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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?% O3 r, m! }6 h  Q3 [/ @

8 e$ C+ Z5 R3 V7 o/ y2。下边证明有没有毛病?! l4 d' Y8 O5 G3 I8 d3 g
8 Y6 Y2 |3 F3 |& f4 p. }
设  a=b! ]# u' k5 v! S6 a

3 |2 w& g/ x% A则有: a*a-a*b=a*a-b*b7 A$ e2 d) C1 F! v2 U
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
8 W! w* \+ ]+ ?) X
0 R- K5 d* w) S# Va(a-b)=(a+b)(a-b), ~* _  f2 I4 @' B3 i
a=a+b
, k0 }2 d4 n6 E: M, va=2a' S: |% b! ^. s6 L
1=2' A& H' ~& ~9 v: X
# x  n, }, L  Y5 Q: U
证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
0 B$ z0 L9 U' G5 O- \
- ^5 L& M. s) _6 ]* v1)不能。比如1% Q8 y2 _  t% I% M8 K
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 a1 k" \& S1 E+ Q. U
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:0 r; J( C- i) U" s0 ]$ X% M' O
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。& ^0 H0 i( @' q1 @
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
- F% V3 Z3 J5 E4 W/ o; K
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
) g* e8 x2 J0 D( x) Y: J# U1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。$ _; y* t' M# o- E( F
& |- W$ e: [0 m, S# r7 G
为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)+ y. |8 C4 @3 B' O" q

; ]2 z8 U* n+ h! MProof:
$ G8 M1 `' |1 S$ l1 g  MLet n >1 be an integer
6 v$ `$ |  I0 O3 B! V; N0 h( kBasis:   (n=2)
: `$ N7 `$ B' P$ W6 U: z         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 31 z  N$ Y" ~! \9 a
+ f) P0 x( v1 l
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that7 P* I& N' R0 [5 M4 M/ T
                                     K^3 – K can by divided by 3.4 A8 {  y& G& l

; n0 r; `% Q0 L8 n" i- LNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
+ Y" R2 x  D& G/ H" `8 i* Ysince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem4 s, S8 j' O' I
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)  N% J2 R5 Q" ~8 O" B+ M% P
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
* I, t$ O- D5 g8 {: P% H                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
, C  B. p$ L8 V                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)! [* G9 m2 ^3 W( r8 A
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
& \7 S$ w+ a, ^- F, ~; @1 @9 U% aSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
2 E4 ^! q1 s% O7 ~                                = 3X + 3 ( K^2 + K)1 {$ x( h* f; D. J8 G
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3: a' C! B2 u9 s" \

. W7 E" }& n8 n3 DConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.  n5 Q) L% N  G. y. Q- F

. k8 C5 B1 m( P" O$ c( Y' q6 y" {[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
/ _7 R5 n6 \& ~2 ]  B* p
* S: b- K7 o" ?' C% l4 c: y, o第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:! v& M" a' ~: |6 L1 t% h
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
$ r4 s4 U2 `5 b! Q1 [/ v

. ^- Q- f% \7 k$ L$ xSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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