出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 }9 d. y  T6 _& a
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
# f$ o; ^" O5 B  R& M" i* b
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
8 r$ m5 s" v. r5 D) `两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

( k& u3 u' g2 d) Va(a-b)=(a+b)(a-b)
7 K# m5 t& G9 D9 K) E1 ka=a+b
4 f* @2 O8 M; Va=2a
7 _" {. E! v( ?1=2
5 S) J- W1 s) d3 \5 T1 E
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- o4 }, J9 w4 d2 n$ f8 O
8 _0 ^1 Q! m( |3 a1）不能。比如1
- h& w6 M! ~& P9 f) v! I2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. ]1 d" _/ W5 n7 x0 H! q& Q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  S% V/ {6 z, C. B1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 V( L* B( Q6 I* u8 l; r1 {' Q

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
. \6 t1 [5 \5 J% e; }- ?; J2 G/ I         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
$ R* R& E* v9 l$ g- c/ G+ E
9 U' T: P7 j1 K5 Y4 t+ M% TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

, y; ^, |9 d& v8 \2 Z3 PNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ v! C/ a, Z; V' j/ T- fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 y( i2 p( x# t- F
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 }6 t, u- T! l7 T2 w; u
, h" }% s# i' c6 H0 f# m* {& m* \6 G0 u第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ J2 I  z0 O+ X( T. I0 S
7 Y4 |6 }4 C, T$ g( R% E, YSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.