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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
& e7 Z  k" Q( ^/ }: H- v
. a: K) p( a( @" b: v: T: P2。下边证明有没有毛病?
4 E& X, X6 _! w8 U8 y  s/ ?; T7 P
1 W2 B" I1 |1 K7 @6 L设  a=b/ @# I, x! b' ]  n8 K. R

* u3 j0 I9 h3 D5 o$ n则有: a*a-a*b=a*a-b*b. ^& |9 m( F8 n# a* @
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):3 p* K1 Z7 [' L9 ?. \1 r6 v

. {+ p) ]/ l( R6 {) `3 Va(a-b)=(a+b)(a-b)7 F) B' T6 E8 P; M# ~  w
a=a+b
& {. o) N8 O. k; Ja=2a
: C5 A& }/ ]/ _- }9 ~9 Q1=2! Q' y/ K% [" R2 @

+ Z; y3 ]9 O  c# p; L# R" E1 y证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
/ m5 ~- q& }8 j- b: E; r8 B* J# R  J: Y
1)不能。比如1) |' U; S# f; H- [; g/ h
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" b+ |4 e& z- F4 d4 f. Y3 m2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:9 }1 s7 T# G' }  Z# `
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。4 [& y4 E! G' v8 v8 v  r
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
1 U3 x0 f( X' C( H5 Q0 I
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
0 Z  |; ~! ?5 G9 M& F/ ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; R* K9 R2 Q( ~4 D) o) t, {: A2 }

1 _) `. O2 k9 w8 ]为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)- i8 N2 [$ [2 G! _$ V& D
" E4 v5 {* N2 x  S; \
Proof:
8 n- f8 s  {9 l1 W+ J% v3 ELet n >1 be an integer 1 K" G3 `7 [$ @% L5 x. [
Basis:   (n=2)
% y0 U* G0 w5 O; a* d         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! j: o5 o; E: o$ ]
: ^' A  {6 b- O/ \8 z& FInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  A' i7 X1 E- ], |                                     K^3 – K can by divided by 3.8 f4 b9 }; x' N4 E% l$ ?8 D# l0 @
# B" w7 m# W+ l8 X/ B8 j6 d& a
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3- v! R' B: p7 `+ B
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem9 r/ F6 B: _, [' X
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)+ C7 A9 h' [1 ^7 p$ ^! W, @
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
/ z* a* q+ k% N                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)" M6 B# w4 v1 k2 \
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)1 I! [4 [, b/ \5 I+ s0 k, Z1 g0 n
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( H1 U5 m; Y4 s: a; J9 kSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)3 [4 }2 |: h" T7 x$ Z4 s$ ^  M
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
, T* Z0 R3 [. o/ D+ V                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 X- u0 C7 A1 h: q  t
7 p: W% y1 v* s' fConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
, Z- l4 ~  Q$ J8 I% c) x* H8 Q, u, d; o2 r; R! R
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 S. w8 M4 |( S7 ], T) k. u; J
1 K) t4 E4 \' e2 [$ ?! f第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:7 k" C$ B0 Y0 G: ^
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 i6 m8 Z: S4 u" m9 x, [0 i
6 P4 |! R: ]) O$ G  X' LSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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