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告诉你宇宙的真相:融合观点
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+ H8 {# x) q1 k4 L, y, P8 _7 l' @作者:无名老子
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“宇宙是一个翘翘板,人类站在翘翘板上,总是寻找不到真正的平衡。当有一天,人类懂得怎么与翘翘板融为一体的时候,你想怎么摆弄翘翘板都是没问题的。人类让它静止,它就会静止;人类让它动起来,它就会动起来。这时候的人类,是真正自由的人类.”
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第一章 前言
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世界有多大?时间有多长?人来自哪里,归于哪里?人活着为什么?神佛是否存在?唯心与唯物哪个符合世界本来面目?种种问题,在当今时代已经比较少人花毕生精力进行专门的思考了,但无可否认,自古以来,几乎人人都对这些问题有过思考,而真正想清楚了这些问题真的很少——但并不是没有!其实,在人类的典籍中,这些悟透宇宙玄机的人真的是很真诚的将其所知道的一切告诉了世人,但是,由于人类语言的和人类感知能力的局限,这些典籍中所讲述的东西往往无法被人理解,尽管人们在往往在现实中发现其所讲述的东西或多或少地符合现实,因此认识到这些典籍的重要性,但一些更玄奥无法在现实中简单印证的东西则被人们当作幻想或谎言。" W! I0 N+ }2 _% X& J
为什么想清楚了所有有关宇宙的根本问题的这些人将其所知道的如实告诉大家,而大家却无法理解或相信呢?原因至少有两个:第一,语言的乏力,很多宇宙的道理超越普通人的感知能力,用人类的语言讲出来在知识积累不够的情况下,无法为人理解,举个例子,如果在古代,有一个人告诉另一个人说,我们是生活在一个球上,而且这个球是漂浮在空中的,这种论述基本上会被当作幻想的结果,那时候的人们无法想像人怎么可能生活在一个漂浮着的球上,他们的第一个直观感觉是:那个球怎么不会掉下来?注意了,这就是人类的感知能力!在知识未积累足够程度时候,直接触及宇宙真相的人讲出来的东西,是无法为人理解的,而他们也不可能超越当时语言的局限将这种东西讲得让人理解并信服。
1 q3 p Q& s, f+ T 人类无法理解宇宙真相的第二个原因是人类的思维模式和思维能力的限制。前面讲过,人类的感知能力大多是建立在对以往经验积累的基础上的,超越以往经验太多的东西是很难为人所理解的。但这并不是说人的这种认识模式是错的——其实大部分认清宇宙真相的人的初始思维起点也是日常经验判断,但这种经验判断发展为探索宇宙真相的过程不是大多数人能做到的,比如,苹果落地是个常见的情况,大部分人会因为经验而忽视其,只有牛顿才突破这种经验判断而直接触及物理世界的一些规律,但牛顿的思维能力能发展到这种水平并不是完全脱离了经验判断而形成的,其是在经验判断的基础上反思经验判断的不合理性。无论如何,超越日常经验判断太多的东西,对其的理解是要求对原来思维模式的反思和抛弃的,也要求思考者有很强的思维能力,这是大部分人无法做到的,因此,即便他人将这些东西告诉我们,我们也终究无法理解世界为什么会是这样。
5 w- ?8 W' v, Z* m9 @7 u+ { 正由于我们无法理解这些人的论述,我们转而寻求用科学的手段去重新探索这些奥秘,事实上,到当今时代为止,科学已经有了很高的发展,并且探索宇宙奥秘的步伐也从来没停止过。这是好事,因为科学的发展增加了人们具体知识的积累,将使得我们更容易理解那些人的论述。但是,也带来了这样一个后果,即人们在经验性地信任科学的时候,已经将古人的典籍中告诉的东西逐渐遗忘。人们甚至认为,只有科学才能真正揭开宇宙的奥秘,以往的人们的思考其实是初级的错误的。这就涉及到了人们对宇宙奥秘认知的手段或途径的问题。. D: F3 B9 l9 G$ f
在当今科学时代,对宇宙奥秘或真相探知的唯一合理途径是通过已有的知识逻辑创建理论或修正理论,在进而寻求实际证据反过来支持理论假说。这是最符合普通人思维模式的方法或手段,但也是最漫长的一种方法或手段,甚至严厉地说,这种方法实际上意味着探知的宇宙奥秘终究是不究竟的,不完全。为什么这么说呢?因为这种方法意味着人是站在宇宙之外看宇宙,或者说,人是作为超脱的另一方在研究宇宙。
& l1 `) X3 L. W/ ^ 然而!人终究也是宇宙的产物,也是宇宙的一部分,宇宙的根本规律其实也在我们身上起作用,具体地说,我们的思维模式其实按照宇宙的根本原理在运作的,这样问题就来了,宇宙规律支配下的思维在思考宇宙,这个结果就等于一个人要将自己从地球上提起来一样不可能!% I, f+ B7 A. g x& S$ l8 _$ E- w
所以,以往探究得知宇宙奥秘的人其实不是按照科学的思维探索宇宙的,他们是从自己身上下文章,因为他们认识到自己就是宇宙的一部分,如果你要认识宇宙,你就必须认识自己,认识了自己你也就认识了宇宙。2 T' s$ C2 d; z) ^6 O
具体他们是如何认识自己的呢?其实这已不仅仅是个思维的过程了,也涉及到对自身的改变的过程。本文随后将由此切入主题,一个一个问题逐渐说明。
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6 o( N3 G6 j. l% d7 j* Q1 w 第二章 科学- w0 r4 ]0 l5 I7 B
8 g0 J8 B% u, @0 o4 B' M 尽管在前言里,本文预先指出科学方法内在存在着严重的局限性。但是,我们首先又必须承认科学方法所获得的成功是毫无疑问的。物理学,这诸科学之王,为人类的理解开辟了几个世纪以前想都没有想到过的新路。从原子内部的作用到黑洞的玄妙,物理学使我们得以理解自然中某些最隐秘的秘密。而且也使我们得以控制我们的环境中的许多物理系统。科学推理的巨大力量使每一日都有许多现代技术的奇观得以证明。那么,对科学家所持有的世界观也抱有一些信心,似乎就是顺理成章的了。' Z/ [2 P! V1 @ S* ]
我们知道,科学以仔细的观察、实验为基础,使理论得以建立,将不同的经验联系起来。科学寻求的是自然在运行中的规律性,这些规律性很有希望地揭示了制约着物质和力的基本规律。科学对存在的问题进行这样的探索,其中的关键是,科学家假如遇到了他所持有的理论的反证,他就得放弃那个理论。1 d- p1 a' W8 a3 h/ Q5 f. |2 K+ N
科学勇于自我否定是值得赞赏的,这正是不断前进的内在动因.然而,另一方面,科学的发展根本依赖于经验(感观观察或实验观察)和逻辑推理,这不仅是科学的优势所在,但同时, 也恰恰正是科学致命缺陷所在.经验和逻辑是人类思维认识宇宙最重要的两种途径,除此之外,我们似乎别无可以明确依赖的手段,因此,科学的方法—以经验为前提基础构建逻辑、以逻辑构建为指导组织实验,再以实验结果反证逻辑--也似乎是天经地义的。这种方法的一个潜在的假设前提是这样的:人类感观能“真实”观察宇宙事物,人类思维也能“真实”认识宇宙事物。如果没有这个假设前提,那我们必须承认,科学所观察和认识到的一切都可能未必是“正确”的。8 k+ W& k* _7 r; s
波普尔认为判断一个问题是科学陈述还是非科学陈述要看问题有没有“可证伪性”,科学判断标志自己与形而上学判断相区分的是科学判断具有可证伪性,而形而上学判断不具有可证伪性。有可证伪性就是科学问题,没有可证伪性就不是科学问题。在可证伪的具体原则上,又存在着两种判别标准,一种是逻辑上的可证伪,一种是实践(检验手段)上的可证伪。9 D% O0 f1 N* p& B# r5 _" M0 R
从第一种判别标准来看,严格地说,任何公理都是不可证伪的,而所有科学都是建立在公理基础之上的,这立刻导致这样一个问题,科学本身是“不科学”的,因为其理论体系整体本身就具有不可证伪的特征——可证伪的只是理论体系内部的推论。从第二种判别标准来看,其忽略了人类认识手段的局限性。如果存在理论上的可证伪性,但是由于人类认识能力的局限性,永远无法将这种证伪付之于现实,那又该如何认定它的可证伪性呢?如果认为是不可证伪的,那本质上跟“我没有看见的东西就等同于不存在的东西”这种说法没有分别;如果认为不是不可证伪的,那又如何判定哪些属于我们的认识水平有限而无法证伪的呢?/ G! Y! `/ | U+ X/ ?
