出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
, ^- N' Q9 F( A, }$ f! h
9 ^: R5 W; D9 Y9 }0 Z/ C2。下边证明有没有毛病？

' C+ a" M; s5 R6 s设  a=b
8 f4 A! A$ x9 v! J
. d; g' p! a6 f, ]4 |则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
5 x$ M3 [; n9 F/ F9 b  N
. o2 q5 `6 w* v2 P: Za(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
  o& i" e6 m' o% Ka=2a
1=2

* j/ R2 a: `* I/ Q1 ^) s( u4 f; a$ U/ {证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; a, p* Z, T$ c. l, f8 @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" h) X/ q* Q: ]- B1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. F6 E/ h/ m* P2 l8 D2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ L. G" H+ {1 c+ q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! a! _: q; S  Z1 k1 S) x1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ G9 E! I( o" z

$ x  t. N( M7 \$ z& }# s$ @为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
% [# d- b; |2 I5 T/ I& \6 N) c8 P
7 w! E9 `( h# |Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
! F" J( S3 V3 y% l9 J' \2 a, z& g         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 u  i1 u5 O& `5 }7 ~3 n9 V
: V" F! f" l5 a; pInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" j( @3 F% P9 J, M4 U' w0 S                                     K^3 – K can by divided by 3.
& @8 u$ z# U1 j! _  {' }
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 y! |+ _0 I1 x3 h2 s: D$ Z* u                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; x$ U$ E' @7 Z0 K7 X; {                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
8 y" _6 S2 \& [                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 i/ b6 }3 j3 D0 k                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 s  Y- {  U; `) `+ g6 R0 Q' ?+ E9 C
* E5 w9 F# k, G0 U2 r7 F3 c0 ?, hConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! `' u% j! L2 B& m
4 O2 {2 w' T# ]3 r8 l; s[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
5 {+ r$ Z" y. |/ _+ P% J" Q/ F
* y3 |- K9 T6 i. [6 r第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
; R$ E, N" d+ D: P' t3 j: _4 ^; S: M# fShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.