出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
% n2 E/ Q" o9 ~* n; O" J+ `9 Q' \
7 j- r# w# g2 j! e9 d8 ?2 F设  a=b

7 g* {3 k8 w/ }3 r则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
) q' e1 }9 z% U) n) x) P
a(a-b)=(a+b)(a-b)
" k% O: _& G* g5 ~a=a+b
a=2a
7 g0 C" u2 r) q% l$ s' ~1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

5 A7 X% f6 U( L  \) F3 Z1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 G7 P# r& U( b( D* p, o+ W2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 p9 d/ U8 t. C2 H: w- D; I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: G& p1 E, i' |+ V) t8 N

9 {! d; c- U; T为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
+ k  p3 r# r% T) H8 c  R
Proof:
- I0 v' C9 u) v$ m* tLet n >1 be an integer
$ A% S* o5 J" X( ~. }, cBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
  i6 H* p/ n, g4 Bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
" W, G7 m4 j1 pThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
) g( L5 V# [! ]                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
% n+ s. ~) G: ~4 s# l$ e                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 {8 D/ z& v; ?) m7 ^" n' V% iSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
4 H7 o( R+ v- g                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

: C3 G4 P* k, z9 e8 Y" u, }' {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- k& o% w- `: J" t) Z) Y
. W* h7 Z, p0 H* a2 E[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

. r: g+ P; D1 p/ y, d8 J第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 |* Z9 i: `: o* M( [8 b( [* FShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ n; h$ [" P$ V  \, @; m
) m, {, N, D  ~1 p- C" HSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.