出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
$ ^& l0 F. X8 m% [" J1 A, N
2。下边证明有没有毛病？

设  a=b
* X  n; e5 ?2 N9 x4 p
' o0 q7 n$ n1 R5 W, E! p则有： a*a-a*b=a*a-b*b
6 D# W' c" _9 O两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
; C/ B- w4 w7 a* T) M6 b- l6 \3 ^
; \+ U  Y, |0 T2 _' ?. da(a-b)=(a+b)(a-b)
a=a+b
a=2a
' J8 Z; R, S' q. k3 y1=2

证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试

: v8 E4 d  M" u2 k3 r0 h1）不能。比如1
) X' E6 Y/ O3 j2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
$ Y# s& d6 C* l" {1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
. r& m, T8 H/ m: O% V1 w# A2 v3 v2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

0 W( i& j6 B! ~- Z看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)

# S6 Y* K6 x1 N% M* F: h2 YProof:
  \2 a4 |6 a  U& n) H; x7 T: |Let n >1 be an integer
' Q% m) j$ u+ D; B9 PBasis:   (n=2)
6 K: s/ N; o& W2 Q/ I         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

Induction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
                                     K^3 – K can by divided by 3.
% C9 @$ t3 V- t3 D! K1 j
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
# {" v' @. n3 \5 w$ e7 dsince we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
Then we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
0 X8 z/ J- ~4 R) u+ G                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
4 V7 o0 ^3 Y, S4 Y% ~$ |6 `                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
by Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
# P$ ^0 h* W7 r6 g" E2 n8 F4 P3 E                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

Conclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.
+ R9 u4 P& I3 `" p/ J
- t$ s8 U# e& F' X+ M( z" }+ O[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
8 \  X) o. P& }8 U* }) ~
第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
6 H( T+ s: s( O" ]$ aShow that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

4 q& F* a  r8 ?0 p& u  c
SORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.