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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?
3 v! Q* X2 W7 U9 M  u1 I4 y- [0 z
9 j0 h8 v3 o5 z; O6 @) T1 U2。下边证明有没有毛病?
" s9 k- O7 Y% b' C
$ S- W4 s8 F4 q1 g$ X9 Z1 K# F3 ~设  a=b9 l, E: k4 T: F& C* t3 n

! [1 K+ v9 G' L0 j+ ~; r则有: a*a-a*b=a*a-b*b# z$ A% w6 V/ w: l1 |% e$ T6 U, W  W
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
' ]) `. |( S* E7 G  T
; A8 [% }- H( ^. {& V# Sa(a-b)=(a+b)(a-b). a( S$ C6 Y$ ~2 C
a=a+b
+ S- q# B: R. p! t% J, ga=2a( t; Q+ q' b8 K4 B% _
1=2
) {& U* A0 g* |; U% V; t& e" d/ w
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
3 B0 G( C9 z' q
0 F! t: N8 l( G1)不能。比如1' w  v8 }- D$ p" f% q  n% E
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。; v6 n' M% G7 `! T5 f& O
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:& ?4 r7 O9 @! \' I
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
7 v7 e. v. s1 z8 I# l9 P( f) v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
9 I5 x8 |' D* H! t
看!有高中毕业的!
理袁律师事务所
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:. a6 x/ B* l" I+ Z
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。2 ?& c- D2 x  N

+ J( k, C4 s$ C( a为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
  [$ f6 Y% {8 Z2 f! b& c6 G6 n1 H& z8 C
Proof: % G3 Y/ B/ y9 l1 T9 R" p
Let n >1 be an integer
& b% W2 O  H  x7 W5 Z; {( K+ \Basis:   (n=2); v3 `9 |1 V+ {% B6 z
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3$ O' e- o7 k4 U
$ w8 ^. A  {3 y  A: d2 e
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 h3 J8 Z3 Y2 P6 Q$ Q! k                                     K^3 – K can by divided by 3.& M" J. z  r: `5 W3 D9 g6 w
2 \$ u! z6 V$ {  i% h1 `
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( L( G3 ]5 P" {- G( D9 J( jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem# G3 L& a; V; [; G7 z6 l, k- o
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)6 ?% L  N' R, j' Q' O( X6 c
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
' _% j) Y7 Y: k- a6 P4 u9 ^                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)% B: k4 }! p  _. m. b
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  l& p( D7 l# x% H, m' w  [$ `2 Dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
; y% W, E" B( u4 f# }So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* O7 q7 |! N' u  S- K( K( x, [                                = 3X + 3 ( K^2 + K)3 c4 `$ ~( X: h3 S( Y& [
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3- s! T9 Z! l3 }/ P, Y2 `
' e8 Y. D5 w" C# R2 a7 i4 q
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.  h" x5 C$ c/ h

2 A9 L) S( P! B' ~8 F9 f6 o[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ q6 `  f4 {/ X$ ?2 y  S7 u
2 x# M, e0 N% r& F; |第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:: R: u" f6 ~4 G7 d6 O
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 b+ P+ Q8 F: C8 d/ U; t8 \5 z* X% q4 f0 `* c% w
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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