出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

- L; D7 }4 S6 S7 i2 T7 T! T& x2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

: a7 J6 K( x' A* _) r; l则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 _5 W$ {% i" k8 w; Q+ ?! N5 c( Y
  g: W* N3 @# N! na(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
0 ~3 q8 v3 c$ u. \1 t9 i& f4 H8 Wa=2a
8 c) T2 q7 A* }! r  M0 U1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
4 h. `2 S2 n- \2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

/ {- z8 _5 Y# n, ^5 Z& W. t; \; y看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( q- c# d3 i7 y6 G; d, ^& C' w3 g1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ E7 b7 ]8 A6 f

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
& y1 j3 U! \  U' t
Proof:
Let n >1 be an integer
% [8 D5 v4 y0 T1 Y7 {9 LBasis:   (n=2)
/ a, c9 Q/ i" w$ b  b         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
* q$ y& T: P: i% ?
, g- S( a2 Y% `9 v& ~2 `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

) C2 |" q; u( \) P/ @Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
- ^8 Z6 @- i# N2 n  NThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% e2 ~% W) Q1 ~( x2 o                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& @# V. Y0 v9 |: ^by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 B: _8 s* ?  aSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. \, U5 I. I9 K  n( ?2 t" o                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
  q8 q* F! v& y+ O8 \8 |4 f                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

! V) ?" x- D/ o" BConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
" \5 P9 [( F5 _2 e
  _! a7 E7 b+ c8 J9 d* Y" }  w[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ ]* a; j! k! ^) }- R+ V" m2 o
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- W7 K/ O( X1 x3 aShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  R8 f# h1 Q4 B! S4 A
, t+ I# h* [4 D. @4 M4 vSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.