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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?& m3 L' ^# m- k1 G
" h/ K4 S8 f; P- R' I
2。下边证明有没有毛病?
/ y0 w4 y( Q. A  C
) g  {  {: m% {/ T+ M4 V设  a=b
2 I& V  z6 A! d! _% l. v8 H" n. @
则有: a*a-a*b=a*a-b*b1 }5 P8 C0 Q: Z  m
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):& O- z0 S$ R* G5 Y8 W0 x& n: ~& `# z- I
: K1 N8 k* G. T7 E7 X
a(a-b)=(a+b)(a-b)
) w8 ~2 {% a1 T2 x: \0 ^6 ], H  {5 G6 G! za=a+b& B7 ~( `. H# D' U: r1 s
a=2a. c$ S4 L3 Q+ l7 q' Q/ D5 H
1=2, s# q( v7 `9 u

8 ^8 \5 C' A* u, ^1 D% K证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试: c0 ^3 h- ^: H/ D0 B
' T9 P2 V% @- g3 \
1)不能。比如17 |+ x& E3 B  H
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 c/ J2 h! G9 ]  Z2 @( i. D7 Z% C+ @
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 N+ `/ V3 h* H1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
5 V$ q: d, U: Z/ |' k7 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
) p6 O- g+ Y4 K  [2 F
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& j- [! q- E, \' K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。5 r& k3 v9 y" f( K

; k3 Z+ g* b  t" K4 x+ {为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)" j7 {) B& ~: E; h7 j/ ]: ~) ~

* H3 D9 x, T$ V1 ]( ~9 l, ]+ y6 sProof:
' B% N9 J, J1 J3 w2 U  cLet n >1 be an integer % U1 c( J# n3 W1 a: D. o5 Q5 N% b
Basis:   (n=2)
- t. E/ q8 W( \7 }         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# Z9 H" E1 U9 f! j( o  w- Y  v, U4 K! ^( j8 X/ t2 {/ Y
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that& ]7 |! F3 u8 z0 M3 z& I  D! H
                                     K^3 – K can by divided by 3.# A- j' ^$ r: \0 U  d1 I8 r
) ]) ]2 E! `+ x: c# Z
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3* ~6 a) n9 H6 s* f( X$ Q% O3 N
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# ~- W( q8 ~) |7 [) X+ K; a/ tThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)5 _# M' A+ ^3 z, s9 l
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K, @. G1 P% z3 X3 z+ V) I/ F. C
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)5 i& T" ?$ W$ g
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 m# ?! j1 H3 b5 J  E" ~+ S7 D) rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. K1 l. t$ F, C; J9 h" @So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ o; ?& `, V9 T% N* v0 ^( D5 s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 B, Y- f$ Y- W! T                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
  c6 H9 k0 T. d! ]  K1 ^
) |: y9 W- ]; w6 ^" Q- zConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 k0 \( G% |, F) H8 @: ^& p& T2 w8 h7 p# B: A' h
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。9 X+ }" f! N% b9 F' g* r

5 d  u6 @; `; N2 c& o/ P( {# v, c. O第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:8 @8 `, s$ k  l7 P7 p! v
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
1 S: t+ h8 M" i: W& ~, S* O! d$ r
1 y  q, c! B' }1 ~8 V
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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