出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
% C5 z- w4 K" a- }! m7 k/ m  n  u7 U
  A. g) i' c3 _5 g2 r; K3 }4 S9 q2。下边证明有没有毛病？
- U; Y$ u- S. S, s
/ b. ?9 t9 }. @6 k/ u  J7 e$ T设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, p$ S, J* X& U7 }两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

# @" s  R. R1 ^$ ra(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
  j( b0 U! S0 G5 w1 Ca=2a
1=2
6 c3 q. r8 x: B* }1 X: v0 F) ~" V9 r
/ h2 @0 G1 o7 D* [证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

' l1 G: X9 v- h5 A1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
; p9 @! L7 ?& }! v( w8 t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 Z* x' `( i; F$ u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

( ?+ v/ R+ r) s+ T0 P7 r. S看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" \/ ^" `7 f. T" Y% o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 R+ i+ q5 i: @7 @: q

' ~' u& _. o0 v0 C* l为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
5 c! M: d& W( i5 j; F# y* }2 {         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* j; b* L+ r( z8 k* d8 |                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 ~1 [1 W' l; Y8 ^since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 g: m4 b- u9 x; q& v  t% G" A                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 h. l( _. y& Q2 h5 Y  p4 z                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" w& o! y2 p  g4 U9 yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ @  J) Q8 n6 s- T# xSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ _7 b8 C8 p0 ^7 v                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 E: ]! t4 \( ^3 ~! G$ u% b# A
. X! k/ X2 R1 J0 ?/ ^: x[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
  V5 |) K: O  E; b1 D7 D( m- a6 X
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- n" z$ f: d$ O
, M2 n2 B8 `2 e) s% LSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.