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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
8 b: ]; r+ A) F0 m* M1 D; a7 n$ F0 h) C$ E# M! n- f
2。下边证明有没有毛病?1 U" f. s9 o1 `' x& k% ?) U8 t/ }
2 B7 l% D) }+ S4 T+ N
设  a=b
! F1 j: E& c+ F0 j- i: w' @  N( E3 ^# U
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
7 Q, f+ b6 y# y3 e9 R' m2 V) }两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
3 R( c5 Y# m! ]4 Z: K* M
/ |0 O0 z, O, _- T3 G$ \6 n) X; ]a(a-b)=(a+b)(a-b)+ D: T! Z$ c: k! b( T9 l
a=a+b
9 o4 R8 o; k2 e8 ]: j6 ia=2a
; U- \# U9 w& q2 t& ?1=20 B" o; {, p0 X9 w( Z9 c5 E

$ z. Q* ~  Y& z% X$ D* i3 Y证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
* J9 O, V5 J8 o6 c8 P, ^
+ H5 ~6 J1 m- z9 k- {* b2 o$ G+ C1)不能。比如19 [/ q% m4 D) b* g! {" T. Y
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 C  L7 u3 S4 ?& [- C
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:" R& [9 Z9 f- o- K; a' q, A
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
  L+ v1 s$ Z* ~8 E- k3 h( O% T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
8 a% P1 ]0 ]5 j: B) Y
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:& C. {1 N: v3 F- @7 x
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。0 E: H% B8 K/ k% V9 J
  ^3 V5 b& L8 V) |
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- X. u' _1 C: l9 Q1 f
5 o% }0 F* m0 @+ m. {5 h1 VProof:
- B- N2 D) E6 s, @Let n >1 be an integer : `  m9 O  q, T, Q1 ]. ]
Basis:   (n=2)
! i+ v' K: V% H         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# |) s1 n2 [1 z+ q0 y
' ^: n6 Z% J0 B2 x+ w& wInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that& }4 ~9 U- T. @2 ]5 f( s
                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 w$ r! s  Y- r5 B4 J4 W" D4 N1 I: X
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
! K/ i  s. [& f( asince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem9 F) H/ @6 e% C% T
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
6 h0 m  ^- f) ^/ d                                     = K^3 + 3K^2 + 2K2 T" j/ q* U! L0 i$ G
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# U5 C6 T' @7 k6 M  s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)% i3 O! w& ]# Z% r
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0& K) G4 F# @$ ]# H! S) [: i! Y
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
- g, i( v9 k7 k, @" p5 ?' K, r                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
0 F  f* M; u$ i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 34 E6 K3 L9 E" J

& `" h# f) }& p# q; t2 {1 h& gConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.* o- W( R& F6 Z
1 T  Y* M1 p1 V  o! O  G2 d# ^. _3 n# L
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。7 u1 ]0 k( c8 A0 h% z' C

% G! P1 k5 O1 I9 c/ s" T4 I第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- d8 ^7 F; s4 k; `' Z! a5 K  iShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
: j. O" Q2 q1 Z7 j
: b4 Q* r. v) f% s7 B+ h; s  y
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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