出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
! Z' x. b$ E: \8 A- o% `: P  H
2。下边证明有没有毛病？

; i5 N, V% g6 l  f! h. u9 i% {设  a=b
" t& E$ Z8 _1 \2 v
7 C. v. f  c: c( W. b9 Q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: n( b# x0 }( R' `两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
4 d# P. `2 s/ y' w
2 M- G/ h8 n* W, _9 c' pa(a-b)=(a+b)(a-b)
6 W+ O+ p& {& ?" b* b& Pa=a+b
# f1 P  y; Z$ g2 i6 P$ aa=2a
1 D5 v/ k& o) ^2 o1=2

/ d9 u% h( t2 G# O0 r) y证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
: g* d# z- v+ l8 u  W2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
: m% ~7 A9 ]5 p7 |( f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

: P/ @% o) h' [+ _: l: B" l看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- _& i0 r. y6 ?* T2 O: e6 M; Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

; Y/ z9 |5 q3 P- G: ^, G- R为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

- v0 _! [' f2 M! [) y! L. wProof:
Let n >1 be an integer
/ P! u! u* J! D6 r) s2 I2 xBasis:   (n=2)
( e: X$ i2 e6 ~0 J$ k( P         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: O" B: S2 n, [0 U                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 ^) ~! p5 x4 v3 a$ n. U
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 v/ I# ~# w0 d- _8 w8 [5 H& isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! Z# X3 Q  {' U* N& DThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 q3 U$ j& V" V/ A                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 i" x" `9 z9 n' j8 eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( c! Z! L! M) m3 }/ y9 ]                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; A2 g, q0 A; J) K- Q- b                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
3 J' i, R/ \8 `9 R
; q4 k  m; i3 c7 nConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
0 Q1 X7 n  X# K. P3 q8 u8 K
8 d, ]* W$ z1 ^9 ][ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
! k, e$ Y0 d1 x# x  @8 [- U+ ^
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, o: w$ Q# r5 }9 VSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.