出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

, k) B* i6 l9 C/ `, V+ q2。下边证明有没有毛病？
0 V) z. G! m7 i, n! k' T. S0 w
3 D# ^) @, h& F2 C4 F设  a=b
+ z/ Y  V2 _2 A3 y" X% K6 m0 b
8 [2 c6 i( ?3 z7 ~则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
0 s; i. n" {9 ^
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
" q- K+ _# s/ Y  {7 B4 ]0 D0 Sa=2a
- S# |! R7 h0 ?8 z! t1 ]1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
! O" x' a$ u7 E+ s5 e8 o: }8 Y& g: ]
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

! V7 ^6 o8 x" ^/ `' r3 N看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
5 e% m. @5 \, ^' X9 g% a. K1 `1 g

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
1 \9 q% x% `' P
Proof:
Let n >1 be an integer
4 T* ~5 v; L0 p9 M! F/ R! _6 YBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
, E, R0 w$ V5 j' G7 U, d+ l
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; M1 b3 v! l. ^% V8 D$ bsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
8 T8 ~) }; ?* o! ZThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
' `: [8 N0 u+ C9 gby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
  w7 y$ G- a$ O8 MSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
  g* i( v6 K2 m9 g( t/ W                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

2 R/ D: U; g2 [! M: m& dConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
2 b6 h- }4 ^7 w$ W: g2 r
0 q; P2 p2 Z6 |[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

, J8 f: t6 o1 Q0 ^: r第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.