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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?2 A5 V& L2 w# ?* x& k  J1 ?
& S9 l) s! |7 p" h7 D6 i3 Q* L
2。下边证明有没有毛病?, T5 l) e; Q9 [% s. k. x- c# H

' r( g5 k: Y, Y# l" p$ Y7 f; I9 u设  a=b
( i9 d# q! L; ~" ]6 r; i8 f+ ~, ~0 z& m! Q! v
则有: a*a-a*b=a*a-b*b9 H9 ]  [( s* ]- i  {% J8 D% j
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):, D: i: W) S5 |& K; R4 t

6 @% U/ H) U6 [3 ?a(a-b)=(a+b)(a-b)
. f: Y# e. ?' p3 y3 Aa=a+b' `3 o# x7 g% }! f
a=2a
/ R0 {: W4 N/ e( `4 i1=2
0 f* Y$ C9 E0 k8 L2 @* g* o8 V! Y8 I6 Q: ]8 v! I0 b  d
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
' |1 W! N  X! G  O
7 [- s! w3 }5 N! E1)不能。比如1
/ y( v* P" ~2 t5 L6 V2)a,b不能是0
理袁律师事务所
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。% b% G9 v3 j" n( p6 i
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:- c! a: L$ o- |# B- X
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
2 n. r' l5 ?0 H  Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
1 k2 {4 O6 o" b1 p
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 U1 \; `8 h( P6 U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。+ x; Z* ~& a5 r  S" ]# k0 c
- {% H2 R" k6 Z7 \) V+ Y
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)% Q- B+ B+ G% F% h% S3 N6 e  n

* D* i) E5 t- J' ZProof: * T/ h6 |0 d& _9 y+ T/ n
Let n >1 be an integer - w: |. ?% L: A2 Y
Basis:   (n=2)) k, q  l% X7 l6 @- `
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
7 a5 k3 P( m( d# e6 n$ f! P5 i  B2 W% i* |+ h. y' S8 o1 M. X. a
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) t% l6 R/ J6 l  w) b                                     K^3 – K can by divided by 3.% R9 Q" N) L8 t2 H/ v
$ d% X! Q# u6 g" @6 D
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 q& [# K6 E" Z" s0 c8 \since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem0 h8 ?8 Y0 G- z& S4 t
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)9 H9 O8 m, N3 x! m
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K+ e1 w7 }; k' U5 U; m. J' Q5 y
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)- H/ x9 c* V8 c, [) V( F" t" n1 n
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K), l4 m9 K# e3 b
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
* a( S7 j; Y) E5 P& R+ I6 |  ?+ _So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)& P8 d1 P8 Y: I) J5 ~) k+ [. E6 b
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 u& _2 Q' x" e: z$ f. P! ?7 G6 P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
$ E6 d5 z4 a" ^; x4 @) T
- c8 Z& z% P6 vConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
  o% {* l: y+ l- s8 B: [' f6 ^" r2 U
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
6 g, T# \, c5 \. i. E, E( b- W4 R3 Z# n  [
第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:% O3 f: r# H, B
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 c/ U" a7 F9 G& a0 A/ `5 s9 t) [# H8 [' K
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
大型搬家
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