出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

5 e$ p. D) k; f% X8 \/ K2。下边证明有没有毛病？

) _& X0 b5 j8 _# ?, t6 L) O设  a=b
# w( i" s. n- V( X9 u: P$ p
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

! w' D$ e( _6 w/ Y- K& ba(a-b)=(a+b)(a-b)
* ]  i8 _" I# W( X; ^a=a+b
3 W0 \' w5 \) H7 V9 I: R7 @a=2a
8 H* @0 u) n4 ^2 Q1=2

3 V8 }5 ]) ~* P/ v7 d- m证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
7 ?2 i8 H& S! T5 v
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 |) V: i# ^5 ~& y* q6 M3 c1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
) m. v/ p7 u+ A* u2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 q- W! X/ v( X) l看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

6 A  M" g6 O! {$ T5 y! X为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

( x3 Z0 Q* m9 b8 s+ ?: t, N! KProof:
, _  w0 w( i! X# D% P) HLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

  t) G/ O, e# yInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 q, z) B3 o8 X5 K- d; T2 i+ |, J                                     K^3 – K can by divided by 3.

7 }" j8 y, Y$ B) L# U8 H, ZNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
( l( ~( x+ `* |  EThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- K) [# z8 q: X" O6 S& I                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
0 Y  ^& h4 H: Z: t  \9 y- s                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
. c/ I: z0 M6 J% u1 W; n; ~7 Rby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 O' s2 Z0 |3 T5 I( y7 }) R% mSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

" {8 m( Y3 i2 L! k6 BConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

) K# W4 I% c1 o; Z第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

; U4 m6 I+ r4 {- I
1 R+ U* L$ D  k  ^SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.