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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?$ ]  m( b$ E3 G6 H, u" n! N2 [8 H& q* L

# H( P# q; k0 Z2。下边证明有没有毛病?
4 F: Y* P1 C, k7 |
% W" a$ x* j$ L8 w; X设  a=b
' E$ o& E( K4 O' v- X: Z
- A7 y6 Z" |9 j  L1 a3 H则有: a*a-a*b=a*a-b*b
2 A9 ?1 c' y2 h0 n; }2 L2 I5 `两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):1 H, e! H0 p2 \7 U7 _! X2 n9 X: s7 q
8 ]$ E  y. J6 ?4 v' L1 G, \( \$ O& X
a(a-b)=(a+b)(a-b)
# o4 O7 g6 v2 Ua=a+b
) g& I, h$ i( f; V4 {8 _- za=2a
7 B% y# ^: O- X0 F2 V" }6 p/ \1=2
: d$ v3 ^# e' K" J+ Q! L6 b' J8 M) ~6 ]  l
证毕 ,结论,1=2
大型搬家
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试" g: {3 t2 ]2 r2 z4 v2 W3 m) x0 B

* U8 l3 k" K4 G/ m2 F1)不能。比如1; |6 n" u7 Q: d2 [
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
: J- t: M! a4 B& {2 X+ m) M0 w2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ \9 k, U1 V( a- m) G: }2 C& Q4 a1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; m5 r7 f) s3 f, w- z
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
) w3 o% @0 Q4 I* R6 L: S
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:/ x+ n4 s6 M; i: F1 Y
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 `& o# f' G% s0 V% v: R) Y
) m/ E- X3 g( \" F& i
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: Z2 ~( M, Q# N0 }' }4 C6 }% t( O. ~  u- Q2 \; E! E: C8 x+ l
Proof:
3 ^6 w: W$ T; ~, DLet n >1 be an integer . s. F- Z& {; w5 w. J
Basis:   (n=2)
) ^# W0 X' F; l9 Q' H2 N- ^         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" o& l) e! u% M
2 e1 C/ S. g, m4 E6 HInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that& f' G0 e5 k/ X( z* @  q
                                     K^3 – K can by divided by 3.
5 _0 l  d/ b3 O1 Z0 w1 ~+ S% A/ N% j5 W% }0 Q
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3; ?9 e) s8 N) g8 R  |# Z- w$ U3 Q
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem. }+ P$ z+ V& x
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& @! @- }  F2 |' z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
% y0 C* p8 g2 U& K3 D" ~7 i0 z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
1 W2 R8 ^7 Q2 A/ j) u' K5 W. g                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( R' d+ ^0 b1 `3 u5 B  k- O$ r% p
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>05 N$ T* u9 W; B6 u9 W' R% S* V$ @0 e1 }4 E
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)4 t4 _/ h: F5 G4 s
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
( z2 y- e6 Y! O% z* ^                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ T) O- ]3 O3 x( ?  q
% K$ u8 o$ {& Z5 p2 Z3 pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 a5 P7 ^6 B* D, i* Z: Z
' A: n( M% f8 K$ ^$ ]9 y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ b  Y3 p/ q  B! j( n
0 ^5 a* ~2 t( ~$ E第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:; ?% b& p9 E3 `
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; l9 Y0 L- R2 c: e6 R/ b+ k5 n' G! ?, k; z
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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