出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ [8 |6 G. v; W7 G" |+ e4 W
( |5 F/ ]7 K1 _" x9 n2。下边证明有没有毛病？
6 ~0 e7 m: w! o/ k5 _  r
设  a=b
% \5 s# X. j# R3 W" K( G
6 @) V' R# z; q则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
4 Y9 C  r! T4 A7 w( h5 k; k; v
- l/ j+ e. i2 C0 wa(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
: x5 y( s' R& k7 z8 aa=2a
' U! ^" Y/ \9 e) q1=2
6 ~/ ?9 O; R! b$ W* e
% t$ f4 O8 H/ h4 A$ L* m/ Q证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

7 `! z0 \" v0 p5 ?1）不能。比如1
/ f. m6 I3 o+ J% j9 T2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' y# |* L1 w# z3 E2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ c5 q8 |( B6 q) d3 Q$ ]2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 L3 t) ]/ I# S2 Z3 o: i8 l看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

& Y# O8 E7 `5 EProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
6 d% i8 H. a" Z7 f4 W         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

* l7 f. q' ]2 H6 `6 LInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
9 x5 Y" N/ }# Y, O                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
9 \& T. u* E" V$ V8 c) H, a1 ?                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
( \7 {) j, s; w' Eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
+ \8 _+ D0 {/ x" nSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ z! [" |6 v9 d
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ d5 Z0 f# D- B" K1 Q: g/ R( S' {
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
* F( _& U5 p% A  X4 t9 s
" a# @) L: l) T% R) a* S4 b$ U第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
# D; ]" T: e( ]8 ]& DShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

( q& E5 B' A3 ~) K: U6 m( e" Z) w
6 h5 H2 @  N: [: u. f0 D* V. ySORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.