出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

7 X( H' J$ c* x2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
: b2 T. f7 B) |$ a$ e两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：

a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
1=2
+ _1 j4 L/ K' c* S  I1 Z
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

9 I: `0 t  h  F6 D' j* v1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
8 @- Z1 p* U% t5 E. f, U2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
- H* n  v+ q4 F! A$ E0 P4 z; L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

% J* F& i, e5 B0 N1 l5 w- `看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, P, x7 z" y: l# d# V  @/ B3 ]1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
( I- G( Z, V7 S- \/ b
+ G/ }. J2 \/ k; CProof:
Let n >1 be an integer
4 w2 d& w/ {5 QBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
2 {9 [. Y; g4 B; E! P
3 p0 f! B5 q! sInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
: k; s0 W. ?* m                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
. G* r7 B# }: Y/ C' s( VThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
- G5 F) v3 W5 V3 \8 K                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
, t7 ~% b! _; Y9 h" Q3 ?                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
: |" _, F' y' h$ t! F# oSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

# F! \) o6 O# j& k) _1 l) n. `[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
" E, b+ m' k$ [Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

: G8 t4 @( H3 b' v: qSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.