出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
) `; |8 K7 y) l; F9 R
7 v. ^, B0 y  n' s; S2。下边证明有没有毛病？
( A/ s% K' @0 q* x; O
' M$ n6 _' S- Y' d0 a6 X8 J+ v设  a=b
6 U5 b- x% p% Q9 z
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
1 O6 @0 E  l2 x7 S8 p+ t! F两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

, y  C: @; x; o( ka(a-b)=(a+b)(a-b)
9 c8 {1 v& l3 t7 @  _( [a=a+b
6 l$ H; I& o( M% U: S3 va=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
5 N7 @( B. {0 X6 b9 J% h+ I
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' C% x/ f2 |; {+ C! p  V: z/ f; Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ ]- o, N- S( t! w6 F2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% w, g' M% d. F- O* O1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 I. z, B% U# v- d2 G& O

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 w0 q' @: u# F2 I% {
3 r4 r" s' }  KProof:
: K9 g9 w" J7 VLet n >1 be an integer
) Y; d8 D( z3 W, s- QBasis:   (n=2)
" K5 u4 r5 U, Z+ J/ n4 q* e0 i+ w5 |         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

% ?5 j, [) m: }: h; N6 t* {Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
. m9 b3 E% @2 U6 V                                     K^3 – K can by divided by 3.
& V$ c4 g) |. p. Q
( {, \4 J" X0 z) KNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 z2 P0 c1 V- d6 @2 `" p( g& eThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
! |1 ^( K' T! Y1 V) Z1 E% z                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, F8 o/ ?  j0 s1 E8 pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
' U2 J1 u8 V* X' C, sSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
& V, b6 _+ ~. W                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 L9 v; y/ s. K# M  \) I0 a; h" k
$ W* N; {% }7 `( K* J% QConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. ~7 a1 g4 v5 |4 g% q0 R# J
: S8 S3 _3 d$ g! |第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
' i' u) i; D/ ^( @. WShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

" q; U4 T. U+ o1 e2 E
( g2 G0 ^+ C/ t6 e3 [SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.