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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?" B; _( q3 p* L$ {, {
8 @$ [$ P# T+ G- _; q/ f! I  M
2。下边证明有没有毛病?; }1 r" u, x' r3 g/ @, A

( D/ l& j+ s$ G设  a=b
7 j8 [. \% i( u6 N1 K6 S7 u
, E+ A+ r) h3 m2 K  Q, F; X则有: a*a-a*b=a*a-b*b
8 _: f: c% z! s! E两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
6 m) ?6 F0 w1 x5 L6 X% M% @& t
( N% i. V, d; R1 Z3 Ta(a-b)=(a+b)(a-b)
1 Y4 f- r* M- ?5 V5 c. Va=a+b9 Q% v* h  `  p2 W- |
a=2a
. o" I7 z8 A1 |- @/ ~1=2
' ?# n! \0 K% t$ Y
9 M. E: _' b9 G3 \( d证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
# M7 j4 w6 h, l; j" w. J
$ Z4 s0 ]3 T7 Y7 l  e4 x% f8 U" A( F1)不能。比如1
: i4 [/ a( k5 Y* C$ q( ^2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
# q" n/ j  c# h8 D# |4 n6 z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* ?+ Q8 o3 ~. U" r) K3 U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% R" F# X6 L$ M$ W
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
- u4 [3 C( ]" O! `; P% D! Q
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
* }" i3 w1 l2 D" U2 L7 O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 x+ A+ D" T1 ~% t# U7 C; p

  D4 s- A) L2 p' R. z9 `为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)  F( i3 F- ]* d% W4 g7 `
6 w! v! S$ Q: s& l$ B1 \! C, \
Proof:
0 P" ~7 {  x% l* I$ I$ ~& ~Let n >1 be an integer
7 R8 P- l1 r! w) gBasis:   (n=2). s+ n3 u& W) c9 \( O7 g8 D
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3. C# L# x+ C* I( X
. O* G" A' K: x7 W" Z, |% E, a
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
# D& n! U, [! Z9 ^( L8 N                                     K^3 – K can by divided by 3.) R8 f' T& l2 X* t3 b
# [  V( Q4 J4 |1 s  r5 H
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' n  y3 q; F. x" p4 }since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem& U9 C; n; T( g3 d1 }, H, w3 V
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
( ?. u: \. [) w  ^                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 x( e  Y' v: b! X; b4 w( C+ f                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
  [8 }- g- y: c5 \( R& y5 k                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K): m1 z" t0 Z, J
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0& y3 B% u* H) G' Z' s
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)& v0 s" q5 S- q3 O$ W) f
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 M: p% E% l( l+ Y. {, O9 |6 w                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3+ o6 m2 |% u, F7 v

" ~# N) O, P0 D  p9 w3 \Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.- y0 E8 {6 M3 T) L  i5 A8 {* R0 T

; Q" l  _1 |" m" }[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 Z' b* Z& o9 V1 n. @, B5 f) k3 y0 W2 |  w
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
. N, L9 B; t- u% L: }! S0 c7 A  {4 sShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( [6 _4 Y3 y2 W0 l" l
: q0 g0 R5 C. q4 A( q; y' G/ uSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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