出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

& A+ A. ~  I& ?* Z4 X  l2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

* U' c$ Q5 g0 g  J# p则有： a*a-a*b=a*a-b*b
5 X1 z3 R. y$ x, ^  S7 H4 E1 P两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
$ Q- {3 u% z7 \
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
% T/ x( V- _7 p- L% k! J1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

" z# s( F4 r+ F3 e- T/ |1）不能。比如1
$ H# t$ S+ |( U  P% f5 v, i2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% P; j8 E  [* m3 m! w. D1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  x, ?& a' r! ?1 I为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
3 Q; F! _# T3 M5 i' D0 t/ O
9 g9 k3 K6 x# I5 i/ xProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
1 S3 X, f4 q+ s         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 c- U# W" D9 Q$ {. Y* q& f
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: a+ D5 A! }& H! l! l; ~2 l6 ]  g% Isince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
3 H4 I: ]/ x% A8 k' t$ E                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 ^- _. i! I( e6 g0 `                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
* \) H5 u) Y: l  ?' ~* q! N' e                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
9 U9 U; A  B$ F0 J! _( ~. v# d                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

4 z  w& V# Y3 ^2 ]* Q( xConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 q6 H; l1 _# r: \( N' N. pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.