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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
% [9 \: i3 Y& U. f% _, I. H) [4 a. d; y& C, o
2。下边证明有没有毛病?
( s$ o! W' H. \  r0 I1 Q, k
; q! `4 z2 b' i6 m设  a=b
# Q4 d5 D  j! D$ A5 Z: l( n  ~  k9 P! [3 P
则有: a*a-a*b=a*a-b*b1 o8 \6 K& x1 r0 m3 U1 d
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
3 g5 q, Z% b; ?2 }/ \! N
3 I8 I" |1 F5 [" qa(a-b)=(a+b)(a-b)3 R7 H; T4 o1 j# @
a=a+b, t% Y$ `6 ~% v6 w6 G
a=2a
* d9 f& g8 O7 L1 z. f/ w1=2+ D- p# G9 ]: b' H) }$ c9 n' e

  w/ o) j9 X) h, C6 |& L/ ~证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
' Y+ a7 K3 v2 k" L) }$ f! |& f2 m
2 k5 I$ X, I, _" n1)不能。比如1/ c* `) W# X, X. t' M
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
0 l6 T0 |1 i( a' P! `, H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 I) `4 k% h' n1 x0 i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 o5 n9 @( ]# J4 x& a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( t' C3 `1 m5 _6 e看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:2 u, Z& `3 S$ r; J  y3 K) L3 ?
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。) ~6 Z/ b& `' A7 A
' M* J$ F4 S- T1 |0 }, D9 T! u
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)4 o4 e8 F" x! n# J  t8 j. L, a
4 o' r. A9 M- k- J
Proof:
, u; }  B0 B2 }3 z  vLet n >1 be an integer 2 N# h- w6 X$ ^1 ]7 m. y0 C
Basis:   (n=2)
7 W4 b; K3 d/ z9 x* s         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: \( e7 i1 e0 V( T, ^( D; X0 @: \
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that; w: B3 [. U3 ~# I& I' R
                                     K^3 – K can by divided by 3.+ a: P  ^) O3 K+ q- O  K0 y

2 X& T! d# ~6 o+ X) {+ w" c* yNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 A4 j  u6 Y. o* N5 jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem) V" ]  @* x5 M& r; O6 V
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)' [, d3 ]/ O: Z. e! E1 d/ y/ V2 K
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K; ^  k/ ], a- g" \4 M0 N: q0 `
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)) w7 T5 A% K0 [
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, ]2 Z* ?) b1 t( Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& e! p$ B+ C- u2 `$ m8 F" dSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)9 c  H6 ?$ j9 ^. B7 p* A1 Z4 l
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 H3 z/ f+ x. ^2 m! \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 38 O  u/ ?9 `6 ?

! U  v6 \4 O9 N1 l3 k. RConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 r$ ^- Y  I0 k' z9 F- l! F! U, L- v' X" n1 W
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 n/ _# {1 p. Y# q! y: E/ X. X( w1 z1 ?; K
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:' U( S" k% ^: {9 R
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( Q1 X+ |- a; Z# b- l) N; v
* Z$ L$ d0 M& E$ t) iSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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