出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
3 A8 u3 d, }, ~# X; V
2。下边证明有没有毛病？
1 H+ k0 X7 I. p
设  a=b

5 A& P% e4 k- c2 l' j; D3 r则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' `. R" X9 v1 M; K5 O3 Z2 a两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
& g, |$ g5 d; S7 J7 U" v" y1 ^4 Ja=a+b
! I- M9 u- e1 r- X( Ba=2a
1=2
9 B2 G/ c4 I$ @! I
7 B% k1 Y5 J- z/ r2 X4 o  e证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 n  B, l5 x# C+ Y2 ]1 j* B: V看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
' v; r! X: a' A         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

! q; o. |' m. w: ~; G) _- a3 aInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 _6 l& k/ A  b& h
6 y" F0 y, _* B/ `+ J1 n% n& ]Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
5 n- `* {. u+ P2 ^# esince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 x& m3 H7 ^! J" `+ q8 p6 J3 PSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 Y% N+ V. T8 D; [/ K                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
7 |: X; ]8 r) z6 W8 a- `& I, Y
' c/ A  h: Q3 y3 n, X! Q1 JConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

- d  h: }8 M# N[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 I" ^5 `$ D- A! m, e( C" _  V
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 u. d) ^* A; F( w, |Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

1 \2 T4 f  u. _! ?
4 m2 K5 J' h4 L3 y3 WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.