出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- z) M3 F) r( j. C( O0 T
2。下边证明有没有毛病？
7 p6 D! a" H5 y2 G
设  a=b
7 Y/ v. n! [) S9 w) J" @
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

/ @# U" F5 O: m3 P; ]4 U  O: Ia(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
. r4 Q6 l' F# ?; z, \a=2a
! H4 i5 U+ Y& }, h3 ~7 ?5 |1=2
) h. v9 E% h/ f. S- T
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! a/ D: b: {: m& K, |
1）不能。比如1
8 x% E% F" T' k/ @2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 k3 v! A1 E( q! ~3 a: T, G. f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ _' e9 D9 ?1 M/ b1 z$ m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" s. M7 v! y  x, _/ I* o  [1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 P) Z0 s5 s& ?8 l2 T

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

" P8 {6 D! S+ \" G" z. MProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
( C* H, W- V! w) H/ F
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. n2 h8 g% i) q, U! V+ x2 k) a                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ w1 z1 }- K7 p8 Z5 ~1 R% r; b4 h                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
4 \+ I; k2 }8 \; W
4 o7 N& e& I8 J' e6 FConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

, ]8 Q; g# I5 q, G第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 k- ~5 F4 W8 o  V
# L) ^1 k. `$ q2 D2 S2 \, QSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.