R
9 `5 M1 H+ \, a3 G! b* c证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
4 f! h6 \7 S5 z2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, Q# W+ F9 u; M" O% M! i6 L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 _' K0 Q, H7 ~& j/ v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" h) P# E; n# {( i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

$ m  X' q+ ~7 p+ a: Y. _  W为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

+ s/ Q- r8 Z/ H  H' aProof:
) O2 ]6 R# W! K. }Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
: S" P7 Q5 F+ z1 S; s; ^& @2 m9 _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

3 l5 Z' M6 X9 R$ ]Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# e7 m7 W8 n( Y+ i7 J/ e3 t                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% E9 s9 o0 p) H- g6 L' w6 Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
" \/ n6 s5 q6 P# t% ~                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ o9 Y& R' D, q9 W                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
. l/ z* q4 z8 D& k                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# O) B- N! Y2 ^& W: Sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* H+ z: J9 Z; iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( d2 i& a3 N: G& T4 Z) d                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

! w  ]( e# j% |, v# uConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 h; k/ t" W/ V4 n3 O6 L& r" ^
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

& d. P5 d9 K/ |; R/ S第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' q/ Z6 {2 q9 I* TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

+ _. T. ]. \1 ?$ U% WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.