出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
& I; N/ _7 z! `8 L; A
1 Y! a8 r) P6 X" l( t2 J2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
3 ]; @$ Z4 }' ~: H$ [7 i6 {: E
9 v& D: \4 n' B4 J0 @则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
1 Z  h" D" [2 l6 t0 a. ]
a(a-b)=(a+b)(a-b)
% v, @" A9 U( ?7 J1 {a=a+b
a=2a
0 t5 u6 A6 q* G! ?' I8 z' J1 m1=2

8 Z4 ?8 D. A! W/ t* [- ?证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
. u% m( Y- d( b3 F; E+ ~6 @2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( d/ {1 a* H& l) s& x- _) K; _1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 e5 u4 O* i2 B& V  F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; y( K8 s6 G3 R) v1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

& {) g' i% e. |% y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
; V: [/ k3 g; `  V# Q- i; x3 D
1 O, ^8 G7 c* O7 p% _Proof:
* S/ z1 L. D% c8 s! mLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
6 g9 m4 \8 H4 t1 f* q  W5 u                                     K^3 – K can by divided by 3.
, g2 e# ?( ^& F; E/ x. L$ K8 g
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
1 S+ k$ v! B6 |) B  e- Y# ?since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! ?! A1 U/ E- r3 t  L2 vThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- M+ ^% H0 |, Z9 L  ^7 t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 c, F2 X# v0 T( o/ y0 W# v9 _- xby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

3 A! @9 \7 {. l' V9 mConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 ?0 L# X8 V: B! E# E! Q
* Z% c' D5 m8 U; j0 a3 \% F  h  }[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

1 G! i9 v6 ~; c+ _第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.