出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
2 T7 `' L6 h) |7 F1 I' t
. |9 ^) v9 D! b1 [7 c- v4 W& b2。下边证明有没有毛病？
: {. r- b8 Y2 A7 X1 Q& X
9 y) r1 |3 @' G0 Z2 I% m设  a=b
" U. c+ x$ c7 E. C
; n% U0 c! I0 }; f! S/ O2 i则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
+ O+ ]" V. C6 o; y8 Q9 K7 n
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
2 b* p$ D8 K: p6 I" ^a=2a
" H  B+ D: Y) A6 F: Z; O' u1=2

. R, Z2 A4 B. I8 d证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

4 `& ]0 Y* W- w1 E4 k7 G  J/ ^- b1）不能。比如1
9 K7 p& p( w: q" X2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# l; v; j# B1 ?. O1 i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

, k* \1 X9 Y" ~# U' V. s看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% c$ e0 W$ L  y, p  K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  P4 G+ \7 r5 Q% C

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( L2 \# g! R  M
4 M3 a& n' `3 ?1 K+ U" q! l" c/ PProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
/ {* {9 U0 m' }* X& y                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ _) s( k7 V) Y: I! Y) D& Vsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& l& g9 O7 K, nThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
; a/ T% H5 Y6 k: Q7 ]3 }7 b                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
5 P, l: C9 C2 \% U                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
: I$ W! r" _- M1 G3 B$ Dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
& v* a3 O& s4 q4 |* e8 U1 k8 D+ ^                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
( W; G2 X! T# V1 ?4 J
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
' D" S( Y/ I3 n- F, A. d" \. ]: t
7 E: S- U4 M) G% z1 P9 Q第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* X* z7 \9 C) E* o) R: L$ X; M! cShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

! @6 Y! J* M0 v7 a9 aSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.