出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
  O! ?+ v( \# z, T. t& T) o
2 ]3 G3 @& Z4 \8 Z& [4 ]2。下边证明有没有毛病？
. U% j# x! }2 r3 @5 ?' @* r  K
( C# g  D- }  ?! e设  a=b
+ X* i5 O6 h2 Y5 s# c" H; L$ S+ W% H
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
# h8 L& D3 m( z2 r' h. \
) b* J) g& x1 T0 _a(a-b)=(a+b)(a-b)
2 r% n1 J- C3 Q! ja=a+b
a=2a
8 J" ^/ e7 `$ ]) ]1 n1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
/ K% A4 e& R5 u$ Q  l' E6 [  t
* f' F/ b* \' i/ r# W1）不能。比如1
# N) W5 t8 b+ A! X# j8 b5 ]2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
' ?3 [( J& m3 d0 a( `- Y7 {2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

+ Q8 M2 `, `4 q% D2 J: ?# _看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
, b" v8 H& k  z: e/ {/ G1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: y8 p6 u3 D& g

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

Proof:
0 [  l, H+ L2 |9 T/ j6 q  t& _Let n >1 be an integer
- B& ]- I2 D' R$ o: V5 ~Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

. k, h# _+ _3 O' eInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
, Z2 {( i3 ]9 X: V                                     K^3 – K can by divided by 3.
  A- u1 s. z% T! U
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
; O+ ?: t9 ~; k7 U, j8 V5 O8 Fsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
6 `5 j6 H; r9 z" @Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
# \, D1 |3 L" N6 D! p: E                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
# f5 u- ~' g# ]                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
. s+ m8 {$ H" J, @                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
9 [: k2 A- j; y# _5 r! O" o' R
8 j# H3 ~; Y8 z1 F; @第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.