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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?4 l* y9 e/ @* {6 R- {

/ p5 Z: E' [2 F0 v$ \6 O! z' ~2。下边证明有没有毛病?1 F. X- `2 U4 t4 a: K

# B8 o! ]- G4 S* \/ m7 ]; R7 H2 M0 m设  a=b) T5 m; |5 c! H$ M: X) a& q
) ?. f3 B" |0 \& E. a
则有: a*a-a*b=a*a-b*b7 ^$ @, J: d9 N. Y
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
4 J5 b1 U2 M0 O" U3 e0 J- ]* b
! P/ o! A- m: _. C! aa(a-b)=(a+b)(a-b): g( R0 C3 R3 i' D; r6 F
a=a+b7 X  P9 j4 |$ R8 o% C
a=2a
8 Q. x5 ^- ~& \; ?. u" n2 x0 ?1=2
+ `5 x  w( \. g+ ^8 w  A/ o4 @; {9 y
7 K+ X: U, s$ n- A! ?证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
  G/ z: m5 h6 g5 \$ ^( _$ h5 J3 g# r, g3 [$ `! p: k/ ~
1)不能。比如1# `# z$ w% ~1 g/ o  K4 e
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
5 Y  ~9 @. {# q" K2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 ?4 Y% f7 R6 q& }8 n. f/ B
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。9 C4 M! w5 V& H/ i4 ]  q
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
# W3 m1 s) H& U$ J
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
  C7 X- l4 x. b7 N1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" y$ c- J0 k" y! b1 J

& H' s8 N& Z, g# d9 L3 ]9 J& Q" [为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: m/ ^" C% v5 v- l3 J2 _' x1 l- Q* @
Proof: % ]9 z, A  U4 E. x3 M& @2 O1 c
Let n >1 be an integer
3 g5 m8 X% ?5 K2 B9 k* M9 J" H- GBasis:   (n=2), C( y; f$ R! _* @, d/ O* T1 ~6 o7 m
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3* l) ~  u! [( I; D8 b% f
9 e2 P6 }( a" l& F4 U) i- `
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that, A) Z# ~6 W. Y! E
                                     K^3 – K can by divided by 3.
" |/ t! y+ i$ `
0 Y& Q& a5 Y$ J+ i4 LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
8 z5 Y/ A2 o4 M# B% e3 v# s. |since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem( s, t$ a# C2 G9 ]2 s
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)" Z. p6 K- O& ?( f) g" j, Q5 ]# k
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K& O& ?+ _  t. x- s
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  d1 L! p+ C# i! y3 O                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, s9 u3 B7 E: B# |: R+ W4 ^& A' ]by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0  D$ g& ?$ b$ Y+ W: D- C
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)' y* _8 U, V" b2 E, T
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) R5 ~% k0 P  a1 W( L! G, A                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 32 l" ^! I3 d! b1 W/ u! o3 y

5 Z# w. P, B% B/ r& w0 vConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.8 W; f, o5 O. z8 ?  U

- F8 a8 i; W( P+ a! V; H9 ^[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 i2 u4 R. q' r1 D9 O% H( l2 |
& v: V( n7 s( u! V) u5 g9 g4 Y第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- q% S$ D9 z! }0 @% v% f( DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- U7 H! [& y2 ~! P( Z' H
- G4 q. q7 y1 H8 |4 v6 T+ [- XSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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