出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？

设  a=b

则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
9 b' ?' {( J8 Q; L  R, [
, X8 E1 {- Z. r" R4 E% ua(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
: f! T5 s. Z* X5 P1=2
' Z" i7 J8 g$ J" V
: C8 m9 ~) ]1 {7 E0 o证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 _  B& a6 v6 z" A, W( M$ q+ x7 p2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
; G, u  }/ b, L1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
$ w3 n. r8 B* r2 U- l9 k) t7 L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
7 `1 D% _8 d$ t. L6 G

) w9 M1 ~( ^) |) f8 u, ^# d4 H为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
7 {% C* P" ~# ^5 p/ T5 K
; K% n( Q; }4 ]$ C/ E' j, c' b9 n- `Proof:
* M: C) f- ^% F( |$ I2 i4 oLet n >1 be an integer
6 l9 L1 m# E# Y. ~1 dBasis:   (n=2)
/ k3 P" l& H) L/ ]  [         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
- E$ g& x1 f8 A$ W0 S; W2 f
; S: `, o0 ?# PInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

9 g+ G* M  R. tNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
: m  U1 X/ J/ @7 G8 w3 ]6 Wsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
9 g$ Q: j8 x) w; {2 \4 N% D* qThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
# E, W; v, D3 u( k                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
1 C2 L. Y+ v# [* o' q' `0 K8 d                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 t+ m# R$ U! G' x1 p" ZSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
) i0 D: j! N2 A  O% R
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

+ u& V8 ^+ k5 N0 \* e: {4 G[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

9 U: l- `3 d( _9 Q) n$ ~; |第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
5 q, v+ ~  m/ fShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.