出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
$ b! q1 i; v/ i4 N2 v* W' V
2。下边证明有没有毛病？
" a% K6 O0 O+ i
  |& w3 k0 w3 D' v" I5 Q0 m设  a=b

1 X% y$ p' V  J则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# H$ |, @" v6 i  Y
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

7 ^  m5 G* Y" p: Y+ A6 I' H证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
  x6 M% y( m' c& f
$ T: p* M5 Z2 B% o" b1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 ^; j8 s3 V# X. m# {$ y- Q) K  ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 `) L$ M% t, z2 D: ~看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; A' b( d/ [& K

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
: N7 ^; w- a$ ^+ D- ALet n >1 be an integer
8 Y; S$ X. a: h/ X3 i) a( tBasis:   (n=2)
( [6 [6 w+ E* C' J6 [, h7 x         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

2 ^$ Q+ t( L, R) H- P5 v- E) mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

0 H0 z3 M1 H6 sNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 e( c0 {  J# P- ^6 |6 kThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 T8 J2 t6 _/ a4 W% U                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! l- S9 q( r- ?3 _5 t$ B                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ x/ @% ]' c, MSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 y& \; E% G. T& g2 q3 X                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# ^" v  x( D# |9 e
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

7 y3 O& V; v! s3 }! P7 f[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ r* f+ ~2 V) H- ?4 ?
) ]; e3 |8 p* i$ h7 M. ]第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# G" [/ e: l6 z! \# ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 A5 {9 @! N$ y2 T# o9 j2 T
' c" V4 g1 [2 i- L" e4 lSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.