出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
$ T; N; P+ V' Y% a
2。下边证明有没有毛病？
' t, ~: n3 ?9 \/ }
设  a=b
% v0 O- t4 e3 w; h
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* X) {" @, [  z5 R, ], k( O  C两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

3 g: z5 v" R1 m7 ]  x' G. ~- Ea(a-b)=(a+b)(a-b)
" N" s* r* f* ^* S; w  [a=a+b
( K. k9 w* ~0 o4 [4 j7 Ga=2a
1=2

. c  L  e9 e- j2 p* {, J证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ z! W/ X. Z2 M$ S: f7 D) u8 K* T# e
1）不能。比如1
6 ?5 e+ w0 s3 V2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, r# R5 k" X% O4 q) G" }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, B5 [% k; `, m5 v; K* \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 m- ^7 w, k% e% a' ]9 M2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' F6 b/ L! t/ v0 d& K+ B2 z/ B1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  c+ T6 L$ n9 g0 S/ ?3 f# d* o1 T为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
2 u" P4 S# k% L, `9 ^+ l' DBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 s7 J4 }3 W4 ?2 j% g8 S$ r
5 R" f& r3 j: D: m$ i# v  }Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 Y; V4 b8 Z4 d( I3 D                                     K^3 – K can by divided by 3.
7 q: W  Z6 r# R  G1 t7 s$ j
* p% L; C4 f! ^% {7 ~( W  u( `Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
$ X$ [7 y. |, c( W+ x' P9 t4 t8 qsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; s1 C$ o6 x( j* [by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 U3 c# }) Q8 @' @" L6 I& p6 k" ]' vSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" e% P' W1 G, I( ~                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
' C. A/ ^% ^) M9 ]5 f                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

8 ?0 h4 ?! y3 H1 ^) ]" D1 s( O* }' a$ oConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

5 F& M2 Q9 z+ E/ A[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 T8 \: X% s, F  u- {7 c* S9 S
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 ]8 t2 u5 P. O; j7 s* MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 Y' B4 C7 `( USORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.