出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
6 V: l2 `7 r7 g) Z5 {3 C) a
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* Y+ L, M, m! G" P+ X& C; ~$ Q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
2 h$ h1 ]+ d! _6 ~% L! Ka=2a
  Q6 X# q: `$ Z& O2 g( P1=2
, j& ~8 }( w$ V! I
0 t  u* t4 o, v7 v1 `: C  ~证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

/ v  I3 `5 ?* O- m( T1）不能。比如1
1 a+ d/ _3 A- d2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% `& }& B4 y5 w8 k8 U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( u9 O" [8 X" n5 _( R2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 p% h, e2 G2 G* K2 k3 S

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

! U+ c' Q/ ~0 s; O9 @Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% O0 _1 _$ w- n  s% ~) \! |0 f                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 L, S& p( j- N1 }since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ m& U% r; C7 r: g. f+ b- p# u2 X0 \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( m8 b, ?% [+ I' Q1 I                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 }; x% J3 V4 s4 \/ J: }by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
) }3 r& p( N) ?: ]' Q2 o' V$ D                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

2 Z" I- T9 x% o2 TConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

/ A  a& Y- \8 b4 O# H) n[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 S# b: L$ y5 d) E) O) E* d% AShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# H6 e0 o8 }* T! Y: {
; i; I9 ~) p2 ]8 Q5 ~SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.