由此可见,科学本身的“科学性”并不是毫无疑问的,其尽管标新立异于形而上学和宗教,但与形而上学和宗教也是有共同点的。一个根本的共同点是:谁都无法证明自己是正确的,也无法证明对方是错误的,唯一的取决是人们对该理论的信赖或信仰。这正如科学方法的前提假设一样,其是不可证伪的——人类感观能“真实”观察宇宙事物吗?人类思维也能“真实”认识宇宙事物吗?这是没有绝对答案的,取决于你如何定义这个“真实”,或取决于你信赖哪个“真实”。
8 q Q1 q; R3 m 科学家在工作中通常表现为唯物主义的形象,这与其科学方法是内在联系的。首先,只有信赖人类感观能力和人类思维能力,人们才具备从事科学研究的前提条件,在研究过程面对各种现象,科学家必须依据自己的感观和思维作出各种判断,“对的”还是“错的”?其次,只有信赖人类对宇宙万物的观察和认识不会影响被观察和认识的事物的表现形态和运动形态,人们才可能真实观察和认识宇宙万物——不然,就会陷入互动的逻辑循环中去,所观察到和认识到的东西并不是宇宙万物的本来面貌和存在形态!6 r( ]' T+ h# ]$ C! N9 C
以上第二点尤其重要,其直接对应着唯物论和唯心论的分歧——究竟是外物在决定内在意识,还是内在意识在决定外物?由于科学前提是必须相信人们可以真实观察和认识宇宙万物,所以科学从来不讳言自己的唯物论倾向。
2 p1 Z( ]. R- `$ t* i+ e 然而,最近一个世纪,物理科学中发生了奇怪的事。在从事这门科学的人们当中,突然出现了许多有关空间、时间以及有关心与物的全新看法,这些看法稀奇古怪、令人惊讶。只是到了今天,这些看法才开始波及大众。那些使物理学家们好奇并激发了他们灵感的看法现在终于引起了公众的注意。公众在此之前从未想到,人类思想中已经发生了一场大革命。新物理学已经成年了。上世纪头25 年,有两个重大的理论——相对论、量子论——被提出来。20 世纪的物理学大部分就是从这两论中生长出来的。但新物理学很快就显示出,它并不仅仅是物理世界的一个更好的模型而已。物理学家们开始意识到,他们的发现要求对实在的最基本方面作出全新的界定。他们于是学着以完全出人意料的、全新的方法来解决问题,而这些方法似乎是违背经验常识的,它们更接近神秘主义而不是接近唯物主义。科学似乎开始走入了唯心论的领域,因此,很多固执科学理念的人们在怀疑这些新科学是否是“伪科学”!4 {( k" k$ E; f; Y5 l$ E
事情的发展越来越轨异,即便新科学的提出者也处在迷惘之中,那么,事情的真相到底是什么呢?& b5 I) z) `: a7 N% ]# k/ H% ]
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) o: P- K- |: i G& ? 第三章 世界观6 G: u- M, e& Q, ]
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在我们的感知和认识中,世间万物显然是遵循着一定的规则在运作,因为没有规则的话,万物不可能有序的产生和毁灭,也不可能有序地做着各种运动。在承认我们感知和认识的正确性前提下,必然有这样一个问题,即宇宙是否存在着一个普遍的规则?该规则是怎样的?与此相对应,还有两个同样重要的问题:宇宙中的万物是如何产生的?或者说,宇宙构成中最根本最基础的要素是什么?宇宙运动的原始动力来自于哪里?
- x, [# v* R9 q% G1 c7 Y! w) j* p 有关第一个问题,西方哲学和现代科学理论都没有明确的回答,但是中国传统道家却明确指出宇宙有一个普遍的运行规则——“道”,而这个“道”是不能言说的,因为一说就必然是错的。但同时道家又明确指出世间万物是遵循“一阴一阳”或“一阳一阴”之道在运作的。这里就存在着这样的疑问:既然不能言说,为何又说是“一阳一阴”之道?同样的,东方的佛家也明确指出宇宙是遵循“因果循环”的规则运作的,但是,与道家一样,佛家也同时自己否定自己,又宣称“万法皆空”,同时又言:“不可说”。在西方哲学传统和现代科学思维中,这样一种自相矛盾的理论是不能自洽的,也是无法理解的。同时,由于佛道两家的观点中都带有否认人的感观和思维能正确认识事物的倾向,强调认识世界必须依赖心灵的“自悟”,由此似乎陷入虚无主义和神秘主义,带有强烈的唯心论倾向,依现代科学的自身特点,自然是很难接受的。; N( n5 Z, R- \
有关第二个问题,西方哲学和现代科学理论有尝试进行回答。从历史的发展来看,西方哲学和现代科学理论对这个问题的回答是依据经验认识的发展不断变化的,从最开始认为世界是由具体事物,如水之类的东西构成,到后来的粒子,再到现代的能量,以至最近的弦理论。整个过程明显地遵循从具体到抽象的步骤和方向发展,以至如今已经接近东方玄学的结论了。而东方的道家和佛家则早在千年前明确指出宇宙的本质或最基本的要素是“无”或“空”。道家宣称“有生于无”,佛教宣称“一切皆空”,意思大体一致。3 a& c" a, _ G- P! A
有关第三个问题,现代科学理论已经形成基本一致的看法,即认为宇宙是由原始的奇点爆炸而来,正是此大爆炸导致了宇宙的形成,但是现代科学并没有解释奇点如何而来,为何会发生爆炸,爆炸后为何就会形成我们现在这个世界。西方的宗教则认为,宇宙是由一个外生的上帝创造的,其分七天创造了这个世界。有意思的是,其没有说明上帝是什么性质的,而上帝由何而来,也没有说明,同时,既然世界还没产生,为何就有七天之说?东方的道家没有对此问题进行深入解释,但是其内涵的宇宙根本之“道”,似乎已经在解释宇宙形成的最初动力问题了,其实际认为没有这样的问题,宇宙是处于无始无终的“一阴一阳”周转循环之中。东方的佛家在这个问题上与道家观点相近,也认为宇宙是在不断的循环中,但是其又强调任何一个循环都有个“成坏住空”的阶段,而世界为何会“成”?乃在于“无明”或“分别心”。这又似乎是典型的唯心论了。6 `7 D& C. K, L$ r
综合起来,以上三个问题涉及了人类世界观的根本分歧,对这三个问题的解答实质上就形成了不同类别的世界观。可以说,这三个问题其实是所有人类面临的终极问题。回答不了这些问题,任何一个理论终究无法自圆其说,并且这是所有科学、哲学、宗教人士都面临的一个黑洞,很多科学家、哲学家、宗教学家最终都掉到这个黑洞里去了。 S; L& l* h* r& S
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第四章 思维方式+ E4 b) @3 j( M; v: a- O0 ~# ? N, `
