出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

8 V6 E6 c$ X: ~2 I( A2。下边证明有没有毛病？

. {4 V. n6 r/ `* W7 A1 Q8 J设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
& e; d  Y; k0 a
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
7 g2 G2 J; }& Z3 xa=2a
) v* j0 w0 ]* Q; v! i- d1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

: a" N  z/ C1 E1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
( x0 _3 I. X( _' I& m( Z2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
+ Q0 {+ R! W6 t- v( G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1 V2 Q' k# ?% \+ n: O) u0 k/ \1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

/ `# e$ r& n5 q$ Q8 x$ O* t9 p为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
" m# B/ h9 `3 m7 J2 t8 N
7 f, m! o3 p# s2 aNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
. |6 X. a' x( _9 k0 hsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  U5 S2 q7 B/ S2 @) [/ KThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
8 S4 r8 d. x4 H# }8 R                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
& m' b. z0 C0 P$ s                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
2 K% `) I0 d# {* kSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
5 o; d8 j! C: E  j& I
7 t0 R! a& x! pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
) h: {- L8 i1 n. l# y9 e
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
3 M* V* y5 j0 ~7 @& {2 B6 v% K
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

, A$ \# f: V) U5 Y
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.