出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
3 v* r) {! u8 A1 A1 {9 R/ H+ Q
1 p: R7 S3 a! L2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

, `* K! m) T0 n- X3 i9 e4 `a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
& \  @7 c- T# f9 E9 `& j1=2
# _9 \5 _8 d7 F# \# o
* Y; i' q% V* o! P# q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

! c4 e$ ~( x6 d; H0 s$ H  N4 H1）不能。比如1
" p: k. w) `0 c5 d- M8 R' {2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

& p1 T: j8 V9 s6 s0 u0 @看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
* H* ~! t( O; U  f

) j1 o# k! |# c% F6 W1 D为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
2 {2 X8 Z) a/ k# r- YLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 H7 z5 u6 u  l( s( ~         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! T1 ]* ~1 c  r" W& i; Z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, _! o5 I- v5 L, m5 u: C1 ~: Z                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 e' V6 Z) _! ]/ M4 D
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
/ X1 g3 M* i- d2 m- wThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- s9 i8 h1 c0 N; _2 h9 [                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 n- k$ h. B# [. mSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 x- P& u. |7 J- x3 z8 l: P* S/ ~6 r                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
. m* \0 s( l( Z. t
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
+ Z9 M5 I0 ^  i* T! \7 P3 MShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

& o9 `$ Z4 g2 O7 m( ]9 z
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.