出两道中学数学题

扁舟

1。一个整数的立方减去这个数一定能被3整除吗？能否证明？
4 ?, c( X6 m; ^7 }& e7 ?* r: ]
2。下边证明有没有毛病？
$ P; b! _. t. @. \+ e
设  a=b

. z0 y9 j# F4 G; `则有： a*a-a*b=a*a-b*b
9 r" X# i+ o( y6 N0 v) g+ \4 h两边因式分解（左边提取公因式，右边平方差公式）：
, o% H9 e8 i- S7 L3 B' t0 w
a(a-b)=(a+b)(a-b)
3 q1 u  ]- \& h9 l" R1 z5 i, I- y3 ea=a+b
4 w2 Z( R# k0 P& g7 r9 Ca=2a
9 q3 z# d; Z" F+ V/ Z, E1 Z- `1=2
) Z) l) a7 [4 k/ K/ d+ C" I
证毕 ，结论，１＝２

三思

我幼儿园毕业啊（我劳工倒是初中毕业），不过闲着也闲着，我瞎猫试试
$ I4 L% F' B$ O9 d. u9 l" K
1）不能。比如1
2)a,b不能是0

lilian

1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
# B" p4 b$ d2 S" c2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

三思

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。
2。因为a=b, 所以a-b=0, 0乘以任何数都等于0。也就是等式两边不可以约掉a-b, 0 不可以做商。所以证明有误。

看！有高中毕业的！

悟空

Originally posted by lilian at 2005-2-22 09:58 PM:
1。 n.n.n - n = n(n.n - 1) = n(n+1)(n-1), 连着三个数相乘，当然能被3 整除。

为证明扁同志的题目, 你需要证明  n(n+1)(n-1)能被3 整除

悟空

Show that for all integers  n >1, n^3 - n  can be divided by 3.   (Note: n^3 stands for n*n*n)
- @9 e, Y, `! F  C+ c0 L7 b
( g% q4 H6 }9 q5 \& iProof:
Let n >1 be an integer
1 r. q8 J' Y2 h- t+ M& m7 j- IBasis:   (n=2)
         2^3 - 2 = 2*2*2 –2 = 6 which can be divided by 3

: l! Z$ P# Q& T- U# n* w; K! r6 Y9 OInduction Hypothesis: Let K >=2 be integers, support that
7 j: w9 z$ g, X  ]* z                                     K^3 – K can by divided by 3.
( J7 a7 C0 m  @! E
Now, we need to show that ( K+1)^3 - ( K+1) can be divided by 3
since we have  (K+1)^3  =  K^3 +3K^2 + 3K +1 by Binomial Theorem
3 {% Y1 V! O" c7 s* E/ r& MThen we have (K+1)^3 – ( K+1) =   K^3 +3K^2 + 3K +1 –(K+1)
7 J' o/ d# a* W3 S7 D+ g                                     = K^3 + 3K^2 + 2K
                                     = ( K^3 – K)  + ( 3K^2 + 3K)
* ~1 O) F2 I- q                                     = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
, n! V% S9 N5 X* o$ K( sby Induction Hypothesis, we know that   k^3 – k  can by divided by 3 which means that k^3 – k  = 3 X for some integer X>0
So we have (K+1)^3 – ( K+1) = ( K^3 – K)  + 3 ( K^2 + K)
                                = 3X + 3 ( K^2 + K)
                                = 3(X+ K^2 + K)  which can be divided by 3

8 z, }5 i5 ~( n0 sConclusion: By the Principle of Mathematics Induction, n^3 - n can be divided by 3 For all integers  n >1.

! Y/ S+ i9 ?, A" e" m[ Last edited by 悟空 on 2005-2-23 at 10:06 AM ]

醉酒当歌

第一题估计用数学归纳法很容易解决。
1 ^7 M5 k, ?) l, C: E7 L+ e8 v
' {8 _6 l- x2 ?$ a/ }第二题应该很简单

醉酒当歌

这个题估计现在在国内属于小学数学了。

悟空

Originally posted by 悟空 at 2005-2-22 11:21 PM:
Show that for all integers  n >1, n^3  can be divided by 3.   

3 K9 Z; b; x4 `/ Y  P  K  e. ESORRY, 严重笔误, 改过来了:  n^3 应为 n^3 - n.