; \$ y7 v' s0 U 世界万象,无奇不有。人类在解决完一个问题之后立刻面临着下一个问题,笼罩在眼前的似乎永远是一团迷雾,又或者,我们始终处在一个旋涡或迷团之中,事物的变化不断在迷惑着我们。到底是事物太过复杂,还是我们的思维方式有问题呢?看来,我们有必要反过来先审视一下自己的思维方式。
- o6 Z* U1 e! p. l: W5 P' ` 人类认识宇宙的思维方式特点归结起来就是逻辑思维与二分法思维.逻辑思维是把因果关系有机联结的手段,而二分法思维则是将事物进行区分,冠与相应名称的手段.这种思维模式归根结底又是由人的经验积累而来.当人还处于婴孩阶段时候,其意识与天地是融合的,并没有人他之分别.而随着年纪的增长,其感知到各种事物,并被灌输各种观念,于是就逐渐能熟练地区别各种事物之间的差异,并以各种名词去对应不同的事物,这就是人类二分法思维的产生过程.与此同时,随着人观察到各种事物之间存在着的联系,人类开始学会以逻辑方式建立因果对应关系,并以此指导自己的行为,这就是逻辑思维的产生过程./ e+ j: {4 o. ?" e% u* `/ {
人的二分法思维意味着世间一切名词都是以人的经验认识为基础构建出来的,所有的名词都带有人的经验认识的局限性,即对立性。对立性就是矛盾,名词内在的彼此对立性决定了由这些名词表述出来的理论或“道”必然也存在对立物——对立的另一个理论或“道”,因此,此“道”必非世界根本之“道”,是非圆融之“道”。可以下图来反映这种关系.) I+ X+ t: m5 u' }
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也就是说,人类依据二分法思维构造出的任何理论都不可能真实或完整反映世界呢?为什么这么说呢?原因很简单,任何名词是基于区分事物而产生,只要有名词就意味着有对应的对立事物的存在.同样的,任何一个由各种名词构造起来的理论,其必然有另一对立的理论存在,两个理论分别适用不同的范畴,这两个范畴本身也必然是对立的.
* H1 x% X: l( x' z7 O 老子在道德经中说: “道可道,非常道”.其意思是说,任何可以表述出来的道理都必然不是宇宙的普遍道理.为什么会这样呢?老子随后解释说: “名可名,非常名”.因为一个名词一旦出现,如果其确有对应特定事物的话,其就不是一个能表征一切事物的名词,既然不能表征一切事物,则其对应的理论就不可能是个普遍适用的理论.0 \* ^/ ~; U: M
正因为人类的二分法思维使得人类能区分事物,并通过分析事物之间的关系来构造理论认识世界,但也正因为人类的二分法思维使得任何人类建立起来的理论都不可能完整地反映世界,因为一旦超越理论所覆盖的事物范畴,该理论立刻会制造出与自身相对立的另一理论,并面临与对立的另一理论之间的矛盾.二者之间最终又会融合成一个新的统一的理论.如下图所示.
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然而,新的理论本身还是名词构成的,其又对应特定的事物范畴,一旦超越了该事物范畴,该新理论又会立刻制造出与自身相对立的另一理论,并面临与对立的另一理论之间的矛盾.如下图所示.& j+ o# h% V2 Y/ R% |. P1 n7 Q
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这样的过程不断发展,人类不断创造出各种理论,也不断整合各种理论,在整合过程中,新的统一理论覆盖的事物范畴越来越大,其对应的名词也必然越来越抽象,越来越难以对应具体事物.于是,理论必然由形而下逐渐走向形而上.# m; d6 x. v9 t( q9 ]
如此说来,即便宇宙间存在着普遍的运作规则,以人类的思维能力看来也无法将其表述出来了?然而,事情果真如此吗?我们暂且将这个问题按下不管.我们现在考虑的是这样一个问题,即如果真有一个宇宙基本的运作规则,并且我们要将其表达出来,那其应该具备哪些特征呢?
( S; E `, r; M. E8 {7 }# x 很显然,这个普遍的运作规则首先应该是符合我们的思维方式的,即应符合二分法思维,也应符合逻辑思维,因为如果不满足我们的思维模式,我们是无法将其推导出来的.但同时,由于我们思维的运作特征,如果这个普遍运作的规则满足二分法思维和逻辑思维,其就不可能是一个普遍的运作规则,由此,这个规则应该同时又不满足二分法思维和逻辑思维.再者,由于该运作规则既满足二分法思维和逻辑思维,又不满足二分法思维和逻辑思维,那这种运作规则已经超乎我们二分法思维和逻辑思维,其很可能难以为我们所理解.最后,如果其确实为宇宙普遍的运作规则,其必然是绝对的形而上的,因为其不能有任何具体对应的事物,但其内涵却可以覆盖所有宇宙事物.
4 ?( s8 p# {6 R' H, i8 U+ x 综合起来,如果存在一个宇宙基本的运作规则,并且我们将要将其表述出来,其应该具备以下四个特征:* b( p' O: o; g& I
(1) 满足二分法思维方式,并符合逻辑规则;( Z U8 z' \& t4 r( P
(2) 不满足二分法思维方式,不符合逻辑规则;
+ x% A" i# s0 }0 F (3) 极度抽象,难以理解;
2 {6 X* C# o1 }6 |" O( T (4) 没有实际意义.
x+ ?8 a: l9 u$ v6 N+ a 可参看下图理解.
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9 x; M. P% l/ ?1 ?, X 我们现在的目的不是去寻找宇宙普遍的运作规则,因为我们甚至不知道是否存在着这样的运作规则.我们现在的任务是根据这四个特征去寻找是否存在着满足这四个特征的表述.如果我们能找到满足这样四个特征的表述,那我们也许可以从中分析出是否存在着宇宙普遍的运作规则.
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( K( E f7 T/ B" `, q 第五章 宇宙原理1 y6 U, L- W% p
( w4 U6 C3 V) j" `" y 根据上一章提出的四个特征,我们尝试寻找是否存在满足这四个特征的表述.一个简单的例子现成地摆在我们面前,我们注意到,如上一章所指出的,任何人类构造的理论都不可能是宇宙普遍的运作规则,因为一旦超越该理论覆盖的事物范畴,该理论会自动创造出与之相对立的理论,并与之相矛盾.简单地说,任何理论不断发展,其结果都是自我否定.以此观察万物,我们发现,任何存在的事物同样也是如此,其运作的结果总是走向死亡,即自我否定.由此,我们可以尝试性地将这种我们经验中普遍的规律加以总结,得出如下原理:* u! `4 {& k: r5 g: y
原理一:宇宙万物(包括宇宙本身)不断运作的结果,是否定自己.
