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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
5 m, a3 T7 E: J: G( o, u, A
* l! {8 o4 ^  U4 j2。下边证明有没有毛病?
8 }1 E% P0 s# [7 V7 L1 s& ]) {1 c. u
设  a=b
. d5 J' z5 b8 d7 d5 Q
1 J8 Y# F/ S5 q( ~则有: a*a-a*b=a*a-b*b0 @; e6 Z) f. x: g( n- }0 \/ _* d! E
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):* g. ]8 M! Y5 R# N% i

6 a  h- r! {2 L& @* {, _) h9 @a(a-b)=(a+b)(a-b)' Q( v# y; N! M) Z) V! O3 P
a=a+b: p" V0 I  j* a# P
a=2a
+ J, ]4 X* t3 k% s: R9 {- o+ }. d2 f1=21 }2 y6 z! H  }8 C  z1 i

& N9 O9 F8 D9 y* @4 B证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试* ^4 J9 {' V$ y" `

% K5 v, N  P/ ], I1)不能。比如16 U# ?, h/ K+ `
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。. d- l% P3 Z# ^  Z
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:, ?6 j8 P$ I7 \, s
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 D* M& p2 c. X2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

) W: d% R) Y; a看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:. b7 E# S+ ~' P  t/ {) Q3 x+ p
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 }, @& \$ z. I

& t) u' V: R' q0 ^$ _为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)5 c- P3 K& K2 n  G4 |! H

, r" Z" Q" k2 x7 r5 E, JProof: 3 k/ p$ l8 {# S& N7 z
Let n >1 be an integer
' D! p! n1 K+ `( ~! p0 K) LBasis:   (n=2)# T# e' }6 [4 {! m) n8 d! U  V
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3$ U* f' y! o- b3 B; m

- V" a/ W7 a. A. kInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
4 m' N: J) p3 m  ~                                     K^3 – K can by divided by 3.
' T' h& y9 T1 Q' e+ A$ {# I) x! X+ r" Q$ f
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 30 G7 D  l$ |, I8 E2 w6 K
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem3 g/ A9 u8 ^% d2 g2 x- F
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)! Z; p) c' B/ t
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
3 L7 ~/ x1 U# U5 i0 V                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
6 k  e# z" F2 {  M                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! o  `& s0 A$ q* hby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0' Z4 m0 M) w3 J* k( @9 i* G3 B2 @
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 r. ~6 U# S, e$ T                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 t% d$ A# t+ p5 I                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3) F0 m& H1 [- m6 F
! v- K% y* r* m, @# H+ m* {
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
. K  j' I$ A0 ^- Y' V6 T/ H% `4 a
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
% Q1 h/ R5 W; a
8 ]  D6 M4 h5 p3 t4 w第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ N7 \7 ~$ x  p. [- @) ~Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
" q3 Z9 ?" F2 E
5 [- E/ }9 l3 [% Y0 {* e+ y
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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