出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
' N1 U  s$ b0 c7 _
2 ?5 \. H$ G$ n$ b9 W5 s% J. D3 \2 B) ^设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
  V" s4 d% t- D. P0 |4 {两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 {) V+ k& p3 Z" J, g
( a7 u4 q; U( W% ]2 s# \4 Za(a-b)=(a+b)(a-b)
7 ~2 |1 N0 t/ ya=a+b
a=2a
$ r& K6 }* j+ t1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
, K  o4 w8 ^$ q% ~# ]
6 b2 E1 ^/ Y" U; \, N6 x1）不能。比如1
* H: x1 M1 `% p4 s* ^2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# x+ t. \# D- G( o* _

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
* |; O; M* Q1 v8 V6 V" |' v
( `# l" `( ], e3 XProof:
Let n >1 be an integer
& D' }# e7 m( v  ~2 `Basis:   (n=2)
: S3 ]) U$ K( v" @$ q         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' Z& ?/ l# ^2 B+ A) ^+ Q
3 w- |6 [$ z" N( j$ dInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
3 w* q$ Q* P. f& S                                     K^3 – K can by divided by 3.
. G! s& j/ m6 N0 B- o& J
% S9 X( W% ~7 D% O3 `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: h# R& \3 \( }9 esince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. ?4 [3 @( [0 B' fThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& ]8 W, j5 s+ w' b& E( `& j* w* S% o                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 @& @, Z7 R$ L  ~  p  wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
9 H, [- C1 G/ r  T6 OSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ u, ?: h+ k3 n, R                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

) z6 J8 Q9 \2 ?7 RConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) i2 `# c! O" O9 R0 {( _; Z
1 J" x+ C! Q# o第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" j  m% C" O$ s% B* z3 hShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.