( s# p9 {8 M( f* E 而根据人类逻辑思维的规则,这一原理如果要成立,其必须要否定自己,因为该原理本身也是宇宙事物之一.由此,我们立刻由原理一推导出否定其自身的另一原理:
/ Z! Y0 \ k0 n& d6 u0 Q9 H' A8 a 原理二: 宇宙万物(包括宇宙本身)不断运作的结果,是肯定自己.. n5 t) @& Y* C( E' x
我们可以看到,原理二由原理一推导而来,其是符合逻辑法则的,其本身是证明原理一的正确性的,然而,我们又可以看到,原理二在形式逻辑上显然否定了原理一,因此原理一由自身推导出的东西否定了自身,其又是不符合逻辑法则的.可见原理一和原理二是满足既符合逻辑规则又不符合逻辑规则的特征的.同时,我们可以看到,这两个原理合在一起很明显是极端抽象,难以理解的,对于我们似乎没有实际意义—因为两个原理中没有任何明确对应的事物范畴.* H$ P- l) g* A9 Z7 w( {. Q
现在下来的问题是看这两个原理合在一起是否满足既符合二分法思维方式,又不符合二分法思维的特征了.我们以二分法的思维方式对两个原理进行如下分析.
8 y( x+ O& \+ N) l( L& T& y, g A. 由于第一原理被第二原理否定了,因此第一原理是错的,第二原理是对的。则有1 R0 z! U7 [7 e. M. E
推论1:任何事物否定自己不是否定自己。! w% Z0 a: g5 z
推论2:任何事物否定自己是肯定自己。
) ~" C* c' L# R& i 推论3:任何事物肯定自己是肯定自己。
2 K# Z0 t3 M+ E9 x& f" |. c" q 推论4:任何事物肯定自己不是否定自己。
# g2 @; j4 ]. L) Z B. 由于第一原理没有被第二原理否定,因此第一原理是对的,第二原理是错的。则有
/ B* c+ F! @3 J7 s; Q& y9 R 推论5:任何事物否定自己是否定自己。
! W; x- |& n2 t% @ 推论6:任何事物否定自己不是肯定自己。
- u; U2 R* Q% g8 W5 }: P 推论7:任何事物肯定自己不是肯定自己。$ B- j9 s3 d; c' @2 j1 h) V
推论8:任何事物肯定自己是否定自己。
5 [4 W/ K) b9 D' }/ r. S* m9 h 将肯定自己的一面(或者说正面)标注为A,将否定自己的一面(或者说负面)标注为-A
* A+ ?$ U& k. N3 a 则以上推论可以表示为如下8个经验公式:& E9 U6 d) f T$ L/ E2 E6 p
-A≠-A' q$ @4 b6 [, j: f ]
-A=A
k0 D; a( X1 Z# B A=A' j$ f3 h; o: T' ^4 _1 z8 }
A≠-A3 a6 ^* X- \6 k6 X* }2 H# y
-A=-A
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很明显,A=A,-A=-A,A≠-A,-A≠A是符合我们经验法则的。另外四个公式:A≠A,A=-A,-A≠-A,-A=A不符合我们经验法则.
. [6 O6 u) R' |/ F 可见,符合我们经验法则的是对立法,而不符合我们经验法则的是合一法。也就是说如我们上一章所指出的,我们人类的经验法则确实本质上是一种二分法(非此即彼),而经验法则的否定是一种合一法(即此即彼)。
: T- \$ m$ Q. n& n) c* ~' t, d3 b! O 在这两个原理推导中,我们运用的是二分法的推导逻辑,然而得出的结果却既符合二分法,又否定二分法. 或者更确切地说,两个原理融合在一起,其是满足既符合二分思维方式,又不符合二分思维方式的特征的.$ G0 M7 j! q; v7 m$ a
如此说来,这两个原理的表述确乎完全满足以上我们确认的四个标准,那下来我们面临的问题是这两个原理是否反映了宇宙的普遍运作规则了,宇宙到底有没有普遍运作规则?+ W' E9 j" Z V0 |: u1 [5 f) }
这里,问题又来了.因为宇宙普遍运作规则应满足逻辑规则的特征,所以我们可以做如下推理,如果有普遍运作规则,那这种规则一旦表述出来,那其必然会自我否定,而如果其自我否定则其就应该不是普遍运作规则—除非其否定自身的同时还是肯定自身!这样一来,上述两个原理不就是宇宙普遍运作规则的如实反映吗?也就是说,对于第一个问题,答案是这样的,如果存在宇宙普遍运作规则,那上述两个原理就应是这个普遍运作规则的一个有效的表达方式.& L, O# a( f$ C
对于第二个问题,宇宙到底有没有普遍运作法则?答案是不可说.为什么呢?因为“有”和“没有”这种提法本身就是人类二分思维方式下的产物.如果我们承认二分思维方式是正确的,正如前面章节里指出的,如果我们相信我们感知能力和认识能力,那很明显答案是不存在着普遍运作法则的,因为按照上一章指出的人类思维发展方式,人类理论发展是永恒的不断向前,不会有尽头的,除非人类灭亡了,停止了感知和思考—即便如此,人类所得到的对宇宙的认识终究还是不全面的.但是,如果我们勇于否定二分思维方式,那就转变为合一法“思维”方式了(当然,是否还有思维概念是值得怀疑的,因为我们无法体会合一法下的世界是怎样的!很明显的是,我们的名词概念都是二分法下的产物,所以其并不适用于合一法状态),在该“思维”方式下,“有”和“没有”本来就是一回事.
+ C" R' j" Y8 t7 } 这种回答似乎显得有点象狡辩,但我们从中得到的重要启示是:宇宙事物呈现怎样的状态,看来与观察者或认识者的认识角度和观察方式是不能绝然分割开的.如果观察者或认识者以二分法的思维方式看待宇宙,认为自身是独立于宇宙的,俨然以超脱的第三方在观察和认识宇宙,那其必然面临着永远无法真实认识宇宙的结局.反过来,如果观察者或认识者以合一法的“思维”方式看待宇宙,认为自身就是宇宙,以自身审视自身,那其就能真实认识宇宙.但是,这里有个陷阱,即我们观念中的“合一法”并不是真正意义上的“合一法”!我们观念中的“合一法”就是上述的 “即此即彼”的认识观,为什么呢?因为我们观念下的“非此即彼”二分法和我们观念下的“即此即彼”合一法本质上还是我们二分思维方式运作的结果.这也就是说,如果我们坚持传统观念下的“非此即彼”二分法,我们固然是无法真实认识宇宙,但是,反过来,如果我们坚持传统观念下的“即此即彼”合一法,我们也一样是无法真实认识宇宙(就似乎婴孩时期,固然与宇宙融合,但也缺乏认识事物的可能了).真正的合一法是将“非此即彼”二分法和“即此即彼”合一法完美地融合—就如上述两个原理一样,在两个原理中完美融合了二分法和合一法,我们才可能真正认识这个宇宙.用中国的古话来说,就是要“与道同”!真正的合一法是不能有任何名词概念的表述的,因为一表述即已陷入二分法的陷阱中去,这大抵是佛道两家主张 “不可说”、 “一说即是错”的根本缘由吧.0 d! |' V, H/ y7 @. G+ m
“非此即彼”二分法和“即此即彼”合一法之间的关系可以通过下图来帮助理解.
