出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

/ `) u. c$ @/ W: d9 O1 C1 ^设  a=b

# ~( u- _1 T4 Y则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& x, F* o* X  e3 T( c两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" n: d, c: c* y7 r, V+ l. |, w! p1 K
a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 x1 |; u& D) e- S: T. |a=a+b
4 D0 w1 r" j2 U; J# ^2 O7 [a=2a
* z9 a0 @! h9 |* m3 T1=2

) R# H) h4 u* h4 I$ r+ U证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! w8 s, R- v1 _( y
2 c  i1 E# u9 Q! W2 {1 C1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# s3 u6 }2 ?2 h* M; u" j% Q. O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ w* @( s1 L" @) ~* ^  J* @: M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) E0 Y! r* b: ^5 t* L; j6 o2 t

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 A2 O8 C' A) ^2 [) `
  M/ M7 F; U& X1 B6 {4 [Proof:
3 _. \! H0 Q" A/ F3 v; eLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
) u6 o: f7 o, M; z9 T         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

( X' w) d9 X- T8 l7 gInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- [- i& i! d0 Z+ A7 T                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

: t/ ~" b7 N: n+ e) d) CConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

+ m0 i$ v; m* H& Z# v: r, ^[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

6 a$ Z" K- y5 Y# T) T第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" s- x' k, V$ M' CShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  `+ u; O2 O5 Q- k- E) i
7 c: S8 o( ]' D  c  qSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.