出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
$ a/ Y* h, H, v  k& C) ?3 ^. g% a
2。下边证明有没有毛病？
2 W) `7 p4 K' `( A: k( g
设  a=b

! ~5 c+ E5 K1 R% z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
6 L/ }* d+ Q% y
9 y# @! u/ q: y5 o3 \" ha(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
! B' R8 Q( |: C' y6 |a=2a
1=2
- M# W+ `3 L+ \( ]/ E/ x% h
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

) m2 j* \/ x9 b% }/ C4 @1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 e9 `0 I) a$ ?% x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  F" r% r. N- `4 W8 D0 r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 Z9 P1 E" O2 W* A- z8 t9 N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

9 K4 K9 n1 J  z# L为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

% Y& S5 H% A6 ZProof:
. o9 Q- T1 x( `" yLet n >1 be an integer
3 e! l: v: Z' d% mBasis:   (n=2)
4 L3 Q- {9 \& `- F; R! R# T         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

* B8 \+ e7 O, ?/ RInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' f& {/ g. `. H6 r
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 r. q$ A; `- x" }# i2 D0 H8 wThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ m( q" S3 D6 Q5 t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& q. @! r/ A: g% f! n
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! v& V0 J; d1 t" A$ a
5 H5 c) n9 g0 ?9 g* c3 [第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
1 h: ]0 A8 g! XShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.