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在此图中我们看到:事物有三个维度,即正、反、合。事物发展由正而反而合,我们一般认为正和反是事物二分的表现,而合则是合一法的表现。但是我们不要忽略了合还是正、反的对立面,因此如果我们将(正、反)集合作为正,则合就是反,还是二分法的表现。很显然,如果我们不能超越这三个维度,则我们必然如前面一章讲述人类思维方式那样不断地进行循环反复,不断发展,永无真正认识宇宙的可能。而如果我们能超越这三个维度,则我们就与宇宙实现了真正的合一,也才能真正认识宇宙,当然,这时候,其实我们已经是宇宙整体了。
0 a$ r! N6 J9 F& C- i$ Z 然而,这显然不仅仅是上升到形而上学了,其实是已经上升到了宗教修炼的角度了。这于我们显然是不现实的,首先我们并不知道如何才能超越这三个维度,我们可知道的是,在信赖宇宙存在普遍运作规则的前提下,我们应该遵循上述两个原理,首先否定二分法,同时否定合一法,于是反过来肯定了二分法和合一法,最终实现二分法和合一法的完美融合。这似乎有点类似佛家的“不执着一切法”,甚至连“空”都不能执着的意思了,也似乎契和道家的“反者,道之动”的意思。- T5 ~8 e" A% x: X" h
撇开形而上学和宗教修炼的话题,我们继续探讨宇宙普遍运行规则对我们的意义。由以上分析,很显然,我们现在面临着选择,要么选择信赖宇宙存在着普遍的运作规则,而这个规则可由以上两个原理加以有效反映,要么我们选择继续信赖我们的二分思维方式,不断向前发展。问题是,这两种选择有什么区别?; B( G/ {1 c" W+ z; \+ a
以第一种选择来看,信赖宇宙存在着普遍的运作规则,而这个规则可由以上两个原理加以有效反映显然并不能直接给我们带来什么东西,因为这两个原理并不对应任何具体的事物,其也过于抽象和形而上了,但是,其有个好处,就是我们可能可以利用这两个原理对我们已有的知识体系进行整合,也能对一些疑惑我们的难题进行分析寻找到合理的突破方向—但是,我们显然不能指望这两个原理给我们带来任何具体的对宇宙的认识。而以第二种选择来看,继续信赖我们的二分思维方式,不断向前发展,其对我们也有好处,其可以在我们能力受到限制的前提下,不断积累对宇宙的认识—尽管我们并不能证实这些认识就是正确的,当然也不能期望这些认识能真正反映宇宙的真相,但是,我们可以期望这些知识至少对于现实的我们是有利的。
1 C r* Z: o" H' U9 r9 n 这样,我们显然不应该执着于是否应该选择信赖宇宙存在着普遍的运作规则,还是选择信赖我们的二分思维方式,继续发展科学了。事实上,我们应该既否定我们的二分思维方式,认识到二分思维方式的局限性,也应该否定宇宙普遍的运作规则,认识到宇宙之“常道”自身是没有什么具体用处的。但同时,我们不是也正是肯定了这二者吗?我们既肯定了宇宙之“常道”的整合作用,也肯定的二分思维方式的发展作用。这未必就不是上述两个原理的实质内涵的体现啊?老子说:“常有,欲以观其檄;常无,欲以观其妙”,诚哉斯言啊!
9 c0 e- |# @% ~ 东方思维带有明显的合一法特征,西方思维带有明显的二分法特征。西方二分法思维带动的科学研究已经对人类做出重要贡献,而东方合一法思维也早已揭示了宇宙的普遍运作规律,抛开执着,做到真正的合一,将合一法与二分法完美地融合在一起,必然能对宇宙真相有更进一步的认识,也必然能对人类社会有更好的促进作用。9 B+ H$ K* G, U7 s8 a7 C# z+ ^
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第六章 悖论(一), l& a% R: V' A( I
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本文上一章提出的两个原理本质上是一个悖论。但悖论未必就是错误的,事实上,我们可能会发现,宇宙正是以悖论的模式在运作着,悖论才是符合我们眼睛中的宇宙的真相的。, f- V: [$ E( X+ V. M2 }
悖论(本章内容主要参考:成良斌,《论悖论对科学发展的影响》,《科学学与科学技术管理》2004年第4期),是英文paradox一词的意译。关于悖论的概念,目前在学术界是众说纷纭,莫衷一是。从广义上说,凡似是而非或似非而是的论点,都可以叫做悖论,如欲速则不达、大智若愚等;还有一些对常识的挑战也可称为悖论。从狭义上说,悖论是从某些公认正确的背景知识中逻辑地推导出来的两个相互矛盾(或相互反对)命题的等价式(即p←→﹁p或p∧﹁p;p←→q或p∧q,其中p与q是两个相互反对的命题)。
) K4 J2 x4 N0 E1 Y5 | 具体来说,狭义悖论的内涵有三个要点:! r/ }1 n' L1 |* h4 \8 a
(1)悖论是相对于一定的背景知识(即共识)而言;
; ]4 J8 l0 k$ u* y (2)推导过程是合乎逻辑的。4 u" O6 ^8 [3 _
(3)推导后可得到两个相互矛盾(或相互反对)命题的等价式。
; q- W. h; y! B5 y& \4 S3 K 狭义的悖论又可称为严格意义上的悖论或真正的悖论。因为只有是真悖论,才能说明“共识”(或科学理论)有问题;而假悖论(或佯谬)则可能是推理出了问题,其影响是不能与真悖论相提并论的。4 h) ]% Q/ N; h* H4 i
很明显,上述两个原理完全符合上述悖论概念的三个要点。首先,原理一是根据人类共有经验认识归结出来的,其次,由原理一推导出原理二是合乎逻辑的,其三,推导出来的原理二与原理一在逻辑上又相互矛盾。
; I. q1 L6 @: o& c9 w& c% I! W 历史上人们对悖论有不同的称谓。古希腊的亚里士多德称之为难题(如说慌者悖论、芝诺四大悖论等);中世纪的经院哲学家们称之为不可解命题,认为悖论是不可解的;近现代的科学家一般称之为悖论或佯谬,哲学家则称之为二律背反(“悖论”在英文中还有一个词antinomy,这个词在哲学文献中又译为“二律背反”)。德国哲学家康德首次把自己所发现的悖论称为“二律背反”(德文antinomie)。康德认为,人类的认识由感性、知性和理性三个环节组成,当人类运用作为知性固有的先天思维形式的范畴,试图去把握世界整体,即认识进入“理性”阶段时,必然陷入二律背反。康德自己也提出了时空、单一复合、必然偶然等四大二律背反。
6 x; Z% r) h4 z9 p4 d5 u) N# Y 1979年,美国数学家霍夫斯塔德(D.R.Hofstadter)认为悖论是一个“怪圈”(strange loop,又译为奇异的循环),是由于“自我相关”而导致的。这种怪圈不仅存在于数学和思维中,也存在于绘画和音乐中。埃舍尔(M.C.Escher)的画(如“瀑布”、“上升与下降”、“龙”、“绘画的双手”和“画廊”等)用非常直观的形式艺术地表现了这种怪圈。生活中的怪圈既有好的效应(可成为一种摄影的艺术),也有坏的效应(如电话或收音机的噪音)。
% w2 h) H+ }3 ` H) J- _ 在科学理论中也普遍存在着怪圈或悖论(根据哥德尔定律,对一个完备的科学理论而言,悖论是不可避免的事情)。科学悖论是指从一定的公理化的科学理论出发,合乎逻辑地推导出的两个相互矛盾(或相互反对)命题的等价式。典型的科学怪圈是罗素(B.Russell,1872-1970)1902年提出的罗素悖论(设A={X|X∈X},B={X|X不属于X},如果B∈A,则根据A的定义,B∈B,反之亦然)。1919年罗素还给出了其通俗说法,即理发师悖论。产生罗素悖论的共识(即科学理论是康托尔的集合论)。
