出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
$ z: w  `- l6 X
1 Q3 V" H) M. c  r% A' z2。下边证明有没有毛病？
6 q2 m" u% o, p3 Q8 i
设  a=b
5 n) c( c0 }1 P
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
- _0 J, X' }0 r" H# x两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
1 K+ e7 c+ }2 }; Wa=a+b
5 B9 m% O' K  `a=2a
. Z2 E0 k( Q9 q1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

6 \* L: B3 S" b, g9 a1）不能。比如1
- L6 |) K* z0 l: d6 y1 p2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2 C3 m6 q* x0 q8 X1 \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; U9 i5 F) m! O9 @' e1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 w% h( N8 @$ R1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 _0 }" J% Y7 E$ S5 b9 d0 m. i" ?/ G

8 e( R5 }/ G2 x8 x# n4 w; r为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
+ C% y2 T3 P: s) k( E+ [Let n >1 be an integer
+ x/ Y6 G5 y3 S) J$ u1 D' y! h6 FBasis:   (n=2)
) v5 n( s/ }- g1 f# {9 x         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# e/ H' R. i) i
$ L: t8 \7 f6 ^( o! A/ UInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
& ~/ X( o; f3 p4 EThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
) }" F1 f% n; H# b& z  u6 H                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
9 j, c' M1 \0 w- o# Dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

* j9 `& Y3 [" I# x  n[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

7 W0 W8 x' m' i0 @3 ?; Q* D5 g% S
8 [3 L3 `# t& eSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.