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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?6 b: a# C0 t3 w1 ^! X2 O

/ B& g( ?8 v, j8 A0 a& |$ ]" K2。下边证明有没有毛病?
. L& Y1 t/ @3 c  p/ a# p1 M& v% G
设  a=b7 i4 T, l/ T- k6 r0 _# Q. o

* R8 M+ y2 B. |- M4 M& A9 B& B( e则有: a*a-a*b=a*a-b*b* ^/ b/ u8 ~, g# d( n: n* G
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
- o4 k6 |+ _  f0 e/ @$ \6 V
, u+ O0 d- p5 I' s6 L, v: na(a-b)=(a+b)(a-b)
! `9 X* C1 S& Y! o5 ya=a+b# {$ d% W" T& H! D$ O
a=2a
6 I8 B3 j9 p0 {: v8 m7 l1=2
* V8 J  L! k: F) m1 X3 R" n' s2 A: _( O& P5 J
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
& J" h; X6 ?6 d$ e& M( n8 o# S5 l4 b8 ^1 y
1)不能。比如16 u- e# c- Y1 h  r7 x
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ q% ^6 d7 P9 C/ A% ^! }/ k
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:3 y# F& H8 [. m. a
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 f7 \: N7 T2 E( j
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 Z8 D% x; ~- A: C看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:# ~7 u. t8 ^- i: V
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。$ N$ d' [- O+ t# h/ ~  p
' c+ M+ W" R2 S# ~; U; T
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)/ b  `- }/ W# t+ K  |
7 r0 u* \* Z' q2 x* C
Proof:
9 p( b3 A; @9 p6 M& [7 `! SLet n >1 be an integer
5 A- r7 u& y( @3 _4 @' YBasis:   (n=2)2 k8 R2 t5 q8 i& G
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. o2 z% y; w% D4 N1 b' u& I  C7 k! N! f
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' E% P6 ~% @) ^1 X8 F7 p' z8 r                                     K^3 – K can by divided by 3.- N* Z, g3 g8 @3 s

% S  l4 S0 Z( i8 z) jNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3, |/ h, ^3 B  m, r/ `& t
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem. N% n; U4 k9 o9 r* {
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ k8 }3 E+ o7 o) k0 T                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: N5 J/ q1 s3 v                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 g% e# I2 q$ v* `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: h* v1 R8 s: A- e, X" Vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0; v7 l  e+ H( [& Z  M% S2 k
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& W- z! N: A! ~: B9 o1 n& `2 N' b                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 X$ O' k% [6 m  \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3+ K% j0 t8 V; _3 E) J. p

* z7 I6 `3 S. K( E& eConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.8 b, e- [$ R: C
" _2 h  B. _* r1 ~
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* i# A' K0 W6 o% _2 @4 r! P3 g, p- S4 E  ^3 Q
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) {" p+ f: L7 ?2 E3 yShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
  t2 H+ ?1 h( t* V1 N- e" [

$ f8 p0 p& t. t7 G; Z8 jSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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