出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

( k0 m( i& s( B" [1 E2。下边证明有没有毛病？
4 ?& i5 W, S4 |" t/ p5 Q
7 d7 b. }4 q( Q" e7 i% M( A. y设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 m& R) u& |5 c两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

2 L6 ^6 i& }5 ]3 P7 Pa(a-b)=(a+b)(a-b)
9 V9 u- I9 D" {* `# f! j# ta=a+b
a=2a
1=2
# o) |. M; }5 U$ v: _
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 f) [" I: z; t- Z# S2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
- y4 X% ?+ w& x2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
" r* ]5 T3 l% P: m' T0 Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

$ u# c6 P4 R2 ?5 L为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

$ s2 r1 w$ y# k) x- mProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
" R3 F9 B7 |/ ]- i+ I         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
' [; u/ w8 x+ @
, M: @5 z" ]5 j0 h/ O0 f/ mInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
  \. [4 I4 m8 u  S  K                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
2 x$ |- j& s; D( o! Msince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
. V1 v% c& j. \/ D2 ?                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
/ k9 p! i/ Z) h( ~$ Y# f                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
) ?7 F, {- g' X9 @. ^0 XSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 f, x* r6 G; G* d3 E                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; A; \* z- [* K$ T) [2 L% z
/ h! A% g. A3 V# M% [( g1 x2 Z+ Y[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

. k% }: i) `1 d5 r4 [第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* o9 ^( [. F& s3 M3 `Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

- \  ~/ }) \' D
: F% f* E, }, C' l# f  n' |& o' p- rSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.