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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
% H1 K8 D" ?5 w. A. d# y+ ]2 L  J8 C1 G: I9 U
2。下边证明有没有毛病?
! t4 C3 u' P; I+ T
0 ~/ t* K& Z( ~( n# k9 ?设  a=b
( p" o; J' s; y0 ~. a
# Z8 l/ I6 w: R$ v则有: a*a-a*b=a*a-b*b2 S+ z1 }' z# G  ^1 c6 T% @4 Q
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
5 `( j% u" T; T, U& M9 s
! i3 N# x3 M+ ?% ^, ?( U# Ra(a-b)=(a+b)(a-b)
% @/ k6 H! u4 d( a$ i! y1 }) k3 e5 Q+ La=a+b
/ ~. A1 U* _2 f0 {; K$ da=2a
; E; m! R" u) {3 g9 H6 M& h# y1=2
% M  p7 z% v! p) r4 x; u3 V; K- ~) z+ S  H' r1 {. |% D0 S
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
7 e: h* l& {+ \. D6 e9 b  [& c
2 V% d: F* U7 I2 }1)不能。比如1
! N5 ~& Z/ _1 k8 x$ }* S2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, D5 F( n' f& o& }" h
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 V% f) k0 _3 }" U1 f: U* L! n5 p' j% {
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. |/ I5 d4 _7 k& {0 x5 T
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
) g8 O* y  K1 y
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ N6 P8 f" z6 C+ o' ^
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。8 r* v* m2 Z$ O# p
6 U0 W  @6 ~9 ?0 c) d" ?3 @" ]2 ]$ x
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 t0 n" q1 G( N. B6 r) h7 R' z& y+ a
Proof:
1 |2 h- i3 I/ A9 s. q, r, s/ x& tLet n >1 be an integer
. o) e! K" z. m+ H/ w6 ^Basis:   (n=2)
; b9 \3 d; T& w% g" z9 h+ I         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  ?/ I9 A: T9 V: f9 K
" L1 F! J" @2 J( _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
0 V: t' Q6 [. S4 K# ]7 x" e( k/ g; |                                     K^3 – K can by divided by 3.7 C% D9 R. G+ X6 f4 q7 _

' W0 W* }9 M* Y' B  S) X: hNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
& [* @6 v- T8 }. |* ]since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
4 g; l. s9 u  G6 x! ?/ hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 t3 Q6 z; q5 w! t: M' G  U                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
0 b6 A5 x( V! F  d) L                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) h6 Q- w1 y6 Q( u" D& y$ W3 C                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ z( k8 f1 u; r; v3 P! J
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0! J* o# @* j- Y% A+ j0 @6 E6 J! _
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* U- y( E" i: {1 \( l7 F4 A                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" e  R# R9 s& m7 p7 ?" f6 {                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 _: s# G- S$ b3 d
& ~% O" {" e0 _Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, _! G- v9 @/ {1 y# R$ m% v' N) x" X5 I' [' O
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% J( n8 {4 ^) o; o$ A
0 G& \) r; d# S第二题应该很简单
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:( j: h) V, j0 V2 D. }: q6 P+ c
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
7 @$ n& v' b0 e1 U
5 s3 [; q' e3 d, z, v( ~
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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