出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
* e% Y' |6 ~( `
, ?  M# S. x; |* l: d3 Y设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
! U& I* g6 [/ _2 h两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
/ x9 y9 ^# u/ s( V
$ |  ^! t- `" i9 f+ h4 ga(a-b)=(a+b)(a-b)
% K6 d, ~: i+ E( |$ C5 ja=a+b
a=2a
! e4 f( t7 `* O) S: ~1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. m. E! D) x8 O  s; f% `- }' u1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
2 D$ t2 b5 k% f3 |  k, y% l  c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

5 Y* t3 L9 [8 b6 \: A0 D- q为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
0 k9 d2 g! O+ x2 X4 C
Proof:
- D# [" u; q% l7 j( `Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

/ D' Y* _6 q1 r/ L( ?8 n  ]Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, O( x! j; c& W- a; x% W; B                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ R& z$ o( \) _3 ]! C9 Ssince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 M1 |1 T; x6 D' ~7 IThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 s5 d. O! b0 U! b1 Y
  C. t6 @1 c# s( u. z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! m* I% v$ w# n' r; a! W: e. K7 z$ c
, G+ c* p* f5 f, ]第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.