出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

3 Z. R* {8 L2 k  C6 [2。下边证明有没有毛病？
$ z) |6 @% B. H  u6 p3 Y3 T
; n+ p6 P5 Q# ?  a设  a=b
- I" l8 s( T# n/ ]0 y
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

5 D3 }( U! d; l, T( ja(a-b)=(a+b)(a-b)
# H8 `  i- V' O6 v7 la=a+b
5 X4 u7 z$ I6 q# Va=2a
5 y$ f9 N0 @: P1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

! Q6 U& J) m: N1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' ]! `& i5 A2 ^+ D, b4 k( |9 c% j2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 U( l, j3 \. U; y$ s" M$ P( ]看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ i& a5 {5 e' W4 }" L# k1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

" |& M" p4 f: \/ j为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 R: J$ L: e) d1 v% C
Proof:
) v# W+ ]/ O/ f6 n! NLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
" }/ ^: O3 p% O# {
4 x, B) E  X! S7 D5 z. ]Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* f' q/ B1 g! O3 C: }, F                                     K^3 – K can by divided by 3.
, E9 m3 Q8 g9 Y, y) V2 X9 ]
/ g: w/ _# o% |0 d- K& YNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
" e; j( C" W1 @0 D" ^) _" o% s' v6 z: @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) B1 O' i4 h7 o% t; {1 ~% D0 GThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 z6 h! W) k% S' T' k+ @                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, f2 o$ y4 a' [; K3 I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' o+ J. t; K2 @+ B1 Q9 ?5 S( yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  O4 |; f; s4 s1 U% x/ x! _4 P  V                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 R! D: U( W, @6 _
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- e5 o2 b  f: L1 Z) m3 `  |* z0 l
- z$ C+ g- D3 A5 K# I6 Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ o# o, T4 I: m& D- a* P
& C$ b) o) y  D+ D% N4 c! \第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) I0 c/ Y7 b! X8 ASORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.