出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
+ r; o* m5 g% \' |1 O2 ^6 \
2。下边证明有没有毛病？

  ?  ]) [: I8 H8 v) ^设  a=b
. x) ^7 K! m7 h3 }8 r" q8 f' ]
) z+ e/ s2 r1 a3 B6 E. m5 j则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, o0 |' X* T. \8 W& g0 l3 \4 J
a(a-b)=(a+b)(a-b)
- {' \0 g5 G2 e9 n1 n" l! E! qa=a+b
+ `& V) `$ h; }a=2a
1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
& t9 U# U* ?4 R# i/ Y- ~
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
& B5 ]4 n- i7 a7 ?8 ^1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
3 k$ b, x5 l# N; z7 `- r- i2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, k1 J( b1 X7 S' W: f9 b% ?1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
4 R) P* {2 P1 b) r: A

& y, Y( G1 t& @$ Y为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: \- `! u. a" R3 s( ^, K5 b! L
Proof:
Let n >1 be an integer
9 L( e- N8 W( P  cBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
9 q) ^( l* Z. o+ J! b# F# z
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
) j: z4 O8 ?& P6 B; ^                                     K^3 – K can by divided by 3.
: _2 |8 W; K3 C' K. l: k2 l
) g9 _* H8 K( eNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
, ?0 G0 g" \( M1 Ksince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
1 [$ d7 J5 Q0 @" _Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& ?0 J8 Y8 [0 W8 i6 Q& M/ ^2 a                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
$ @& J1 `- v" K) W' T                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
5 ]) r' v* s! Cby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
3 t4 o1 J( ]/ {0 ZSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
8 a! ?4 U4 m) P' i6 G; A0 R$ X                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
6 y* `1 p' M5 e6 z
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
. Y; w2 _! d! o; I. H5 Q: s
( O; e, L) T8 V/ A* j第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

5 P' ?, p7 H$ c0 p
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.