出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
$ T( C8 s! G# H& i2 j4 X
' m6 q  J! b1 D+ i3 y; M2。下边证明有没有毛病？

0 }2 _& `: B2 v" \& p! h设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
# Z: B! G! m: o  ?; Q' x6 z两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
; x. T& X0 Z: T2 Y; H6 h6 A1=2
1 P. L0 c  w" q* z, r5 M
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 n) h  T  d; b- p0 U+ }
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 a0 x' F# s$ U) v, }: {& q" R

5 D7 Q: X& B+ i5 d为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

0 j5 i) A; ^5 F  f  Z9 |. n+ ^/ OProof:
Let n >1 be an integer
! W, O/ f: t" v  f( B# @+ L2 L: _Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: U" j# [' \% a4 l( y$ B                                     K^3 – K can by divided by 3.
) I- ~) p: B; I9 {0 F
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  V+ c7 `2 ~% a% m/ z* x" hThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 q- l& @* |6 |* I                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ p: @$ m  N' ~0 e                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
3 n# t# [* c; {9 C: f                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
/ J# a9 c$ k1 x: Q$ w
; H: \$ l9 e1 T9 Q; e; [% p! {Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

  s: [6 @0 |2 X% i, u* c[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

- i, \7 d# O  _  z7 W, c第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 w' v( d" d1 D/ h2 Z0 B6 A6 TShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, N+ R0 l( b2 YSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.