出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  }2 x3 b7 x# ~/ e* F
2。下边证明有没有毛病？
  E3 l9 D+ |  a& y- P7 _5 E
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
4 L( E3 h9 B3 M! j8 w& Z两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

, F3 C6 W3 L7 L+ j( {) ]  qa(a-b)=(a+b)(a-b)
. |6 o" H# |& a0 Y! o: ^6 Ma=a+b
a=2a
9 e1 b- E0 C+ C5 e% [1=2
, |# v& J# s* X
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 ]6 U  L4 o+ T9 J. J: U
1）不能。比如1
9 t2 `& E+ O1 L# K2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 {$ h- E; _& Q2 }5 f4 E# ^/ p7 k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: u5 w- a( s6 Y) D看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% t8 F/ O# j# N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

4 s0 x7 w7 x- k1 K3 f& j( a0 IProof:
$ y: P6 o+ ]1 `! ]+ J* ~Let n >1 be an integer
. d  d* ~+ X) t6 g) ]  v  wBasis:   (n=2)
- O  o3 U( Q- @4 m" r( r1 f         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' h) k0 j; X3 q' R% _( S' g" F
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

$ `0 N- I* I# ^! q- z* \Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ ^% p5 [  `1 M0 `! D; Psince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 v+ _) o1 M9 R. ]# T3 hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; H2 L. L7 {! P; |% K) d; f                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: \3 M! Q( z/ @! b, M0 ?. I0 sSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 D; t8 k$ E4 J% s                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" x7 t% [* F9 M: T/ E
; G! h4 S4 @+ P' h/ B2 _6 F[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 j& g  `5 E% l2 e5 X4 X
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) G1 m& i$ P9 o, VShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& e3 b8 K  l* c0 f/ x0 X" h
, ]' ?3 {0 m& G1 B% }/ TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.