出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
8 `7 T! h( g2 J. _, N
( M, x9 P* ]+ ]  L设  a=b
/ O4 I8 u( m  K3 m. i; f5 u% F
9 v- K+ g2 w8 J- i则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
3 a0 q1 i1 T# t6 Z+ ?5 ?0 t  T
& O4 Q3 G* L- a& {( F8 Ca(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

! \* y$ @% w+ I' [) a+ @1）不能。比如1
$ l* t' j; A% I8 H2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 d# m/ F0 a3 m' B- B/ I# T! {/ e' v+ T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. \# j% W: n1 Z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ o' t5 P+ a6 e# I& |" G1 {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

) d: \) f1 A' U& w4 I; f* g7 @为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
8 i" X7 G/ @/ RBasis:   (n=2)
4 O7 H) n. H8 e9 r6 E, w8 U         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

! S! p! S  v9 h# qInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; h0 H1 u; C1 x. a6 ?1 P0 K
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
6 S  Y5 N% N; q8 O) i& isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
7 k2 i. e2 O. I                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
+ a# E9 z8 l$ L. F: V5 g' J% `by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
. J+ Q6 T: L/ ~6 I- w4 A' Q( A0 t9 f! gSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

2 S- }. H% \6 A  f7 H[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

) B$ d- s) j6 z. A0 [; t3 a% e
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.