出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

8 V$ L1 ~8 T8 G2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
& T! c7 l6 G. ^+ `4 ^4 c+ s3 S# [两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 J2 Q$ z9 [% A  l4 r
! T; Z  ^( z) U) ]( Q+ P5 _a(a-b)=(a+b)(a-b)
% [! G4 L5 M% X: _* Ja=a+b
a=2a
1=2
7 j/ ~+ W' _3 J' o- J# a2 b3 E
# G, |- W8 M8 a2 ^9 F证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
% Z; R) n. s( |0 W+ \3 X, d- q. U
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: h! p8 O! y9 c1 S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. @, _& K  c, p) {, H: x, c6 g2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
( z  o# ~) l' l1 k6 x5 h1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

- j% E$ k- d* z5 n为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 n" @4 U, k  y7 |1 g+ x( U
" U1 L6 N$ O! t" @' OProof:
; k1 n/ b, ]) U: c+ oLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

8 U$ \7 F; Z) k- c: p6 [9 ZNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
# u5 p+ Z4 x9 k7 L7 WThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* c' j; U5 n& ]# `" M! F                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
. I1 ]) k2 L. d2 [- Q" g+ O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
4 W; o+ c  x! u, pby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
4 P4 d: J- @, m9 B( QSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
" i4 }4 |0 v6 U/ ^) J
" e* H+ I* H. ~% vConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( S# G* M& k, j# I8 N$ n% Z
1 f  a) R7 Z" q3 l( C- V- K& r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

2 i  u1 k$ ^  |: v+ F第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
2 b7 f* K5 U% \& Q; X& A9 rShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 X+ c3 `: N* B5 y! K* F% @6 X2 y
- i5 \. R' c; }2 CSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.