出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

/ B& g( ?8 v, j8 A0 a& |$ ]" K2。下边证明有没有毛病？
. L& Y1 t/ @3 c
设  a=b

* R8 M+ y2 B. |- M4 M& A9 B& B( e则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- o4 k6 |+ _  f0 e/ @$ \6 V
, u+ O0 d- p5 I' s6 L, v: na(a-b)=(a+b)(a-b)
! `9 X* C1 S& Y! o5 ya=a+b
a=2a
6 I8 B3 j9 p0 {: v8 m7 l1=2
* V8 J  L! k: F) m
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
& J" h; X6 ?6 d$ e& M
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 Z8 D% x; ~- A: C看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
9 p( b3 A; @9 p6 M& [7 `! SLet n >1 be an integer
5 A- r7 u& y( @3 _4 @' YBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
. o2 z% y; w% D4 N1 b' u
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
' E% P6 ~% @) ^1 X8 F7 p' z8 r                                     K^3 – K can by divided by 3.

% S  l4 S0 Z( i8 z) jNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
+ k8 }3 E+ o7 o) k0 T                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: N5 J/ q1 s3 v                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 g% e# I2 q$ v* `                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: h* v1 R8 s: A- e, X" Vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& W- z! N: A! ~: B9 o1 n& `2 N' b                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
6 X$ O' k% [6 m  \                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

* z7 I6 `3 S. K( E& eConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* i# A' K0 W6 o
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) {" p+ f: L7 ?2 E3 yShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ f8 p0 p& t. t7 G; Z8 jSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.