6 t! N+ E [. g2 Q 如果在一个科学理论中发现了悖论,则说明这个理论出了问题,或者排中律与矛盾律错了。在科学史中,大多数科学家选择了前者,但也有选择后者的。直觉主义的代表布劳威尔认为数学堕落(即出现悖论)的根源是排中律,为此他反对在数学证明中使用反证法。他的做法遭到了希尔伯特等人的反击。按照库恩的观点,关于方法的合法性问题是范式的问题,他需要科学共同体的共同认可才行。现在,科学家在绝大多数情况下是不会反对排中律和矛盾律的运用的,因此,在绝大多数情况下,我们把悖论产生的原因归罪于产生这一悖论的科学理论。
& t, S# E- _4 g% y: n 有趣的是,人们发现整个宇宙到处充满悖论,但是却始终没能认识到悖论的产生根源,其本质上是由于人类固有的二分思维方式导致的。而即便人们认为科学理论出现悖论,意味着排中律与矛盾律(也就是我们所说的二分法)错了。但没有意识到,即便二分法错了,合一法也未必就是正确的。反过来,合一法错了,也不能就说二分法就是正确的。因为这种认识模式本质上还是一种二分思维模式。二分法和合一法本质上就是作为一个悖论的两个命题存在,其既相互肯定,也相互否定。因此,实在不能绝对地说,谁对了,谁错了。
1 k5 }% u# @- U: b7 o 康德认为当人类运用作为知性固有的先天思维形式的范畴,试图去把握世界整体,即认识进入“理性”阶段时,必然陷入二律背反。这恰恰是符合宇宙运作规则的。正因为理性对应着二分思维模式的形成,所以其必然面临着自我否定的困境,但是,每一次自我否定必然又意味着新一次的自我肯定。整个人类对宇宙的认识史不外乎由自身就是以悖论模式运作的思维对外在同样是以悖论模式运作的宇宙进行不断反映的过程,并且,只要这种二分思维模式没有真正得到超越——不是仅仅走向二分法的对立面即我们观念中的合一法,那这个过程是永远都不会有终点的。更简单地说,只有人类真正实现完全理性与完全直觉(或感性)的完美融合,人类才可能真正认识宇宙,也才可能真正脱离佛家所说的“颠倒循环”,进入所谓的“涅磐”境界。
) s: V6 t& h4 Q 抛开形而上的超脱境界的话题,转到库恩的观点,库恩认为关于方法的合法性问题是范式的问题,他需要科学共同体的共同认可才行。这是建立在我们无法根本超越二分思维方式的现实条件下的选择,正因为二分法的特征是“非此即彼”,所以我们必然面临着选择的问题,即我们必须选择信赖某个范式,这种选择是基于我们共同的信念,而非真有什么客观的外在标准在判别我们这种选择的正确性。这正如我们在第二章所指出的,科学在其本身并不必然具有“科学性”,只是人们基于经验或信念选择了对科学的信赖而已。如果对世界人们有超常规的体验,其也可能不选择对科学的信赖,这种选择也不见得就是不科学的。对于不同科学范式而言,尽管各自有其特点,但彼此之间在发展过程中始终存在着不断的相互转换、相互否定、进而又相互肯定的关系,因此,并没有终极意义上的正确和错误的分别。正如人类由原始的直觉和感性主义走到现代的理性主义,其在表象上固然表现为理性主义的进步,但未必不是表现为直觉和感性主义的退步,而且在未来历史发展中,未必不可能又走到直觉和感性主义的道路上去——当然,更可能的是走向理性和直觉或感性的高度融合,但这要求人类对宇宙运作法则有清楚的认识,而不是由于过分执着而走向简单循环。. I2 ?' }: \; ?) t
二分法思维方式是人类认识宇宙的必经之路,但人类如果没有真正超越二分法,那我们终究将在二分法自身的旋涡里不断旋转,尽管不断自我否定自我肯定不断向前,但终究有遗漏,总是会“执此一端,失彼一端”。科学范式的选择正体现这一点,新的科学范式的出现总是以否定原来的科学范式为前提,然而,如果新的科学范式如果不能将原有的科学范式的意趣包含于其中,那这种否定终究只是为了否定而否定,是肤浅的表面的否定,正如“伪悖论”之于“真悖论”——真正的悖论必然是积极的,其通常意味着科学发展的飞跃。! u6 x: J$ H0 Q. J7 e
之所以说真正的悖论是积极的,在于其可以作为一种否定现在的理论,实现新的突破的手段,或者说,悖论是一种证伪手段。用佛家的说法,其是一种“破除迷执”的“便宜”方法。, s4 V, ~. [2 [2 ~
相对于用经验事实来否证理论和命题而言,寻找或发现悖论提供了一种新的证伪理论的手段。在一个科学理论中发现了悖论,并不一定就立即证伪了该理论,因为理论有一定柔性或弹性,它可以提出辅助性假说以限制或消除悖论;甚至可以暂时视悖论而不见,把悖论暂时搁置起来,留待今后去解决。然而,无论如何,悖论就是悖论,人们不可能永远不正视它,研究它:讨论悖论是怎样产生的,如何消除悖论等问题。因此,悖论正是科学问题的生长点。消除悖论的过程常常是完善、发展原有理论的过程。贝克莱悖论曾严重威胁着牛顿和莱布尼兹创立的微积分的真理性(仅指内真理),但最终并没有证伪微积分理论,相反却经柯西、魏尔斯特拉斯、戴德金的研究工作,导致了微积分理论的进一步发展。双生子悖论曾对爱因斯坦的狭义相对论形成有力的挑战,但后来终被解决,同时丰富和发展了爱因斯坦的相对论。
3 j) d' d* k- {6 c 当一个理论出现悖论时,其真理性(内真理)就遭到怀疑,而当这一理论在科学大厦中处于重要地位时,就会导致科学危机。数学史上的三次危机都是由悖论而引发的。伴随悖论的解决,还常常产生新理论;当重大理论诞生时,就预示着科学革命就要到来。1905年,爱因斯坦创立了狭义相对论,并由此掀起了一场物理学革命,影响波及整个科学界,乃至哲学界(时空观)和经济领域(相对论牌香烟)。1935年,爱因斯坦、波多尔斯基 (B. Podolsky)和罗森 (N. Rosen)又提出了EPR悖论,其意思是指出量子力学不完备或者量子力学不具备内在相容性。由此,导致爱因斯坦与波尔等人的长达几十年的争论,至今仍没有一个最终的结论(虽然哥本哈根学派略占上风)。有人预料,对EPR悖论的彻底解决将产生一场新的物理学革命。- n8 p. C1 w* z
以上种种科学历程不断地在验证着本文上一章提出的两个原理,否定自身同时意味着肯定自身,肯定自身必然走向否定自身。悖论不仅体现在科学内容上,而且体现在科学发展本身,科学发展本身就是以悖论的形态存在。而且可以合理预期未来,科学可能将面临根本性否定自身科学性的状况,这种状况的出现将同时直接引领科学进入一个全新的领域,在该领域中,科学不再是科学,但必然还是科学!) V [/ l& ?0 h d* U
从哲学上看,由于悖论根源于主客观之间的矛盾和认识对象本身所固有的矛盾,因此要想彻底消除悖论是不可能的;换言之,悖论的产生具有某种必然性。因此,对悖论产生的根源的探讨,实质上也就是对悖论产生的必然性的探讨。
) H( V; |0 {( A; E8 A, C1 k 从科学上看,1946年,爱因斯坦(A. Einstein)提出对一个理论的评价应注意内外两个方面,即内在的完备和外部的证实。内在的完备要求该理论系统具备简单性、相容性和完备性—即逻辑的自洽性;外部的证实则要求具备对应的手段以检验相关的理论。然而,哥德尔于1931年却已经提出不完备性定理,也指出了悖论产生的必然性。哥德尔定律是说,对于一个包含自然数的形式系统,如果是相容的,则是不完备的,而且其相容性不可能在该系统内部得到证明。该定理证明,任何复杂到一定程度的理论,如果是完备的,则是不相容的;如果是相容的,则是不完备的,而且其相容性不可能在该理论内部得到证明。即是说:任何复杂到一定程度的科学理论无法证明自己不包含悖论;虽然人们现在可能还没有发现它。
! E H; Z8 j' k* O; V" N 这也就是说,任何科学理论本质上都只是暂时肯定自己,其内在隐含着悖论的天然基因,当理论发展到特定阶段,悖论就会显现,使得该理论在否定自身的同时又继续肯定自身,演化为新的覆盖事物领域更全面的理论。
