出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

8 e$ C+ Z5 R3 V7 o/ y2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

3 |2 w& g/ x% A则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
8 W! w* \+ ]+ ?) X
0 R- K5 d* w) S# Va(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
, k0 }2 d4 n6 E: M, va=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
0 B$ z0 L9 U' G5 O- \
- ^5 L& M. s) _6 ]* v1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) g* e8 x2 J0 D( x) Y: J# U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

; ]2 z8 U* n+ h! MProof:
$ G8 M1 `' |1 S$ l1 g  MLet n >1 be an integer
6 v$ `$ |  I0 O3 B! V; N0 h( kBasis:   (n=2)
: `$ N7 `$ B' P$ W6 U: z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

; n0 r; `% Q0 L8 n" i- LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ Y" R2 x  D& G/ H" `8 i* Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* I, t$ O- D5 g8 {: P% H                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, C  B. p$ L8 V                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& \7 S$ w+ a, ^- F, ~; @1 @9 U% aSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 E4 ^! q1 s% O7 ~                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

. W7 E" }& n8 n3 DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

. k8 C5 B1 m( P" O$ c( Y' q6 y" {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ _7 R5 n6 \& ~2 ]  B* p
* S: b- K7 o" ?' C% l4 c: y, o第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. ^- Q- f% \7 k$ L$ xSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.