出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

! b! W& j* Q% ^2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
0 u3 \2 ~8 k/ Y$ k1 H* C7 o
! T' T. P1 r( d$ N7 l则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

, ?& `) v$ n1 u: j% K$ Ra(a-b)=(a+b)(a-b)
" ]7 N" D4 Y, Q4 p, W5 ~+ l' Q2 Ka=a+b
a=2a
, E9 y9 R- q0 }& G6 N7 `1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

. Y2 w8 t6 G4 @3 _1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 Z# a. m) ~8 g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ G" g- Y, S) U& O5 \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 O6 U5 w- h) l9 U, k/ ^9 _

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
. O$ k3 G( \+ N5 \Let n >1 be an integer
! s5 L9 I1 X' ?$ n, i& x5 d( Z& q0 DBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
& v" h8 O2 J8 Y5 y  O8 ?: e
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
* E* G. S* v9 }/ P                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
0 C1 K& A: G2 V6 t4 O  s+ Y4 xsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: |3 s) i" T4 d3 }  ISo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
3 h) c8 `) j- Y* u# C& w2 o                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ r& l, L$ j$ ^8 d# Y5 {6 M                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
* O- |! N; e$ T6 o7 v0 _. ~0 l
' d$ t2 n6 D$ U9 t4 W5 J" bConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 ^4 K* _- U( d6 W- b' R
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
/ z0 r. t3 u8 ~$ oShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 K3 v# q; {& ^0 l/ FSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.