出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
: X+ ?/ z9 S, F7 h
7 q& s. o) t/ I6 N7 J" f: [2。下边证明有没有毛病？

  c2 n( O6 n( x1 ]1 t1 ~9 i设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ w/ P& G; S+ f3 o. h5 b& i8 R. ]; S' Q两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ I6 d/ @9 R; g
1）不能。比如1
$ J9 s  a6 ]+ i  Z- K& Q" A2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 G' C3 n' w! {& q- t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 u; L% Z% U' ~+ V. Q* d1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

8 t, r& ^. h& v- \; P" S6 T+ F看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
  n: Y. d* f6 h* J0 O  h4 N  nLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
$ |. v- A$ |: A" m: r- u2 q  h9 J" p         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# \8 L# j; |4 [- x9 S  k* w
2 r( K0 x5 q  {  `Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
% p' z8 p) i0 T( `
1 [1 i% V  a. i  z: RNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 e& @% M8 g6 l* B: I& ~+ h4 }since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
* {) ]( }0 B  ?. @$ @7 ~/ q4 sThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 v% ?3 w! G/ q( }5 [! k7 W                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
  o* ?2 C' k% [( ^7 J                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
* _5 o% l1 I2 M: B& aby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

) `% l& G  G" k2 X9 q5 CConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- |& W. n  M, d
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
" t" y$ B  M# ?. W
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 [: R6 O$ c5 v6 k# S
. @+ U6 ^7 [! P/ X5 h0 B& A+ B3 S- nSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.