出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
0 X5 J& Z. b% }5 x2 B
9 X) q- T$ ~' `& W- z- o' L$ V则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 s  Y: _) p6 p& w+ [两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
5 z2 G; f( W6 Ba=2a
2 y7 i, G' Z6 c4 @. X  G4 J' `1=2
) E6 a$ \* K" K8 {  J# F
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
2 Z2 Y4 y7 I- S# O0 D* O: F
9 }6 a$ o$ Q8 o( }1）不能。比如1
$ l: E0 ]6 H+ P. V8 S2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' \- K* U/ C. f5 P" \+ r2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 ?; t- }4 T! a- S1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. J# z2 [8 h# ~& @( s, Q) t2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! p8 Q- w8 @% C' p+ w看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
& G7 ]- V5 _5 \5 m/ n$ rLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

& P' V( }" G5 W, fInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
% t! V0 A' l$ j" J7 e) e                                     K^3 – K can by divided by 3.
1 ]* L" k, p) x6 ~! `: H' z/ Y
8 D' U, X& E+ Y1 P2 }9 O- N, YNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
7 o  _- j% D: r' P9 q9 A! Y! [                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' Y0 M7 _! E; N8 dby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
7 A8 p+ g; T' m7 H- DSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; w9 X1 Z+ [/ G* q) I7 |: H; x
- e3 T& f/ R5 D) [[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
) t( ]# E. G' V4 @8 w6 M5 e3 N4 C; S
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
9 M: S2 }* |  M" s" WShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.