出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
1 r4 }7 I% A- `5 l) Z( c4 U- H$ G) W
  G8 ~( h1 E. O! k, h/ B设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 {5 @: e9 L4 t' \6 |: B
  e+ r5 X1 W- t3 g& A; h" {a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 p# ?2 r: Z" Ra=a+b
0 B. S: ~  Z" C9 H& A/ S) Z, N4 N8 Sa=2a
2 A# G: f: u. C* e1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& D3 F1 _: N9 `) r* z1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) v" Q3 n* f; D) t3 W3 ^6 R

6 m  x- A0 j9 L+ c" n5 M为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

0 X1 p' S7 ^# m: ?- u- ^( jProof:
Let n >1 be an integer
; ?) \2 N. v4 w* D6 Q0 K5 ?Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
  x, i" H. t3 ^9 t- [1 j
0 l2 d, Q: k* G6 `7 uInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" i7 Q# |# _5 N) y# M' X4 b, p                                     K^3 – K can by divided by 3.

  U9 B5 B  R7 T! x. z5 _Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 r4 N) ?1 _8 ~" O% S4 _since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 x/ v# Z. F8 {- H' mThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, E2 w: X+ g; [8 ^) e  \                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 J2 \; f' Q" g( `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 b- r" b1 C3 l4 `/ l) F                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# C* O2 W8 R: b9 g6 R
! x3 D7 J4 e6 Q! wConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( _( W) f& S+ ]/ v8 J& F5 w
) n7 \+ U! f* Y5 o3 b第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
3 e& B: s. N) p6 Y; p6 W1 ?Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 s' g) T8 X8 d5 ]% m  L! D( nSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.