出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

* z5 F( T( A8 _% E: G/ s9 U2。下边证明有没有毛病？
3 T% }6 a4 k! X/ T' t
) [6 d  n! Z1 i, }$ A  ^) M设  a=b

4 a$ e% z- J/ u" g2 Q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! e* i& P  Q9 P+ ^两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ \+ c7 b3 U0 S% t) ~% Z, d
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
. K' K2 |' \- F7 a3 Ja=2a
1=2
1 E( L. w0 S# T
; T2 Z, i" D% G证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
: u9 r3 r( }# Z1 Q
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 C/ n: G( b2 H; _看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

' B: Y! n. d, Q( p. z+ H为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- c! u$ w1 B. u
Proof:
* ?$ O( u  H( m; iLet n >1 be an integer
1 ^0 v( H! {, TBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 t$ t7 c- q% K0 s  p
6 S* W7 Z! @5 S- }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

7 r% D' F, Q. C3 N, bNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* ?- Y+ @- i% l2 `; rThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 L, J$ u; A' y6 k' T- ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
; j& `, J7 r/ Q. }                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' f2 N* e$ p) i- a8 \3 ISo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 _* K8 |- n$ ?! U9 D, I& F9 ^! \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
! Z9 \  s0 l0 u! `; J
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 `* W9 l) X: D; h9 M
( p# K; s5 \/ \- S; d! [. T[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

6 J- E+ j9 c1 ?( g第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

* r; O9 i. D$ T$ _' R% n* D
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.