出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

& e- y' N0 W4 j; A; V' R2。下边证明有没有毛病？
$ w5 U5 u) Y- [0 `, }! E
8 Z) L# G% K& j' s5 M1 R9 @设  a=b
) r! X) M6 i8 u* `; x
& `" K' _  E9 t0 G% Z% D) L, ?则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
4 [5 F1 c& F2 Z! B- q% {: N9 Ja=a+b
! H* P! i" U, F' y6 ta=2a
1=2

: X; p4 `) T) {" u( w证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ t& u  u8 C5 R1 z! ~. D8 j
* f1 P, J- ~0 h3 [1）不能。比如1
  i( _- Y' G$ C' z: H) V2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 Z* V, J/ n- g; m5 B2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
7 G/ O& ?) y! G3 T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 _$ z- g+ s+ l. h6 {* Z+ }; m, p

, ^9 c* s: K# p0 R  D为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
% i% R6 Y, Y/ s, R; t. H1 IBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- s% o; h: Y- X2 O                                     K^3 – K can by divided by 3.
+ `9 b1 L6 b% t
" H. f9 y. t1 g5 g/ }1 A# \7 LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 \/ Q8 e. f! T% ?# a/ ]: X$ N                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 n! d  T6 R; [0 S# f  Y- Q+ q. Wby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
1 A3 K' Q( u, Z: v( K# \7 N2 p6 ?So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- [, s0 e, k9 ~$ k- X1 ]2 z) S0 D                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 i4 l+ w2 q; [. i+ I) m, r
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
! Q+ d2 q3 J: V
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" r$ T9 `3 B* M& v5 B1 nShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

  n3 `! M! b+ q% w# S
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.