出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
; ~. @7 I7 N" N; n
设  a=b

  t5 L9 X6 J7 C' s$ H则有： a*a-a*b=a*a-b*b
' ~/ ^+ D' z1 s% P/ m两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

  N8 l- R) s: C9 @8 e( ba(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
  ?: z; B6 n' {5 B' M8 D; n1 E
" i" V1 h2 z- q) w证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

  \  v" d1 {1 D5 p1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
& V% B0 s; k0 ?# ~2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- u' {' ~& u/ P# f1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
9 q) x8 {5 w1 J; I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

2 S! \4 y  |2 t看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# B: p) Y4 K) B  c! g+ U

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
( W" E+ M" T- c+ H# J  t         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
3 u$ q% z- }9 l
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
- [# G- J5 c$ Y/ r2 e; g& O6 jsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
! j) u6 K8 S/ v8 g$ h+ l5 B, e$ yThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
+ Q" M* f8 `( m! R4 i, d" D                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
" t/ G" v, M9 D$ J, yby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
8 F2 _- `( U+ p* _; h; W' d5 `So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 G/ x( @1 Z' T; E) ~1 R                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 D/ F3 c6 E; c7 U: H( y& z                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

0 u% N% O' p$ y! F4 {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
$ ~) }7 S9 J! a6 I9 C, C1 R. D
8 q9 H9 F! d2 A8 q: i- S2 \% o. B第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.