出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

, z1 {, c! Y. e+ T2。下边证明有没有毛病？

3 H3 B4 A, y* M! K( ^7 H设  a=b
$ N: J3 a$ A5 z$ b
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
+ K5 t2 O: {* N* E0 X- i2 a两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

! ]& u; L4 W# h: `a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
4 Y( W" C5 g. I! m7 v, B; [$ q
* o) k0 F$ @8 Z' b. I1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; V+ a$ h- d2 Z7 ]3 x. h6 o5 T1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. Y! d: N' ?  N! V5 @

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

* a' W+ j7 H: [2 V4 G" @Proof:
) m3 Z6 X: T( ?" E& H* QLet n >1 be an integer
% J) X* V' w: i9 ?Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

9 g7 @3 u4 R2 [: C$ u0 fInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
/ }% P; V4 n/ I: j( G8 V6 w/ q6 |' e
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
% E, S- g  x+ r8 dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
$ V2 j% D* A6 X3 T+ V0 H  O0 _                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
5 ^- c: z: ]) K4 x" j. _9 E                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
7 l' Z( Q7 N! E2 Fby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: f$ b# u: i1 i2 K4 w. P& wSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ I& a! w8 N$ k% {. Z3 M                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
5 Z& M3 L- g4 ~- q# i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

3 g$ \2 n+ _' }4 ][ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
( k( h+ n6 z- }' o$ \
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 u: b) R5 a! s2 L+ @" U
" \  G) Y& S& `' R; G; pSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.