出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

: c# b9 k$ r3 n+ J8 o则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
% K7 [4 Q$ s! p* U0 n$ Ea=a+b
9 g: }* K( Y1 r' za=2a
" C4 ^2 r6 Y: |) ?1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) I- r# d, C; [4 S9 C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

$ M0 i- q* Q5 a; f+ B/ [$ d! C看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# N' p$ ^& b3 g+ p% k1 \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* `0 r& D6 Z$ V5 l

  t6 P( K% l1 [4 C- H. W为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

8 x% I: X0 u9 [: p% fProof:
  p; |# ]7 I/ X3 h' q6 F# qLet n >1 be an integer
0 \1 e( w! W% _" M1 \1 u. s# `( UBasis:   (n=2)
- s- W+ b. K* t* I/ \" C$ ?         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! J9 n0 R" K4 ?- v) J4 V
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( h8 \0 ]' K% Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
& j- w, }8 y: M% V* w. k* v( G                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
0 Y% A# ^5 T$ J0 t+ A& f9 D3 I: Dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ M  v/ K& S) ^So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ o3 e' j; `1 l  \3 J( v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 k1 H- d+ z' P& a4 w: S' h+ {
: T( o, E; X3 `3 D6 k1 I1 fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
: ]) w8 S6 y5 C. R! [6 a& U$ s7 H7 u% X
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' `7 Y8 |1 T$ _$ s0 UShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.