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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
4 [9 a/ K0 W. b& R  e8 G
. s5 F% k- ~4 T" l$ C/ \2。下边证明有没有毛病?
* Q; s: _$ w; {2 |- z# l
; Y8 S- ?) Q5 O设  a=b6 e+ [% ^$ n* w

' x( u! c5 L% p7 u: J则有: a*a-a*b=a*a-b*b
/ E, Z: ]' [' I* {6 n两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
2 n( d: \3 E' j7 l1 j# J( j$ A; I7 q5 S3 H2 g+ L
a(a-b)=(a+b)(a-b)
, q: J8 U. H7 v$ i# ja=a+b
9 r6 {$ S$ `. }! h7 H7 I- k; I' [a=2a- {5 |4 Y5 f' e" R( ~% d
1=2
8 T2 F% Y7 I$ @. H/ K! i1 o# `; z6 d. _- g& f  z) `6 a7 h* r  W# O  {
证毕 ,结论,1=2
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试6 Y2 h# m1 Q2 K, X1 A: j; P8 M

) U9 D' p/ _2 A( z( X1 R1)不能。比如1
: R8 i) s( `5 ?9 s6 O& `2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 S* l# [/ g! g) [. M7 _
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 Y0 }" n# H$ d: M" s1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, R" w$ i5 S$ k, M  U6 A
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
1 A0 E7 X5 w- @! ^: s, v9 y, Y
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 L9 }) Z' s5 Q# _7 y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 x% O, r' p1 `
- L4 a) v7 \: L* r5 B- ?& s' }  D
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)( j+ }$ x. E) u# a

1 H  y- f1 Y$ n1 PProof:
' z* \, q4 V  i# ~, i( r/ oLet n >1 be an integer ; U8 w7 E5 w% [$ j
Basis:   (n=2)
( s: `5 M: x. y1 _* v. O: M+ z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3& H; K+ m5 J# G
! r1 ]; T7 \. B2 M
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
+ Y2 i& y9 U3 r) Z0 w                                     K^3 – K can by divided by 3.: a8 T: J  r! Y3 G
/ ^. s3 Z2 p9 e/ O7 z' y
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3* A, L% U- P* F' x% u0 i
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 G+ `& Q5 q+ n9 r4 o  F* ^. ?7 `: IThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 V, U! G2 J; d( U0 A9 e                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
+ G1 j) q+ ]$ w0 m' |/ H2 |                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- A  X+ h  }/ x" o* }                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ g1 q! ]- B7 }: q% o
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>00 I0 z5 I% b! m5 s/ s7 g) X
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ y9 N. H' u3 ~                                = 3X + 3 ( K^2 + K)4 ~5 G4 q0 w$ t, x4 w, V0 I
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3! E+ I# L0 W. @$ W

/ U0 s! D' {% v' U( k) OConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: i6 H3 d: o6 D; c9 m1 r
! D8 ~; m7 H% K9 g9 p[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。( U+ L  I- N  [
- _9 P8 b1 E- f" j
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:! C+ t; ?  ^" ]2 f0 u; n
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
( n$ c; S8 }0 c
4 M  }- Z* r' `, m" c
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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