出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% [9 \: i3 Y& U. f
2。下边证明有没有毛病？
( s$ o! W' H. \  r0 I1 Q, k
; q! `4 z2 b' i6 m设  a=b
# Q4 d5 D  j! D$ A5 Z
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 g5 q, Z% b; ?2 }/ \! N
3 I8 I" |1 F5 [" qa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
* d9 f& g8 O7 L1 z. f/ w1=2

  w/ o) j9 X) h, C6 |& L/ ~证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
' Y+ a7 K3 v2 k" L) }$ f! |& f2 m
2 k5 I$ X, I, _" n1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
0 l6 T0 |1 i( a' P! `, H2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 I) `4 k% h' n1 x0 i1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 o5 n9 @( ]# J4 x& a2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( t' C3 `1 m5 _6 e看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
, u; }  B0 B2 }3 z  vLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
7 W4 b; K3 d/ z9 x* s         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
: \( e7 i1 e0 V
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

2 X& T! d# ~6 o+ X) {+ w" c* yNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 A4 j  u6 Y. o* N5 jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, ]2 Z* ?) b1 t( Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& e! p$ B+ C- u2 `$ m8 F" dSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 H3 z/ f+ x. ^2 m! \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

! U  v6 \4 O9 N1 l3 k. RConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 r$ ^- Y  I0 k' z9 F
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 n/ _# {1 p. Y# q! y: E
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( Q1 X+ |- a; Z# b- l) N; v
* Z$ L$ d0 M& E$ t) iSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.