出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？

2。下边证明有没有毛病？
) z3 }/ O. E+ \
3 ~6 g% q& o% @/ C3 c设  a=b
! T' q  z& _3 a8 V
则有： a*a-a*b=a*a-b*b
* j' I! r' r( n# Y1 j$ W# d! O8 r- B两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
- R1 L. m" s$ X; t0 c
a(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
: R9 h% m6 ^; P3 s1=2
$ _/ u+ i8 w- K" w, z! @: K
7 |. v+ W+ D) W: |证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

0 d$ l( n/ h9 d7 [, m% D  ~) g5 `1）不能。比如1
) B* G6 U' i3 O, I! I! S2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
9 U/ {; Z& V6 ~- S. z$ Y) Q1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
: e# n6 Y- D$ s/ K

/ w) x% i9 e0 G为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
2 V+ x6 n+ d0 y) }$ B  x. J
Proof:
9 f6 a) J, D" e! lLet n >1 be an integer
Basis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3
! L% ?* j& }- `. g, @
Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 k( w/ i( G1 C2 C8 o                                     K^3 – K can by divided by 3.

+ `5 i5 T' h9 k; g# D% \5 S) mNow, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
0 D/ G# w# G2 A1 dThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
& ?; I$ G, U4 \  T' M# m) x                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
# o# v) `6 v5 Q4 u! r, D. w; U* B                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
1 ^4 N7 i& n7 W" X; {; Eby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
0 w6 u' ^0 [; B! E( kSo we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
+ U# c0 q5 E; r: B( i6 K                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3
8 l+ U- K( u/ O
Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
; {1 ^% l9 L& U" k! {7 i$ `
6 F( c$ _/ {% l' X[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。

第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.