埃德蒙顿华人社区-Edmonton China

 找回密码
 注册
查看: 2379|回复: 8

出两道中学数学题

[复制链接]
鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?! M0 e4 j2 P2 H  a4 |, {

/ b3 |7 Z# J( w5 z7 c' x6 p  }0 a2。下边证明有没有毛病?
1 \, [1 B) i% T6 L1 }0 ^. Z% U0 Y" z, T+ y' A& e8 J
设  a=b
) \1 {/ {3 y  V) J5 M6 q: c: q% X$ y4 B: y# Y
则有: a*a-a*b=a*a-b*b% [3 {# k3 ?8 S
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):) g# j/ J; g3 _, w& a
0 \" [4 R! x" K# ?. M, v, b& F
a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 S0 ^  T. D% U7 L% `9 D* M: ya=a+b
; S9 f3 M" |! C/ V& ua=2a  S5 f5 u  H( H7 f1 \
1=28 e8 Z& c/ \7 x- k) K. {7 i/ H
! n8 e9 C% c8 Z
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
! p5 Y8 J$ E3 A: {( v1 F
4 C6 q  y0 ^& k/ m- L1)不能。比如1
; Q+ G3 ?5 ~) p  k7 W3 F2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. i5 `) m4 q- a+ y! n# M
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:' E; x, n: U6 @% N5 G; N6 i
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
; @$ f" I/ y1 G1 e2 Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
' D+ u9 U* `& I
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:1 ]2 J, m, X, V, r. M
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。* f8 S8 h6 u/ M4 O$ X6 v
: g, p/ s) U- w/ ]. M* \( _# k
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)  H- n  p- c/ V! p! y. v" M

0 V" o# i9 E& N5 QProof:
* h- ?4 N2 O- J, F. y1 uLet n >1 be an integer 5 M$ V, ^, y+ K
Basis:   (n=2); ?- G9 n8 J. b; D, v
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' L/ X* G7 H5 r) a( G
: U/ N) ^; P' vInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
$ f- s% K. O5 `6 U                                     K^3 – K can by divided by 3.$ c7 j8 I8 _9 E) V
" x& A- A5 p/ Q8 |) ~
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 e7 @7 d& Z0 f; X3 c' h) Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# w0 n8 W* g) F7 E- B0 a2 KThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)6 _1 R, W2 F7 H
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K! J% {) \" n7 U% I" S6 x6 l! k
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)3 ^7 c5 v3 ~6 p
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, P, _( ]  t5 y0 s0 c: B% u% [by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0/ Z  f1 |" A9 B5 G% y* G, U
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)7 x" `+ z) e0 K( E! \
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 K' Y, d2 X4 U                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 G0 ~! Z+ B5 b  d6 [/ z$ T- d
/ t" d  e0 g8 d- `Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.1 u7 p  i# [" @" a7 W

/ k! m, k* Y, u3 s- {! K[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 W" B2 I4 ?) `1 M4 `
! ^( z% W. e9 Q4 M9 \" G: A第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  o' |% P. b: B, V. IShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 }3 |2 g7 f  C8 K7 }6 G7 [* Z) C: |3 U/ T% G" J) v- Q9 Z. m" F" G, K: E
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
您需要登录后才可以回帖 登录 | 注册

本版积分规则

联系我们|小黑屋|手机版|Archiver|埃德蒙顿中文网

GMT-7, 2026-3-13 21:54 , Processed in 0.206414 second(s), 18 queries , Gzip On, APC On.

Powered by Discuz! X3.4

Copyright © 2001-2021, Tencent Cloud.

快速回复 返回顶部 返回列表