出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

/ @5 O9 x/ M/ o2 L2。下边证明有没有毛病？
& ?, a5 n! m0 n5 E& n( _8 ?; R
6 Y8 _  Y  l3 D9 D( W3 e- p设  a=b
# |: R2 o& Y) j1 M- A+ U8 [
5 _5 Z: h4 S. {/ C则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
7 Z, E3 W; _6 x" A# c
a(a-b)=(a+b)(a-b)
, Y' f! t& ~% _a=a+b
a=2a
1=2
: n. m8 t# u( M, {
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
' m) b7 h5 z- J* w% e4 T  X- E: G2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 M: p. g; V7 i  \" I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
, K$ Q3 B6 O0 I  z( R+ [* \2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# x/ r& E1 M( \' o2 s. v% w7 g+ fProof:
1 N! c' s' N# A" F' Z; i- zLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
6 u* U0 `2 r, X& D         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
# @' O+ O; T3 t( [# M& s4 A" `4 }6 a
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
; c, |) X$ [- j4 ]( X7 m
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) {7 M4 z* F" ]9 f9 U! Q9 @since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
1 g# f; _) x" D0 \                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
/ z) Z. _5 o; K& Vby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
5 P) |9 N& k+ z  z/ H& l& CSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. ]' B5 _% X/ _; A                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
+ A2 Q# v1 Z! A" M3 ~
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
0 _6 K3 X7 C" C% a, ^. @6 W# x
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
) e& q. t4 g( C5 n  iShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.