出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

& ?9 T9 x; }: x$ B6 v" J" r, Y2。下边证明有没有毛病？
( ]8 _, M% H( e, ?
' g* H4 l. L$ B) P' A设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
9 A5 z1 n2 v5 }8 r
! v- S( u# m, m. }5 B8 H证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1 |  q, i6 b' S1）不能。比如1
5 P' }7 R! X& x0 n5 O1 |  Q2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 k+ ~! @1 U& h7 X; Z* E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 P/ o8 Q4 Z( e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. }. ?) H# j/ t( k4 C1 |2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
+ Z+ c9 D+ k3 Z: g1 E3 z

1 ?- C+ v3 v  X( ^0 V# P0 m为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
/ k9 X# `8 `4 K2 j5 f+ d9 l
Proof:
9 s7 N4 K7 q( y; {8 {Let n >1 be an integer
1 U2 v- G! g+ s+ j1 oBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

( e  z7 @+ I' {3 K% V  I. C7 r% xInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
  n" Y/ ]$ `& |3 K" w1 G
: M: \, W* q3 J' nNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
( r$ J/ l- \% o* \) Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( q7 E: c8 C4 F$ ]. Z( e0 cThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. |# ?- Y$ Y* k; F7 I. k                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
( w7 ^9 X  ]; O- E) U                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" j$ z, Q! U! I/ k                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

; `2 _+ D+ R9 x, M# [3 k# cConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
# N- F, Z) _2 ~6 _1 z/ R' \8 X5 p0 C
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ ^6 C$ K: q9 l9 Q; q$ [! H& p  @! m  V: rShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, |( ^7 V$ ^6 ~) Q) RSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.