出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
7 i) t: m5 K5 B4 [' R0 m/ P/ A: c6 j8 Y
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
$ \$ `1 H- z/ N1 Q
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, R9 m4 Q5 |4 @" E8 @3 ?1 f1 R
! E& f+ F( ?+ D: [+ q$ x! ^a(a-b)=(a+b)(a-b)
  f+ _3 `+ c0 J. t* [a=a+b
a=2a
* c/ S( h- V& m* y( J$ E1=2

3 r, q# U4 Z7 j3 a$ T/ e证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 e0 t) s$ o) T3 `0 D+ o
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# u+ Y/ [- N& C; f) K1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, X" ~) G, Q9 O! b3 Y; y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ i! E* z, y; ^1 B1 N1 @# B" o看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
% [2 w4 O+ u* P4 H# I1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, U, @4 C) B. b& E+ }4 X# J( D

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

- ~& @3 o+ y0 A- W9 O3 V$ E! EProof:
) L/ F' Q5 u! }. h! \Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, U% Q- ^; u$ C5 g+ p
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
8 i$ q* ~! D3 x6 E                                     K^3 – K can by divided by 3.
3 _+ n* S4 T2 o7 I5 g+ Q" Y
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; ~  w0 t8 x& B, T9 csince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
$ e/ g+ @; D, r/ L1 w! p                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
) T; D" Z8 v. r6 n5 N5 A. i                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

0 Y0 {% A) H6 }1 I& X( VConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
5 d; o% O1 p* i0 a0 B7 B- i
0 F' D6 p# o3 o) r[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 K4 n+ n8 X# J8 W! z) U
8 t+ I3 X6 J  [' l8 J/ B" G7 U第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
4 E+ F; [6 E& Y  s, C7 bShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

$ @* H, Q" a/ \
5 b" M* t) k% P% ^9 r1 B3 [) ZSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.