出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
( P2 a  ^% X1 D
2。下边证明有没有毛病？

* @( M3 ^1 m; M" ?' v& X设  a=b
0 `/ Q* r6 I4 ~5 r' n7 m+ ~
* |, i9 I6 N7 f: S- ~则有： a*a-a*b=a*a-b*b
; G7 ?" r3 A/ I5 V6 p: G7 E两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
7 }: m3 |$ V( l* ?1 N1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
- l3 p) s. `2 z7 [4 C* s6 K
1）不能。比如1
4 T  Z8 d9 e* Q0 V( H2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- M$ d* V, V$ Y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! H1 G; h8 f) ~' Y看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' O/ d" L2 {8 b; c7 S1 f. b" w9 Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: [9 ~0 ]9 O, _5 M% F, K

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

  H! k: m$ B) |. |1 H. YProof:
6 o4 m4 f3 i8 Q9 B% LLet n >1 be an integer
) X; o' P" J. H/ d. A+ r0 NBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
8 }. j: Y6 S, Q9 x( m# O' O2 z) D
* ]3 \1 {7 F% nInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) w4 B2 n: p5 _+ H" c  }( IThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 M  i6 Z; I/ u: Y- ]8 v/ Jby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ O9 U" O; z9 B$ e+ ?$ z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" Y; O# a5 h. f1 ^. q
1 U& O; G, @! W) r/ q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; h" Y3 Q4 y5 D2 a* R5 L* T
* F8 S% L/ L+ C) J6 n2 y+ ~8 cSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.