出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" D6 w; B5 \2 B4 c. U4 ]2 \& u$ i9 b
* s2 D- w' B% T, ~: x1 y2。下边证明有没有毛病？
( J' m* Y  d9 Q* `* q" ~% P
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  M0 q4 y- i: s$ J9 r6 G( g两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
! Q2 \+ t5 v1 ^- \+ ^a=a+b
2 y* W. J  [' D' H% ea=2a
1=2

  A$ D4 n, ]1 p证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
+ M# J" _1 y  T4 ?2 ~
/ X$ C* z, H0 D! @: F# P: p; q) h1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 M/ Q  A0 `" I$ G. Q6 r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 [! f2 i6 w) j+ O4 s3 i

+ e7 U$ C. Z5 x% I  q: S为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

/ q0 G$ b. q% v' B+ ]3 I! QProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
) _9 ]1 F# B; Z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: p( x$ a7 B8 n% F5 y6 I
# k# s, F; s: iInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
. D+ x% G. p* R: X$ T, c
& k, U0 ^0 C4 v1 ONow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ ?8 b% ^+ O& f% E8 K8 ~0 }Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* u' P0 r) `& |: V, \                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& c8 ^% E  ^: o
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.