X- N8 ^& V! K! ?! n 由此,就带来这样一个问题,即现代整个科学体系的发展是否可能出现这样一种悖论,根本性地挑战科学体系的存在基础,也即科学的发展自身挑战自身存在的科学性呢?如果我们信赖存在着宇宙普遍运作规则,并且可由以上两个原理得到体现,那必然意味着,我们现代科学体系的存在前提本身已经隐含可以否定自己的悖论,这个悖论在之前都被有意无意的忽视过去,使得科学有足够的空间丰富自身,然而,悖论就是悖论,其才是宇宙的真实面目,当现代科学发展到达到足够高的水平,这个悖论就会自然显现,引领科学进入全新的阶段。问题是,我们现在到达这个转换点了吗?这需要我们回顾科学悖论的发展过程,然后回过头来审视现在科学所面临的最新悖论,思考这个悖论是否足以或者说必须推翻整个科学体系,以求得新的发展。
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6 D O# z& |) v+ l2 V3 r/ j9 g 第七章 悖论(二)7 a i% G a% D! h' x
3 f- J* ?# e+ f! ~7 [( q5 E 数学史上的三次危机都是由悖论而引发的。第一次数学危机是由希帕索斯悖论引发的。希帕索斯悖论的提出与勾股定理的发现密切相关。因此,我们从勾股定理谈起。勾股定理是欧氏几何中最著名的定理之一。天文学家开普勒曾称其为欧氏几何两颗璀璨的明珠之一。它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用,同时也是人类最早认识到的平面几何定理之一。在我国,最早的一部天文数学著作《周髀算经》中就已有了关于这一定理的初步认识。不过,在我国对于勾股定理的证明却是较迟的事情。一直到三国时期的赵爽才用面积割补给出它的第一种证明。
. U, |/ ^( @: i" U! K8 q' Y 在国外,最早给出这一定理证明的是古希腊的毕达哥拉斯。因而国外一般称之为“毕达哥拉斯定理”。并且据说毕达哥拉斯在完成这一定理证明后欣喜若狂,而杀牛百只以示庆贺。因此这一定理还又获得了一个带神秘色彩的称号:“百牛定理”。 毕达哥拉斯是公元前五世纪古希腊的著名数学家与哲学家。他曾创立了一个合政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别:毕达哥拉斯学派。由毕达哥拉斯提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石。而“一切数均可表成整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰。然而,具有戏剧性的是由毕达哥拉斯建立的毕达哥拉斯定理却成了毕达哥拉斯学派数学信仰的“掘墓人”。毕达哥拉斯定理提出后,其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题:边长为1的正方形其对角线长度是多少呢?他发现这一长度既不能用整数,也不能用分数表示,而只能用一个新数来表示。希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2 的诞生。小小√2的出现,却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰,使毕达哥拉斯学派为之大为恐慌。实际上,这一伟大发现不但是对毕达哥拉斯学派的致命打击。对于当时所有古希腊人的观念这都是一个极大的冲击。这一结论的悖论性表现在它与常识的冲突上:任何量,在任何精确度的范围内都可以表示成有理数。这不但在希腊当时是人们普遍接受的信仰,就是在今天,测量技术已经高度发展时,这个断言也毫无例外是正确的!可是为我们的经验所确信的,完全符合常识的论断居然被小小的√2的存在而推翻了!这应该是多么违反常识,多么荒谬的事!它简直把以前所知道的事情根本推翻了。更糟糕的是,面对这一荒谬人们竟然毫无办法。这就在当时直接导致了人们认识上的危机,从而导致了西方数学史上一场大的风波,史称“第一次数学危机”。
6 n+ u* P( [' }9 ~+ A8 I0 V7 T 二百年后,大约在公元前370年,才华横溢的欧多克索斯建立起一套完整的比例论。他本人的著作已失传,他的成果被保存在欧几里德《几何原本》一书第五篇中。欧多克索斯的巧妙方法可以避开无理数这一“逻辑上的丑闻”,并保留住与之相关的一些结论,从而解决了由无理数出现而引起的数学危机。但欧多克索斯的解决方式,是借助几何方法,通过避免直接出现无理数而实现的。这就生硬地把数和量肢解开来。在这种解决方案下,对无理数的使用只有在几何中是允许的,合法的,在代数中就是非法的,不合逻辑的。或者说无理数只被当作是附在几何量上的单纯符号,而不被当作真正的数。一直到18世纪,当数学家证明了基本常数如圆周率是无理数时,拥护无理数存在的人才多起来。到十九世纪下半叶,现在意义上的实数理论建立起来后,无理数本质被彻底搞清,无理数在数学园地中才真正扎下了根。无理数在数学中合法地位的确立,一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数,另一方面也真正彻底、圆满地解决了第一次数学危机。
. K+ e% b$ B; }7 q( C. ` 第二次数学危机导源于微积分工具的使用。伴随着人们科学理论与实践认识的提高,十七世纪几乎在同一时期,微积分这一锐利无比的数学工具为牛顿、莱布尼兹各自独立发现。这一工具一问世,就显示出它的非凡威力。许许多多疑难问题运用这一工具后变得易如翻掌。但是不管是牛顿,还是莱布尼兹所创立的微积分理论都是不严格的。两人的理论都建立在无穷小分析之上,但他们对作为基本概念的无穷小量的理解与运用却是混乱的。因而,从微积分诞生时就遭到了一些人的反对与攻击。其中攻击最猛烈的是英国大主教贝克莱。
, P5 z2 `7 u# Q 1734年,贝克莱以“渺小的哲学家”之名出版了一本标题很长的书《分析学家;或一篇致一位不信神数学家的论文,其中审查一下近代分析学的对象、原则及论断是不是比宗教的神秘、信仰的要点有更清晰的表达,或更明显的推理》。在这本书中,贝克莱对牛顿的理论进行了攻击。例如他指责牛顿,为计算比如说 x2的导数,先将 x 取一个不为0的增量 Δx ,由 (x + Δx)2 - x2 ,得到 2xΔx + (Δx2) ,后再被 Δx 除,得到 2x + Δx ,最后突然令 Δx = 0 ,求得导数为 2x 。这是“依靠双重错误得到了不科学却正确的结果”。因为无穷小量在牛顿的理论中一会儿说是零,一会儿又说不是零。因此,贝克莱嘲笑无穷小量是“已死量的幽灵”。贝克莱的攻击虽说出自维护神学的目的,但却真正抓住了牛顿理论中的缺陷,是切中要害的。( c+ r/ d, E6 I: L3 h$ \+ N/ A
数学史上把贝克莱的问题称之为“贝克莱悖论”。笼统地说,贝克莱悖论可以表述为“无穷小量究竟是否为0”的问题:就无穷小量在当时实际应用而言,它必须既是0,又不是0。但从形式逻辑而言,这无疑是一个矛盾。这一问题的提出在当时的数学界引起了一定的混乱,由此导致了第二次数学危机的产生。
. m7 h7 j1 z9 N7 `* ] 针对贝克莱的攻击,牛顿与莱布尼兹都曾试图通过完善自己的理论来解决,但都没有获得完全成功。这使数学家们陷入了尴尬境地。一方面微积分在应用中大获成功,另一方面其自身却存在着逻辑矛盾,即贝克莱悖论。这种情况下对微积分的取舍上到底何去何从呢?
