出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

, j1 l& Z, T5 @; l2 c$ Va(a-b)=(a+b)(a-b)
8 Q+ [& ]: z" Ya=a+b
a=2a
1=2

9 \7 r3 V2 W+ F9 w证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
9 p; V& ^6 q5 N) O& j3 p
1）不能。比如1
8 ?3 \6 r% d: \/ R. C2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
% }  W5 l2 P9 j. ?- m$ ^; y2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
# R  v" o8 o. ^( b& p7 ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! l" W$ Q1 T4 g

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

4 J( c5 K" j" Q. eProof:
Let n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
0 o: g5 s) m0 m         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! j* r: W7 w/ H2 A
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
' c( g( L3 Z$ T
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
2 m! W9 [+ u- \; W% W                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- s1 ~- i$ Z  w4 b/ Q                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
; t8 N6 D: @3 _6 A: r+ w6 a
( U7 m6 l& X5 |9 ^% _* q; pConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
- ?) v$ x1 y% @) A8 o1 k
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
7 B3 N" P0 k* A9 U9 `Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.