出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
* d( V: |, V, ~8 {/ J) ]1 z' |+ F
4 I9 I3 K; A2 J则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: U# H4 ^3 s" C8 Q8 N' M& u* q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

% r0 t1 j! m. W  h4 r+ ha(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
, C7 `& p  ^" C: `5 [4 K* [1=2
$ D1 O+ n+ ]/ I' u, [
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 @$ E; B! S  `; T+ {5 V# H, N6 U
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 d: B/ V) e2 e2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
( l& W- l: Q$ l; [" gLet n >1 be an integer
) A: \* j0 d& JBasis:   (n=2)
# b: Z1 ~  O: I         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
/ J& H1 c" h3 b
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

0 t5 a7 Q* z9 CNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 \, w4 O; l. o  d9 }* H/ z: M                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 x9 Q7 y. K# C, k; m% bSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: J* _, O* |8 ?+ K3 ?                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

( Y4 M) [& R9 N) B; x! `/ O5 C. XConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
6 H+ w) A& I1 a/ \% d
5 {/ P* {! a% a1 B; y" q+ V[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

( [; z# \0 `. h' {* ^第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.