出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

6 {2 @! T, z8 w' i+ @6 ~) D2。下边证明有没有毛病？

3 B/ j5 m8 B  M/ ~% K设  a=b

8 i/ o* z) ~' D" E# V" z6 a: A' U则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

+ \8 I' O% S( W# ua(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

% F- B( c0 }3 D5 W3 h+ t5 z7 p, h证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 }$ @. S+ {9 z$ A" U
1 z9 Z5 N5 A. |0 Y/ q$ ~* q1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 W: Y$ j' _, _  `, s2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 w$ J7 O) R. m. G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! e: z! k6 A. u# m5 }1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- O! K* Q( G# Z1 Q: g* H7 s0 M
, f  U- S: M* nInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 _) ~3 i; g6 F                                     K^3 – K can by divided by 3.

: @$ }/ t! w, N- }Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  ~. j1 D7 N. g8 c& F7 i% M9 `8 G' {6 ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ _  |5 Z! j7 b$ o9 ?' u4 i$ z0 qThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ |% c" m0 u+ Q  f                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
! W# @. a1 o7 l7 j2 `                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 Z! a: ]1 S4 {; ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

5 x8 c6 n; }1 y# c. ^& o第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ o4 @4 n1 n$ v9 w3 _Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! M; R+ ~# O9 K4 ?
4 K. N( |# y* s3 [- D$ JSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.