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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
) N6 n' L" O# @9 f4 H
0 V5 e. i! |% y2。下边证明有没有毛病?4 F0 {3 |2 [2 W0 g/ W( T
1 P. B* k' L$ c# p$ C3 F! u
设  a=b4 w% _1 R8 C! V! @2 E3 u
! m  z" d. q0 x2 v7 z) \
则有: a*a-a*b=a*a-b*b
1 D9 y5 P: S$ w两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):, f, p. }, [9 P  j
7 v* O( f7 S0 t1 y
a(a-b)=(a+b)(a-b)
0 I: \- o8 C. Xa=a+b% `1 d; ]$ v7 N& }+ t8 S) D
a=2a
# d$ O* X; t% u  @1=2
3 O2 L- N+ e4 i4 j7 J9 C. n' T
4 j0 l: [- U# v证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试( O" B1 i. Z1 `  u

: }# ~/ q7 b0 w0 @7 k1)不能。比如1$ ^- c5 |8 C& V- p6 w) [: h4 h
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
5 [1 E. r1 _. x, V2 ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 v! X5 U" F" \1 x3 v9 J% _* o5 q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
( ?' v2 r6 f3 Q* ?/ d* K6 C2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
; U& t3 e* p1 y6 h
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:) }6 r8 `. C4 b" Q) j
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
9 J( b0 X! f' r

8 V6 E* }) A" p* F为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)* h4 h9 S8 H* d" Q

- P8 l) ?1 w2 R7 D) R/ f& ]" DProof: 6 Y" N8 I/ x7 n: f3 d
Let n >1 be an integer " {/ t) O3 m  Z
Basis:   (n=2)! y. D; J* V& Z  A
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 35 o1 U4 Q' J0 ~3 z8 r

3 @- X1 v) H. T2 K* r8 }1 T1 ~! |Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that- y$ K% ?/ `! w0 P6 w1 X
                                     K^3 – K can by divided by 3.
) J; V4 n; D( G  ^! \
$ o2 u" G5 S' M  |; wNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 M6 G- g3 J0 p% r1 V+ `4 z6 R6 [# Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem1 Z; Y( |- ]! K( }2 }2 M+ O3 P
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)' f0 E1 D7 e/ t
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
" I7 M! i9 L( T& z                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
- n+ Q  [; [3 P/ x' |7 W1 i                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)/ j4 ^9 q  d8 D& `7 W1 G
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 u' l9 Z1 O7 H" F# ISo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)) S! S8 Z+ N7 B) R, m
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)# R: u5 o4 q, Y& n! y/ V8 u; j
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
: M( z7 i$ S4 a, Q  f9 `2 S+ f% c  u' u, R2 I
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* ~5 A, j4 i5 z) ]* w/ K* k9 A% O  V  `8 L6 I* e5 |2 A7 H& c
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! P4 B9 n8 T+ J: Q  K( S9 V7 o
# r6 M+ h0 @4 ]1 d' y0 @第二题应该很简单
大型搬家
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:! ^- ~9 t" }: p6 ~5 [( Q* i3 }
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
" \# X% _/ c* \% O* y9 x

/ M8 O) o. ~. Q0 H% RSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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