出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
, I# q& g4 S( q+ V
3 b7 }8 |! L. E4 J; x: O# f设  a=b
0 V& ]7 ~+ U9 F2 ]/ u) @
  j4 J0 n* g3 b则有： a*a-a*b=a*a-b*b
两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
! n  Z% S$ C; B- ?
+ z$ D. X9 P/ a9 ]% x# o: e8 [4 c1 da(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
  \8 _! ^# @" ha=2a
. S- ~; I  D" d/ l# {+ W) Z1=2
- O. l( Z- p0 U& G2 s1 j
/ K4 }! |4 }2 D. g! w证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

1）不能。比如1
8 b8 ]4 n3 n, L. J$ s5 \2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
! I- P8 `2 T7 q% S2 a, [! I2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
5 ^  Z3 L$ v3 _/ r; t1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# {" ^/ O9 n3 e: B; a7 L2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

# f) y4 j0 o5 [; V看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
' I5 P% C& F" N( w9 @1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
: \  n6 }; U2 B& O5 \3 M
Proof:
$ ~( N1 ?7 T; |: H( m+ o) Q/ NLet n >1 be an integer
# r& f. }4 i+ n; |6 A, LBasis:   (n=2)
& V7 f' ~% D9 m7 H, C7 ]7 c  N         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

, S# b2 b" F; f6 d$ @, aInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.

Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
; ?% ^/ }( T; Q' Z% @                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 c7 O% `2 F& d; _! t8 o$ e                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
- m9 g% `, U7 H. q6 Q7 g# ?                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
8 }/ ~1 |' ^$ p! s- ?
0 V* C, ~; Y' G. @, b[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

* |! @; e) |5 }第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
- p3 }4 [5 n  A/ I  M$ hShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

2 |! z9 N+ j1 p# {$ s5 l& K, RSORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.