出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
5 Y" _" {4 _' T4 ^8 o
; G/ i! m3 q! v* r2。下边证明有没有毛病？
% H0 r: g$ j- g3 [: {& J
设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' @) F& Q5 W- p: m- n7 @  ^两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

' O( ^" v) O6 {$ v# W- Ia(a-b)=(a+b)(a-b)
* J6 L4 ]0 v- H6 ?6 na=a+b
" |! P: v0 j% O  r2 U) |a=2a
9 f( ?7 W" x) O6 H0 l1=2
  J( I+ Q6 o* ]7 }2 ~5 ?3 ?4 f
# u( q. r  x; B0 l! V) A4 \( h- z证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ x8 Y3 \0 h, X4 [; k, F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ P/ v2 ^+ t3 Q7 y' G1 @& B1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 V" C9 @: w. i* }+ Y3 {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

8 _. ?6 J2 E6 l1 \* x7 D4 |) B3 t1 h为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
! w4 P; q1 U  n  l7 t" L
0 ^' Y" m% N. E8 eProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
$ K8 B( L0 o3 ]1 |         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
" }& M6 @: w% n3 H5 W9 `9 ]                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) y0 R% N5 s$ u! h' Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
1 p+ ~: m: E# ^; B; }" K& g
; \7 C; B2 k5 Y. T: X. O0 wConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
' q8 S* A7 T" J2 X# j# ^+ d- H
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

: q- p2 @, m4 s& D% H第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( h1 z! i8 Y3 O/ D- T5 Y" u
# _+ g& T* y3 i! qSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.