出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
1 |3 R) t! ~% N/ n
; u( t- g: O& F9 q4 Q  ]2。下边证明有没有毛病？
" `% N% J! w3 K$ `5 i, @
设  a=b
! v: D' O/ H6 v# C
/ j# b/ B! O; _: h5 c则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
* R* e' G* g2 v  x" p1 u1 `  W
0 O) \) s2 u, F/ A0 Xa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
' j* V  L* y: c% K$ U. D* Oa=2a
1=2

4 \1 _4 i0 O. Z9 q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
; f. K6 c$ V& v  k  J) F
& v# I* `, \% F0 t; i% p. G( N1 I1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 ^5 @$ Z% b/ `6 S% x! g) q2 ^2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 q) m) Z. C+ Y8 x  n1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

4 H- s* Z2 r" Q看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& T- q6 D& k, f$ [8 y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 s3 G$ ^4 N4 Q' H. _9 ^; A

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

! B( q$ v: w0 `* k7 t/ rProof:
/ ]- W6 f+ z, g- E; P7 W  XLet n >1 be an integer
* ]/ a6 E4 P% o( P" IBasis:   (n=2)
3 {6 g5 e0 W* n5 V+ U  k         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 l* U2 c: Z: _( R                                     K^3 – K can by divided by 3.
  j! |; v9 o. }1 q; r5 a; v
1 P/ D; c& X* E% I& ~0 h( j7 ?Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
% ^% Z9 D2 d9 qThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
! |& s" u4 m( L                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; s# ^9 t! H3 `8 ^" u2 ]                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

5 ^$ g+ Z! o( _- v! |( cConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
* B% {" c9 t' Z5 j6 t
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 }  y7 j( ^7 b$ y. d, ~( }
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
$ R$ `7 O' w6 K2 q$ I+ ~Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.