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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?8 F' q6 F4 }: j5 l8 f1 F) T+ Y
. Y5 J& R) C8 f" ^  @
2。下边证明有没有毛病?
5 Z! ^: X) }% n) b! `, {
5 w& z2 z! `6 ^+ a0 M. d6 [设  a=b+ [! _: d$ W6 h) J4 y4 z

+ N$ w* R+ T# l! {则有: a*a-a*b=a*a-b*b) V; x. f  l; T* x# Q. b
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
" H- E( k! J# x2 c* ?% t$ G' m$ H% c2 b2 q
a(a-b)=(a+b)(a-b)# b9 y  R1 n4 o8 z
a=a+b7 w- z6 r% H' F" s7 U( W. S: b& S
a=2a
" k6 [% J7 P( ?5 Y. T; r1=2( O: j0 k( ~# F0 @6 s* {4 D
! I% d" u% o3 F4 X# R
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试& n8 t. J0 ^. w- Y, [: _% P  T
% O0 w3 f8 K2 `! k# m% A$ T
1)不能。比如1
( B$ y/ _# H) g1 ]2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。/ L& g- T+ |: H4 p
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 k% L$ E0 F" l& c4 E' Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  J) E9 [1 q' N2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  ]. h7 ?  f# |& c看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:  P8 {6 v+ ]% O1 |6 V0 \
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。: b& d8 ?4 }, p: l
/ a- @: n" ?9 q3 O( Q
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( f2 c3 R+ x) h) r- \6 z8 |) s
- s% r+ O0 \) i+ x0 TProof:
1 ]) x# a2 d% K% \  cLet n >1 be an integer
  c! }- ~/ i8 R, a" vBasis:   (n=2)
; |5 `5 w4 J" {; [" I5 z2 y         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 s" G# |& s( f$ p0 x$ j+ R; {' M7 X
' f4 w) ~1 O; xInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* ~. ^0 {. b6 X4 Q, Y                                     K^3 – K can by divided by 3.. J2 ]9 n% V0 \( P/ H& }

( m9 o+ ^+ u/ Z  ~% ENow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 30 _; |2 {( f* ?6 `- l+ @, C, {
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- v- `6 G0 m) i3 xThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 t* z& C/ j" w4 H- c3 r7 t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K  a) {$ @1 K9 R
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& `% T4 V/ U* V. _* r0 F                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) [: d0 O% P% ^: L' Hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0  H* h9 f; ?! Z" ^3 J1 R
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)* c6 r# f& L9 g0 G. p* `! f
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)+ {. @" y9 i' O9 S" ]' r6 |0 e" c% W
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3: C, V$ B' [7 w" B' q! f$ D
1 r& h8 {- B  u. H/ Y3 `
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.3 n0 M; D) o$ e  @2 a! \0 n

1 H3 y7 t. j, f8 T[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。3 l& @3 c8 M7 M" p4 E/ r

, Q2 w, U8 P' R, |+ Z# J; z" F/ l第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:, E' y4 g" o3 v+ |1 K2 l. G
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# u/ [4 N/ L$ r( r- K6 i
0 |2 |8 F; {* u; `8 h3 U& fSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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