出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 c) ^2 ]6 ^* `* Q* @
. U- G( L$ m, B2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

. Z! L8 w3 B/ ~6 h. |! w* W则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! ^: X; I9 {" E/ X* i0 {1 }
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
' U9 Y' {3 n% m6 q! v, Ea=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

. M, e0 C0 i5 D8 ^8 N/ ^  b1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- `& G4 u" y9 E0 f' D8 f2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 U2 B% r) G  t7 a0 l$ l# I4 k& v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ U# [9 ~/ g- x& E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

9 C7 O  Z5 o8 {( I% H- P看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
6 r' v- [5 N' q5 D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

' k5 B, L- U; v5 Y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
. Z0 {; B7 g! }3 `, e5 I( P) T
7 A. B0 t: W% ]5 `" {- ^( z' zProof:
0 a5 y% \. N+ Y5 d, ^Let n >1 be an integer
$ [: J! b$ A& t1 OBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

% J8 y4 N8 O+ i$ b6 p8 FInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 U* W& R, x2 X* b5 n
' D' h0 z* R6 k% f4 v8 E6 m2 }Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 K: Y0 s- r3 |5 V5 {Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 Q0 O, a- J% i8 w+ b3 I+ O) x                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 y7 u7 g( _5 K* W6 d+ ~" P2 @So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, @" }* H; P, r8 x7 s" ~) ^                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 S& b2 D! T  v& u3 Y0 O0 @+ a5 f
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ O9 |2 u) S: z" d
+ v7 A$ e9 p7 d1 P7 M$ n0 a8 S[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 X2 l6 Z* r2 a& n9 u
- D0 ?& q7 x0 `* \  B! D1 S5 u第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 ]1 b& l$ d# a& d. t+ n$ JShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 D$ }( [+ ]1 @+ t3 q4 z- i
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.