出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
0 |% e4 K/ w( d
2。下边证明有没有毛病？

- W5 b1 r! i4 N7 d* k" L# Z设  a=b

1 y6 i$ a- K9 Z5 ^# V% F则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
& r' j: c: J4 ya=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# r* u4 |7 n+ {/ t  [
1）不能。比如1
; V2 w) S& K* T3 z7 N4 l  J5 i* y% g2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

6 l: E# O6 N' X" B8 t9 D  X, _/ T为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 _) ?+ B* Y0 f% p8 l$ [
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
0 c& h5 S& U0 c/ S8 ?6 @- U8 {3 r, m
: q0 |# U9 ?6 a" S+ n: TInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
5 X2 I, r3 V% E                                     K^3 – K can by divided by 3.

" t$ E* g$ B6 V1 [Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
) W5 H& ?* x3 r  Q3 e- n0 M; |9 @4 ^Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 ]1 e0 o# D( f7 Qby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
9 b) c* {4 j! F
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
& R: x& B, Y# g( ^
8 H7 k# s4 T5 l6 L8 k$ ?4 ?! s% k[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

- x! z9 U* e! b* G& d, D第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& M, j( u) `$ u/ S0 l: H7 eShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 i) ^- p, x7 Z" m& G
& ?7 b( n+ B9 ?* }( Z/ r- pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.