出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
; [% t0 m' f  C5 _( q6 M
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
( N/ D- Q2 y6 {
6 H* x' l7 A' r$ J. c则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
9 `4 T# K0 q) X) `a=a+b
a=2a
. [8 u$ h' d- {. P, W1=2
8 @( D/ [3 X7 c- M; x8 `5 y
6 v; G5 p+ j3 G8 T  b4 a: N证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
8 B4 O+ n$ h0 J
1）不能。比如1
3 z( T2 x4 }9 }2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 J: |6 \! M: w) S# R* Q2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
1 b- o" A3 {/ s' i' ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

3 J! f5 v5 k, s( X- v4 y看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
4 ^8 \- L. [  O- ?+ N2 ~1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

  h- h3 Q4 d! V为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

, i; d& u+ w" e: qProof:
. f. z* _" @( U0 NLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- k* P" d$ y" H: P/ `                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  B2 b, Y3 _4 H* k5 u% ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
4 ~& b* j, |7 ]$ B                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& g& o% T  l; wSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
$ s' |  c5 G4 |2 G0 T! H                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) n9 B1 p# f/ `$ g4 m# j
( Z" l/ x+ x& x0 g# ?! ]' LConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

' E; A7 B! n# l: \2 ~第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

0 q' [' n# M' K9 L4 F( WSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.