出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
2 @9 x2 J# C7 a, I8 v
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
# n& v( O7 B1 T6 i4 t
4 ?) Q2 r. A' M" F/ l+ w则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

* G; |/ ^6 j, G' ]6 }a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
; Y4 M! N  j: L. V. N6 d- ]% La=2a
1=2

( g/ u) R) \" E0 ^证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

5 d' i" \/ P9 }) P' z7 K' \1）不能。比如1
! U' D/ k9 U% K5 h" i- d8 [4 L( Z! f2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
! P( b6 K' p: a5 P) q6 [" o$ A1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. |: x+ w; ?( ?0 O6 @2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

  p, S6 g/ Q  ]2 z+ z5 E看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: O0 Z# X' i; l& O. y" Y2 d2 m1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 Z4 a9 S, u& N8 q9 j& f

/ Y! [0 q$ ^, S( ^为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 }# k3 k7 }& j! A, i% L
Proof:
& s: G/ t0 ~. ]/ q" f9 S( h6 fLet n >1 be an integer
$ A8 k- Z  i5 s1 `! YBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
5 e+ S# G2 y( K. w5 B
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
: M4 M2 Z8 d1 K
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
9 P9 E$ U2 `" w0 |0 x: D0 N/ v                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 n# ^9 Y- i3 r6 N- B4 m                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 ^8 ~- _# A( W( ]) xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* B. b! T% ^: s6 @                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 O/ ?! g0 _+ @1 V; J" @* C2 N
8 }, w2 S! F. |& e6 l1 w  |& b[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 Y/ K% {, q% Q4 _0 P$ ?/ V' o
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.