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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
( h7 }! j% ]5 ?) q$ E$ W1 l
8 X+ R& _0 L' ^0 l6 X8 B2。下边证明有没有毛病?
2 t$ J, m/ L5 p" c  d$ j) r
! u% \6 N. M0 \( B3 ^) `- C设  a=b
* T4 I) P  f- p$ e6 r0 ^) y- t, P
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
; [0 C2 a/ T6 G3 @" `2 B6 A. m两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
: d3 H& M# _* o0 `6 s0 B9 q/ k4 ^; ^4 R% u9 V
a(a-b)=(a+b)(a-b)
6 x# C; ^- n1 l" p2 ]& u! a/ la=a+b
$ [( R$ d- }2 V! va=2a8 s( s, ^  P" ^/ V) ?  r' x, j
1=2" D' [9 W8 j" P8 c* _
# i: k& r1 }" P) Q+ O- t
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试* _; i" d$ A& \

" f' T! K% j$ b  t  v. ^8 i1)不能。比如1
9 w7 S) N  U5 M) i1 [* n6 q2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。5 [3 {2 Y( r# U, R/ ?# f8 l
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: Z$ y; `; a( ]" b1 `4 u
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, x) E/ f. ^' J1 i' M/ n8 T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 U. t- ~6 B) y* K- V; _' ?看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 @, i: ~4 S8 ?+ D9 b" v5 ?& O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。! O3 m1 R' ]; j$ P- Y

' A3 [9 T+ [+ ?# G; A为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 ^7 T+ G7 {# B$ E1 G
9 i/ U% p* r8 z# W- cProof: - A! k5 g+ V0 `; o5 n: ^  R
Let n >1 be an integer
4 A8 L" R4 L! n) S4 M% o6 y) ]Basis:   (n=2)2 `8 G& l* F/ {" }9 O1 ]
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3& \2 E: n/ q8 ]' V9 L  _

( r% V& d- B  W: x/ _2 nInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that+ n( A5 z, o* m
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, |$ C' x% s6 V# J, R) T5 c! R$ I! I
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. Q/ K* S0 N; b7 Dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem7 ^4 O: b8 c# O$ ^1 z% A
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. K, o1 \; e3 U: S; \' R                                     = K^3 + 3K^2 + 2K' Q9 U  d( S3 _" R
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 Y7 J( v5 z+ G" b: k/ y                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)6 l: r+ |$ {' Q& t- E
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0* D8 \; H$ Z% g( T5 T9 g5 m
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)0 _0 z# x4 O% [2 I1 w' n7 I4 H
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
' m! J3 V( d$ v( \* n                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3$ C9 G: z& Z+ W' _* i( F( `* ]
" S+ u2 e) C$ r5 W( z6 C, ]" J4 x
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: V& z# {% X7 g; _# S  A
  ^2 f0 T0 j& R[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。' u* ~# w! P% D$ t

, y7 |. d; X  l- A第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:4 x  e/ J. X9 }5 \, l8 W
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
6 I) D5 N, T" s: W  X

/ g% H% z1 K$ a- @) ~) [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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