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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
, {/ q1 i" }  d8 ]/ ^% K$ E3 V
2。下边证明有没有毛病?6 j$ G' P7 g/ ]
- Y, I6 E  k3 N, @9 o, B
设  a=b0 A' @* P5 j5 D* t
$ Z1 e0 E; D/ Y% L2 T8 O
则有: a*a-a*b=a*a-b*b+ X1 D6 I% `6 k$ z* f
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):! f" ~7 T# {% e
- D0 U" C- D; Y+ b8 W: l
a(a-b)=(a+b)(a-b)# ^) I7 \+ K' K7 u- @& n) _; l+ a% l1 G
a=a+b
$ ?0 b8 F% S9 da=2a
0 {2 ?" k7 @& y# f, |1 }+ g  R1=23 \( |+ t% V. ?# v# k3 H+ V
# f. K4 ^2 q2 k; X
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试+ ]9 K, F, X1 N% a/ c0 x  g2 w
& m- H3 @+ L) T1 z4 p8 }. \
1)不能。比如1
; `  C; R8 P' l" a6 E" _& O. t2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。) q8 Q: f. u7 F! f& J
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 W0 `# Z2 B& I, M8 f6 I% v0 ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
" ^# P* s6 K: m+ A* Z) Q- _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 Y3 r1 |# ?9 G. h+ I看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:6 o  D3 t& g, i
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。  [# D  V) f: h; t# v6 n

7 x$ B9 ?+ E4 j8 t为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)  D( p, P& W% W. V+ G# B
. J  a/ e8 k& z% M
Proof:
0 P! z  v. o: U* N1 ]. _9 K& W8 `Let n >1 be an integer % X% m  c+ }% n$ y
Basis:   (n=2)
" ?( ~" f) ~3 @         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ D  p7 Q( Y/ a5 s; X+ Y7 s2 c, l( q: e/ x
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that; z7 p' A& ~0 f$ L( s& G
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, n) j5 J% b: B# {- K& {4 ]
- K2 q' i$ w$ ]$ l. WNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3, s" q3 V( E- G/ s
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
5 M9 F9 Z0 L# Z1 QThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)7 `% Y- Z9 Q* F6 q
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K3 b# N+ t: j7 h. `
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 i6 X/ V" e! s; F0 x# @) k                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)6 e% _+ N: J1 E# f. }1 [
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0/ L  `7 O: W% {% N
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)  C, Y6 m9 n6 K/ Z" k# ?6 O2 H  z7 g
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ [8 n* r0 D& r5 B- X8 y                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
! T7 j( m$ ~" s& ?9 |3 k, {+ p' c/ }
% M+ W+ [( Z- Y- _( l  _Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.9 W1 j7 u. b, W0 k3 z  J
% p+ E" g" d* Y/ R
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。0 g  u3 _, G9 H: K" h5 l

$ U3 J0 r1 F* T第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
  \* U; j* k  I/ {. [# N3 XShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
( V: [$ `2 m8 E8 w; B% l
4 P2 e! q) H& A
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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