. N. F$ y P4 y }/ X “向前进,向前进,你就会获得信念!”达朗贝尔吹起奋勇向前的号角,在此号角的鼓舞下,十八世纪的数学家们开始不顾基础的不严格,论证的不严密,而是更多依赖于直观去开创新的数学领地。于是一套套新方法、新结论以及新分支纷纷涌现出来。经过一个多世纪的漫漫征程,几代数学家,包括达朗贝尔、拉格朗日、贝努力家族、拉普拉斯以及集众家之大成的欧拉等人的努力,数量惊人前所未有的处女地被开垦出来,微积分理论获得了空前丰富。18世纪有时甚至被称为“分析的世纪”。然而,与此同时十八世纪粗糙的,不严密的工作也导致谬误越来越多的局面,不谐和音的刺耳开始震动了数学家们的神经。下面仅举一无穷级数为例。
+ u' k& g! I/ [& G/ v) ^2 D 无穷级数S=1-1+1-1+1………到底等于什么?% A( ~! b5 {6 Z
当时人们认为一方面S=(1-1)+(1-1)+………=0;另一方面,S=1+(1-1)+(1-1)+………=1,那么岂非0=1?这一矛盾竟使傅立叶那样的数学家困惑不解,甚至连被后人称之为数学家之英雄的欧拉在此也犯下难以饶恕的错误。他在得到9 T# h) J7 ~8 ?) j8 I% S
1 + x + x2 + x3 + ..... = 1/(1- x)后,令 x = -1,得出S=1-1+1-1+1………=1/2!- f# r: X5 E7 `
由此一例,即不难看出当时数学中出现的混乱局面了。问题的严重性在于当时分析中任何一个比较细致的问题,如级数、积分的收敛性、微分积分的换序、高阶微分的使用以及微分方程解的存在性……都几乎无人过问。尤其到十九世纪初,傅立叶理论直接导致了数学逻辑基础问题的彻底暴露。这样,消除不谐和音,把分析重新建立在逻辑基础之上就成为数学家们迫在眉睫的任务。到十九世纪,批判、系统化和严密论证的必要时期降临了。
$ ?( X. g1 R& u: P, j$ [$ c4 e5 K 使分析基础严密化的工作由法国著名数学家柯西迈出了第一大步。柯西于1821年开始出版了几本具有划时代意义的书与论文。其中给出了分析学一系列基本概念的严格定义。如他开始用不等式来刻画极限,使无穷的运算化为一系列不等式的推导。这就是所谓极限概念的“算术化”。后来,德国数学家魏尔斯特拉斯给出更为完善的我们目前所使用的“ε-δ ”方法。另外,在柯西的努力下,连续、导数、微分、积分、无穷级数的和等概念也建立在了较坚实的基础上。不过,在当时情况下,由于实数的严格理论未建立起来,所以柯西的极限理论还不可能完善。" b N( n1 O, [: M0 f& |# g
柯西之后,魏尔斯特拉斯、戴德金、康托尔各自经过自己独立深入的研究,都将分析基础归结为实数理论,并于七十年代各自建立了自己完整的实数体系。魏尔斯特拉斯的理论可归结为递增有界数列极限存在原理;戴德金建立了有名的戴德金分割;康托尔提出用有理“基本序列”来定义无理数。1892年,另一个数学家创用“区间套原理”来建立实数理论。由此,沿柯西开辟的道路,建立起来的严谨的极限理论与实数理论,完成了分析学的逻辑奠基工作。数学分析的无矛盾性问题归纳为实数论的无矛盾性,从而使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建在了牢固可靠的基础之上。重建微积分学基础,这项重要而困难的工作就这样经过许多杰出学者的努力而胜利完成了。微积分学坚实牢固基础的建立,结束了数学中暂时的混乱局面,同时也宣布了第二次数学危机的彻底解决。
+ g; V7 A8 a8 s3 p: H+ | 十九世纪下半叶,康托尔创立了著名的集合论,在集合论刚产生时,曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了,并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现,从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。1900年,国际数学家大会上,法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称:“………借助集合论概念,我们可以建造整个数学大厦……今天,我们可以说绝对的严格性已经达到了……”) B" L% p8 m1 i9 j9 l8 `
可是,好景不长。1903年,一个震惊数学界的消息传出:集合论是有漏洞的!这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。7 p4 W" a0 S4 ?
罗素构造了一个集合S:S由一切不是自身元素的集合所组成。然后罗素问:S是否属于S呢?根据排中律,一个元素或者属于某个集合,或者不属于某个集合。因此,对于一个给定的集合,问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S,根据S的定义,S就不属于S;反之,如果S不属于S,同样根据定义,S就属于S。无论如何都是矛盾的。
/ \$ O! L; Y+ \; w& M 其实,在罗素之前集合论中就已经发现了悖论。如1897年,布拉利和福尔蒂提出了最大序数悖论。1899年,康托尔自己发现了最大基数悖论。但是,由于这两个悖论都涉及集合中的许多复杂理论,所以只是在数学界揭起了一点小涟漪,未能引起大的注意。罗素悖论则不同。它非常浅显易懂,而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以,罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。如G.弗雷格在收到罗素介绍这一悖论的信后伤心地说:“一个科学家所遇到的最不合心意的事莫过于是在他的工作即将结束时,其基础崩溃了。罗素先生的一封信正好把我置于这个境地。”戴德金也因此推迟了他的《什么是数的本质和作用》一文的再版。可以说,这一悖论就象在平静的数学水面上投下了一块巨石,而它所引起的巨大反响则导致了第三次数学危机。- r: T0 o0 X c7 M
危机产生后,数学家纷纷提出自己的解决方案。人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造,通过对集合定义加以限制来排除悖论,这就需要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄,以保证排除一切矛盾;另一方面又必须充分广阔,使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”1908年,策梅罗在自已这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系,后来经其他数学家改进,称为ZF系统。这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。除ZF系统外,集合论的公理系统还有多种,如诺伊曼等人提出的NBG系统等。公理化集合系统的建立,成功排除了集合论中出现的悖论,从而比较圆满地解决了第三次数学危机。但在另一方面,罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前,导致了数学家对数学基础的研究。而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。如围绕着数学基础之争,形成了现代数学史上著名的三大数学流派,而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。$ l' u6 |+ f' y* D8 R3 I
以上简单介绍了数学史上由于数学悖论而导致的三次数学危机与度过,从中我们不难看到数学悖论在推动数学发展中的巨大作用。有人说:“提出问题就是解决问题的一半”,而数学悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。它对数学家说:“解决我,不然我将吞掉你的体系!”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样:“必须承认,在这些悖论面前,我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。人们试想:在数学这个号称可靠性和真理性的模范里,每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。如果甚至于数学思考也失灵的话,那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢?”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。而在解决悖论的过程中,各种理论应运而生了:第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生;第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立;第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。数学由此获得了蓬勃发展,这或许就是数学悖论重要意义之所在吧。, n3 D+ q7 ?2 f. V( e% _1 o
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