出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ x* H* W7 ?' }! S( F
# M3 z3 e5 _9 ]) J$ }2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

1 o& E: p' b6 q# j4 z2 n则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
# [/ L. W% X$ m" ]+ t6 N1=2
& J4 Y" q4 p( |) b4 A0 K) z# `0 ^
; z" D" U* h6 P% L1 T8 o; v9 g证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
# d& C! h: }) O  w  X
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 r/ g" @  [+ t0 L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 J& a' t3 y4 A& V1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
6 O- @9 W9 p% e$ A3 z7 }2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

. H5 D$ U+ h; b- m7 y! J看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
8 l( y6 z' w5 R) n+ c4 V. r+ Y1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
/ o/ A' b0 w4 ^! T

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
) D' ?' P" W0 [0 e2 u) Z9 U; \Basis:   (n=2)
7 o, g. {, {" X6 B6 [         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

5 c. f! p6 |8 |: Y7 VInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

3 a! O' X% S% Y% v! ?: M7 B8 Q, C. ]Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
; o' X/ T6 R* n- M. Z+ m- e                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' E( g# `0 l8 [" kby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  b: c( a2 B" r( ^* c                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
* [" [1 {1 z2 x8 c, N: T                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
0 S$ n4 c  Z) N
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) ?8 M( ^. A$ U
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
& V( {/ p+ i! O3 FShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 V5 V) Z5 Z9 ]4 A6 s: E* u
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.