出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
" z" I* ^, m- v) v2 \$ X2 u
2。下边证明有没有毛病？
6 l0 @& I, R- V, g- [0 P
设  a=b
8 W6 ^" x  i8 X
* L& D0 ]; h2 W: a则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
# y- N- \+ X/ y7 b/ U1=2
1 L3 q, a* u9 Z' y; ^
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
1 G* f6 w4 S' A
% F) X) O7 o( l/ O, u+ V8 L1）不能。比如1
* }9 k0 D. K5 l2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ l: B3 u) }( n) L  P- }+ a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 w6 k! S4 u) g: |1 \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( ]8 u5 I# J  {' |

. D  l0 s( N2 ?- P* _6 F8 p为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

! K  c. G8 j* I' }, M( bProof:
1 O2 x- \3 \) ~# y& eLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 v! V, H& z: }5 w
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
9 b1 `/ R0 Y* ?: g) h
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
, q# @' r( m, i% K  \- k0 UThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

& e5 w9 q5 P5 g. _1 PConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

; f) L8 _; U; ]  w2 R* D$ a/ E[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 F7 c  o4 K; z& g8 {; n
9 D7 \- l( m* Z. }9 C( n第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  ]- W4 {; b8 DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  |) }3 f, d: l& V& ~
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.