出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
- U* w5 X/ i: R
2。下边证明有没有毛病？

7 ~! ~$ k5 O( l' M. D设  a=b
) \5 |7 E* b# U& \1 ]9 E
6 f. h" X2 {" Y( j则有： a*a-a*b=a*a-b*b
$ m0 z6 g3 ^% F8 j# e1 Z0 t两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
7 c3 Z" n" W- @a=a+b
8 {/ A2 G, r' t7 f. ?a=2a
* O' `# ^" ]+ h  a1=2

/ ^/ b* `; j/ C证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ n/ s6 a: F! B  q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 U( q( G8 D+ H- _1 i

3 Y' n8 N* X4 N/ \8 L0 V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

$ v& N9 h5 L0 }7 LProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
2 X6 v$ O4 _! A2 M         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' A3 Z8 E2 u9 n6 X, ]7 `: W7 d! X
& K& x8 S' X* _Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
, x0 U& v/ `8 U- `( t  t# S/ D# x
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
* j3 R3 b( Q# `0 d                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
8 D/ G0 ]1 S) N" d                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
( O1 V* e& @$ {( z; q4 ^                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 Q% F* a! o; R7 H$ f9 u  _/ Eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
, H5 f$ Z) O2 Y% V2 P, ySo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
8 H) ~- z; |: D( n8 h; GShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.