出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

, u  P! W5 F7 _& m( r% o设  a=b
( l' R/ F1 M! u4 {. `+ I
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
2 B+ k, W: d9 y' x. q% i5 T两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- E2 h+ q, x' _7 k9 S5 z
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
7 U& S+ S" m. T; Ma=2a
# Q: K# G, V2 [8 ]/ h4 ^& k1=2
5 B8 c* V  ?8 V, }. o
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- \( p$ B& I5 X5 Z/ [
1）不能。比如1
) `7 E( m6 V. Z9 F, v1 g2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 }$ a8 d0 b- Y6 c+ T# r6 o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
" P+ o; o7 a7 X+ t* Z2 ~8 ]

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- _' I) e) g- I! ]2 @
Proof:
; O9 H/ a2 S  |* X: q( J7 k/ N& OLet n >1 be an integer
0 x; G9 y9 y- |* ^' I9 vBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
6 e( Q7 x- e: ?" U
, h8 F9 ~8 W+ |- L# S5 H: }. B+ B# d) IInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& c7 v/ B& a- w                                     K^3 – K can by divided by 3.
# o5 ^& R& M- |# T0 }
8 H% N9 D* K, B+ fNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 B2 H' ]( |9 ~" O- W& P9 w                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 X' r& l. @2 ?3 K( m                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  H0 l+ ], s) b& `; f0 \3 {So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! ]4 S! O7 p3 `                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 P. X: Y9 d9 _+ D3 u* K  o; P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: A2 D; A6 S  Z
. Z/ W" u0 J+ r: |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
, U8 B4 C$ X+ B/ _' v
. z# J, Q, g' X) M/ w1 w第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

6 J, s! x& h5 d9 z: S
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.