出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
2 ]0 ~, t9 L+ S7 N
+ h0 x0 v5 Y, Z0 b* Y+ G( p( s2。下边证明有没有毛病？

- k4 P1 w( {4 `6 P4 ?* _2 I- y# i设  a=b
6 J: Q. ~. Z, a% L
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
, p" D& t7 [# d8 Y. a两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
. ~2 j7 m6 B3 \a=2a
4 Q5 i0 ]0 L! r" R' k1=2

4 K4 m* O4 ~; ?+ s证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

% C  k2 u! e! X1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 [  Y' Z) c% e6 L3 j! ^2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

5 y$ e! P) G2 [* U看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 A6 f! p# x# D6 m, u4 }. Y7 u7 o1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. t" V$ g* b2 t1 o& ?% C

, ~5 \9 w* @2 |) h0 t) k) |为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

0 d! F9 C  y/ v! Z! H1 `% O2 ]Proof:
Let n >1 be an integer
5 K! ]  f8 G" kBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
- N/ d  g/ h1 v8 f) p6 M/ S% @5 ~
2 r( ~! J0 ?, eNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
9 @. M  \2 |1 ]  q. G- F% O: ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) [& c3 @6 ^' ^7 Z& |3 c/ d                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# l# y. d0 p% e                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
2 Q5 K: P3 ]; m. \- M                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% F' t8 G8 B4 g' z( o8 USo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
2 K5 h. S9 `- L                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

0 F2 z+ i  `  z[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 [" z9 }- {4 W& c; G5 p2 z2 FSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.