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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?9 M# W& ?# L3 w4 y3 {5 E

6 ~% J+ X) |# w9 x# G) }2。下边证明有没有毛病?8 W3 g2 U6 @+ M# s

4 W# V* a3 Y% D( U8 u设  a=b9 `9 M5 I! F# T

( V7 A" \& \+ p+ l3 c& T则有: a*a-a*b=a*a-b*b
3 a- h) W; M) {6 }0 C两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
3 j5 _1 O& \! A' ], r2 g. G4 ~& f4 I6 P$ F+ J; E2 i% ~
a(a-b)=(a+b)(a-b)8 @6 d4 _0 ?! E5 _+ J5 g
a=a+b
) q! X1 U/ ~; k# L4 T) wa=2a
8 I% A0 q: s! r* e' i1=27 n8 H: p. M$ c7 R: e7 t

% L, y. G8 Z9 j  w8 T) G证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
4 z( u  }4 J# F* v; g# X
5 n6 ~9 ?9 ^0 g9 ?6 z2 f- `4 N1)不能。比如1
6 L$ G. U" Z  E' F% H" u; G; f2 u2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 ]0 ]" ]# n/ m: Q3 W$ P% R" b
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:% O4 ~: M; u! A
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
5 C2 _' J: O, {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% W; K+ v/ V. `4 X7 D6 ?看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ K; [1 d5 O3 }7 F8 V4 U, v9 l
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。# c6 `1 }2 \/ B3 O# V

: f4 u! z, D- ^5 m+ d为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
5 P' l) x" r$ O, o$ s8 z* Q; I  J" U
Proof:
2 C# }% W- P0 @0 Y: D9 [Let n >1 be an integer
4 o8 B$ h7 {6 wBasis:   (n=2)9 v3 W8 k: i7 ~4 y, t
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3  X: _0 v1 \$ q2 G/ e2 h& ~) [

/ @9 _, Y: c; d0 c' H% mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that+ }. ], l# s3 W, q: P3 i6 m4 Z1 _
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  ~# X% V6 }/ q
) v% g, x) v/ y  F* x' @* hNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
7 ]% m0 G0 D2 O$ O! l# @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem' G1 s3 s/ o/ G0 b) @+ f9 W+ ~+ E
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)4 g% e7 _& M0 a) B. H2 X
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K0 W4 S$ r; t8 q8 T$ a
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
3 p, |0 P' U( Z: [+ l. L1 ^  b                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  O/ ]* V" ^& e" F/ j0 w$ ^by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' k1 @( L: x2 rSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)- k2 `# J) b2 |0 U
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
: u: Q* V+ a$ K  x; e) P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3' U+ X3 t, ^5 n
- P# {$ j! q4 h! ?* Y$ ?) y
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 t9 L% p, }; y) W2 \0 [
. K- b  C! e  `1 f) r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。* i0 [; r7 u% c8 G7 J

, k# V5 z5 S( L; j第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:# {2 h6 k4 w( v& H' `" d
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( |/ t# c$ g: @8 J
5 L/ p$ s2 Q& U. V" Z- [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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