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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?! r( S$ ^7 L8 V/ |; W

8 \4 L9 y# i) G! O8 U* K2。下边证明有没有毛病?
: z2 M. }( _8 t+ b4 J1 o
: X# z9 E7 u- O设  a=b
/ l# H9 i: Y; e+ e, u3 B
+ t" }5 S0 J1 E) C! d: \! j则有: a*a-a*b=a*a-b*b
; D, N' H6 F; V两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):$ D# E! x. R* [, u" B: N; S

( q, o: ]- [  _" P% L+ @: ea(a-b)=(a+b)(a-b)" o# O8 ~0 Z1 a* c( }
a=a+b
! y/ O# H+ p* y( f9 x4 K: a7 K1 la=2a
0 V: \; u& N# |% ~1=2* K; g7 a! T: c0 t) {/ E2 t7 |

( T! @% ?7 k" B% y% v证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试8 R* S( s4 n) U9 \5 |4 t+ \% M

. _8 K  k; a, W0 I1)不能。比如1
6 f$ ^+ m* s" b" }% z! n' U2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
' W4 {0 C, \+ a/ @; |9 p' R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  d( x1 d  T* Y& w/ t3 o8 V0 ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, S0 }! \+ f2 G0 ?- i/ K. k$ R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
( i: k$ S/ f- e& K
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, t" Q! U0 @2 |, [7 j$ P( @
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
, J4 Z3 Z8 s! r* c# b
5 V  V# _0 ]# s
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* }" P& L! V( u  V9 G
' t+ G$ C& h0 b7 N" ^% }9 z4 `Proof:   x# Z% D% C+ O2 j
Let n >1 be an integer 7 }% d7 D5 W7 `/ D1 c" P6 s: e
Basis:   (n=2)4 ^. n* W3 I5 q2 }+ \( P5 L
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 s& `2 d) Z8 ^' c) }7 U1 a4 S+ E2 F4 a
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that8 g4 _$ i  Z% r. ]7 L0 n! E* v
                                     K^3 – K can by divided by 3.9 x  ^% R* V3 j1 r# e4 l5 [* `1 \

1 a# v  A- v8 e% k- B9 oNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3" m9 C4 M  @, Z4 k' ~3 L
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ q, G) J; w: L3 ^3 z$ `/ LThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)6 q$ i5 r/ X' d0 m1 K8 Q  `
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K1 K* J! f9 r  y1 N/ s
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 {$ U+ y# o- G  g" ?) l                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 d; m% V3 g1 o* I; H$ y4 j+ x
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 q6 @. m1 c% n9 [) g( ^- B) \So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 L$ f5 n8 T& U( y: F& A/ M9 ]3 x                                = 3X + 3 ( K^2 + K)# m4 s) W8 @/ D
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
% T6 G$ i  [: i# E$ ]% B0 l# A
! n' m. p4 ^. p4 p3 l+ Z; HConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 o/ o7 U$ i0 ^( `/ k
1 u' P& z. l; D0 f7 T! J[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
理袁律师事务所
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。& L  ^; U( E+ @, M

0 F' ?9 ^3 \9 P" ^  T' s/ @# j0 E第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:$ S! I6 f/ d" }2 L9 C  z2 a$ @
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
9 B9 Z* C0 P* y8 Y% l; z
0 o2 s4 b, s$ x& x6 X6 k3 y+ Y0 R6 d  ^
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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