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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?4 k3 q( g5 C$ h( Z  _  P* s$ t
; ?6 D9 D3 \  g; _5 r& L; _
2。下边证明有没有毛病?9 f  R+ l" N3 `6 {2 F  j
! U. v9 M, i8 {. K' Z
设  a=b
2 K" W, I4 a+ X6 O6 U$ e
- E6 R2 d( T( g3 n$ x, a1 A则有: a*a-a*b=a*a-b*b
. ~9 D  I3 b; s& U( J) `两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
' J; e/ H* Q* b" [4 w: A( I2 b% u: k* @6 ]* i
a(a-b)=(a+b)(a-b)
5 @9 q% Z0 s, {& p, {) V7 Qa=a+b
: t. l+ s2 E3 r( b2 j6 S0 Za=2a
0 ^3 _! ?5 s. [, F$ i1=2
0 Z- {; y; i3 w" H0 e& O% H- K* L8 F$ t  P6 S; s  E
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
" r9 b6 X/ n8 _% e' q# Q% I8 r  a) h# A/ c0 f
1)不能。比如1
/ w' E3 ~" q& @. b5 @. B2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 l% \0 U, s8 m+ K; E/ V$ l: Y. n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
理袁律师事务所
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:: I2 e8 l" b; v, s9 D
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。' G5 a/ G  |- O  {+ I
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
0 g5 Z+ q) K# m& K! M
看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& o; \: F+ [- P9 c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( }5 @9 V  D' F0 V4 h0 Q6 g

7 O' _% O3 x3 E6 G. C8 c( ^为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)$ W# }# i; \" ~* A& N

; \! ~) V1 a9 |& z/ ^& Q. JProof: : A0 ~/ `7 _) M6 ?; [4 v% ^. w
Let n >1 be an integer $ \) g3 {7 t, e& l8 b" M* N
Basis:   (n=2)
% G1 J, e9 I1 l! H. i         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 35 Q# E* U  h3 o+ l3 o+ @2 J9 J+ U
, c) B/ D' Q( y5 w
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that4 P+ K+ y0 i6 }4 y3 [
                                     K^3 – K can by divided by 3.' V) B& c8 R* R3 O* z; k2 |
( b. [1 P7 f" G3 u
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 35 O$ |* J) T: K1 I
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem; }( a3 o( z) s& R# g2 f( l
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; }. Z" e% r% E, v                                     = K^3 + 3K^2 + 2K4 |1 `6 `0 m0 W; O* F" `
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 R  k  C3 a" C2 r% O                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)9 J$ R2 o+ O! i$ V5 j: G" e
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 H6 d) J8 w: \. `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)( |) `5 Q6 P3 M  Q% ^3 ]/ G) r
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 S8 l' r4 t3 O5 p                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: L+ m1 f# h, g2 V* L
* F+ M3 z2 ~1 S; iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ L0 v5 n) e- C" e$ W: L4 f6 ~' r" g8 ]
& X7 T0 q2 W8 {7 Z7 w7 X: h7 I: Z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。6 t- i% x: O: k, }9 ^
7 L' l+ C+ U7 l3 N9 Q- j% {
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 W3 ~$ X" k; s+ lShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
! o" R4 Z, N8 j( t& A/ H
0 X" {2 @& i0 E. N5 o8 n; H3 _
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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