出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
9 q: Z" k: ^$ Q: l: \1 T& A
# P7 H& e- |. r* u: E; N设  a=b
- h. I! f) X+ w
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ X2 @& x# S) {" d! R* p# g/ _两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
. Y' F) l; p5 h, ^+ Ja=a+b
$ z5 ~; \; R8 X" w# ^& i: va=2a
* W  k5 a5 }! z) y8 m4 S1=2

: H, c% e9 N9 U证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

: J2 T0 @: a; ~! C1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  t* F& m# E- m2 K7 y" ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

! z6 J7 ^$ m6 g  b8 i, F. [% ?为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
9 @+ c6 R; D1 d  [. f0 vLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
# g0 A5 P) e$ I7 l         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. d# R! U3 k" n# G4 Z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
! x% {3 t) j6 k# Q0 c5 g                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 X! o" M# W# r. Q( zsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ S& a, @6 l6 M4 p8 I                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
$ W$ L5 o/ K3 j9 D% h, Bby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& f5 q6 A- H' C1 W- D! B# f5 m                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
& h% `% u9 V$ l- s* T6 n# V
& `) S: H) l' y9 U# m0 ]: ]Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
& Z! g4 i. v' S) I. u6 |$ a
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

# e: J0 Y) T3 z/ z1 r6 Z& t
( Y: I# U  E* Y, A6 X+ `: _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.