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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?9 K, U% a2 o: t& j0 e$ e

% d. O- S& S( F- x; K" p: d/ B2。下边证明有没有毛病?
# c' r; r# V. I8 a
  l) n& R- u, Q设  a=b& e: z& t8 H: H9 y
: n2 }* v' R9 q- h) H
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
+ t3 V. |$ B: y. a7 z1 ^6 q两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):8 A. I1 ^  A, f* r
1 k, B3 b6 g! @. I
a(a-b)=(a+b)(a-b)
* N: W$ C, W: Q# f" k' ^a=a+b
4 K: H, X! {. K& H3 va=2a
+ n$ ^% N" |* S6 `! J' X. |1=2
0 K5 P2 A: g' k0 k. B; a
+ @4 H& I2 Z6 j! o证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
8 A3 d" D0 v# b$ U) |: L. C( [; L! q) r& f: c1 |2 {& U3 t! E
1)不能。比如14 u8 ^& T. z" R# F, g- s
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。3 a3 X2 T- [( R3 Q& |$ z
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 Z: R# M; Z% p- ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' C2 \$ v( p( s+ h4 d3 A0 y/ A
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 k7 ~2 l% V$ G% @  Y+ X看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' C6 ^- {( s! ]$ p9 m9 o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: o9 _7 B" I3 J6 a8 p$ n7 w  Y

& w8 y2 l/ e9 a, B为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)% d& G2 z+ Y; d% t( K
; N% d! O/ {1 r( K
Proof: $ P' h9 F1 i2 Z
Let n >1 be an integer ! m; u, s4 ~4 D7 K- C7 j
Basis:   (n=2)  F' K1 ~/ g# y7 ?2 l  r# Z
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
4 X# `5 t$ z8 y# q9 Q  i: m. ?1 L- d0 o+ M' o% w1 u
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that! W/ S, U; i  f7 T2 W' _* k3 g
                                     K^3 – K can by divided by 3.0 e! F! f1 r& _& S4 a/ }# A; e# Z

2 U% j6 F/ [1 g4 @+ sNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 33 E: u* q4 z% ^! s
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem8 R* K' U% L0 Z( n/ g
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)( p5 x4 w7 y& p: `6 D* |8 N; `- S' o% H
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
; c( A- T6 L; `& h+ O  N- x                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
4 H. B" I5 w3 ^$ z" J6 `/ p/ C) C                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K), p& f; s3 Q1 T8 z" p# `
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ ^) `2 q# P: e) ^3 ^- zSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K); i5 g2 \4 S/ h0 ~/ B& ?
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
/ z0 J4 E$ l( }# i( ]4 l                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3  I, ?. w% X! R& r& B/ Z
+ ?: a, h$ ^/ K4 A. S
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, P8 q: w7 f- f" p( H
  h  G3 W; u. L: y7 t" {1 q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。1 `( Q! D- W. u/ t, ^) x( s, W7 {

/ g# j  E3 q8 q( a- m8 }第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. E; r! ^2 _5 `8 G$ ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
+ `4 M: f! p; m) F

) v! L5 V$ _; T) }2 T8 P  t) ESORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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