出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
) m& f) u- F: i& [8 G) b$ g( t8 ^
/ }! o( w& X  c) M2 q设  a=b

- y( {; T6 P& _1 l& x/ z则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 w' e6 g7 J( B- [0 ^
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
, r# q: d. @1 }5 na=2a
/ b; K% H' L" b1=2

' ]1 {9 E* e9 U6 R- U  `' ?1 b证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 ?# r% o2 f: s! Q# d' y4 A7 r
1）不能。比如1
$ i# A3 o# [( T: i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 C+ `! m9 `" @" r  O  t) p: F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

1 J0 x( N* _( [4 f. s0 E看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* f5 t- L$ i  ]5 \( P. j# V& a2 ^' k2 @

$ m1 T4 ^( _! a4 b% \为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

! {2 F" j. e0 ZProof:
  T4 j3 L# W: q1 r: Q* h3 jLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
+ r; \8 T5 l  R' x5 Z2 n
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
& D# Q# K: C& j9 ~                                     K^3 – K can by divided by 3.
' n- N: Z3 F, }# @
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 J: E" N, ~6 bThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
' v- J6 w) ~4 f9 M  G                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
) I& R8 @5 H# ^3 u/ i4 U                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( h* l7 e! c5 g& c3 Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
( \* h" \0 n! J0 C; `5 lSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
% ]  m1 l" }6 p                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

) X$ X2 d0 w0 S0 \[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

4 L* Q7 h8 M# [3 S' }第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! `5 e: f' Q2 N7 z
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.