出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2 l7 _! V9 ]+ y2 f/ v) U. P0 L2。下边证明有没有毛病？
( I% S1 l) n3 w1 u
2 F/ h. I  i5 b) O9 a设  a=b
, L& @6 E$ l4 m. ?: s5 n+ t
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

9 q$ o" M3 c& }& ?a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
7 }; E1 k5 Y1 Z1 m7 c, [! Ra=2a
" c. q; U/ u8 c7 z2 u$ r1=2
# R1 w7 Z4 h1 T, r  A& [( U) @  z
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
( h$ w$ z9 |; Y. W2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
  _% p9 E  S9 d4 i8 _1 T2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

* N$ M# |, j" _; b3 N7 k  b看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 N& v+ U' f& s. C1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  n" y. |$ ^+ F4 G' {: a0 X为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 M( l  `" v1 q6 f1 c5 w
Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 _) R1 @! `4 b, L7 ^9 j
1 f, h" \3 y0 bInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
$ b; @& k& F  O7 jThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 }2 Y- Q+ G& m0 P6 }( ^3 }                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
! o7 }2 H8 D$ H0 Y0 z! D1 [by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 n  l/ p: y# v: uSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 F& s. I8 L5 e9 @  ]  u) i, K                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
# s2 r2 G. i& ^. j
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
# t: I5 G+ `- X7 J9 l/ y' U2 ]
$ Z$ X) k) B1 ^  U) `[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
- j) J7 V& _1 g' t7 w7 r8 X# y  ?$ L
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 `9 l6 Y3 s7 |! M7 K7 ZShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

' H7 U3 c4 p% V( Y9 K* E7 t: E& c- a' h
3 H' N' d8 T$ A  r9 S: v) p& {SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.