出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

% N2 z8 J: U4 |9 B6 c2。下边证明有没有毛病？
' m1 K1 u/ r; M' k; {
8 [9 K7 L& a  A, G5 P: `7 Q设  a=b

! r$ Y# ^7 x, C* @, z* t' i则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
$ J" i( W2 D' R  J" V% Aa=a+b
a=2a
1=2
; ]+ M# k1 t- }$ T
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
& u$ N1 W$ o8 \! R
+ f& I- ~! u7 ?1）不能。比如1
& s8 X9 q4 W: S2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" J* }% B/ `+ o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( X) b, D- D9 Q4 c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 }% V( ]8 Q% e看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 O, Z6 X0 E1 n# m, b

+ S2 q3 K, u7 }. o- v6 I9 O% [为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
4 |& L7 \  x$ Q
Proof:
* Y  d! a3 ~7 ULet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 n: \9 X4 m, L  K" b5 `  G3 w0 T
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
9 a6 ^& N, B- Y5 ^  I                                     K^3 – K can by divided by 3.
( Y2 _. T( l/ `# y& K7 ^' X
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
' |9 P# m* ?' }4 H" F6 O$ Usince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# |; t. N" u. I& @0 z% d- i                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
$ k- J* f, d+ k1 b. |5 SSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# `& W, ~/ R( J; d& D
; Q3 G0 C& Z( M- iConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

9 P) K5 F3 y. b  O& n/ R3 U4 L[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
4 Y# i8 C* C9 k6 `0 d4 T8 S* O6 R" p$ o
  w1 U0 b2 a# e. n4 t  I$ O第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 x( h3 H% L& E" N7 }/ CShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- m* ^- R9 T5 V. L
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.