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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?1 K3 M1 W: b+ ^. y- _+ a9 U5 r

: c2 O0 Y( D; ?3 {2。下边证明有没有毛病?
; R, s; _/ E- B* |
1 o* m5 y+ C$ u% q3 R# e2 c& X设  a=b, D& I4 w  A+ H! x
3 O! R3 ]6 i" P" S! p
则有: a*a-a*b=a*a-b*b0 v3 n2 `! k% u  S: `; c$ G5 g
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
: X# c$ t/ Y6 @3 x
: e2 \8 L# J5 Z9 }2 |# Oa(a-b)=(a+b)(a-b)4 ]$ X% E# z; L  @2 v+ i. m* q
a=a+b3 m: j: r1 ], u2 S; X+ }5 p- q$ [
a=2a, ^4 X2 M, k: e$ O
1=20 r6 d# e! D+ L* h* i8 J

; e+ E1 S; @( E( @2 k8 \9 Q! L1 [% V证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试2 G; M) r* @0 y6 {5 H& w) S

+ J. f3 C" L* ~+ @, L8 }1)不能。比如16 y7 p  B9 E- n/ z" Y
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 ]5 {" }% B* M. k+ k4 x
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:$ p+ b+ [& T8 B" Q2 L
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。, @) s( o+ L4 _3 w
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
5 k' C+ \: ]1 i: k$ r
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:+ Y! C8 b, e5 j& ]' f1 }3 {% J. K
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
+ j5 ]: S" t3 z- ]! E  \

* k0 Q  p  @9 C2 x- t为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)9 @0 Y+ S* i+ g+ u8 c- Q" E

. x& p- ]" I, D7 m3 J/ sProof:
' e- f! c6 A: O! ~( t8 L, C6 N* Z# lLet n >1 be an integer
/ N4 m% Y2 h* r: N* A  I3 B& sBasis:   (n=2)
3 G6 c+ y9 ^' z' }1 ?, e         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
1 S; u# W7 j0 P2 H4 @7 x0 Q: e2 S4 g2 i5 j4 f
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that$ c9 m$ _& |; e( l+ u
                                     K^3 – K can by divided by 3.
% d/ T7 r+ ^# @: B+ o, D! w. _
$ t2 q9 O, B7 i' ]$ ]2 i' B6 |6 vNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 31 P* h% R. p+ r$ X6 t; n
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem. T$ q3 G, f# D) x7 R
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& b/ F$ u* l) k3 `2 @" ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K) ?8 L1 |' U5 ]4 n
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 y8 l+ z' E) D2 T! h                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' x3 S% r4 [7 `; s9 ~. @% |' D$ {& k; hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: `' q) n# Y: g5 {' l3 a+ QSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K). i; T1 J/ e! d3 d8 k" F
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)" o" e5 N0 d, N4 Y% W, F& w0 A1 w+ A
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3) G$ a7 X) ]6 ~; d/ m3 `

$ e7 D. i# x/ U) b# OConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 i- o9 N/ U1 g
* @# X8 s) V$ G[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 u* f1 K1 x4 j* b" ?* z4 g. \) h: X  v$ Y0 ?
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:( ?2 q) O0 e# t" q$ H% V9 x3 B* g6 ]# n
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( g) r; R7 ~* \' @! X; {7 _5 I( |" O% s. ^: b" l; J
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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