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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?' H# Z1 h+ C/ R

4 o5 ~/ i( b/ E1 t3 p3 d( ]$ f2。下边证明有没有毛病?+ r: x7 m$ S& H8 r9 r5 b

! x. e1 D+ y+ d) m3 ]设  a=b
$ |) [3 N* W* n1 I: F! ]2 I1 O2 R/ B/ S  i
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
3 \2 z' z" X0 S0 C5 h! C0 S" k! w两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):2 K5 h. d. x, x/ n  W
* c- u. [$ r8 d! \2 M5 N4 @3 T+ i
a(a-b)=(a+b)(a-b)% D3 o5 K. W! [$ l. p$ b1 w1 t
a=a+b
  k5 u5 {: A& W8 Y4 pa=2a* c3 k' A; m  [: o% F1 X: \5 x
1=2& ?( B0 o% r/ z$ B0 R5 a4 U

6 v" c2 F& u% G0 P证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试7 l/ c* b+ f% @3 r
* q; s2 z! M9 I. E0 L& U
1)不能。比如17 ~) p% J* j! B
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, {' L& ?. A" g/ U  O6 F, {! ?  j& d2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( C1 x: H) u7 b0 r6 S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
. r' X, w$ w8 W' Q: r/ D1 e, L$ Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
2 Y$ u" W" m9 c) C, T( {" B
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 L1 l1 }$ g7 {( O
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' g) b1 j6 D0 Y8 t& S
: u) V) A, P" {  i$ v
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 W0 S* S& j5 }; |- M0 m6 v* e" m# J! d$ S0 v
Proof: ' o" s  k6 q! `3 o) i* ]' r
Let n >1 be an integer 1 e0 q  o( U8 I) Z3 o, B$ r7 Y
Basis:   (n=2)
- Y5 X5 d8 z! W* ~, ]         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
; |% m$ I7 Q3 P; U# O. z$ e% A
* k" F' A, `, p4 H& Q1 RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 l2 \# X  b5 T6 h3 \6 O5 M                                     K^3 – K can by divided by 3.$ `" I" c+ x% Z
4 z3 K& _. z6 ^: p* d* G
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3; l9 S) Z8 S3 t4 w. y( t- M' p/ Q
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem0 i+ M- I+ @1 W& `0 t
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; j8 m: N( P) @$ @2 ~; \3 p                                     = K^3 + 3K^2 + 2K+ O& O: [" D  D9 l+ V
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)& q1 X! `1 A. E1 K, Y* {! E& K9 ^
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 F- ]; _" s) s# e+ w5 k' _by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0& l: R2 E" m! s0 E: @
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( N& F0 f; {& u; y, A+ C
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
" U! t" x& Z: F% r' O                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 38 K( ?4 |7 H8 w# ~9 q
* i0 Z5 [3 T9 t, H) G
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1., O- @6 ]! t" J8 d; \$ W! Z
$ B! }" }7 I6 Z8 h+ m
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。/ {2 P. c+ X+ ?7 X

5 Q& M6 ]4 d9 Y  A; }. ?) @4 `' u第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:& ^, s* T+ M: S+ l7 [: |0 z5 _0 m7 f
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
: G6 Q/ F3 ^9 s6 h

- S+ m. a9 X" f* Q9 TSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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