出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
+ Y" l$ ?. G) j2 o$ h- O
, w# S5 I$ R- K7 }8 x: D8 F3 _则有： a*a-a*b=a*a-b*b
0 v# X! u! Y$ I两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

- v, i$ W  {3 j& V) wa(a-b)=(a+b)(a-b)
0 V/ x  e5 U, ka=a+b
a=2a
0 a' j9 a$ @. I2 u- @1=2
3 A! j3 s& u1 A! m  m; l/ e
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
" T8 B% F) I8 e( u/ K
1）不能。比如1
) l1 N; w4 r1 s2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

0 ~& k' f* o2 i* A1 x, f为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
Let n >1 be an integer
' s+ |8 `3 U! r: kBasis:   (n=2)
( S6 q2 r% @8 f" F, q         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) ]  q, ]7 q; x; m  S% y                                     K^3 – K can by divided by 3.
4 |2 o6 o& Q" E: M* J0 P/ ^( J3 {' y  L- s
7 Q! {; V: ]' ^3 g' p0 Z8 sNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
) G% @& ~  [" a  Nsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
: h, k: n: ~6 l4 t                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
6 F0 J" n: `  r0 E) f  {$ eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
% h! K7 s" W9 o5 e1 hSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
1 y3 [2 }0 i: D) h, E7 r4 s& x1 x                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

/ T. m: s- n8 ]  x8 bConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ i+ ~3 U* b  ]5 G
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 M; g. P/ E* t/ V# g( j9 ^4 k
) m' c5 b- V4 V7 b- D$ `) T4 S第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

9 G; ?3 }* m6 `9 i6 c; \( `# b
" ]2 E. W% I  {$ g+ H$ w6 HSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.