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出两道中学数学题

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鲜花(5) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 07:58 | 显示全部楼层 |阅读模式
老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗?能否证明?5 U* c/ M3 }. ~4 k2 w  n. P

9 y4 a/ t: i; Y: U: ~2。下边证明有没有毛病?3 C& I/ o% ~/ @0 G7 h3 T$ Z
5 q" C  e9 i6 W
设  a=b
# U8 g6 I) u" h9 j
) n. w, t7 }7 g7 X; \$ Y! J2 T则有: a*a-a*b=a*a-b*b* O6 S$ O. K/ o' Y, n6 r
两边因式分解(左边提取公因式,右边平方差公式):
3 t" X( ]& L' }" q$ c+ ?  K& ]9 X1 k" }, l
a(a-b)=(a+b)(a-b)
; b* C$ \! r! l! U* M' m+ Y. ^% da=a+b
, ]8 ]( f. k: b7 `a=2a
/ g6 r6 Z9 A$ c# Z6 n1=2% }' Q' P" O) O/ Z3 g  t$ ]

: Z0 S+ A' M% T+ c' A. R证毕 ,结论,1=2
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 09:14 | 显示全部楼层
我幼儿园毕业啊(我劳工倒是初中毕业),不过闲着也闲着,我瞎猫试试
! u4 F8 P. W& O: A) F& {) X/ L3 d5 s% c% L/ z1 n$ V% k1 W1 l9 ~9 e
1)不能。比如1- z# q9 D) s: G% q, s+ m
2)a,b不能是0
鲜花(0) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 20:58 | 显示全部楼层

我来试试

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
6 @/ s5 n2 e" f7 G2 `$ n2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
鲜花(634) 鸡蛋(5)
发表于 2005-2-22 21:30 | 显示全部楼层
老杨团队 追求完美
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
3 C$ ?  r. w6 E1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。1 l& f& R, E7 {
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。
: u: L; ?  }& m& d$ E7 S" [
看!有高中毕业的!
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:16 | 显示全部楼层
Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:% p+ U, Q1 j7 x
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘,当然能被3 整除。
3 ~$ z4 z( h6 l" r& a5 ~, c

- F- ~) w; G9 G& |- a1 j6 N为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除
大型搬家
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-22 22:21 | 显示全部楼层

This can by done by Induction

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
8 W; j1 ]& P; s0 }& P# Q0 B: s& Y. M1 M; B1 @0 `2 I2 V
Proof:
2 D. u+ |+ e, j( |/ _Let n >1 be an integer
& d! c0 R& n- B( W0 D& q/ DBasis:   (n=2)
2 H* R; ~4 \/ T' u5 f3 C- z! _         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3# m, m& o+ b/ D$ m" s
; d' |% d9 P0 I+ L
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that$ b1 M8 k3 C( }, ]3 k3 m4 M5 t
                                     K^3 – K can by divided by 3.
# ~1 n* V) o  F7 b# U! R# p# @
" C" @- t. F: Y$ j5 w0 J* T, P6 N( iNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
3 |. W6 g( }' R: zsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
  ?) e9 b+ p% L, A4 @Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 a, |& A3 l5 b                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
: ]' W: V: E' i. ~' |7 @                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)$ u2 n  p; y7 }  d5 h4 X' r8 R
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)+ H8 _0 c! y! e  Z! C
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
6 i! Y0 M7 h8 y5 A! d6 x1 aSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)* w# W* ]6 z- T( X
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
; C: j! q, e& M+ M. P                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
2 O- w2 p9 b6 B# _7 @- M
; L8 I* x  ^/ ]; aConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
1 R- F3 a% n+ O$ F% X5 C, s0 a6 ~) H# B8 x0 P
[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:24 | 显示全部楼层

俺乡下人来试试

老杨团队,追求完美;客户至上,服务到位!
第一题估计用数学归纳法很容易解决。
+ d* H1 M# j; o* ?: v
5 J- i4 G1 m* d5 W4 v+ l第二题应该很简单
鲜花(150) 鸡蛋(3)
发表于 2005-2-22 22:26 | 显示全部楼层
这个题估计现在在国内属于小学数学了。
鲜花(53) 鸡蛋(0)
发表于 2005-2-23 09:15 | 显示全部楼层
Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
* [; b' r2 U4 _5 H* A3 {Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   
  c" O0 g* V5 V7 b! [' j# P

% \6 i) ^7 U2 Z/ NSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.
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