出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
* a. y/ t+ U7 i
0 i8 X4 m; C( P3 R$ y5 _4 ]2。下边证明有没有毛病？
$ S4 ]5 o% t5 l+ b; b! x8 A
: b- G3 U: ~( b2 m) a! U设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
" U9 a* r& ~* \+ K1 N0 s
& a/ F; w: ^' j4 h3 r$ F6 Ua(a-b)=(a+b)(a-b)
" {/ j- H% W; Q5 u' c4 y# ka=a+b
a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
0 G5 i7 ~8 t$ ~* f/ @2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
. u3 x" j9 b% p5 e6 ~. A1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 b  A& u# \+ \# L$ ~0 _2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 u- I* R" g0 F5 y8 {

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
( D/ L9 j4 u* Z' z5 j# mLet n >1 be an integer
4 S  ^7 i: u# K9 a/ {0 @9 M! oBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
) \' B! r0 E' M. f
& l) t( B" G0 t9 A9 m. ZInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
- `/ {# E9 d/ r7 d                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
/ g2 I( e6 X: s8 x9 Lsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
' D/ E  j9 g1 U  F" n1 a& CThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ ~4 d0 g4 u6 C  B$ n5 V, _9 B! c                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
" N/ [1 u: r. S, f                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& S8 n3 V$ f7 w+ g. NSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
; H9 j0 \1 B: @6 h8 [9 t                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 u( F1 O8 h% @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
3 M# K) B+ D% P, R
6 E7 Z5 X' r, C1 @* Q- I8 q[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

' C5 r# i. e' x% U. \, s第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
% ~9 a% {. q8 ^' l: ]! gShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

. P, |7 Y. F+ k* G, M1 b( P4 w
, o, i7 _; J% i$ N* Q; S) v6 i, _SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.